CC BY
30
УДК 681.333
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА РЕЗАНИЯ
В.А.Азаров, Г.Г.Позняк
Кафедра технологии машиностроения, металлорежущих станков и инструментов Российского университета дружбы народов Россия, 117198 Москва, ул. М-Маклая, б
Приведено теоретическое обоснование возможности создания электромеханической модели процесса резания металлов, рассмотрена устойчивость замкнутой системы, состоящей из различных звеньев в цепи обратной связи.
Динамическая характеристика станка определяется путем создания в его рабочем пространстве переменного во времени входного воздействия на систему, т.е. силы, действующей как сила резания, но не зависящей от деформаций УС и измерения выходной координаты, т.е. смещения режущего инструмента относительно заготовки, выражающего связь эквивалентной упругой системы (ЭУС) с процессом резания. Передаточная функция ЭУС с одной степенью свободы в операторной форме имеет вид [2]:
№г,=К^/(1+рТ1+р!Т,1), (I)
где р - символ дифференцирования; К - статическая податливость данной нормальной
системы, мм/кг; 7 - инерционная постоянная времени, с; Т2 - постоянная времени демпфирования, с; X -логарифмический декремент; (О - собственная круговая частота колебаний, с '; Ш,И,С - соответственно приведенная масса, кг, коэффициенты демпфирования, кг с/мм. и жёсткости упругой системы (УС), кг/мм.
Теоретический вывод характеристики [2] основан на анализе полного выражения силы резания, полученного эмпирическим путём, и имеет определённую область применения. Учтены и рассмотрены только линейные смещения резца и заготовки по трём координатным осям. Смещение по нормали к обрабатываемой поверхности вызывает изменение толщины срезаемого слоя, скорости скольжения стружки, переднего угла и заднего угла. Изменение силы резания на передней и на задней поверхностях резца в области низкочастотных автоколебаний имеет вид:
Ра*Кр-у/(1 + РТР) иш №(р) = Р(р)/у(р)~Кр/(1 + рТр), (2)
где К - коэффициент резания, Н/мм; Тр - постоянная времени стружкообразования, с; Ту -
постоянная времени переднего угла, с.
Динамическая характеристика резания описывается схемой с (а) инерционным, (б) реально дифференцирующим и (в) произведением идеального и реального дифференцирующего звеньев:
а)Кр/(1 + РТр);
б)Кр ' рТщ /(1 + РТр); (3)
«жг-р!т;г/а+ртр).
С помощью пассивных элементов невозможно реализовать звено (в) с порядком числителя комплексного коэффициента передачи больше знаменателя. Поэтому для моделирования процесса резания (ПР) в цепи обратной связи одноконтурной замкнутой системы
принята схема фазовращателя, способная реализовать звенья (а) и (б) и обеспечить фазовое смещение на величину угла (р - агсЩ(Тр - со) . Его передаточная IVф_в функция, состоящая из 11С элементов, определится в виде:
Я'Ф-.=а-(рТ,-])/(рТ1+1), (4)
где а =0,5 - постоянный коэффициент; Т3 — Я - С -постоянная времени фазовращателя с.
Итак, передаточная функция фазовращателя - это произведение передаточных функций инерционного и реального дифференцирующего звеньев.
Цепь обратной связи моделирующей установки должна вводить силовое воздействие в технологическую систему, пропорциональную её деформации, и не вносить в неё фазовых искажений. Использован электромагнитный вибратор с внешним якорем, осуществляющий замыкание одноконтурной моделирующей установки через магнитный поток в зазоре
между полюсами сердечника и якорем электромагнитного вибратора. Его передаточные
функции попеременной Р>т и Ш2 по постоянной силе Р2 имеют вид (рис. 1):
а) \¥, - 1¥ф1 ■ Кк1 ■ Кк2 • иЫых;
б )Ш2=Шф2-Кк7-К2ус.ивх, (5)
где и 1еых -выходное напряжение усилителя мощности, В; Ивх - входное напряжение усилителя постоянного тока, В; 1¥ф1, И^ф2 - коэффициенты передачи сердечника по переменному и постоянному току; Кк1, Кк2, К2ус - коэффициенты передачи соответственно катушки переменного и постоянного тока и коэффициент усиления канала постоянного тока. Постоянная и переменная составляющие силы вибратора записываются в виде
а)Р2*\10-8с-(1м>)1/(2Ь0)г; б) Р\т ~ Й0 • Зс ■ (1м')2 ■ (Мт /(250 ) ■ (б)
где 12,11т - сила тока катушки соответственно постоянного и переменного тока, А; ц0 — 4л ■ 10 7 магнитная проницаемость воздуха, Гн/м: ^с- площадь сечения магнито-
провода, м2; 8() - воздушный зазор, м; - число витков соответственно катушке
переменного и постоянного тока;
Из уравнения (6а) видно, что площадь / срезаемого слоя имитируется в канале постоянного тока и пропорциональна квадрату силы тока, т.е. / = 1] . Отсюда следует однозначное условие моделирования площади срезаемого слоя вибратором: а = Ь - (I -\р)2. Переходя в уравнении (6а) от силы тока к напряжению, вводя обозначение
К2э« =^ф2 -Ккг =(^0 и учитывая условие равенства сил = Р.. и
условие моделирования площади срезаемого слоя вибратором, получим
«Л и2ла=К-Ьа = К- У=Р„ б)и„„,=Ь-4К.^Щ^. (7)
где и2вых - выходное напряжение канала постоянного тока, В; К - удельная сила резания, Н/м2; Ь - ширина срезаемого слоя, м; К2эм - электромагнитная характеристика сердечника
по постоянной составляющей силы вибратора.
Сравнивая уравнения (5) и (76), а также учитывая, что настроечными параметрами моделирования процесса резания канала постоянного тока являются удельная сила резания и ширина срезаемого слоя, получим условия настройки этого канала.
ЬшКа2; 4К,Ка). (8)
где Ка2,Ка3 - угловое положение рукояток усилителя постоянного тока.
Выражая I!т через структурные составляющие канала переменного тока (рис. 1)
11т = иlna/zt = ид ■ Klycjzt = Кд - К1ус ■ уjzt =Кд ■ К1ус ■ да/(Z, ■ Costp), получим, что Flm вибратора вьфажается через параметры цепи обратной связи в виде:
Fim х(Мо' Sc/28q )-(wt/Zl. -Coscp)- К5 -Klyc -(I w)2 да, (9)
где Uд - напряжение, снимаемое с датчика перемещений, В; К 1ус,К-: - коэффициенты
передачи соответственно канала переменного тока и датчика перемещений; да - и зменение толщины срезаемого слоя, мм
Подставляя (9) в (66) и учитывая равенство в уравнении (7а). т е. что
(I -w)2 = 250-b- jK/(p0-Sc , получим значение электромагнитной силы вибратора:
F,. * (>„ • •*/*„)• [и>, /(z, ■ Cosv)\ К». Klrc ■ df„ (10)
где д/т — b ■ да - амплитудное значение приращения площади срезаемого слоя, мм2.
Вводя в уравнение (11) обозначение К 1эм = (*J/и0 ■ Sc ■ К j80 )• [w; /{z, Cos(p)\ К,
получим FIm » К!эм ■ Klyc -dfm = К ■ b ■ а = К ■ dfm = дРг- f.
Принимая во внимание, что для данного вибратора величина К 1эм постоянна, то. следовательно, коэффициент передачи канала переменного тока Klvc является аналогом
удельной силы резания К. Отсюда получим уравнение настройки канала переменного тока.
Klyc =^K/(n0-Se)\S0-z, •Cos<p/(wrKg)l (11)
который в цепи обратной связи (рис.1) включает в себя коэффициент передачи фазовращателя Кф_в, задающего потенциометра Ка!, и усилителей перемещения Куп и мощности
Кун : К 1ус = Кф е ■ Ка1 • Куп ■ Кум. Комплексное сопротивление катушки переменного тока выразится в виде:
Z, =Л, +ja>-L = \ + ja-T4=l + pT4=U]/I]m.
где L - индуктивность катушки переменного тока вибратора, Ом е; Т4 — L/Rl - постоянная времени вибратора, с. Но в пределах рабочего диапазона частот станков со - L>> Rt или (0-Т4 » I, величиной Rj можно пренебречь, и выражение для z, запишется в виде: Z\ « у<о ■ L « у© • Г4 - рТ4 = U, /7,т . (12)
Отсюда получим, что Ь = их/(/1т • (й) ; для принятого вибратора Ь =0,0558 Ом е.
Записывая выражение (9) с учётом уравнения (12) и вводя в него обозначение Кос = Ио ■ Кв • К\ус • Ь • Д25о ), получим » Кос ■ у/рТ4 . Отсюда оп-
ределится выражение для передаточной функции канала переменного тока:
^=^п,/УкКос/РТА (13)
т.е. электромагнитный вибратор по каналу переменного тока имеет передаточную функцию, равную произведению передаточных функций безынерционного и интегрирующего звеньев.
Итак, электромеханическая модель процесса резания (ЭМПР) должна содержать вибратор-источник энергии и цепь обратной связи, состоящую из датчика перемещения, фазовращателя, усилителей перемещения и мощности, и размещаться на станке, не искажая УС. По аналогии с характером связи в замкнутом контуре "ЭУС-ПР" обратную связь в замкнутом контуре "ЭУС - ЭМПР" принимаем отрицательной. Причем выше указанные звенья выполнены как безынерционное и интегрирующее, инерционное и реальное дифференцирующее звенья с соответствующими передаточными функциями вида:
>г, =*,*;
К^а/рТ,; №, =\/(\ + рТ,); 1Г,=рТ,/(1 + рТ,).
В операторной форме передаточная функция цепи обратной связи УУос замкнутой системы "ЭУС - ЭМПР" запишется в виде произведения передаточных функций вибратора (¥п и фазовращателя :
= (И)
рТ4 рТ,+1
При съёме большого объёма металла на металлорежущих станках потеря устойчивости замкнутой системы происходит на частотах, близких к собственным частотам системы, т.е. уровень и частота колебаний определяются свойствами самой колебательной системы. В
общем виде передаточная функция замкнутой системы И/Г]аи выражается через передаточ-
ные функции эквивалентной упругой системы W (1) и разомкнутой системы Wpa3 [1, 2].
W,m(p) = Wra,(p)/{l + WrJp)]; WrJp) = W^(p) WJp). (15)
Для определения правильности теоретических выводов по созданию физической модели процесса резания, границы устойчивости и условий потери устойчивости замкнутой системой "ЭУС - ЭМПР" воспользуемся частотным критерием Михайлова, основанным на рассмотрении поведения замкнутой системы, на вход которой подаётся сигнал гармонического колебания с частотой, изменяющейся от нуля до бесконечности. При этом годограф вектора G(усо) — Re(&) + j 1т(со), построенного на комплексной плоскости, проходит через и-квадрантов комплексной плоскости, пересекая поочерёдно то мнимую, то действительную ось. Начало годографа лежит на действительной оси в точке, определяемой при частоте (0 = 0. Чем ближе годограф системы к началу координат, тем ближе к неустойчивому состоянию будет данная система и при прохождении через начало координат, т.е. Re((о) ~ 0, j 1т(о) — О, система окажется на границе устойчивости. В этом случае
критической частотой (Окр окажется одна из собственных частот системы; корни вектора G( jco ) совпадут.
Электромагнитный вибратор, установленный в цепи обратной связи одноконтурной замкнутой системы "ЭУС - ЭМПР", представляет собой интегрирующий элемент с передаточной функцией (13). Комплексный коэффициент передачи одноконтурной системы с передаточными функциями вида (1) и (13) согласно уравнения (15) имеет вид
К -К"
wr j® ) =--------------------^;—г-.
^ (Кэус-Кж-Т2-Т4-ф2) + ]Ъ-Т4-(\-Т2-(,2)
Действительная Re(ffl) и мнимая lm(©) составляющие знаменателя запишутся в виде
Re((o) = K-Koc-T2-T4-®2; 1т(<й) = ®-Т4(\-Т2) (16)
и при © = 0 определится податливость системы: Re(et=0) = Кзус ■ Кос; ], = 0 .
При приравнивании выражений (16) к нулю определятся частоты колебаний, в том числе и критическая, при которых годограф G( /Ю) будет пересекать на комплексной плоскости действительную Re(©) и мнимую 1т(©) оси
JK ■ К 1
при Re(<n) = Q;<b2= — = <akp=<Qc при !т(&) = 0. (17) 12' и Л
При этом критическое значение коэффициента обратной связи определится, подставляя (йкр в выражение Re(а) - 0 , в виде:
= (|8)
^эус
Оценивая (16) и (18) при —0,91-10 Зс, Т7 —0,79 -10 4 с, Т4 —1,5-10 2 с и К — 0,46 ■ 10 4мм/Н , которые имеют место в реальных упругих системах, определятся критическое значение коэффициента обратной связи Кос, при превышении которого
система потеряет устойчивость, и критическая частота колебаний (йк на которой система потеряет устойчивость и в ней возникнут колебания:, (йкр - 1,1 ■ 103 с1 или / -175Гц,
К к =3,1-104Н/мм.
ос.кр ’
Фазовращатель, имея передаточную функцию в виде (4), обеспечивает в цепи обратной связи замкнутого контура поворот вектора перемещения вплоть до совпадения с направлением силы вибратора; передаточную функцию цепи обратной связи представим в виде выра-жения (14). В комплексной форме передаточная функция такой замкнутой одноконтурной системы с передаточными функциями вида (1) и (14) согласно (15) имеет вид
]ъ-Т3) Яе( (£>) + ] 1т( ш )
11е(®) = -(й4-Т'-Т3-Т4+(о'-Т4-(Т2 + Т3) + аКосКзус, (19)
1т(о) = ®-[®2-Т4-(Т2 + Т2-Т3)-(Т4+а-Кос ■ Кэус Т3)]. (20)
При ш = 0 из (19) определим податливость системы Яе(ш=0) = а ■Кос-Кэуе, которая
в а раз ниже, чем податливость системы с интегрирующим звеном в цепи обратной связи.
Приравнивая выражение (20) нулю, определим частоты колебаний, в том числе и критическую, при которых вектор годографа (}(уш) пересечёт на комплексной плоскости оси Ке и 1т :
\Т4 +а-Кос-Ккр-Г3
ш, = ---------- при 1т( а ) = 0.
р у Г4-(Т2+Т2-Т3)
Подставляя СО кр в выражение Ке((й) = 0, определим критическое значение коэффициента обратной связи в виде
к _ Ь±4Ъ2 +4а-с _ ^
К ос!,2 - : 1 = Кжк
2а
а-а.2- К^СТ2 ■ Т3 ,
Ь = а-Кзус- Т4(Т;+2Т,2 • Т2 • Т2 +2Т2 ■ Т2 + + Т2 ■ Т2 + Т2 • Т3 + Т2 • Т3 + Т2 • Т2 + Т2 ■ Т3). с^Т42-(Т2-Т2+Т2-Т2+Т2-Т2).
Приравнивая выражение (19) нулю и решая его относительно частоты возбуждения колебаний, определяются частоты, на которых система теряет устойчивость;
\<т, + Т,) ± ^ ■ (Т2 + Т, / + 4а - К„ ■ К„ ■ т; ■ Т,
2Т2 • Т3
Анализ решений уравнений показывает, что при прямой полярности сигнала на входе фазовращателя коэффициент обратной связи имеет минимальные значения
Коскр = (3,5 + 0,8) ■ 105 Н /мм при изменении постоянной времени фазовращателя в пределах Т3 = (1 + 3)-10~3с. Частоты возможного возбуждения колебаний в замкнутом
контуре "ЭУС - ЭМПР" находятся в диапазоне fkp =210 + 173Гц.
При обратной полярности на входе фазовращателя минимальные значения Коскр = (0,55 -г 2,4) • 10s Н / ММ соответствуют изменению постоянной времени
фазовращателя Т3 = (0,1 +1)-10~3 с; соответствующие значения fkp = 185 + 135Гц .
Итак, возбуждение колебаний в замкнутом контуре "ЭУС-ЭМПР", т.е. потеря системой устойчивости, возможно для рассматриваемого примера в диапазоне частот fkp = 135 + 210Гц при минимальных затратах источника энергии, что было
подтверждено экспериментально. При этом звено обратной связи включает в себя безынерционное, инерционное, интегрирующее и реальное дифференцирующее звенья.
Изложенные выше теоретические результаты использованы при создании физической модели процесса резания [3] упрощённой установки для испытания токарных станков на виброустойчивость без резания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гитис Э.И., Данилович Г.А., Самойленко В.И. Техническая кибернетика. -М.:Совет-ское радио, 1968. - 488с.
2. Кудинов В.А. Динамика станков. -М.: Машиностроение, 1967. -360с.
3. А.с. 405118 СССР, МКИ G 06g 7/48/ Устройство для моделирования процесса резания.
ELECTROMECHANICAL ANALOGUE OF CUTTING PROCESS
V.A.Azarov, G.G.Poznyak
Chair of manufacture, machine and cutting tools Friendship university of Russia, 117198 Moscow, M-Maklaya St., 6
Here is given the theoretical possibilities for metall cutting process to be simulated by electrical and mechanical means. Stability analysis of closed loop system behaviour with different members within feedback is adduced.
Владимир Афанасьевич Азаров родился в 1939 г., окончил в 1966 г. РУДН. Канд. техн. наук, доцент кафедры Технологии машиностроения, металлорежущих станков и инструментов РУДН.
Автор 50 научных работ.
V.A. Azarov (b. 1939) graduated from Peoples’ Friendship University of Russia in 1966. PhD(Eng), ass. professor of “Mechanical Engineering,
Machine Tools and Tooling” Department of Peoples’ Friendship University of Russia. Author of 50 publications.
Георгий Григорьевич Позняк родился в 1937 г., окончил в 1959 г. СТАНКИН. Канд. техн. наук, доцент кафедры Технологии машиностроения, металлорежущих станков и инструментов РУДН. Автор более 95 научных работ.
G.G. Poznyak (b. 1937) graduated from Moscow Institute of Machine Tool and Tooling Design in 1959. PhD(Eng), ass. professor of “Mechanical Engineering, Machine Tools and Tooling” Department of Peoples’ Friendship University of Russia. Author of more than 95 publications.
