CC BY
40
УДК 539.3
А,А. Паньков, Ю.В. Соколкин Пермский государственный технический университет ЭЛЕКТРОУПРУГОСТЬ ПОРИСТЫХ ПЬЕЗОКОМПОЗИТОВ
Abstract
The actual problems of mechanics, which requiring the special studies, pertains a special studies of characteristics of new composite (smart) materials, capable by itself to change their own characteristics and geometry due to the introduction to the composit's structure the active operated elements from piezoceramic. Purpose of the work is concluded in the development of principles of design and development scientific bases of mathematical theory of deforming piezoactive composite materials, study of the influence of stochastic particularities of technology of real structures on the effective physical and mechanical characteristics of piezocomposites. Achievement of this purposes is expected to realize (by structured-phenomenological approach) on the base of development of new and (generalising on the class of piezoactive composites) known methods of mechanics of composite materials for deciding the boundary-value problems of statics and dinamics of inhomogenious medias. The structure of considered composite material have statistical homogeneity, quasiperiodicity or, in the limiting case, periodicity.
Постановка задачи
Модели квази пери одических структур основаны на внесении в идеальную периодическую структуру композита той или иной разулорядоченности. Рассмотрим более подробно двухфазные квази периодические модели, когда форма и размер однородных включений детерминированы, а их случайные положения могут быть заданы вероятностным законом только для вектора а случайных отклонений центров от узлов известной периодической решетки [1-4]. Считаем, что включения не могут выйти за границы своих ячеек. Расположение периодической решетки относительно координатных осей г{ случайно. Решетка имеет независимые случайные смещения ti
с равномерными законами распределения на соответствующих отрезках [0, Ti ], где
7] - периоды решетки по координатным осям rt , i = 1,2,3. Это позволяет
предположить наличие свойств статистической однородности и эргодичности как у квазипериоди ческой, так и у соответствующей периодической структуры.
В представительной области квазипериодического композита V с границей Г рассмотрим решение стохастической связанной краевой задачи электроупругости
[Cijmn{T)um,„P)\j +[МГ>Ф,»(Г)1# =0’
|?> (г)ф,„ (г)]у - [е,т„ (Г К „ (Г)]. = 0, (1)
м*1г=£^^ % = -£>./
относительно полей перемещений и(г) и потенциала электрического поля ф(г), где г* и Е заданные тензор однородной макро деформации и вектор однородной макронапряженности электрического поля. Коэффициенты С(г), Х( г) и е(г) дифференциального оператора (1) - квазипериодические случайные быстро
осциллирующие функции координат г,
С(г) = со(г)€^ + (1 - ео(г))С ", е(г) = + (1 - ы(г))ем ,{2)
Х(г)-со(г)Х/?+(1-со(г))Хм,
где со(г) - индикаторная функция включений (равна 1 во включениях и 0 в матрице), С, еД - тензоры упругих, пьезомеханических и диэлектрических свойств включений (Г) и матрицы ( М) композита соответственно.
Метод периодических составляющих
Метод периодических составляющих [1] основан на выделении из полей коэффициентов С(г), Х(г), е(г) и из искомых полей перемещений и (г) и потенциала
ф(г) соответственно периодических коэффициентов Ср(г), кр(г), ер(г) и решений ир (г), ур (г) краевой задачи для композита с периодической структурой
[сЦтп (Г)<я (Г)]; + [еР„у (Г)СР^ (Г)]. = 0 ,
\х%(г)<(г)]. - [е?тп«<„(г)], = о, (3)
»'/’ г = Чг] > Ц\г = ~КГ» ■
Решение краевой задачи (3) будем считать известным
(Г) = £¡0 + *Сп Оф!» + К(Г)К> (г) - ~Е)Г1 + (ОС + К > (4)
где ар(г), Ь^(г), ^(г) и Ьр(г) - периодические функции координат; решение (4) может быть определено методами, изложенными в работах [8-10]. Через Ср\ X/* и е^* обозначим тензоры эффективных упругих свойств, диэлектрической
проницаемости и пьезомеханических свойств композита с периодической структурой соответственно.
Разложения коэффициентов
С(г) - Ср (г) + С° (г), Цг) = ^(г) + Г(г), е(г) = ер(г) + е°(г) и искомых решений
^(г) “u^(r)+u°(r), +
позволили перейти от краевой задачи (1) с неоднородными граничными условиями для полей перемещений u(r) и электрического потенциала (р(г) к решению краевой задачи
bijmn irK.v, (Г)] ; + [ещ (Г)Ч>; (г){у + Х>(г) = 0 •
(5)
[л/л(г)ф;„(г)]; - [е>я(гK,„(r)|;. + Y(r) - О
с однородными граничными условиями отклонений и° (г) и ф° (г), где поля
Л',(Г) = r)up„u„{Y))j + [(В^-(г)ф^(г)]., У(г) = [r;.„(r)9f„(r)]; -|e;mn(r)/^;„(r)];.
Для решения задачи (5) может быть применен метод функций Грина G(r,r, ) и
0(r3rj ), например, для однородной среды с осредненными по объему композита эдектроупругими свойствами [7]. Эти функции являются решениями уравнений
< Cijm„ > GmkJniW I ) = ~ Г1 ) . <Ц> Q,ij (Г’Г1 ) = -g(r - Г1 ) Щ
и вместе со своими производными обращаются на бесконечности в ноль, 5(г-г, ) -
обобщенная дельта-функция, 5 - символы Кронекера, Далее, осуществим переход от дифференциальной постановки краевой задачи (5) к решению системы интегро-дифференциальных уравнений, например, методом последовательных приближений [1, 7]. В результате искомое решение примет вид
оо со
u(r) = %Xj°(k)(r), ф“(г) = 2>°(<Г)(г), (7)
к-\ Ы 1
где первое приближение (&=1)
i/;w(r)- )[C;JOT„(г,)и^п(г,) + e°„js(г,)ф£(Г|)]sdr, ,
V
U°|r =0, ф°|Г = 0 для искомых полей
Р<1\г)= |е(г,г, )[^и (г, )ср£ (г, ) - е1тп (г, )<„ (Г,)]; ф] ,
V
последующие (к = 2, 3, ...) члены рядов (7) вычисляются по рекуррентным последовательностям
и?*>(г)= ¡0^ (г,г, )[с'ртп(г,)и°^~1)(г,) + еф(г,)Р^к~Х)(г,)]^г, ,
V
¥<к\т)^ )к„(г,)р;^>'(г,)-ешя(г,)и^]>(г,)]4ск- ,
V
Сингулярное приближение
Сингулярное приближение основано на использовании в решении (7) предполагаемого равенства вторых производных функций Грина ^¡т^(г9г^ ),
Qt1J^тyr, ) своим сингулярным составляющим [3, 4, 7]
УУС(г,г, )-в,8(г^г1 ), )«д55(г-г1 ). (8)
Вторые производные функций Грина УУО(г7г] ) и УУ<3(г,г, ) представляют собой обобщенные функции и поэтому они определяются интегрально: компоненты С5 И (У в (8) рассчитываются по формулам [7]
С* - _[УУС(х>/х = |УС(х)Л„, О* = _[УУ<2(хУх = |У<г(х)Л„ (9)
»в
через первые производные функций Грина, где «0 - поверхностость области у0 -
‘‘зерна неоднородности5’ [7], включающего особую точку х=0, где х = г, -г. В этой точке функции УУС и УУ<2 имеют особенности. Геометрией зерна неоднородности можно учесть не только геометрическую форму включений, но и анизотропию их разупорядочивания в объеме композита.
Решение для тензоров эффективных электроупругих свойств кваз и периодического композита в сингулярном приближении метода периодических составляющих имеет вид
с;тп = Рсс„+(1 - р)^А. К=рц’+(1 - р)4М >
гЬЬ>
(10)
4т, = РеСп +0- .
кгН
где С - тензор эффективных упругих свойств, X - тензор диэлектрической
проводимости и е тензор пьез о механических свойств квазип ери одического
композита, разупорядоченность включений в квазипериоди ческой структуре в расчетных формулах (10) учитывается через тензоры анизотропии разул оря доченности а(1), аС2), а(3) и коэффициент периодичности р [3, 4], Тензоры анизотропии разупорядоченности включений в кваз и периодической структуре введены в решении (10) равенствами
Г15* — ¿(О /'''*** 1 — А(2) 1 ✓у5* — ¿О) „57* /114
утп ~ утп гИЬ> > *“ >И ’ ^тт тп кгН > (1 *)
гИк\’ кгк
где тензоры эффективных электроупругих свойств С5*, ** и X5* среды
«статистическая смесь» рассчитываем по формулам
С5‘ =< С > +у„ (1 - )[с ■ - Ал - ё ■ Р* ], V* =<\> +У„ (1 - у0 )[х Н‘ + ё • -В* ],
е** =< е > +у0 (1 - у0 )[ё • Н'с - С ■ ■В'1 ]
с учетом решений
А' = П(1Н ■ .(ь®- а‘и) • а(2,2)_1 -Ь(2)), V* = Я®“1 • ¡Ь® -а(2Л) ■ -а®'1 ■ -Ь(,))
Г = «ин -а(|,2) -а(2’2Н с<2>)= ¡Р = 0(2Н • (с(2) -а'2',}
где
£20) _ я(1.1) _ а(1,2) . а(2,2И . а(2,1) П(2) _ а(2.2) _ ^(2.1) . .а0ЛИ . *(1,2)
а
(Пі) _
I - в* -С(1 - 2у0 ), а(П2) = Є5 [< е > +ё(1 - 2ус
а(2.0 = . [< е > ч-ё(1 - 2у0 )|, а(2’2) =-6 + (Г .31(1-2V.),
Ь(1> =С4' - С.Ь^ «ЧР -ё, с<г' = -С5 ■ ё, с(2) =-<}*■•*
(здесь О* - симметричная составляющая 0^)тп по первой паре индексов). В структуре
«статистическая смесь» отсутствует корреляция физико-механических свойств в различных точках среды [1].
Для квазипериодического композита с изотропной разупорядоченностью включений тензоры анизотропии разупорядоченности (11) примут вид а(!)=11, а(2^ = I, а(3) = 5 1,и формулы (10) преобразуются к виду
С* = рСр*+(1-р)С”\ ^ = рХр* + (1-р)^\ е* - ре**+(1-р)е* (12)
или С == Ср* + А(1), X* = кр* + А(2\ е* = ер* + А(3\ где к~\~р - коэффициент хаотичности, А(1) = й(ся* ~Ср*), А(2) = и{к*** -*/*), А(3) = /*(е5'* -е^*) - поправки к
тензорам эффективных упругих Ср*, диэлектрических и пьезомеханических ер*
свойств композита с периодической структурой, обусловленные разупорядоченностью включений.
Пусть квазипериодическая структура пьезокомпозита (рисунок, табл. 1) образована независимыми для каждой ячейки случайными отклонениями а центров сферических включений (пор) детерминированного радиуса гг от узлов правильной решетки с ячейкой периодичности в виде куба. Свойство квазипериодичности структуры и независимость случайных отклонений а для различных ячеек позволяет перейти к рассмотрению одиночной ячейки квазипериодичности на рисунке, б. Все ориентации случайного вектора смещений а равновероятны, и его величина |а[
распределена по равномерному закону на отрезке [0; А], где А = Мтах, ке [0; 1] -степень разупорядоченности сферических включений, величина максимально допустимого смещения Атзх = Гр ОТ *>) -1), где Т - период или ребро кубической
Численный расчет. Сферические поры в пьезоакерамике
ячейки.
Рис. Ячейка квазипериодичности (б) и коэффициент периодичности р (в) для степени разупорядоченности к-\ (1), 2/3 (2) и 1/3 (3) сферических пор в пьезокерамике (а)
Таблица 1
Электроупругие свойства пьезокерамики Р2Т-4 [5, 6] (без пор)
Упругие постоянные, Ю10 Па Относительные диэлектрические постоянные Пьезоэлектрические постоянные, Кл/м2
сп С\2 С!3 сзз С44 /^0 Х^/Х0 ез\ езз *15
13,9 7,78 7,43 11,5 2,56 730 635 *■5,2 15,1 12,7
В табл. 2 представлены результаты влияния величины относительного объемного содержания сферических пор на отклонения Ас = (р* —см)/см 100%,
Ае - {е ~ем )/ем ■ 100 %, А1 = (х* -Xм)/Xм 100% значений компонент матриц
эффективных упругих, пьезоэлектрических и диэлектрических трансверсально-изотропных свойств пьезоакерамики Р2Т-4 с квазипериодическим распределением пор (рисунок, а) для значения степени разупорядоченности пор к—\ от соответствующих постоянных пьезокерамики без пор (см. табл. 1); диэлектрическая постоянная вакуума
Х0 = 1/(36л)1(Г9 Ф/м - 8,85 ■ 10“12 Ф/м
Таблица 2
Влияние содержания сферических пор на относительные изменения эффективных
постоянных пьезокерамики PZT~4
Параметры структуры ,%
V Р с\] = с22 СІ2 С33 С)3 с44~С55 св6
0,2 0,1 0,5 0,39 -46% -55% -44% -56% -27% -35% -79% -86% -78% -87% -65% -71%
а\ лх,%
* * * * * . * * * Є31=Є32 еЗЪ С15 — е24 ! 1 22 Л33
0,2 0,1 0,5 0,39 -35% -42% -42% -19% -18% -75% -80% -80% -56% -54%
Заключение
Методом периодических составляющих [1-4] получено решение связанной краевой задачи электроупругости для пьезоактивных композитов [5, 6] со случайными квазипериодическими структурами для полей отклонений искомых решений:
потенциала, напряженности электрического поля и полей деформирования от соответствующих решений для композита с идеальной периодической структурой. Аналитические решения для тензоров эффективных упругих, пьезомеханических и диэлектрических свойств квазипериодических композитов в сингулярном приближении представлены через известные решения для идеальной периодической структуры, среды типа «статистическая смесь», и структурные параметры квазипериодической структуры: тензоры анизотропии разупорядочивания и коэффициенты периодичности и хаотичности. Приведены результаты численного расчета эффективных электроупругих модулей трансверсально изотропной пьезокерамики PZT-4 со сферическими порами.
Работа выполнена по фанту РФФИ-Урал № 02-01-96403.
Библиографический список
1. Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел. “ М.: Наука, 1984. - 116 с.
2. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. - М.: Наука, 1997. -288 с.
3. Паньков A.A., Соколкин Ю.В., Ташкинов A.A. Сингулярное приближение метода периодических составляющих статистической механики композитов // Механика композит, материалов. - 1997. - №4. - С. 460-473
4. Соколкин Ю.В., Паньков A.A. Сингулярное приближение метода периодических составляющих для дисперсий деформаций в фазах композита // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2001. - Т.7, №4, - С. 427-433
5. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. - М.: Наука, 1988. - 472 с.
6. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях // Физическая акустика. Т.1: Методы и приборы ультразвуковых исследований. Часть А. - М.: Мир, 1966. -С. 204-326
7. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. - М.: Наука, 1976. -400 с,
8. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. -М.: Наука, 1984.-352 с.
9. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: Изд-во Моск. гос. университета, 1984. - 336 с.
10. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Регулярные кусочно-однородные структуры с дефектами. - М.: Физматлит, 1994.-336 с.
11. Лопатин С.С., Лупейко Т.Г. Свойства пористой пьезоэлектрической керамики типа цирконата-титаната свинца // Неорганические материалы. - 1991. - Т.27, №9. -С. 1948-1951.
Получено 12.06.2002
