CC BY
13
1 4ß\
ß\ = ß2, Сха2 = ~—2 • Из условия r > 0 следует
С1 > 0, если ß1 > 0, и можно положить а1 =
2ß
а2 =-. Без ущерба для общности результата можно
2Д
г
выбрать а = 0, тогда, полагая а1 =—, окончательно
получаем r = r0 ch — • Существует ещё одно чисто
ком-
r0
плексное решение уравнения (18) г = I— 4, однако нас интересуют только действительные значения функции
г(—4) . Подставляя полученное решение г = г0ек—4 в
го
формулу (17), получаем следующее выражение для скалярной кривизны Я = — . Теорема доказана.
Го2
Из результата теоремы 2 следует, что гиперсферическое пространство расширяется почти по экспоненциальному закону, т.е. радиус кривизны пространства возрастает, как
г = г0 ек— . Однако сама скалярная кривизна Я не за-
Г
висит от параметра х4 и остается всюду постоянной. Согласно соотношению (9) это означает, что плотность массы материи, заполняющей расширяющееся пространство, также остается постоянной.
В настоящее время в космологии надежно установлены два эмпирических факта: это закон Хаббла о разбегании галактик почти по экспоненциальному закону и существование в нашей вселенной нового вида материи, так называемой «темной энергии», составляющей приблизительно 70%-80% от всей массы вещества во вселенной и характеризующейся постоянной плотностью массы во всем пространстве, не зависящей от времени [3]. Таким образом, полученные результаты приводят к заключению, что рассматриваемая математическая модель гиперсферического пространства с физической точки зрения может описывать расширяющуюся по закону Хаббла вселенную, равномерно заполненную темной энергией
[4].
Список литературы:
1. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, Современная геометрия. М., Наука, 1979, с.760.
2. А.А. Фридман, Избранные труды. М., Наука, 1966, с.229.
3. А.Д. Чернин, Темная энергия и всемирное антитяготение. УФН, т.178, №3, 2008, с.267-298.
4. Н.Н. Попов, И.И. Мороз, Введение в геометрическую теорию гравитации. LAP LAMBERT Academic Publishing ISBN: 978-3-659-46571-0, 2013.
С
e
С
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ И НЕОБРАТИМЫЕ ПОТЕРИ
Придубков Павел Яковлевич
Канд. техн. наук, доцент кафедры электротехники и эл. маш. г. Харьков
Вступление. Определение электрических и магнитных полей, необходимое для расчёта параметров электрических цепей электротехнических устройств, базируется на основных уравнениях электродинамики - уравнениях Максвелла. Электромагнитное поле описывается четырьмя векторами: напряжённостью электрического поля E, напряжённостью магнитного поля H, индукцией электрического поля D и индукцией магнитного поля B [5, с. 558].
В однородной изотропной среде число векторов поля, необходимых для описания электромагнитных явлений, уменьшается до двух, так как векторы поля в этом случае пропорциональны друг другу:
й = £aE , Б = ^ . (1)
Коэффициенты £а и в выражениях (1) являются соответственно диэлектрической и магнитной про-ницаемостями среды. Вакуум рассматривается как однородная изотропная среда, характеризуемая электрической £0 = 8,86 • 10 12 Ф/м и магнитной р0 = 4п • 107 Гн/м
постоянными.
Изменение абсолютной диэлектрической проницаемости (£а = £0£г) может быть обусловлено, в том числе
и движением связанных зарядов 05р, то есть изменением
вектора поляризации Р среды:
дР д dQ
sp
д{ д СБ
Данное изменение связанно с необратимыми тепловыми потерями, которые оказывают существенное влияние на режимы работы электротехнических устройств [4, с. 246]. Эффективность работы этих устройств во многом зависит и от того, насколько учтены и оптимизированы необратимые преобразования энергии при поляризации среды распространения электромагнитного поля. Процесс описания преобразования диэлектрической проницаемости среды (поляризации) значительно упрощается, а значит, повышается его точность при использовании электромагнитных потенциалов.
Стало быть, уточнение системы уравнений, описывающих основные уравнения Максвелла с помощью двух отдельных неоднородных уравнений для составляющих четырёхмерного электромагнитного потенциала, учитывающих необратимые потери при поляризации среды, является актуальной проблемой. Решение данной проблемы обеспечивает повышение точности расчёта электромагнитного поля и надёжности функционирования электротехнических систем.
Основная часть. Основными уравнениями электродинамики являются уравнения Максвелла:
rot H = — + 5, div D = pQ öt
(2)
и:
rot E = - —, div B - 0. dt
Общим решением уравнения (7) является:
(3)
В теории Максвелла средние значения электрических и магнитных полей определяются векторами E и B . Векторы D и H в общем случае связаны со средними полями соотношениями:
D
: £qE + P
B = Мс (H + J),
f ' = p{E + [vB]},
A
Ma J б dV
= Mifd
4п
r
r
Второе уравнение Максвелла
dB
V
здесь величины Р и и соответственно векторы поляризации и намагничения среды.
Кроме того, в этой же теории (теории Максвелла) предполагается выполнение закона сохранения заряда; для непрерывного распределения заряда он записывается в виде уравнения непрерывности:
^ + ^ 5 = 0, Ж
где: р - плотность заряда;
5 - вектор плотности тока.
Для плотности силы, действующей со стороны электромагнитного поля на свободные заряды и токи, принимается выражение [2, с. 35]:
rot E ---при
й.
постановке в него выражения (5) с одновременной сменой порядка дифференцирования по времени и по пространственным координатам преобразуется следующим образом:
4 - £ ) = о
Соотношение в скобках может быть представлено в виде градиента некоторой функции р, так как ротор градиента тождественно равен нулю, поэтому:
E
dA
dt
- gradp. (8)
(4)
называемой силой Лоренца.
Расчет магнитных полей в областях занятых током осуществляется посредством векторного потенциала магнитного поля. Это векторная величина, плавно изменяющаяся от точки к точке. Его ротор равен вектору магнитной индукции:
B - rotA. (5)
Представление вектора магнитной индукции в виде ротора от вектора-потенциала основывается на том, что дивергенция любого ротора тождественно равна нулю. Так как в соответствии с дифференциальной формой записи принципа непрерывности магнитного потока:
divB - 0, (6)
то подстановка в равенство (6) rotA вместо вектора B дает выражение тождественно равное нулю:
divrotA - 0.
Равенство нулю соотношение divrotA можно пояснить с помощью оператора набла V . В этом случае вместо соотношения rot A записывается выражением [VA] , поэтому divrotA - V[VA]. Векторное произведение [VA] перпендикулярно и к V и к A . Скалярное произведение V на [VA] равно нулю, так как равен нулю косинус угла между V и [VA], стало быть: V[VA] - 0 .
Векторный потенциал, часто используемый в электротехнических расчётах для определения вектора магнитной индукции, в произвольной точке поля связан с плотностью тока в этой же точке уравнение Пуассона:
Формулами (5) и (8) векторы электромагнитного поля Е и В выражаются через четыре скалярные функции: составляющими векторного потенциала магнитного поля Ах, А у, Ах и скалярным потенциалом электрического поля р.
Задание потенциалов А и р однозначно определяет электромагнитное поле. Но одному и тому же полю могут отвечать разные комбинации потенциалов А и р. Если к вектору А прибавить градиент некоторой функ-
, дТ
ции Т , а из р вычисть —, то значения векторов напряжённости электрического поля Е и магнитной индукции В, определяемых формулами (5) и (8), не изменяются. Стало быть, вышеуказанные операции не меняют силы (4), действующей на заряд в электромагнитном поле. Это означает, что реальный смысл имеют только те величины, которые инвариантны по отношению к преобразованию потенциалов:
A' - A - grad f, р' - р-
df dt
(9)
V2 A - -Ma б .
(7)
Инвариантность относительно преобразования (9) называется градиентной или калибровочной. Данное преобразование позволяет добавить к векторному потенциалу любой постоянный вектор, а к скалярному - произвольную константу. Причём функцию Т всегда можно выбрать так, чтобы скалярный потенциал обратился в нуль. Следовательно, произвольное электромагнитное поле определяется тремя независимыми функциями.
В четырёхмерном пространстве (в мире Минков-ского) вектор А и скаляр р образуют четырёхмерный вектор:
Ам =(А,А4), м = 1,2,3,4.
Пространственными компонентами данного четы-рёхвектора А являются составляющие трёхмерного векторного потенциала магнитного поля:
А = 1А, + ¿А2 + кА3,
V
а временной компонентой - скалярный потенциал электрического поля [2, с. 300]:
А - р
А4 - "С.
Связь между векторами Е, В и А , р определяемая формулой (5) и получаемым из второго уравнения Максвелла выражением (8), в четырёхмерной записи принимает следующий вид:
УА + -! р0. с2
Из последнего уравнения следует:
VA -
1 dp
c2 dt
(10)
f =dAv
Mv dx,,
дДм
dx„
Уравнение Максвелла, выражающее связь между истоком напряжённости электрического поля и плотностью зарядов в той же точке поля:
УЕ - Р,
где: Р - компоненты четырёхтензора электромаг- также может быть записано с помощью потенциалов р и
нитного поля, сокращённая запись которого описывается выражением:
/ : Л
В, -—Е
V С ,
В электротехнических расчетах векторный потенциал может быть использован для определения вектора В магнитной индукции (5) или магнитного потока Ф . Вектор Н напряженности магнитного поля в однородной среде также принято определять через векторный потенциал.
Использование потенциалов А и р позволяет свести систему уравнений Максвелла, состоящую из четырёх уравнений, к двум взаимосвязанным уравнениям.
При распространении электромагнитного поля в среде, свойства которой характеризуются постоянными
величинами £0 и Мо, и в которой имеются свободные заряды, первое уравнение Максвелла выглядит следующим образом:
-1 ЖЕ + Мо5 -[УВ].
С2 д1
Это уравнение можно записать через потенциалы,
дА
учитывая, что Е - -У р —— и В - [УА]:
1
С2
V (
d2A^
dt dt2
- Мсб - [v[va ]],
где: [V[VA]]-V(VA)-V2 A.
Следовательно:
c2
2ДЛ
V dp-d2A
dt dt2
- m05 - V(VA)-V2A.
Полученное уравнение можно разделить на два векторных [1, с. 207]:
V2 A
1 d!A
c2 dt2
-Мсб
А :
У 2р + У дА —Р., д1 £ о
или, принимая во внимание соотношение (10):
V 2р-
d( с2 dt2
Р
£г
В четырёхмерной записи условие Лоренца имеет вид:
Ум А м - 0.
Четырёхмерной дивергенцией вектора Ам является скалярное произведение четырёхмерного оператора У и четырёхвектора Ам, описываемое соотношением:
„ . дА дА дА дА4 УмАм -—1 + —2 + —3 + —4, м м дх дх2 дх3 дх4
то есть:
V А - dAx -^ - dAz - dp). M M dx dy dz d(jct)
Следовательно:
V a -VA - dAt
V MA M VA - d(jct),
Р
c
здесь: А - А4 - — - временная компонента четырёх-
мерного потенциала,
Х4 - —С - временная координата четырёхмерного пространства.
Стало быть, временной компоненте четырёхмерной дивергенции У А^ соответствует выражение:
дА4 _ дА( _ д f р )
dx4 d(jct) dt V С2
Скорость света может быть выражена с помощью электрической и магнитной постоянных:
1 дА4 д(мо £ ор)
c -
у(уа+с2 др)-0.
Соотношение в скобках последнего уравнения представляет собой (соответствует) условие Лоренца в вакууме, позволяющее определить компоненты четырёхмерного потенциала [3, с. 115]:
л/М
поэтому:
с £ с
dx,
dt
Так как М0 - const и £0 - const, то:
Vм А М -VA - Мс£ с dp,
то есть:
V A -VA--!^ vm м VA с2 dt .
£
с
1
и
Таким образом, условие Лоренца в вакууме описывается соотношением:
дф
точнее:
УД + -1 дф = 0.или: УД + М0£0 —ф = 0, с2 д!
д(Мо £ оФ)
УД + ■
д!
= 0.
д!
ЧЛ , -(Мг £ Г Мо£ оф) 0
иначе: УД Н--= 0,
(11)
то есть: УД +
д!
д (Мг£гФЛ
д!
V с
= 0.
у
[УБ] = £аМа дЕ + Маб . д!
(13)
[У[УД]] = £ аМа д (-Уф-дД] + Ма 6, д!V д! у
или:
[У[УД]]=-£ аМа У дф- £ аМа д!
д2 Д
д!
2
+ Ма6 .
При распространении электромагнитного поля в материальной среде, характеризуемой параметрами £а = £г£0 и Ма = МгМо, условию Лоренца соответствует выражение:
УД + д(Ма £ аф) = 0,
Из выражения (12), описывающего условие Лоренца среды, у которой диэлектрическая и магнитная проницаемости являются постоянными величинами, вытекает:
^ = УД.
д! £ аМа
Стало быть, первое уравнение Максвелла, выраженное с помощью векторного потенциала магнитного пол, имеет следующий вид:
д 2Д
'а!"а
[У[УД]]=У(УД )-£ аМа
д!
+ Ма6 .
Если диэлектрическая £ и магнитная Ма проницаемости являются величинами постоянными, то данное условие имеет вид [5, с. 558]:
УД + £ аМа дф = 0, (12)
д!
£ г Мг дФ 0 или: УД Н--~--= 0 .
с2 д!
В этом случае первое уравнение Максвелла, описывающее процессы в материальной среде, имеет следующий вид:
Преобразованию двойного векторного произведения согласно положениям векторной алгебры соответствует тождество:
[у[уд]]=у(уд )-у2 д,
следовательно, первому уравнению Максвелла соответствует равенство:
У2Д - £аМ
д2 Д
д!2
-Ма 6
Если в уравнении Максвелла (УЕ = р/£а ), описывающее связь между истоком напряжённости электрического поля и плотностью зарядов в той же точке поля, напряжённость выразить через потенциалы
(Е = -Уф - дД/ д!), то данное уравнение преобразуется следующим образом:
Чтобы составить уравнение (13) относительно электромагнитных потенциалов необходимо в его левую часть, используя выражение (5), вместо вектора Б подставить пространственную производную от векторного
потенциала [УД ]:
[У[УД]]= £ аМа дЕ + Ма6 , д!
в правой части того же уравнения (13) напряжённость Е электрического поля надо выразить в соответствии с формулой (8) пространственной производной скалярного потенциала и временной производной
(р у дДЛ
векторного, то есть Е = - у ф--
V д! у
У 2ф + У дД д!
Р
(14)
Из соотношения (12), то есть условия Лоренца в материальной среде, вытекает:
дф 'аМа д'
поэтому уравнению (14) соответствует выражение:
УД = -£ аМа
Р
ф д!2 £ а
В том случае если проницаемости £а и Ма не постоянные величины, например, £ является функцией
времени, то в соответствии с выражением (11) условие Лоренца приобретает иной вид:
дф д£ а УД + £ аМ^ + Ма ф = 0, д! д!
отсюда: дф д£ а
УД = -£ аМ^ - М^-г Ф, (15) д! д!
Первое уравнение Максвелла при этом описывает соотношением:
[УБ] = £аМа -е + Ма ^Е + Ма6 . (16) д! д!
дД
Так как Б = [УД], Е = -Уф- —, то:
d
dA ^
[V[VA]]-£ aMa d I - V(-dA )-Ma
d£.
r
dt
Y7 dA) _ _ VP— - Ma6 . dt )
Но [V[VA]] - V(VA) - V2 A
V(VA)-V2 A --V£ aMa dP
dt
£ aM
d2 A
i2
V(VA )-V2 A --V
dp
£aM^ - M dt
dt
или:
d£ Л
a dt
-VM£
V
поэтому: d£
dt
P-M
-P
£ aMa
)
dA
dt2
■ — i
d£ a dA dt dt
d£ a dA dt dt
- Ma6
- Ma6 .
Учитывая соотношение (15):
V(VA)- V 2 A - V(VA)- £ aMa d2A - Ma ^ dA - Ma б ,
dt2
следовательно:
dt dt
„2- d2A d£a dA _ V2A - £aMa —Г" - Ma - -Ma6 . (17)
dt2
dt dt
Четвёртое уравнение Максвелла УЕ - р/£а , то есть дифференциальная форма теоремы Гаусса, в том случае если £а является функцией времени, записывается с помощью потенциалов следующим образом:
V
vr dA) Р d ^д Р -Vp--- —, точнее: -V2p--VA - —
dt
dt
В последнем уравнении следует использовать значение величины УА, определённое в выражение (15), тогда:
d I
-V 2р--
dt
dp
£ aMa — a a dt
Ma
d£
dt p) £ a
или:
V 2p- £ aMa
dp
р
--—. (18)
й2 ■ а д1 д1 £а Выводы. Таким образом, уравнения (17) и (18) в совокупности с уравнением (15) образуют систему уравнений, полностью эквивалентную уравнениям Максвелла и учитывающую изменения во времени диэлектрической проницаемости, то есть активные потери в диэлектрике, что обеспечивает повышение точности расчёта электромагнитного поля и надёжности функционирования электротехнических систем.
Показано, что необратимые диэлектрические потери обусловлены движением связанных зарядов, то есть
изменением диэлектрической проницаемости среды, установлена система уравнений электромагнитных потенциалов эквивалентная уравнениям Максвелла, а также зависимость этой системы от изменения диэлектрической проницаемости среды.
ELECTROMAGNETIC POTENTIALS AND IRREVERSIBLE LOSSES
It is shown, that the irreversible dielectric losses are conditioned by motion of the linked charges that is by the change of dielectric permeability of environment, the system of equalizations of electromagnetic potentials is set equivalent to equalizations of Maxwell, and also dependence of this system on the change of dielectric permeability of environment.
Список литературы:
1. Зоммерфельд А. Электродинамика: М.: Издательство иностранной литературы, 1958. - 502 с.
2. Меерович Э.А., Мейерович Б.Э. Методы релятивистской электродинамики в электротехнике и электрофизике: М.: Энергоатомиздат, 1987. - 232 с.
3. Паули В. Теория относительности: М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1991. — 328 с.
4. Сукачев А.П. Теоретические основы электротехники. Часть II Физические Основы электротехники: Харьков, 1959. - 460 с.
5. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Издательство Физико-Математической литературы, 2003. - 616 с.
a
a
)
a
a
V
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННОЙ ВАЖНОСТИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ К ДИСКРИМИНАЦИИ ДАННЫХ1
Сазонова Антонина Станиславовна
Аспирант кафедры математического анализа АлтГУ, г. Барнаул
Пусть имеется п объектов, каждый из которых имеет р числовых показателей Х1,.. .ХР, и q качественных категорированных показателей У! с категориями соответственно, /=1,...^. Предположим, задано также разбиение рассматриваемых объектов на т кластеров. Нам не
важно, как именно построен каждый из кластеров, но нам известен его «объективный» (установленный экспертом) ранг, который мы временно примем за числовую метку соответствующего кластера. Подобно тому, как это было сделано в [2, с. 55], определим для каждого из объектов
1Работа выполнена в рамках программы стратегического развития ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» на 2012-2016 годы «Развитие Алтайского государственного университета в целях модернизации экономики и социальной сферы Алтайского края и регионов Сибири» (мероприятие «Конкурс грантов-2014», № 2014.312.1.4)
