CC BY
52
ЭНЕРГЕТИКА
УДК 537.8 Е. Н. МЕНЬШОВ
РОЛЬ КАЛИБРОВКИ ЛОРЕНЦА В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Разработан метод преобразования волновых уравнений электромагнитного поля (ЭМП), приводящий к выводу преобразований Лоренца, в котором непосредственно используется калибровка Лоренца. Установлено, что калибровка Лоренца определяет преобразования Лоренца волновых уравнений.
Ключевые слова: преобразования Лоренца, калибровка Лоренца, уравнение непрерывности тока, плотность тока переноса, волновое уравнение, оператор Даламбера, оператор набла
Введение
Теория относительности (СТО) требует, чтобы уравнения, выражающие законы природы, были инвариантными относительно преобразования Лоренца [1]. Преобразования Лоренца определяются многими путями. Если в СТО преобразования Лоренца вводятся на основе двух постулатов (постоянства скорости света и принципа относительности), то впервые Лоренц получил свои преобразования непосредственно из решений уравнений Максвелла и сделал важное математическое открытие, что волновое уравнение Даламбера инвариантно относительно преобразований Лоренца.
Калибровка Лоренца в современной теории ЭМП предназначена для удобства представления волновых уравнений электродинамических потенциалов в одинаковой форме [2]. При этом в качестве критериев инвариантности в СТО используется математический аппарат четырёхмерного мира, в котором калибровка Лоренца констатируется в форме релятивистки инвариантном четырёхмерном уравнении дивергенции, а переход от одной координаты к другой в четырёхмерном мире производится при помощи преобразований Лоренца.
В предлагаемой работе выводится из тени важное свойство лоренцевой калибровки, которое может иметь эвристическое значение для развития теории ЭМП. Для этого разработан ещё один способ вывода преобразований Лоренца из уравнений ЭМП на основе подхода, предложенного в [3].
Основная часть
Для определения решения системы уравнений Максвелла её приводят к волновым уравнениям. Например, относительно характеристик ЭМП в вакууме - для напряжённости электрического поля Е и индукции магнитного поля В соответственно:
1 д2Е (д!\ Vp
дь2
ГП^Р
, 1 д2В
(2)
где р — объёмная плотность заряда; V - оператор набла; J - плотность тока. Причём I и р связаны уравнением непрерывности тока (законом сохранения заряда)
^ = - £ (3)
Пусть источником ЭМП будет движущийся со скоростью V точечный заряд д, положение которого в пространстве задаётся радиус-вектором Я = г - г0(0, где г — радиус-вектор неподвижной точки; г0(0 - радиус-вектор заряда, объёмная плотность которого р = д5( Я); 5(Я) - функция Дирака. Плотность тока переноса выражается через плотность заряда следующим образом:
1 = р*. (4)
© Меньшов Е. Н., 2019
Волновые уравнения для электродинамических потенциалов при калибровке Лоренца принимают подобный вид:
div4+¿ff=0 (5)
= (6)
*ф-= (7)
Если v = v0 =const, то непосредственно из подобности уравнений (6) и (7) электродинамические потенциалы связаны формулой
Л = (^)ф. (8)
Подставив (8) в формулу калибровки Лоренца (5), получим важное строгое преобразование производной по времени скалярного потенциала для равномерно движущегося заряда:
^ = -(^ф) = -(^)ф- . (9)
Выражение (9) означает, что потенциал ф является функцией от аргумента R = r - v0t, и взятие производной по времени от ф проводится как от сложной функции ф(К(г, t))= ф(Х(х, t), Y (у, t),Z(z, t)), где (X = х - v0xt, Y = у - v0yt,Z = z - v0zt) координаты радиус-вектора R(r, t) , соединяющего заряд с точкой, в которой определяется ЭМП. Поэтому в соответствии с (9) оператор дифференцирования по времени в координатной форме примет вид
д , dX д , dY д , dZ д ,.
— =-(v0V) =--+--+--, (10)
dt к " J dt дХ dt dY dt dZ ^ v J
и соответственно оператор Даламбера Q = принимает вид V2 - . При этом
волновое уравнение (7) преобразуется к следующему виду:
(v2-^^)^. (11)
Пусть теперь вектор скорости заряда ориентирован в направлении координатной оси ОХ неподвижной системы отсчёта, то v0 = v0i, а левый оператор уравнения (11) в координатной форме приводится к виду
, (v0V)2 d2 ( fv0^2\ д2 д2 д2 д2 д2
v2-— = wA1-(-))+W2+W2 = (12)
где А' - эквивалентный оператор Лапласа в новой инерциальной системе отсчёта (ИСО) координат.
Операторное уравнение (12) характеризует путь преобразования оператора Даламбера Q к эквивалентному оператору Лапласа А' и приводит к следующим преобразованиям координат:
*'=т==? = Т=% y' = Y = y, z'=Z = z, (13)
которые совпадают с преобразованиями Лоренца [1, 2].
Представив объёмную плотность p(R) точечного заряда через функцию Дирака qd( R) = qd(X)8(Y)8(Z), в которую подставлены новые координаты из (13) и применив процедуру преобразования аргумента обобщённой функции, в результате получим формулу преобразования для плотности заряда
р(Я) = L' JT-8( y')b(z') = = (14)
v v ЯМ
которая совпадает с известной формулой, соответствующей преобразованиям Лоренца [2]. Здесь p'(R') — объёмная плотность точечного заряда в собственной системе координат (в подвижной ИСО, которая перемещается со скоростью и0).
Уравнение (11) с учётом (12) и (14) примет вид
Д'ф(й') =--рВЦ. (15)
Из (15) следует, что скалярный потенциал преобразуется по закону
ф«о= ф'(к,)
м^г
который совпадает с законом преобразования Лоренца [2]. При этом уравнение (15) приобретает вид, аналогичный уравнению Пуассона для электростатического поля
'(я')
ду(й') = -р—. (16)
£о
В собственной системе отсчёта = 0, поэтому векторный потенциал А' = 0. Подставляя (13) в инвариант преобразования Лоренца [1]
I2 - х2 -у2 - г2 = I'2 - х'2 - у'2 - г'2, получим формулу преобразования времени
= г - у0х/с2
Таким образом, изложенный метод преобразования волновых уравнений электродинамических потенциалов переводит уравнения (6)—(7), записанные относительно неподвижной ИСО, в уравнение Пуассона (16), записанное в собственной системе отсчёта. Этот метод работает верно, так как приводит к преобразованиям Лоренца (13).
Соотношение (8) между векторным А и скалярным ф потенциалами в случае произвольной скорости движения заряда получают, например, четырёхмерным преобразованием или путём непосредственного решения уравнений (6)-(7).
Для общего случая установим дополнительные требования, подставив (8) в (6), то получим
■+2 (ЕЙ ■+ £ £ ■+ ££ -- ?£!?) ==-(□*+3 --1о- (17)
которое имеет решение при условии = 0, при этом второе слагаемой становится тождеством. Согласно принципу Даламбера физически реализуемым решением однородного волнового уравнения является функция от «запаздывающего» момента времени V = V - = ^(т); решением
неоднородного волнового уравнения, находящегося в правой части (16), является функция ф(т). Таким образом, «запаздывающий» момент времени т характерен только при ускоренном движении заряда.
В случае кулоновской калибровки «уЛ = 0 проведём преобразования волновых уравнений (1) -(2). Подставив (4) в (3), получим выражение, аналогичное (9)
^=-(^р), (18)
которое будет характеризовать аргумент зависимости р(К), структуру оператора в
координатной форме (10) и уравнение (1) в следующем виде:
= (19)
левый оператор которого преобразуется так же, как (9), а правый преобразуется следующим образом:
+ & + £*) = &'■ + & + £*■) = V- (20)
В формуле (20): / = _/; к' = к; I = Последняя формула выражает условие, что для
вектора I собственной системой отсчёта является неподвижная ИСО (без штрихов). Подставив (14) и (20) в (19) и учтя (12), получим:
Л' +Яу^н^,+=т;
д-(Е; (ЧЕ;/ + -л'е = (21)
В формуле (21) Е'х = Ех; Еу = Еу^1 - ; Е!г = - (у) , так как магнитное поле заряда
равно нулю в подвижной ИСО. Поэтому уравнение (2) преобразуется к виду Л'В' = 0.
Таким образом, на основе уравнения непрерывности тока (3) и уравнения переноса тока (4) проведено преобразование волновых уравнений для силовых характеристик ЭМП Е и В из неподвижной ИСО в подвижную ИСО. Преобразованиями Лоренца (13) выводятся из процедур разработанного метода преобразования.
Заключение
1. Установлено, что преобразования Лоренца волновых уравнений ЭМП выводятся при наличии пары связей между векторно-скалярными характеристиками источников поля и электродинамических потенциалов поля:
и каждая пара может выступать критерием инвариантности волновых уравнений ЭМП относительно преобразования Лоренца.
2. Калибровка Лоренца определяет преобразования Лоренца волновых уравнений ЭМП.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Угаров В. А. Специальная теория относительности. - Москва: Наука, 1977. - 383 с.
2. Фейман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Электродинамика, вып. 6 / Пер. с англ. под ред. Я. А. Смородинского. - Москва: Мир, 1966. - 343 с.
3. Меньшов Е. Н. Метод анализа ЭМП равномерно движущегося заряда на основе модели Максвелла: Схемно-топологические модели активных электрических цепей: синтез, анализ, диагностика: Тр. межд. конф. «КЛИН-2004» (г. Ульяновск, 18-20 мая 2004 г.) / Под общей ред. Л. И. Волгина. - Ульяновск: УлГТУ, 2004. - Т. 4. - С. 97-102.
REFERENCES
1. Ugarov V. A. Special'naya teoriya otnositel'nosti [Special theory of relativity]. Moscow, Nauka Publ., 1977.383 p.
2. Feyman R., Leighton R., Sands M. Fejnmanovskie lekcii po fizike. EHlektrodinamika vol. 6 [The Feynman Lectures on Physics. Electrodynamics, vol. 6]. Per. from ang. by ed. Ya. A. Smorodinsky/ Moscow, Mir Publ., 1966. 343 p.
3. Menshov E. N. Metod analiza EHMP ravnomerno dvizhushchegosya zaryada na osnove modeli Maksvella [Method for analyzing an electromagnetic field of a uniformly moving charge based on the Maxwell model]: Skhemno-topologicheskie modeli aktivnyh ehlektricheskih cepej: sintez, analiz, diagnostika [Circuit-topological models of active electrical circuits: synthesis, analysis, diagnostics]: Tr. mezhd. konf. «KLIN-2004» (g. Ul'yanovsk, 18-20 maya 2004 g.) / Pod obshchej red L. I. Volgina. Ul'yanovsk: UlGTU,
Меньшов Евгений Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электроснабжение» УлГТУ. Имеет публикации в области математического моделирования электромагнитных элементов и систем.
2004, T. 4, pp. 97-102.
Поступила 27.02.2019 г.
