CC BY
28
УДК 624.318
Ю.В, Батыгин, А.В. Гнатов, Е.А. Чаплыгин, Д.О. Смирнов
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИНДУКЦИОННОЕ ИНДУКТОРНОИ СИСТЕМЕ С КРУГОВЫМ ВИТКОМ С РАЗРЕЗОМ
МЕЖДУ ДВУМЯ ТОНКОСТЕННЫМИ МЕТАЛЛИЧЕСКИМИ ЛИСТАМИ
В статті проведено дослідження електродинамічних процесів в системі з "незамкненим" одновитковим циліндричним витком та двома паралельними плоскими тонкостінними провідниками, що розташовані симетрично по обидві сторони витка. Отримані основні залежності для розрахунку просторово-часовогорозподілу вихрових струмів в розглянутій індукційній індукторній системі.
В статье проведено, исследование электродинамических процессов в системе с "незамкнутым" одновитковым цилиндрическим витком и двумя параллельными плоскими тонкостенными проводниками, расположенными симметрично по обе стороны витка. Получены основные зависимости для расчёта пространственно-временного распределения вихревых токов в рассматриваемой индукционной индукторной системе.
ВВЕДЕНИЕ
Широко распространённые инструменты магнитно-импульсной обработки металлов - это плоские одновитковые соленоиды [1-3]. В известных публикациях по электродинамическим расчётам последние представляются замкнутыми круговыми контурами, что позволяет ввести условие аксиальной симметрии и существенно упростить решение задачи о поле изолированного витка на поверхности металлического объекта (это может быть и проводящее полупространство, и тонкая пластина) [4, 5].
В действительности виток не может быть замкнутым круговым контуром, поскольку он является элементом, последовательно включаемым в цепь источника мощности. То есть, реально, виток - "незамкнут", он имеет разрез и функция, описывающая азимутальное распределение возбуждающего тока, терпит разрыв второго рода. Поэтому в дальнейшем одинаково справедливы термины "виток с разрезом" или "виток с разрывом".
В начале 2000-х впервые были предложены новые инструменты для магнитно-импульсного притяжения заданных участков тонкостенных листовых металлов, практическое назначение которых состоит во внешней рихтовке повреждений автомобильных кузовов. Это, так называемые, индукционные индукторные системы, принцип действия которых основан на притяжении проводников с одинаково направленными токами. Конструктивно, предложенные системы представляют собой два параллельных тонкостенных металлических листа, один из которых является вспомогательным экраном, второй - заготовкой с вмятинами, подлежащими устранению. Между листами помещается индуктор-источник магнитного поля [6].
Цель настоящей работы - получение основных зависимостей для расчёта пространственновременного распределения вихревых токов, возбуждаемых полем плоского "незамкнутого" кругового витка, расположенного между двумя параллельными плоскими тонкостенными проводниками.
ПОЛЯ И ТОКИ
Расчётная модель рассматриваемой системы приведена на рис. 1, где цилиндрический виток с разрезом для подключения мощности помещён между
двумя тонкостенными листовыми металлами параллельно друг другу.
Вид в сечении плоскостью Ъ= 0
Рис. 1 "Незамкнутый" виток между тонкостенными металлами
Примем следующие допущения.
1. Бесконечно протяжённые в поперечных направлениях идентичные листы толщиной - ё выполнены из немагнитного металла с удельной электропроводностью - у.
2. Виток индуктора расположен между листами на одинаковом расстоянии И до каждого из них, радиус витка - Я, поперечные размеры настолько малы, что математически, расположение возбуждающего тока индуктора можно описать произведением дельтафункций Дирака ~5(г-И)-5(г-Я)
3. В местах соединения витка (соответствующие токопроводы перпендикулярны к его плоскости) и источника мощности имеет место "разрыв" по азимуту, описываемый функцией
/ (ф) = Л(ф - Фо) - Л(ф -(2^ - Фо)), где ^(ф) - ступенчатая функция Хевисайда, 2ф0 - величина "разрыва" в витке, выраженная в терминах азимутального угла.
4. По витку протекает азимутальный ток с плотностью -]¥(р, Г, ф, 2),
J\p 1 (t, Г, ф, z) = j(t) -S (r - R) -S (z - h) ■ f (ф),
где j(t) - амплитудно-временная зависимость, t - время.
5. Временные характеристики возбуждающего тока таковы, что ю-т<<1, где ю - характерная циклическая частота сигнала, т = ^-yd2 - характерное время диффузии в металлический лист [2, 7].
Необходимо подчеркнуть, что допущение о форме возбуждающего тока с азимутальным разрывом первого рода исключает лишь влияние токоподводов к витку и не противоречит требованию непрерывности линий возбуждающего тока.
Первое. Токоподводы в практике магнитноимпульсной обработки металлов, как правило, перпендикулярны к его плоскости. В таком конструктивном исполнении их влиянием на протекающие электромагнитные процессы действительно можно пренебречь.
Второе. Принимаемые в дальнейшем модели расчёта предполагают замкнутость линий возбуждающего тока в элементах разрядного контура, частью которого является и собственно виток, а не в пространстве между местами его подсоединения к источнику за счёт априори пренебрежимо малых токов смещения.
Согласно принятым допущениям в системе возбуждается электромагнитное поле с векторами напряжённости E = {Er Ф 0, Е9Ф 0, Ez Ф 0} и H = {Hr Ф 0, H Ф 0, H Ф 0}.
Полная совокупность уравнений Максвелла в пространстве изображений по Лапласу для нулевых начальных условий запишется в виде [8]:
rot H(p, r,ф, z) = ji (p, r, ф, z) + y- E(p, r,ф,z);
< rot E(p, r,ф, z) = -p -^0 • H(p, r, ф,z); (1)
div H(p, r, ф, z) = 0; div E(p, r, ф, z) = 0, где p - параметр преобразования Лапласа, j 1 (p,r, Ф, z) = L(jp 1 (Xr, Ф,z)j,
H (p, r, ф, z) = L{H (t, r, ф, z)},
E( p, r, ф, z) = L{E(t, r, ф, z)}.
Отличительной особенностью поставленной задачи является симметрия относительно плоскости z = 0. Данный факт делает удобным выбор системы координат, привязанной к плоскости z = 0, где будет расположен "разомкнутый" виток, и позволяет для решения выделить следующие области:
1. Между листовыми металлами, 0 < z < he источником поля - "разомкнутым" цилиндрическим витком в плоскости z = 0.
2. Собственно лист металла, h < z < (h + d).
3. Над листом металла, z > (h + d).
Вначале в каждой из выделенных областей с помощью системы (1) запишем уравнения в частных производных и соответствующие общие интегралы для z - компоненты напряжённости магнитного поля.
1. Область между листовыми металлами,0< z < h.
Векторное преобразование первого уравнения системы (1) rot rot H (p, r, ф, z) = rot j9i (p, r, ф, z) в совокупности с соотношением rot rot H (p, r, Ф, z) = A2 rot H (p, r, ф, z) даёт уравнение в частных производных:
1 д ( dHz (p, r, ф, z) | i 1 d Hz (p, r, ф, z)
r dr
dr
d Hz (p, r, ф, z) 1 d
{r ■ 7ф i(P, r, Ф, z))
dz2 r dr
Здесь следует оттенить математическую сторону решаемой задачи.
Так, интегрирование уравнения (2) идентично операциям, выполненным ранее для выделенных областей с источниками магнитного поля. Но отличия есть, и они, в первую очередь, обусловлены симметрией расчётной модели на рис. 1.
Ток в витке представим разложением по косинусам кратных дуг:
ТО
j Ф1 (P, r, Ф, z) = X j n (p, r, z) •cos(n •Ф), (3)
n=0
где j n (P-r,z) = j(p)• Fn (Ф0)-§(r-R)■^(z),
2 • sin (n -ф0)
n Ф 0,
1 I n = 0.
Fn (Ф0) =
Тогда решение уравнения (2) следует искать в виде ряда:
ТО
Hz (p, r, ф, z) = ^ Hn (p, r, z) • cos (n -ф). (4)
n=0
Подставляя (4) в (2), получим уравнение:
1 * Гr^npz]_niHzn(p,r,z)'
r or I or > r
\ 4 y J
d2hzn (p, r, z) _ 1 a
(5)
dz 2
=-^(r • jn (P, r, z))
r dr
Условию ограниченности радиального распределения Нхп (р, г, х) из уравнения (5) при г = 0, г ^ да и п ^ да удовлетворяет известное интегральное преобразование Фурье-Бесселя:
Hzn ^ r, z )=f Hzn (P, ^ z )• Jn r
dX,
(6)
где Л!-г) - функция Бесселя п-ого порядка, 1 - параметр преобразования.
Правая часть уравнения (5) после аналогичного преобразования принимает вид:
- ^(r • Jn (p = r= z))= f Kn (p= *0 • Jn (lr) d^-S(z), (7)
r dr J
где
0
^ 1 3
Kn (P, = j (p) f -T“(r ■ jn (t, r, z))' Jn (kr) ■ rdr -
j r (jr
= j(P) • Fn (Ф0) • fn W,
я
fn (^) = fir(r 'S(r _ R))J n (kr) dr = R
J dr
dJn(X■r)
dr
r=R
\Jn _! {%■ R)-Jn+1 (l-R)J
r
n
0
В соответствии с (5) и (6) уравнение (4) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка.
й 2Я хп (p, ^ Х)
-X 2 • Я хп ^ X, г) = - Кп (p, X)-5 (г) . (8)
Яп (р,I,г), ^
Сп (р, X) • оЬ(Хг)-
^ е Хх
— - -ц(г)
(9)
Ягп (р, X, г) = Кп(рр^- •
Сп (р, X) • ей (^г)-
, —Хх
2
(10)
С 008 (п ■ ф)
0 п=0
С(р, А,) • оЬ (Хг) -
-Хх
(11)
йХ.
Г (
Яг (/, г, Ф, г) = ]-
дг
йг + Б,
где Б - произвольная постоянная интегрирования.
Для сохранения пространственно-временного подобия векторов электромагнитного поля при переходе из одной выделенной области в другую принимается, что Б = 0.
Итак, подставляя (11) в (12), определяем, что
й 3 п (^ • г)
я(1)( p, п ф, г) = |Х Кп (P, ^)- йг
0 п=0
< 008 (п • ф)
-кг
С(р, X) • 8Ь (Хг) --
(13)
X
-йХ.
1 9 ( дЯх (р, г, ф, г) Л 1 9 Ях (р, г, ф, г)
г дг
дг
д Ях (P, г, Ф, г) 2
Эф2
= - р^0 У- Ях (P, г, Ф, г)
Интеграл уравнения (8) с учётом симметрии относительно г = 0 имеет вид:
где Сп (р, X) - произвольная постоянная интегрирования.
Согласно симметрии принятой расчётной модели, дальнейшее рассмотрение будет проводиться для верхнего полупространства г > 0. Поэтому выражение (9) можно переписать в виде непрерывной функциональной зависимости (без ступени Хевисайда!):
Результат (10) необходимо последовательно подставить в выражения (6) и (4).
В конечном итоге находим нормальную компоненту напряжённости магнитного поля, возбуждаемого в рассматриваемой системе.
Для удобства в дальнейших вычислениях пометим выходные результаты для рассматриваемой области верхним индексом - (1).
* да
я(1) (P, ^ Ф, г) = | X Кп (P, Х)3 п (Хг) х
Из уравнений Максвелла (1) определяем г-компоненту напряжённости магнитного поля.
■ дЯг (/, г, ф, г)
(12)
Так же как и ранее, интеграл уравнения (14) ищем в виде разложений (4) и (6).
Опуская промежуточные преобразования, сразу запишем дифференциальное уравнение для образа г-составляющей напряжённости магнитного поля.
й2 Я гп (р, X, г) 2 .
-----гп-2----' - д2(р,X) • Ягп(р,^,г) = 0, (15)
йг
где д(р,Х) = X2 + р/и0у) - постоянная распространения поля в металле по оси аппликат.
Общий интеграл однородного уравнения второго порядка есть линейная комбинация фундаментальных решений ~е±д (р’ Х)'г.
Подставляя её в разложение (4) и интеграл Фурье-Бесселевого преобразования (6), находим, что
ТО г
ЯХ2)(р,г, ф, г) = [ ЛБщ(р,X) ■ ед(р,Х>г +
0п=0 (16)
+ Б2п(р,X) ■ е- д(р,^)'г]• оо8(пф) • 3 п(Хг)-ХйХ, где 0-12п(Х) - неизвестные произвольные постоянные интегрирования.
Найдём г-компоненту напряжённости магнитного поля.
Использование интегрального соотношения (12) требует обоснования, поскольку для проводящей среды исходные уравнения Максвелла (1) содержат компоненты индуцированного тока.
Исходя из физических соображений, можно придти к определённым заключениям.
Очевидно, что для г-составляющей тока и напряжённости электрического поля - ,/г(2) ~ 0 и Ег(2) ~ 0.
С учётом этого из уравнений Максвелла (1) в принятой системе координат получаем, что
^ (г •Я £2)( p, ^ Ф, х))-
Е2)( р, г, Ф, г)
\ дЯ((2\р, г, ф, г) ' Зф
= 0;
(17)
дг
= р -^0 • Я(2)(р,г,ф,г),
2. Область - металл листа, И < г < (И + й).
Здесь система Максвелла (1) приводит к следующему уравнению для нормальной компоненты напряжённости магнитного поля:
где Еф(2) (р, г, ф, х) - азимутальная компонента вектора напряжённости электрического поля.
Как показали предыдущие вычисления, радиальными компонентами вихревых токов и, соответственно, электрической напряжённости, возбуждаемыми в металле листа, можно пренебречь.
Тогда соответствующее уравнение Максвелла запишется в виде:
1 5Я(2>(р,г,ф,г) ПФ,г) я 0 (18)
г Зф дг
Комбинация выражений (18) и (12) приводит к интегральной связи (12), где произвольная постоянная принимается равной нулю.
В этом случае при переходе из одной выделенной области в другую обеспечивается сохранение подобия векторов электромагнитного поля.
2
г
Итак, подставляя (16) в (12), находим, что
Я^Р^, r, ф, z) = I" V*d J n ^ r ^ • cos (n-ф) X
dr
0 n=0
(19)
“D-п(P,X)e qip,X)'Z -D2n(p,^)e-q(M>zК
д( p, ^)
3. Область над листом металла, (И + й) < х <<х>. Здесь х-компонента напряжённости магнитного поля должна удовлетворять уравнению в частных производных.
- r Я (p, ^ Ф, z) з2 яz(p, ^ Ф, z)
r дг I
дг
2
r
дф
2
(20)
д 2 Яz (P, r, ф, z) dz 2
= 0.
Интеграл уравнения (20) идентичен выражению (16) при у = 0.
Удовлетворяя условию ограниченности при z—►да, записываем формулу для z-составляющей напряжённости магнитного поля под листовым металлом.
^ ТО
(p, r, ф, z) = j XGn (P, ^) •e ~X'Z х (21) 0 n=0 ()
х cos (n • ф) • Jn (Х • r) • X dX, где Gn(p, X) - неизвестная произвольная постоянная интегрирования.
С помощью (21) и (12) определяем радиальную составляющую напряжённости магнитного поля.
яr3)(p, r, Ф, z) = -{Х Gn (P, • e ^Z;
0 n=0
dJn r)
(22)
dr
cos (« • ф) dX.
z = h.
- Xh
Kn (p, X) • |C« (p, X)ch(Xh) + 0.З • e = D-« (p, X)exh + D2« (p, X)e-xh ]-X.
Kn (P, X)
= 1di« (P, ^)e
-D2« (p, X)e- q( p,X)h
(p, X)sh(Xh) - 0.Зє
q(p,X)-h _
- Xh
q( p, 'x)
z = h + d.
= \D1n (p, X) • eq( pX )(h+d) +
+D2n(p,X) • e - q(p,x)(h+d)]
- G ■ e~x(h+d)
n
D-n(P,X) • eq(p,X)(h+d) - D2n(p,X) • e - q(p,X)(h+d)]•
д( р, X)
Нас интересуют индуцированные токи в низкочастотном режиме, где (ю г) << 1 и д (р, X) ~ X.
Из системы (23) находим, что
К (р, >0
D-n (P, ^) = 0, D2 (p, X) =-
2Х
(24)
В каждой из выделенных областей записаны выражения для двух составляющих напряженности магнитного поля: нормальная и тангенциальная. Поскольку все области - не магнитны, непрерывными на разделяющих их границах должны быть как нормальные, так и тангенциальные компоненты напряжённости.
Из равенств непрерывных составляющих векторов электромагнитного поля на границах между выделенными областями получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных интегрирования.
В выражении (24) раскроем Кп (р, X) (зависимость из (7)).
Затем (24) подставим в формулу (19). Результат подстановки перенесём в уравнение (18). Из (18) найдём азимутальную компоненту напряжённости электрического поля. Помножим её на удельную электропроводность металла листа - у. Результат проинтегрируем по г є [0, -d].
После перехода в пространство оригиналов и введения общепринятых обозначений получим аналитическую пространственно-временную зависимость для линейной плотности азимутальной составляющей тока, индуцированного низкочастотным магнитным полем "разомкнутого" витка индуктора в каждом из тонкостенных листовых металлов
J(2)(t r ф) _ * j) . Г у Fn(Ф0) fnWe
Ф ^ r ^ -р] dt 1> -
■Xh
0 n=0
: - - e W ) d J n (Xr) cos («ф) dX. dr
(2З)
В развёрнутом виде формула (2З) приобретает вид:
j;2>(ф)-tR j *
Ф (8d2 j dt
jZF«(Ф0) J « + 1
(XR) - J« _-(XR)]
0 «=0
- - e-ld )
X
(26)
\j«+i(Xt) - J«_1(Xr-)]•e
cos («ф) dX.
ВЫВОДЫ
Получены основные зависимости для расчёта пространственно-временного распределения вихревых токов, возбуждаемых полем плоского "незамкнутого" кругового витка, расположенного между двумя параллельными плоскими тонкостенными проводниками.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Батыгин Ю.В. Особенности токов, индуцированных низкочастотным полем одновиткового соленоида в плоских листовых металлах / Ю.В. Батыгин, В.И. Лавинский, Е.А. Чаплыгин // Електротехніка і електромеханіка. - 200З. - № 3. - С. 69-73.
2. Гнатов А.В. Прогрессивные технологии. Теория и эксперимент притяжения тонкостенных металлов импульсными магнитными полями: монография / А.В. Гнатов, Ю.В. Батыгин, А.Н. Туренко. - LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. - 238 с.
3. Батыгин Ю.В. Вихревые токи в плоских листовых металлических заготовках / Ю.В. Батыгин, Е.А Чаплыгин // Електротехніка і електромеханіка. - 2006. - № З. - С. З4-З9.
4. Гнатов А.В. Расчет электромагнитных процессов в индукционной индукторной системе с массивным экраном конечной толщины / А.В. Гнатов // Електротехніка і електромеханіка. - 2009. - № З. - С. З9-62.
З. Гнатов А.В. Электромагнитные процессы в индукционной индукторной системе с одновитковым соленоидом, массивным экраном и тонкостенной листовой заготовкой / А.В. Гнатов // Електротехніка і електромеханіка. - 2009. -№ 6. - С. 46-49.
6. Батыгин Ю.В. Цилиндрический виток конечной ширины с разрезом над идеально проводящим массивным проводником / Ю.В. Батыгин, А.В. Гнатов, Д.О. Смирнов // Електротехніка і електромеханіка. - 2011. - № 2. - С. З6-60.
7. Шнеерсон Г.А. Поля и переходные процессы в аппаратуре сверх сильных токов / Г.А. Шнеерсон. - [2-е изд.] - М.: Энергоатомиздат, 1992. - 200 с.
8. Мэтьюз Дж. Математические методы физики / Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. Пер. с англ. канд. физ.-мат наук В.П. Крайнова. М: Атомиздат, 1972. - 399 с.
Bibliography (transliterated): 1. Batygin Yu.V. Osobennosti tokov, inducirovannyh nizkochastotnym polem odnovitkovogo solenoida v ploskih listovyh metallah / Yu.V. Batygin, V.I. Lavinskij, E.A. Chaplygin // Elektrotehnlka 1 elektromehanlka. - 200З. - № 3. - S. 69-73. 2. Gnatov A.V. Progressivnye tehnologii. Teoriya i 'eksperiment prityazheniya tonkostennyh metallov impul'snymi magnitnymi polyami: monografiya / A.V. Gnatov, Yu.V. Batygin, A.N. Turenko. - LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. - 238 s. 3. Batygin Yu.V. Vi-hrevye toki v ploskih listovyh metallicheskih zagotovkah / Yu.V. Batygin, E.A Chaplygin / Elektrotehnlka 1 elektromehanlka. - 2006. - № З. -
5. З4-З9. 4. Gnatov A.V. Raschet ' elektromagnitnyh processov v indukcionnoj induktornoj sisteme s massivnym 'ekranom konechnoj
tolschiny / A.V. Gnatov // Elektrotehnlka 1 elektromehanlka. - 2009. -№5. - S. 59-62. 5. Gnatov A.V. 'Elektromagnitnye processy v indukcionnoj induktornoj sisteme s odnovitkovym solenoidom, massivnym 'ekranom i tonkostennoj listovoj zagotovkoj / A.V. Gnatov // Elektrotehnlka 1 elektromehanlka. - 2009. - № 6. - S. 46-49. 6. Batygin Yu.V. Cilindricheskij vitok konechnoj shiriny s razrezom nad ideal'no provodyaschim massivnym provodnikom / Yu.V. Batygin, A.V. Gnatov, D.O. Smirnov // Elektrotehnlka 1 elektromehanlka. - 2011. - № 2. - S. 56-60. 7. Shneerson G.A. Polya i perehodnye processy v apparature sverh sil'nyh tokov / G.A. Shneerson. - [2-e izd.] - M.: 'Energoatomiz-dat, 1992. - 200 s. 8. M'et'yuz Dzh. Matematicheskie metody fiziki / Dzh. M'et'yuz, R. Uoker. Per. s angl. kand. fiz.-mat nauk V.P. Krajnova. M: Atomizdat, 1972. - 399 s.
Поступила 25.06.2012
Батыгин Юрий Викторович, д.т.н., проф.,
Харьковский национальный автомобильно-дорожный
университет
кафедра физики
61002, Харьков, ул. Петровского, 25
тел. (057) 7003853, e-mail: batygin48@mail.ru
Гнатов АндрейВикторович, к.т.н., доц.
Чаплыгин Евгений Александрович, к.т.н., доц., СмирновДмитрий Олегович
Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет
кафедра автомобильной электроники 61002, Харьков, ул. Петровского, 25 тел. (057) 7003852, e-mail: kalifus@yandex.ru
Batygin Yu.V., Gnatov A.V., Chaplygin E.A., Smirnov Dm.O. Electromagnetic processes in an inductor induction inductive circular-turn system with a cut between two thin-walled metal sheets.
The article presents research on electrodynamic processes in a system with an "open" single-turn cylindrical coil and two parallel flat thin-walled conductors located symmetrically on the both sides of the coil. The basic relations for calculating spacetime distribution of eddy currents in the considered inductor induction system are obtained.
Key words - magnetic pulse technology, electromagnetic processes, inductor induction system, thin-walled sheet metal.
