CC BY
3
Паньков, А.А. Электромагнитная связанность композита «пьезоэлектрик/феррит» с начальным напряженным состоянием / А.А. Паньков // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2022. -№ 4. - С. 180-195. DOI: 10.15593/perm.mech/2022.4.16
Pan'kov A.A. Electromagnetic coupling of piezoelectric/ferrite composite with initial stress state. PNRPUMechanics Bulletin, 2022, no. 4, pp. 180-195. DOI: 10.15593/perm.mech/2022.4.16
пермскии политех
ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА
№ 4,2022 PNRPU MECHANICS BULLETIN
https://ered.pstu.ru/index.php/mechanics/index
Научная статья
DOI: Ш.15593/регт.тесЫ2022.4.16 УДК 539.3
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СВЯЗАННОСТЬ КОМПОЗИТА «ПЬЕЗОЭЛЕКТРИК/ФЕРРИТ» С НАЧАЛЬНЫМ НАПРЯЖЕННЫМ СОСТОЯНИЕМ
А.А. Паньков
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Россия
АННОТАЦИЯ
Разработана математическая модель электромагнитотермоупругости для начально-напряженного трансверсально-изотропного композита с пьезоэлектрическими магнитост-рикционными фазами. Для решения связанной краевой задачи электромагнитотермоупругости использован метод функций Грина в рамках обобщенного сингулярного приближения статистической механики композитов с учетом начального напряженного состояния представительной области композита на микро- и макроуровнях. Получено решение задачи «эффективного модуля» для тензоров эффективных упругих, пьезомеханических, маг-нитострикционных свойств, диэлектрических и магнитных проницаемостей, температурных, пироэлектрических, пиромагнитных коэффициентов и (появившимся лишь на макроуровне) электромагнитной и магнитоэлектрической связанностей квазипериодического композита с начальным электромагнитоупругим напряженным состоянием. Решение для искомых тензоров эффективных свойств квазипериодического композита представлено в виде аналитических формул - простых линейных разложений по решениям для тензоров эффективных свойств периодической структуры и статистической смеси, коэффициенты разложений - это коэффициент «периодичности» (корреляции квазипериодической и периодической структур) р и «разупорядоченности» 1-р соответственно. Представлены результаты расчета всех независимых компонент тензоров эффективных коэффициентов электромагнитной и магнитоэлектрической связанностей различных структур (периодической, квазипериодической и статистической смеси) однонаправленно-волокнистого композита «PZT-4/феррит» при осесимметричном тензоре начальной макродеформации композита. Для квазипериодического композита (с начальным макродеформированием) выявлен существенно немонотонный характер зависимостей относительных (к значениям в отсутствие начального напряженного состояния) значений эффективных коэффициентов электромагнитной и магнитоэлектрической связанностей от объемной доли ферритовых волокон. Выявлено, что увеличение абсолютных значений коэффициентов электромагнитной и магнитоэлектрической связанностей композита имеем при отрицательных значениях его начальных осесимметричных осевых макродеформаций. Наиболее существенное влияние оказывает начальная всесторонняя макродеформация в трансверсальной плоскости на коэффициенты трансверсальной магнитоэлектрической связанности композита.
© ПНИПУ
О СТАТЬЕ
Получена: 22 марта 2022 г. Одобрена: 05 декабря 2022 г. Принята к публикации: 12 декабря 2022 г.
Ключевые слова:
композит, эффективные свойства, начальное напряженное состояние, электромагнитоупругость, пьезоэф-фект, магнитострикция, численное моделирование.
© Паньков Андрей Анатольевич - д.ф.-м.н., проф., e-mail: a_a_pankov@mail.ru, : //orcid.org/0000-0001-8477-5206.
Andrey A. Pan'kov - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, e-mail: a_a_pankov@mail.ru, : //orcid.org/0000-0001-8477-5206.
Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
ELECTROMAGNETIC COUPLING OF PIEZOELECTRIC/FERRITE COMPOSITE WITH INITIAL STRESS STATE
A.A. Pan'kov
Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation
ARTICLE INFO ABSTRACT
A mathematical model of electromagnetic thermoelasticity for an initial-stressed transversal-isotropic composite with piezoelectric magnetostrictive phases has been developed. To solve the related boundary value problem of electromagnetic thermoelasticity, the Green function method was used as part of a generalized singular approximation of the statistical mechanics of composites, taking into account the initial stress state of the representative domain of the composite at micro- and macro-levels. The solution of the problem of "effective module" for tensors of effective elastic, piezomechanical, magnetostrictive properties, dielectric permittivity and magnetic permittivity, temperature, pyroelectric, pyromagnetic coefficients and (which appeared only at the macro level) electromagnetic and magnetoelectric couplings of a quasi-periodic composite with an initial electromagnetic elastic state was obtained. The solutions for the desired tensors of effective properties of the quasi-periodic composite are presented in the form of analytical formulas of simple linear decompositions by solutions for tensors of effective properties of the periodic structure and statistical mixture, decomposition coefficients are the coefficient of "periodicity" (correlation of quasi-periodic and periodic structures) p and "disordering" 1-p, respectively. Results of calculation of all independent components of tensors of effective coefficients of electromagnetic and magnetoelectric couplings of different structures (periodic, quasi-periodic and statistical mixture) are presented in unidirectional direction of fibrous composite "PZT-4/ferrite" with axisymmet-ric tensor of initial macrostrain of composite. For a quasi-periodic composite (with initial macrostrain), the significantly non-monotonic nature of the dependencies of relative (to values in the absence of an initial stress state) values of effective coefficients of electromagnetic and magne-toelectric couplings from the volume fraction of ferrite fibers was revealed. It was revealed that we have an increase in the absolute values of the electromagnetic and magnetoelectric coupling coefficients of composite at negative values of its initial axisymmetric axial macrostrains. The most significant effect is the initial comprehensive macrostrain in the transversal plane on the coefficients of the transversal magnetoelectric coupling of the composite.
©PNRPU
Received: 22 March 2022 Approved: 05 December 2022 Accepted for publication: 12 December 2022
Keywords:
composite, effective properties, initial stress state, electromagnetic elasticity, piezoeffect, magnetostriction, numerical modeling.
Введение
Изучение закономерностей и эффектов влияния начального напряженного состояния элементов структуры материала на особенности его последующего нагруже-ния - одна из задач механики композитов [1-9]. Решение этой задачи актуально для различных практических приложений, в частности, ультразвукового неразру-шающего контроля напряженного состояния нагруженных конструкций [10], методов геомеханики и сейсмических исследований [11]. Математическое моделирование и численное решение этой задачи возможно с использованием «линеаризованного подхода» на основе линеаризованных уравнений теории упругости для тела с начальным напряженным состоянием [3; 6; 7; 12; 13]. С использованием этого подхода получены численные решения и осуществлен дисперсионный анализ распространения упругих волн в композитах (конструкциях) с учетом наличия начального напряженного состояния, в частности, осуществлен анализ скорости распространения поверхностных волн в однородном слое на предварительно напряженном неоднородном полупространстве [14], анализ влияния величины начального бокового давления на поверхности полого составного цилиндра на скорость распространения осесимметричной волны [15], анализ влияния величины начального напряженно-
го состояния ортотропной композитной пластины с двумя близко расположенными параллельными цилиндрическими (туннельными) полостями с прямоугольным поперечным сечением на свободные и вынужденные колебания [16]. Для упругих композитов с идеально периодическими начально-напряженными структурами известны асимптотические решения, в частности, когда начальное напряженное состояние слоистой или одно-направленно-волокнистой структуры обусловлено тепловым нагревом [17].
Магнитоэлектрические материалы являются одними из наиболее перспективных функциональных материалов современной электроники [18-25]. В них сочетаются уникальные упругие и электромагнитные (в частности, диэлектрические, пьезоэлектрические, магнитострикци-онные) свойства, которыми можно эффективно управлять с помощью внешних механических и электромагнитных воздействий. Магнитоэлектрические константы гомогенных магнитоэлектриков очень малы, что обусловливает создание гетерогенных композиционных магнитоэлектриков, магнитоэлектрические константы которых могут на несколько порядков превосходить соответствующие константы гомогенных материалов [24]. Возникновение эффекта магнитоэлектрической связанности композита обусловлено деформационным взаимодействием его пьезоэлектрической и магнитострикцион-
ной подсистем (фаз) даже в отсутствие такого эффекта для каждой фазы. Теоретическое изучение закономерностей влияния различных структурных параметров на электромагнитные поля (на микро- и макроуровнях) и эффективные (на макроуровне) электромагнитные и термоупругие свойства таких композитов основываются на постановке и решении связанных краевых задач элек-тромагнитотермоупругости для микронеоднородной представительной области с использованием методов механики композитов [26-32], в частности, асимптотических «методов осреднения» [21; 23; 26] и методов на основе двоякопериодических комплексных функций [27] для идеально периодических структур, методов статистической механики композитов для нерегулярных, в частности, полидисперсных (рис. 1, а, Ь) и квазипериодических (рис. 1, с, Ф) структур [28-32], численных методов (пакетов прикладных программ) решения задач на ячейке периодичности или реализациях представительного фрагмента случайной структуры [30]. При этом для полидисперсных структур (рис. 1, а, Ь) решения для тензоров эффективных термоупругих и электромагнитных свойств получены в аналитическом виде [28; 32-35]. В [24; 25; 33] исследована максвелл-вагнеровская релаксация композитов «феррит/пьезоэлектрик», даны концентрационные и частотные зависимости действительных и мнимых частей эффективных электромагнитных констант. В [33-35] исследованы эффективные электромаг-нитоупругие свойства полидисперсных структур на основе аналитических решений. Линеаризованный подход теории упругости для тела с начальным напряженным состоянием обобщен на магнитоэлектроупругий композит [36]. Численный анализ динамического поведения пьезоэлектрических композитов с учетом начального электроупругого напряженного состояния фаз дан в [37]. Актуальным остается нахождение решений связанных краевых задач механики пьезоактивных композитов с комплексным учетом структурных особенностей, в частности, статистического характера взаимного расположения элементов структуры, взаимодействия возникающих в них связанных электрических, магнитных и деформационных полей и наличием начального
деформационного, электрического и магнитного напряженного состояния.
Цель - изучение влияния начального (микро- и мак-роуровневого) напряженного состояния на эффективные свойства композита с квазипериодической структурой (см. рис. 1, с, Ф) из пьезоэлектрических и магнито-стрикционных фаз в рамках обобщенного сингулярного приближения статистической механики композитов [29; 38]. Квазипериодические модели структур композитов позволяют непосредственно учитывать разупорядо-ченность элементов структуры, например, связанную с технологией их изготовления через вычисление поправок к известным решениям для идеально периодических структур [30].
1. Постановка задачи
Модели структур композитов. Рассматриваем две матричные квазипериодические двухфазные однонаправленные волокнистые структуры «со смещением» волокон (см. рис. 1, с) и «с удалением» волокон (см. рис. 1, Ф) в периодических гексагональных ячейках в трансверсальной плоскости Т\Г2. В первой модели (см. рис. 1, с) центры круговых поперечных сечений волокон имеют независимые для каждой гексагональной ячейки случайные смещения а из центров своих ячеек в плоскости Г1Г2; сечения не выходят за пределы ячеек. Ориентационный угол и модуль вектора отклонений а распределены по независимым равномерным законам на отрезках [0; 2п] и [0; А] соответственно, где
А = к А тах, к е [0; 1] - степень разупорядоченности волокон, Атах = Я — ги (1 + 80 / 2) - величина максимально допустимого смещения, Я - радиус вписанной в ячейку окружности, г - радиус поперечных сечений волокон, 80 = А0 / ги = 0,02 - относительная величина минимальной гарантированной прослойки А0 матрицы между
волокнами. Во второй модели (см. рис. 1, Ф) имеем статистически независимые для различных ячеек случайные размещения центров поперечных сечений
Рис. 1. Фрагменты реализаций полидисперсных (а, b) и квазипериодических (c, d) структур Fig. 1. Fragments of implementations of polydisperse (a, b) and quasi-periodic (c, d) structures
волокон в центрах ячеек при заданной минимальной гарантированной прослойке А0 матрицы между волокнами также 2 % от г. Введем в рассмотрение две вспомогательные «базовые» структуры: первая - это периодическая структура (решение для которой считаем известным), вторая - «статистическая смесь» в виде полидисперсной «кластерной» структуры на рис. 1, Ь, из однотипных (по форме и ориентации) однородных полидисперсных (в том числе бесконечно малых) частиц, в которых статистически независимо реализуются с вероятностью V свойства 1-й фазы и с вероятностью 1- V - свойства 2-й фазы; представительный объем представляет собой два взаимопроникающих кластера частиц каждой из фаз (см. рис. 1, Ь). Для статистической смеси отсутствует корреляция свойств в ее различных точках и, как следствие, имеем предельную локальность ее многоточечных моментных функций структуры [29-32].
Математическая постановка задачи. Пусть представительная область V композита, например, с квазипериодической двухфазной структурой (см. рис. 1, с, Ф) состоит из однородных трансверсально-изотропных пьезоэлектромагнитных фаз, плоскости изотропии которых лежат в координатной плоскости г1г2, ось поляризации г3 . Взаимное расположение фаз в области V задаем через их индикаторные функции (г), для которых имеем = 1 если г е V / , ¡f = 0 если г й V/,
¥ _
где V/ - область / -й фазы в V = ^ Vf , / = 1, ¥ , здесь
/=1
число фаз ¥ = 2 (в общем, ¥ > 2).
В области V композита имеем некоторое начальное равновесное электромагнитоупругое состояние = {о0, D0, В0} в виде полей начальных механических
напряжений о0, электрической Б0 и магнитной В0 индукций, которые обусловлены действием на композит некоторых начальных внешних механических нагрузок [1-17] и/или электромагнитных полей [36; 37]. Осредненные (макроскопические) значения -
С =< Со > , где <... >= 1/ V^...Фг - оператор осреднения по области V. Значение ^0 = 0 имеем для случая наличия самоуравновешенных остаточных напряжений о0 и индукций Б0, В0 внутри области V после ее разгрузки на макроуровне. Начальные поля о0, Б0, В0 удовлетворяют уравнениям равновесия о0у = 0 и непрерывности £>0 = 0 , Б0 = 0 .
При последующем (дополнительном к начальному) электромеханическом нагружении области V композита дополнительно возникающие в V поля напряжений о и индукций Б, В удовлетворяют уравнениям равновесия [1; 17] и непрерывности [36; 37] вида
(Оу ), у = 0, (Ц + Фа), ^ =
Б + Бу ),у = 0 (1)
с учетом поправок (дополнительных слагаемых), обусловленных наличием заданных начальных полей о0, Б0, В0 и дополнительного искомого поля перемещений и. Первое уравнение в (1) может быть преобразовано к виду
Оу, у +°0А у = 0 с учетом выполнения уравнений равновесия а°у у = 0 для поля о0. В (1) напряжения о и индукции Б, В выражаются по известным определяющим соотношениям [20-22, 31, 32]
О.. = С.. и - е ..Е - И И -В.. 0,
у .утп т,п пу п п.у п 1у>
Б = е. и +Х. Е +п.0, (2)
. .тп т,п .п п . > V '
Б = И. и +и. И +$.0
. шп т,п п .
через градиенты перемещений У и, напряженности электрического Е и магнитного Н полей, однородное приращение температуры 0 с использованием известных тензоров упругих свойств С/, пьезоэлектрических е/ и пьезомагнитных (магнитострикционных) Щ свойств, диэлектрических 1 / и магнитных ц/ проницаемостей,
температурных коэффициентов в/, пироэлектрических п / и пиромагнитных постоянных для каждой фазы / Компоненты тензора деформаций г у = (и. + иу.) / 2 , векторов напряженностей Е1 = - ф., И\ = - у. вычисляются через поля перемещений и = и (г), электрического ф = ф(г) и магнитного у = у(г) потенциалов с граничными условиями
Щг = у , фг=-Е*г , уг=-Б*г , (3)
где геГ - граница области V, осредненные или макроскопические значения напряжений о =< о > , градиентов перемещений и* =< Уи > , напряженностей электрического Е =< Е > и магнитного Н* =< Н > полей для области V. Решение задачи (1)-(3) сводится к нахождению пульсаций и '(г) = и (г) - и*(г), ф '(г) = ф(г)-ф*(г), у '(г) = у (г) - у * (г) - отклонений искомых полей перемещений и (г), электрического ф(г) и магнитного у(г) потенциалов от соответствующих полей макроскопических (осредненных) значений Щ = ЩуГу , ф* = -Е*г , у * = - Б * г с учетом выполнения граничных условий
(3). Поля пульсаций u '(r), ф '(r), y '(r) пропорциональ-
* n* н*
ны заданным макроскопическим значениям £ , E , H , 0 и, как следствие, представимы в виде разложений
u.(r) = a. (L,r)u* + b. (Zo,r)E* +
i V ' o > ' mn ш o > ' n
+din (Z0, r)Hn +1 . (Z0, r)0,
-ф '(r)=/x, Ф:+hx, r)E¡+
(4)
+m®(Zo, r)H¡ +1 (1)(Zo, r)0,
-¥ '(r) = /(;)(Zo, Ф! + hf(Zo, r) E* + +mf(Zo, r)H* +1 (2)(Zo, r)0
с зависимостью коэффициентов разложений от начального напряженного состояния Zo композита.
2. Метод функций Грина
Используем функции Грина
Uk U(D U\2)
G = ф k ф (D ф (2) , G = G(p), р = r - r,
^ (1) ^ (2)
однородной трансверсально-изотропной пьезоэлек-тромагнитной «среды сравнения» [29] для интегральной формы записи коэффициентов разложений a(r),
f (1)(r), ..., t (2)(r) (4) [31; 32; 38]. Например, запишем первые члены ряда коэффициентов пульсаций перемещений
aim„ ^ r) = j U js(r - ri j (ri) +
V
+U «(r - Fi)(e; mn (ri) + 8smD°n(ri)) + +U,(2)(r - ri )(h'Sm„ (ri) + SJm5„0'(ri))]rfri +...,
bn (Z o, r) = j [-Uj, , (r - rl)enJs (ri) +
V (6)
+ U«(r - Ob„ (ri)]rfri +...,
dn (Zo, r) = j [-Uj ,, (r - ii )hnjs (ri) +
V
+Uf> - ri tin, (ri)] dri +..., t (Zo, r) = j [-Uj,, (r - ri )Pj, (ri)+U«(r - ri )nS (ri) +
V
+ U®(r - r^ (ri)] dri +...,
коэффициентов пульсаций электрического потенциала /Х, г) = | [ф.,, (Г - г,)С^ (г,) +
V
+ф(1)(г - г,)(е;„и (г,) + 5^-0°'(г,)) + + ф(>- г, )(А„ (г,) + 5,Х(г1))]А1 +...,
ЬЩ1 г) = |[-ф.,,(г- г, (г,) +
V (7)
+ф^)(г - г,)^ (Г,)]^ + ...,
т? (£о, г) = | [-Ф ],, (г - гх)Нф (г,) +
V
+ ф(> -г,)^ (Г,)]^ +..., ^С15 (Со, г) = | [-] (г - г, )Р], (г,) + ф®(г -г, )п (г,) +
V
коэффициентов пульсаций магнитного потенциала
/Г^о, г) = | [^ ],, (г - г, )С'],тп (г,) +
V
+^(г - (г,) + (г,)) + + (г - г, )(Ат (г, ) + 5ттВ°„ (г, ))№ +
г) = ],,(г - г, )еф (г,) +
V (8)
+ ^(г-г, (г* +..., т®(? о, г) = | [],, (г - г,) Иф (г,) +
V
- г, (г,)]Л-, +...,
^ С2)(^о, г) = (Г - г, )Р]., (г,) + ¥«(г -г, К (г,) +
V
+ ¥(>-гОй(Г,)] ^ +...,
с учетом равенств (о^.м*). = о^. м = о в силу выполнения уравнений равновесия о^. = о для начальных
напряжений со (г) в области V и независимости макро* Т-'* гг*
скопических величин мтп, Еп, Нп от координат г. Здесь использована «теорема о свертках», согласно которой дифференцирование д / д г^). свертываемых
функций в подынтегральных выражениях заменено на дифференцирование -д / дг^,. или д / дг. соответствующих ядер - функций Грина и, Ф, ..., ¥(2) [38] с учетом их разностного аргумента г - г, и асимптотических
равенств нулю при |г - г^ ^^ . В первом столбце матрицы G функций Грина (5) величины Пл , Фу, - это перемещения по оси г, электрический и магнитный потенциалы в точке г от действия в точке г1 единичной силы вдоль координатной оси гк. Во втором и третьем столбцах матрицы G (5) величины Ц®, Ф®, ^^ и
Ц2, Фу2), - это перемещения по оси г , электрический и магнитный потенциалы в точке г от действия в точке г единичного электрического или магнитного источника соответственно. Свойства среды сравнения задаем через тензоры упругих свойств С., диэлектрической 1. и магнитной ц. проницаемостей, пьезоэлектрических е. и пьезомагнитных Ь. модулей, которые (в различных приближениях) можно приравнять к осред-ненным по объему свойствам С. =< С > , ..., Ь. =< Ь >
или к свойствам одной из фаз С. = С/ , ..., Ь. = Ь/ или к искомым эффективным свойствам С. = С*, ..., Ь. = Ь (схема самосогласования) композита [29; 30; 39]. В (6)-(8) использованы обозначения пульсаций свойств
С '(г) = С(г)-< С >, е '(г) = е(г)-< е > , ц'(г) = ц(г)-< ц > , ... и пульсаций начального напряженного состояния.
о'0 (г) = о0 (г) - о*0, Б'0 (г) = Б0 (г) - Б*0,
B0(r ) = B0(r) - B*0.
3. Эффективные свойства композита
(9)
Тензоры эффективных свойств C*, X*, , e*, h*
ß*, п * , Ф * и дополнительно тензоры электромагнит* *
ной к и магнитоэлектрической х связанностей (проявляющиеся в нашем случае лишь на макроуровне) композита с пьезоэлектрическими и пьезомагнитными фазами при наличии начального напряженного состояния Z0 входят в определяющие соотношения на макроуровне композита
^j' Cijmn^mn e(o)nijEn h(o)njHn ßy © ••
D* = wC + ^A* + xiX+n* ©, (10) B* = h{B)imnС + MX + СК + ,
связывая макроскопические значения напряжения о* =< о > , индукций D* =< D >, B* =< B > с деформацией £ =< £ >, напряженностями E =< E >, H =< H >
и температурой нагрева 0 представительной области V композита и в общем случае рассчитываются по формулам [31; 32]
С*тп =< Сушп > + < Сцаьа<Шп,Ь > + < ерц/тп,р > + < Ирц/тп,р > ,
=< ^ >+< KhZ >+< ekpqbqn,p > •
M*! =<Mkn > + < Vkpmn,l > + < hpqàqn,p > •
e*0)nj =< e„j > - < C'jpqbqn^p > + < epjhnip > + < > ,
h(G)nj =< hnj >-< Cjpqdq„,p >+< «^p >+< jZ > • (11)
=<e. > + <e' a > + <À'. fx> >
imn ipq pmn, q ipJ mn, p
(D)imn imn
'l(B)imn < hmn > + < hpqapmn,q > + < Mipfmn,p > ,
xkn =< Kprfïp >+< p > •
KL =< MkphZ > + <h%bq„,p >,
Pü =<в >-<Cjdbtd,b > + < j > + 4/? >•
П* =<n >+<v,p >+<ept, p >,
i i
$ =<$. >+<^2) >+< ИрА р >,
где верхним индексом « ' » обозначены пульсации тензоров электромагнитотермоупругих свойств микроструктуры композита. Задача нахождения тензоров С*, ..., $ эффективных свойств композита (10) сводится к нахождению полей производных Уа(г), Vf (1)(г), ..., Vt (2)(г) и последующему осреднению произведений в правых частях равенств (11). Производные коэффициентов Уа(г), Vf(1)(г), ..., Vt(2)(г) в (11) как результат дифференцирования левых и правых частей уравнений (6)-(8) выражаются через вторые производные функций Грина УУС(г - г1), где V - оператор дифференцирования по координатам г. В «обобщенном сингулярном приближении» [29] у вторых производных тензорных функций Грина VVG(r - г1) учитываются лишь сингулярные составляющие [38]
^(1) цХ2) .тп т
Ф* ф*® ф*'
WG(r - Fj) « G5 ô(r - rj), Gs =
U'. Usw U:
imjn imn imn
S(1) ф5(2)
imn mn
^s(1) (2)
imn mn
(12)
для пьезоэлектромагнитной среды сравнения с эллипсоидальным «зерном неоднородности» [29].
Метод периодических составляющих [30; 32; 39]. Рассматриваемые структуры: квазипериодическая (см. рис. 1, с, Ф), периодическая и статистическая смесь (см. рис. 1, Ь) имеют одинаковые объемные доли ,
свойства фаз и общие граничные условия вида (3), т.е.
МГ = ], Ф|Г = -ЕУ, , ^¡Г = -В'г и м,г = ],
ф*г = -Е*Г. , у *г = - В* Г . Индексами «р», «*» отмечаем
величины этих вспомогательных структур соответственно. Для рассматриваемых двухфазных структур поля пульсаций
С' (г) = С. (г), е' (г) = е/, (г), h' (г) = К/, (г),
Ср'(г) = С/;р,(г), ер'(г) = ^'(г), Ьр'(г) = Ьгр'(г), ..., (13)
С (г) = С/Г (г), е*(г) = ё/Г(г), И11 (г) = К/Г (г), ...
пропорциональны пульсациям соответствующих индикаторных функций /,(г), ¡р (г), (г) 1-й фазы (включений), где тензоры разностей С = С, - С2, е = е, - е2, Ь = Ь, -Ь2, ...
Производные коэффициентов Уа(г), УТ (,)(г), ..., Vt(2)(г) в (П) для двухфазной квазипериодической структуры представим в виде
Уа = Ао + £ Ак(/,)к , УТ(1) = Фо + £ Фк (/,)к, ...,
к=1 к=1
Vt(2) = Т<2) + £ Тк(2)(/,)к (14)
к=1
и аналогично для периодической структуры
Уар = Ар + £ А к (//У , УТр(1) = Фр + £ Фк (/р')к ,
к=1 к=1
..., vtp (2)=тор(2) + £ тк(2)(/,р,)к, к=1
где Ао, Фо, То(2), ... - некоторые поправки, учитывающие дальний порядок (периодичность, квазипериодичность) структур через формальные составляющие [29] вторых производных функций Грина VVG, для которых < Ао > = < Фо > = < То(2) > = о. Для статистической смеси имеем
Уа* = £ А к (/Г)к , УТ*(1) = £ Фк (/Г)к , ...,
VI|(2) = £ Тк(2)(/'Г)к
(16)
так как для нее дальний порядок отсутствует, а ближний - форма включений - учитывается формой «зерна неоднородности» сингулярной составляющей (14). В (Х4)-(Х6) компоненты тензоров Ак, Фк, ..., Тк(2) зависят от начального напряженного состояния и выражаются через сингулярные составляющие Gí (14) вторых производных функций Грина VVG, например, компоненты тензора А, имеют вид
А(1)/<тп (Со) ифСртп + (е,тп + 51т0п) +
+ и(2>(к +5 В0), (17)
гг, V *тп *т п V '
так как
а<т„г, (?о , Г) = (Г) + и®1 (вт„ (Г) + 5ттВ°„ (г)) +
+ У? (кт, (Г) + 5^; (Г)) + ...
или с учетом (13)
атпг (Со, Г)) = [и;фС],тп + и(ёттп + 5„Д°) +
+ У!?* (ктп +5 кВо )]/, (г) + .... Выполняются равенства
< (Уа- Уар)/, >= р < Уа*/Г > , (18)
< (ут (1) - УТ р (1))/1 >= р < УТ *' >, ..., < (Vt(2) - vtр (2))/, >= р < vt * (2)/Г >
с учетом доказанного ранее [32] выражения
< /1(/,р)п-1 > / < /,п >= р, (19)
где п = 2, 3,., коэффициент корреляции (периодичности) квазипериодической структуры
V,, - V, р = ■ 11 1
V, (1 - V,)
(26)
рассчитывается через V,, =< /1/1р > - относительное
объемное содержание в V области пересечения 1-фазы (включений) квазипериодической и периодической структур при их мысленном совмещении, р е (о; 1).
Решение «задачи эффективного модуля» - поиск тензоров С*, X*, е*, К*, к*, х*, р*, п*, й* пьезо-композита (,о), (,,) с разупорядоченной (квазипериодической) двухфазной структурой рассмотрим на примере нахождения решения для его тензора С* эффективных упругих свойств. Для этого запишем общие формулы для расчета тензоров эффективных упругих свойств рассматриваемых (квазипериодической, периодической, статистической смеси) структур двухфазных пьезокомпозитов
С* =< С > + < /,Л >, А,. = С.яЬаИ . + ё../<х> + к..Г(2) ;
утп уаЬ атп,Ь рх. тп,р рул тп,р >
Ср* =< С > + < /1р,Лр > , ар = С..Ьар . + е ../рт + к . /р('1}; (21)
/тп уаЬ атп,Ь рул тп,р ру^тп,р > ^ /
с** =< с > + < /;'л* >,
А1 = С..,.а\ . + ё..Гт+ к ..Г(1)
.тп .аЬ атп,Ь р. <1 тп,р р. <1 тп, р
к=,
к=,
к=,
Лp =< Лp > , - < Лp > 2 ;
p1 p2 '
с учетом (6)-(8), (11) или в виде
С*-<С >=<(02 >Л = у1(1 -у;)Л , Л Л >1 -< Л >2; Ср*- < С >=< О/)2 > Лр = у1(1 -у;)Лр,
(22)
С'* -<С >=< (/'Г)2 > Л1 = у;(1 -у;)Л 1,
Л' Л' >, -< Л' >2,
где < ... >12 - операторы осреднения по 1-й или 2-й фазам соответствующей структуры, имеем пропорциональные зависимости (13) вида
Л = л: , Лp = Л/ , Л5 = Л1'5
(23)
с учетом (22), < Л > = < Лр > = < Л' > = 0. При этом для статистической смеси имеем
с '* =< с > + < ^'л ' >=< с > +х л (к} < о;1')*+1 >
или
С5* =< С >+J Л(k)т(k+ц k=1
с учетом разложения
Л5 = I Л(k )(i15 )k
k=1
и обозначения компонент
Л(k)ijmn (Z0) = CijdbA(k)dbmn (Z0) -
-e ф(1) (Z ) - h ф(2) (Z )
(k ) pmn^S 0> "pii^ (k ) pmn\4 0
(24)
(25)
(26)
тензора Л(к}, центрального момента к-го порядка
Ш(у) =< (О* >= - У,)[(1 - у,)*-1 - (-V,)*"1], (27)
где у; =< . > - относительное объемное содержание 1-й фазы композита. Аналогичные (25), (26) разложения для квазипериодической и периодической структур имеют вид (21)
С* =< С > + < :'1Л >, Л = Л0 +1Лk(ij)k,
k=1
Сp* =< С > + < if Лp >, Лp = Л£ + J Л( k ) (i;p )k
(28)
здесь Л0, Лр - поправки, учитывающие наличие «ближнего» (локальную упорядоченность, форму и размер включений, непрерывность матрицы) и «дальнего» порядка (периодичность, квазипериодичность) структур через «формальные составляющие» [29] вторых производных функций Грина VVG. С учетом предполагаемого равенства поправок Лр « Л0 квазипе-
риодической и периодической структур в (28) вычтем из первого уравнения второе, получив отклонения
Л° - Л - Лр = X Л(*) [(/■; )* - О!р )* ]. (29)
к=1
После умножения левой и правой частей (29) на пульсацию . (г) и последующего осреднения получим выражение
< 1'1Л° >= I Л(k) < 01 )k+1 - (i? )k > = (1 - p)IЛw™(k+1)
с учетом < (/■;)k+; >-< 1,(1Р)к >= (1 -р)т(к+ц (19), (27) или в окончательном виде
< ^Л" >= (1 - р)(С'*- < С >) (30)
с учетом С'* =< С > +Х Л(к)т(к+;) (24). Левую часть (30)
к=1
< ^Л" > запишем в ином виде < /■;Л° >=< ^Л > - < .^Лр > или
<л° >= с*-< с >+ р(ср*-< с >), (31)
так как имеем
< ^л >=< /;/; > Л=у;(1 - у;)Л = с* - < с >, <л р >=< > Лр = р < /■;p,/■p, > Лр =
= ру; (1 - у;) Лр = р(Ср* - < С >)
с учетом (19)-(23), (25). Приравнивая правые части выражений (30) и (31), получим искомое решение
С = pC + (1 - p)C .
(32)
С*" С p*' С5* '
к * ' = p- к p* •+(1 - p)- к5*
х * хp*. х5*.
Таким образом, для пьезокомпозита с квазипериодической двухфазной структурой (по аналогии с решением (32) для С* ) имеем решение
(33)
для тензоров эффективных упругих свойств C*, диэлектрической X* и магнитной проницаемостей,
пьезомеханических свойств e* и h*, коэффициентов
**
электромагнитной к и магнитоэлектрической х связанностей, температурных напряжений ß*, векторов
*
эффективных пироэлектрических я и пиромагнитных Ф* постоянных, которые выражаются (33) через решения С5*,..., Ф5* обобщенного сингулярного приближения (12) [29] для «статистической смеси» и решения
k=1
k=1
Ср*, ..., $р* [20-23, 26, 27] для периодической структуры. Отметим, что для статистической смеси коэффициент периодичности р = 0.
В обобщенном сингулярном приближении тензоры С'*,., $'* (33) эффективных свойств двухфазного композита с начальным напряженным состоянием рассчитываем через тензоры А , В ,., Т(2), которые входят в разложения
й.. = A., u + B E + D H + T.. 0,
ij ijmn mn ijn n ijn n ij >
e: = Fmmn u*m n+Нп e* + M® H+T (i) ©,
H: = +Hf Ej + M(2)Hj + Tt (2)0
с учетом представления пульсаций производных перемещений u, j (r), напряженностей электрического и
магнитного H (r) полей в виде
u'i,j (r) = uuj (r) - uj = uj^r),
E' (r) = E(r) - E* = E i^r),
H' (r) = H (r ) - H* = H i1(r ).
Тензоры A , B ,., T(2) находим из решения соответствующих четырех независимых систем линейных алгебраических уравнений общего вида [A]{X} = {B} с матрицей коэффициентов [38]
[ A] =
a<ijka a<ijd ) 4d )
a(2'1) a(2'2) a(2'3)
uik5 "ik "ik
а(ЗД) a(3'2) a(3'3)
ik5 ik ik
(34)
когДа для 1-й системы {X} = {Д^ , ^ , F/km!,} , {B} = {bm,bZb®}, для 2-й системы {Bhn,Я«, Я®}, {j 42), C,!3)}, для 3-й системы {Dhn, M%}, {dj), df, df}, для 4-й системы {ffe, T™}, {■/¿<1), ./i-<2), ./i-<3)} соответственно. Начальное напряженное состояние учитывается видом коэффициентов
j = «А-Ujdb [€ль +ôAab0 +(1 - 2vj )( Од; +èdtâ°bs ) ] -
- Uj? [ëdh + 5rfiD;° + (1 - 2v1)(ëifa + 5ЛД°)]-
- Uj2 [hdb +§dtB;° + (1 -2vx){hdks +§diBi0)] , = -Ф1® [C*, +§dk+ (1 -2v)(Cdbks +5dkô0s)]- (35)
- Ф^ [ë* + SdkD*0 + (1 - 2v1)(ëfc + Sd/D;) ] -
- Ф^ [hrfjj + SdkB*0 + (1 -2vl)(hdb + §dkB;)] ,
,(2,1)
а^? = [С«, + 5ЛоЬ0 +(1 -2У;)(СфЬк' + 5ЛО0')]-[е,ь + 5лб;° +(1 -2У;)(ёк, + 5ЛД0)]-[Ик + 5фкБ*0 + (1 - 2^ + 5^)]
первого столбца матрицы [А] и видом компонент
Ь(т,п = и;ЬСЬтп + (^ктп + 5^) + (Иктп + 5*шБ0 ), ЬЩ) = *»;,£,,,,„ +Фf(ëшm +5ктБп°) + Ф;к(2)(Йт„ +5ктБп°), (36) ь(3) =щ'С (;)(е +5 л0)+ ^(2)(И +5 Б0)
тп Т ¿Ь^Ьтп т Т .к У^ктп^ ^кт^п)^ т к \"ктп т иктип )
вектор-столбца {В} с учетом сингулярных составляющих Gí (12). Здесь использованы обозначения тензоров разностей С, е, ... (13) и дополнительно тензоров С =< С >-С., ..., ц =< ц >-ц. - отклонений осреднен-ных значений тензоров < С > , ..., < ц > композита от соответствующих тензоров С., ..., ц. среды сравнения. Использовано представление полей начального напряженного состояния в виде
о0 (г) = о*0 + о0.; (г), Б0 (г) = Б*0 + Б0.; (г),
B0(r) = B*0 + B0i1(r)
с учетом выражения пульсаций
(37)
о'0(г) = о0.; (г), Б'0(г) = Б0.; (г), В0(г) = В0.; (г)
через пульсацию /■; (г) индикаторной функции . (г) для 1-й фазы, где тензоры разностей
о0 = о0 - о2, D0 = D° - D2, b0 = B° - B2. (38)
Отметим, что ранее в [39] сделан вывод, что в решении (33) «статистическая смесь» - это полидисперсная структура (см. рис. 1, b) в виде двух взаимопроникающих кластеров частиц каждой из фаз. Этот вывод сделан на основе анализа аппроксимаций (разложений) двухточечных корреляционных функций в трансверсальной плоскости однонаправленных волокнистых (матричных) квазипериодических структур (см. рис. 1, c, d) по «базовым» корреляционным функциям периодической (гексагональной) структуры и статистической смеси (см. рис. 1, b). Тензоры эффективных свойств С5*,..., Ф5* такой полидисперсной кластерной структуры (статистической смеси) могут быть определены по схеме самосогласования из решения известной задачи для одиночного включения (волокна) в «эффективной среде» [28] или по формулам обобщенного сингулярного приближения [38] (34)-(36), когда тензоры С*, X*, , e*, h*
среды сравнения приравнены к соответствующим искомым тензорам С*, X г*, ^ г*, е**, И** статистической смеси с учетом начального напряженного состояния Со (37), (38). Вычисление тензоров эффективных свойств пьезокомпозита с периодической структурой С*,..., в формулах (33) в общем сводится к решению задачи электромагнитотермоуп-ругости на ячейке периодичности и представляет собой отдельную сложную задачу [20-23, 26, 27]. Во многих работах, например [29-32], отмечается, что значения эффективных упругих свойств многих матричных композитов с периодическими структурами близки к решению для полидисперсной матричной структуры (см. рис. 1, а) и к решению обобщенного сингулярного приближения при приравнивании свойств среды сравнения к свойствам матрицы композита. Поэтому тензоры Ср*,..., в (33) также
могут быть рассчитаны по формулам обобщенного сингулярного приближения [38] (34)-(36) при приравнивании тензоров С*, X*, , е*, И* среды сравнения к соответствующим тензорам С2, X2, , е2, И2 матрицы (например, 2-й фазы) композита. В [34]
для продольного коэффициента электромагнитной
*
связанности к33 однонаправленных волокнистых композитов с пьезоэлектрическими и магнитострик-ционными фазами (матрицей и/или волокнами) установлена тождественность аналитических решений по различным расчетным схемам: «волокно/матрица» в виде составной цилиндрической ячейки или «волокно/матрица/эффективная среда» с размещением такой ячейки в эффективной среде (схема самосогласования) (см. рис. 1, а) [28], обобщенного сингулярного приближения [38] при приравнивании свойств среды сравнения к свойствам матрицы композита. При этом для композита «феррит/пьезоэлектрик» (пьезоэлектрические волокна в ферритовой матрице) установле-
*
но совпадение этого решения к33 с решением асимптотического метода осреднения [21] для к33 идеальной периодической волокнистой структуры.
В отсутствие начального напряженного состояния для трансверсально-изотропного (с осью симметрии г3) композита тензоры эффективных пьезоэлектрических
е* и пьезомагнитных (магнитострикционных) И* моду-
^ ^ * ^ *
лей, электромагнитной к и магнитоэлектрической х связанностей (10), (11) в матричной форме записи имеют вид [19-25; 31; 32]
0 0 0 0 * е15 0
0 0 0 е*5 0 0
4 е**1 4 0 0 0
0 0 0 Л1*4 Л1*5 0
II 0 0 0 Л1*5 -Л1*4 0
Л3*1 Л3*1 Л3*3 0 0 0
к,.,. =
к11 к12
* *
-к12 к11
0 0
= к,.,.
где верхним индексом «Т» обозначена операция транспонирования, тензорные и матричные индексы связаны между собой соотношениями: 11 ^ 1, 22 ^ 2 , 33 ^ 3 , 23 и 32 ^ 4 , 13 и 31 ^ 5 , 12 и 21 ^ 6 . Для случая заданных на макроуровне композита значений начальных деформаций г*0, напряженностей элек-
тч *0 тт*0 ^
трического Е и магнитного Н полей соответствую-
С0/ С0 >/ = 0, , в0}
щие значения для фаз £0 / =< С0 > / = 0, , В0,.}, в част-
ности, тензоры , , В02 двухфазного композита
(12), могут быть найдены, например, по известному решению [38] без начального напряженного состояния, где
<... >/ = 1/ ^ ... йг - оператор осреднения по области V/ /-й фазы композита, V = У /=1 V/ .
4. Результаты численного моделирования
Результаты вычисления относительных значений
независимых эффективных коэффициентов электромаг-
* *
нитной (к ) и магнитоэлектрической (X ) связанностей трансверсально-изотропного композита «Р2Т-4/феррит» с различными (квазипериодическими и вспомогательными) структурами (см. рис. 1) представлены в виде графиков на рис. 2-7 в зависимости от значений объемной доли VI ферритовых волокон, компонент (е?1* = е02 Ф 0 и/или е3* Ф 0 ) осесимметричного тензора
начальной макродеформации г0 при Е0* = 0, Н0* = 0.
Выполняются равенства к*1 = к^2, х*1 = %22, к*2 = -к^,
Х*2 = —, к*3 =X3з, при этом имеем к*2/ к0>2* = к21 / <, %*2 / х02* = х21 / . На рис. 2-7 использованы обозначения (◊, о) графиков решений для квазипериодических структур: «со смещением» волокон (◊) (см. рис. 1, с) при степени разупорядоченности к = 1 и «с удалением» волокон (о) (см. рис. 1, й) в гексагональных ячейках. Решения для периодической структуры (□) и статистической смеси (Д) получены по формулам обобщенного сингулярного приближения [38] при приравнивании свойств среды сравнения к свойствам матрицы (Р2Т-4) композита или к осред-ненным по объему композита значениям соответственно. Выявлены линейные зависимости, например на рис. 3, относительных значений всех ненулевых
*
33
а b
Рис. 2. Эффективные коэффициенты к* (а), Xn (b) композита «PZT-4/феррит» в зависимости от объемной доли v1
волокон для случая е0* = £ 2* = 0,05, е0* = 0
Fig. 2. Effective coefficients k*1 (а), x*1 (b) of the composite "PZT-4/ferrite" depending on the volume fraction v1 of fibers
а b
Рис. 3. Эффективные коэффициенты k*1 (а), x*1 (b) композита в зависимости от начальной макродеформации £°*22, е°* = 0
для случая v1 = 0,2
Fig. 3. Effective coefficients k*1 (а), x*1 (b) of the composite depending on the initial macrostrain е10*22, е0* = 0, for case v1 = 0.2
for case е11 = е22 = 0.05, е03 = 0
* * ~ е0* е0* компонент тензоров к , х от значении £ц 22 , ^33
осесимметричного тензора начальной макродеформации г0 композита. На рис. 3 графики решений без учета начального напряженного состояния обозначены символом (—). При предельной объемной доле волокон ^шах ~ 0,9 обе квазипериодические структуры (см. рис. 1, с, й) вырождаются в одну периодическую структуру, поэтому на рис. 2, 4-7 решения (◊, о) для квазипериодических структур при V1шx совпадают с решением (□) для периодической структуры.
Заключение
Разработана математическая модель начально-напряженного (на микро- и макроуровнях) композита с пьезоэлектрическими магнитострикционными фазами, с использованием которой получено численно-аналитическое решение задачи «эффективного модуля» начально-напряженного квазипериодического композита в рамках обобщенного сингулярного приближения статистической механики композитов. Представлены результаты расчета всех независимых компонент тензоров
а b
Рис. 4. Эффективные коэффициенты К*х (а), (b) композита в зависимости от объемной доли Vj волокон
для случая £0* = 0 0,05, £0*,22 = 0
Fig. 4. Effective coefficients К*1 (а), %*1 (b) of the composite depending on the volume fraction v1 of fibers
for case e0* = 0 0.05, £01,22 = 0
0,2 0,4 0,6 0,8
а
b
Рис. 5. Эффективные коэффициенты К12 (а), %*2 (b) композита в зависимости от объемной доли Vj волокон
для случая £01 = £21 = 0,05, £0* = 0
Fig. 5. Effective coefficients К*2 (а), %*2 (b) of the composite depending on the volume fraction Vj of fibers
for case ¿С = £ 2* = 0.05, £03 = 0
эффективных коэффициентов электромагнитной к и
*
магнитоэлектрической % связанностей трансверсально-изотропного однонаправленно-волокнистого композита «PZT-4/феррит» при осесимметричном тензоре начальной макродеформации е0* композита, когда компоненты eii = 8°2 ^ 0 и / или Ф 0. Выявлено, что при осесимметричном тензоре начальной макродеформации е0* * *
композита тензоры к , % по-прежнему имеют однотипный вид (39), но не связаны транспонированием
X Ф к , х33 = к33 для рассмотренных случаев: 80* = 802 Ф 0 и/или 80* Ф 0 осесимметричного по оси г3 начального напряженно-деформированного состояния
композита. Для всех ненулевых значений компонент тен-
* *
зоров к, X выявлены, во-первых, монотонность (как убывающих, так и возрастающих) зависимостей относительных величин к7к0*, %7%0* от объемной доли феррито-вых волокон v1 (см. рис. 2, 4-7) для базовых структур: периодической структуры (□) и статистической смеси (Д),
Рис. 6. Эффективные коэффициенты K*2 (а), %*2 (b) композита в зависимости от объемной доли V1 волокон
для случая £°3 = 0,05, £°*22 = 0
Fig. 6. Effective coefficients K*2 (а), %*2 (b) of the composite depending on the volume fraction v1 of fibers
0* 0* for case £33 = 0.05, £n 22 = 0
Рис. 7. Эффективный коэффициент композита в зависимости от объемной доли v1 волокон для случев:
£0; =£02; = 0,05, £3°; = о (а), 4* = 0,05, £0*22 = 0 (b)
Fig. 7. Effective coefficient k33 of the composite depending on volume fraction v1 of fibres for cases: £0* = £0* = 0.05, £0* = 0 (а), £03* = 0.05, ^ = 0 (b)
и существенная немонотонность этих зависимостей для квазипериодических структур (0, о) (см. рис. 1, с, Ф). Во-вторых, выявлены линейность и монотонно убывающий характер зависимостей относительных величин ; 0* * / 0*
к /к , X /X от значений начальных осевых макродеформаций £°* 22 и/или £°; композита (например, на
рис. 3) с учетом равенств к*/к0* = X* /X0* = 1 при
е0* = 0 . Различия прямолинейных графиков (см. рис. 3) * 0* * 0*
величин к /к , х /X состоят в различиях значений коэффициента пропорциональности, т.е. в угле наклона
графиков к оси абсцисс - начальной осевой деформации: £0*, £2*, £0; при фиксированном значении объемной доли волокон у;. Пропорции в различиях угла наклона графиков этих величин к 7к0\ х;/х0; (например, на рис. 3 при у; = 0,2) обусловливаются пропорциями этих величин на графиках концентрационных (существенно немонотонных для квазипериодических структур) зависимостей на рис. 2, 4-7 при соответствующем значении у; (например, на рис. 2 при у; = 0,2). Таким образом, увеличение абсолютных значений компонент тен-**
зоров к , X рассматриваемых структур композитов
(см. рис. 1) имеем при отрицательных значениях ком-
0* 0* 0*
понент £11, £ 22 , £33 осесимметричного тензора начальной макродеформации е0* композита. Наиболее существенное влияние имеем для компонент %п (см. рис. 2, b, рис. 3, b), х*2 (см. рис. 5, b) для случая ненулевых значений начальных осевых макродеформаций e^ в транс-версальной плоскости композита. В случае комбиниро-
Библиографический список
1. Washizu К. Variational methods in elasticity and plasticity. -Oxford: Pergamon Press, 1982. - 630 p.
2. Гузь А.Н. Об определении приведенных упругих постоянных композитных слоистых материалов с начальными напряжениями // Доклады АН УСССР. Сер. А. - 1975. - № 3. -С. 216-219.
3. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями: в 2 т. - Киев. Наукова думка, 1986. Т. 1. Общие вопросы. Киев: Наук. думка. - 376 с. Т. 2. Закономерности распространения. - Киев: Наук. думка. - 536 с.
4. Алехин В.В., Аннин Б.Д., Колпаков А.Г. Синтез слоистых материалов и конструкций. - Новосибирск. Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1988. - 128 c.
5. Akbarov S.D., Guliev M.S. Axisymmetric longitudinal wave propagation in a finite prestretched compound circular cylinder made of incompressible materials // International Applied Mechanics. - 2009. - Vol. 45, no. 10. - P. 1141-1151.
6. Akbarov S.D. Recent investigations on dynamic problems for an elastic body with initial (residual) stresses // International Applied Mechanics. - 2007. - Vol. 43, no. 12. - P. 1305-1324.
7. Akbarov S.D. Stability loss and buckling delamination: Three-dimensional linearized approach for elastic and viscoelastic composites. - Springer, 2013. - 448 p.
8. Гулиев М.С., Сейфулаев А.И., Абдуллаева Д.Н. Исследование распространения упругих волн в составном цилиндре с начальным кручением // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2018. - № 5. - С. 404-413.
9. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Свойства преднапряжен-ных изотропных материалов при учете упругих модулей высших порядков // Наука Юга России. - 2017. - № 2. - С. 3-12.
10. Гузь А.Н. Об ультразвуковом неразрушающем методе определения напряжений в элементах конструкций и в приповерхностных слоях материалов: фокус на украинские исследования (обзор) // Прикладная механика. - 2014. - Т. 50, № 3. - С. 3-30.
11. Kuliev G.G., Jabbarov M.D. To elastic waves propagation in strained nonlinear anisotropic media // Proceedings the sciences of Earth of academy sciences Azerbaijan. - 1998. -№ 2. - P. 103-112.
12. Guz A.N. Fundamentals of the three-dimensional theory of stability of deformable bodies. - Springer, New York, 1999. - 555 p.
13. Akbarov S.D. Dynamics of pre-strained bi-material elastic systems: Linearized three-dimensional approach. - Springer, 2016. - 1004 p.
14. Propagation of torsional surface waves in a homogeneous layer of finite thickness over an initially stressed heterogeneous half-space / S. Gupta, D.K. Majhi, S. Kundu, S.K. Vishwakarma // Applied Mathematics and Computation. - 2012. - Vol. 218, no. 9. - P. 5655-5664.
ванного начального макродеформирования композита, когда одновременно имеем е^ 22 Ф 0 , е^ Ф 0, тогда ре* 0*
зультирующие значения относительных величин к /к , %7%0* находим суммированием соответствующих «коэффициентов влияния» к /к0, % /%0 от каждой из компонент
, 0* 0* , „ ( 8ц22, е33) осесимметричного тензора начальной макродеформации 80* композита.
15. Hu W.T., Chen W.Y. Influence of lateral initial pressure on axisymmetric wave propagation in hollow cylinder based on first power hypo-elastic model // Journal of Central South University. - 2014. - Vol. 21, no. 2. - P. 753-760.
16. Yesil U.B. Forced and natural vibrations of an orthotropic pre-stressed rectangular plate with neighboring two cylindrical cavities // Comput. Mater. Continua. - 2017. - Vol. 53, no. 1. - P. 1-22.
17. Kolpakov A.G. Effect of influation of initial stresses on the homogenized characteristics of composite // Mechanics of materials. -2005. - Vol. 37, no. 8. - P. 840-854.
18. Уорден К. Новые интеллектуальные материалы и конструкции. - М.: Техносфера, 2006. - 223 с.
19. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях // Физическая акустика. Т. 1: Методы и приборы ультразвуковых исследований. Часть А. - М.: Мир, 1966. -С. 204-326.
20. Каралюнас Р.И. Эффективные термопьезоэлектрические свойства слоистых композитов // Механика композитных материалов. - 1990. - № 5. - С. 823-830.
21. Гетман И.П. О магнитоэлектрическом эффекте в пьезо-композитах // ДАН СССР. - 1991. - Т. 317, № 2. - С. 1246-1259.
22. Коган Л.З., Мольков В.А. Магнитоэлектрические свойства волокнистых пьезокомпозитов // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1996. - № 5. - С. 62-68.
23. Gorbachev V.I. Integral formulas in electromagnetic elasticity of heterogeneous bodies. application in the mechanics of composite materials // Composites: Mechanics, Computations, Applications. An International J. - 2017. - Vol. 8, no. 2. - P. 147-170.
24. Филиппов Д.А. Теория магнитоэлектрического эффекта в гибридных феррит-пьезоэлектрических композиционных материалах // Письма в ЖТФ. - 2004. - Т. 30, № 9. -С. 6-11.
25. Магнитоэлектричество в двумерных статистических смесях / А.В. Турик, А.И. Чернобабов, М.Ю. Родинин, Е.А. То-локольников // Физика твердого тела. - 2009. - Т. 51, № 7. -С. 1395-1397.
26. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: Изд-во Моск. университета, 1984. - 336 c.
27. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. - М.: Наука, 1970. - 556 с.
28. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. -М.: Мир, 1982. - 334 с.
29. Шеpмеpгоp Т.Д. Теоpия упpугости микpонеодноpод-ных сpед. - М.: Наука, 1976. - 399 с.
30. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел. - М.: Наука, 1984. - 115 с.
31. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Лещенко П.В. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивных композитных материалов. - Киев: Наук. думка, 1989. - 208 с.
32. Паньков А.А. Статистическая механика пьезокомпо-зитов. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. - 480 с.
33. Pan'kov A.A. Maxwell-wagner relaxation in fibrous polydisperse magnetoelectric piezocomposites // Mechanics of Composite Materials. - 2013. - Vol. 49, no. 1. - P. 45-50.
34. Pan'kov A.A. Piezoactive unidirectionally fibrous polydisperse composite // Mechanics of Composite Materials. - 2012. -Vol. 48, no. 6. - P. 603-610.
35. Паньков А.А. Диэлектрические свойства полидисперсных волокнистых пьезоэлектромагнетиков с максвелл-вагнеровской релаксацией // Физическая мезомеханика. -2013. - Т. 16, №. 2. - С. 73-78.
References
1. Washizu K. Variational methods in elasticity and plasticity. Oxford: Pergamon Press, 1982, 630 p.
2. Guz' A.N. Ob opredelenii privedennyh uprugih postoy-annyh kompozitnyh sloistyh materialov s nachal'nymi napryaz-heniyami [On the definition of the given elastic permanent composite laminates with initial stresses]. Doklady AN USSSR. Ser. A, 1975, no. 3, pp. 216-219.
3. Guz' A.N. Uprugie volny v telah s nachal'nymi napryaz-heniyami [Elastic waves in bodies with initial voltages]. Kiev. Naukova dumka, 1986. V 2-h t. T.1 Obshchie voprosy [General issues]. Kiev: Nauk. dumka, 376 p. T.2. Zakonomernosti raspros-traneniya [Patterns of distribution]. Kiev: Nauk. dumka, 536 p.
4. Alekhin V.V., Annin B.D., Kolpakov A.G. Sintez sloistyh materialov i konstrukcij [Synthesis of layered materials and structures]. Novosibirsk. In-t gidrodinamiki SO AN SSSR, 1988, 128 p.
5. Akbarov S.D., Guliev M.S. Axisymmetric longitudinal wave propagation in a finite prestretched compound circular cylinder made of incompressible materials. International Applied Mechanics, 2009, vol. 45, no. 10, pp. 1141-1151.
6. Akbarov S.D. Recent investigations on dynamic problems for an elastic body with initial (residual) stresses. International Applied Mechanics, 2007, vol. 43, no. 12, pp. 1305-1324.
7. Akbarov S.D. Stability loss and buckling delamination: Three-dimensional linearized approach for elastic and viscoelastic composites, Springer, 2013, 448 p.
8. Guliev M.S., Sejfulaev A.I., Abdullaeva D.N. Issledovanie rasprostraneniya uprugih voln v sostavnom cilindre s nachal'nym krucheniem [Study of the propagation of elastic waves in a composite cylinder with initial torsion]. Stroitel'naya mekhanika inzhenernyh konstrukcij i sooruzhenij, 2018, no.5, pp. 404-413.
9. Belyankova T.I., Kalinchuk V.V. Svojstva prednapryaz-hennyh izotropnyh materialov pri uchete uprugih modulej vysshih poryadkov [Properties of prestressed isotropic materials when taking into account elastic modules of higher orders]. Nauka YUga Rossii, 2017, no.2, pp. 3-12.
10. Guz' A.N. Ob ul'trazvukovom nerazrushayushchem metode opredeleniya napryazhenij v elementah konstrukcij i v pri-poverhnostnyh sloyah materialov: fokus na ukrainskie issledo-vaniya (obzor) [On the ultrasonic non-destructive method of determining stresses in structural elements and near-surface layers of materials: focus on Ukrainian research (review) ]. Prikladnaya mekhanika, 2014, vol.50, no.3, pp. 3-30.
11. Kuliev G.G., Jabbarov M.D. To elastic waves propagation in strained nonlinear anisotropic media. Proceedings the sciences of Earth of academy sciences Azerbaijan, 1998, no. 2, pp.103-112.
36. Guo X., Wei P. Dispersion relations of elastic waves in one-dimensional piezoelectric/piezomagnetic phononic crystal with initial stresses // Ultrasonics. - 2016. - Vol. 66. -P. 72-85.
37. Dasdemir A. Forced vibrations of pre-stressed sandwich plate-strip with elastic layers and piezoelectric core // International Applied Mechanics. - 2018. - Vol. 54, no. 4. -P. 480-493.
38. Паньков А.А. Коэффициенты электромагнитной связи композита с пьезоактивными фазами // Физическая мезоме-ханика. - 2011. - Т. 14, № 2. - С. 93-99.
39. Паньков А.А. Упругие свойства квазипериодических композитов с учетом корреляционных функций структуры // Механика композиционных матеpиалов и конструкций. -2011. - Т. 17, № 3. - С. 385-400.
12. Guz A.N. Fundamentals of the three-dimensional theory of stability of deformable bodies, Springer, New York, 1999, 555 p.
13. Akbarov S.D. Dynamics of pre-strained bi-material elastic systems: Linearized three-dimensional approach, Springer, 2016, 1004 p.
14. Gupta S., Majhi D.K., Kundu S., Vishwakarma S.K. Propagation of torsional surface waves in a homogeneous layer of finite thickness over an initially stressed heterogeneous half-space. Applied Mathematics and Computation, 2012, vol. 218, no. 9, pp. 5655-5664.
15. Hu W.T., Chen W.Y. Influence of lateral initial pressure on axisymmetric wave propagation in hollow cylinder based on first power hypo-elastic model. Journal of Central South University, 2014, vol. 21, no. 2, pp. 753-760.
16. Yesil U.B. Forced and natural vibrations of an orthotopic pre-stressed rectangular plate with neighboring two cylindrical cavities. Comput. Mater. Continua, 2017, vol. 53, no. 1, pp. 1-22.
17. Kolpakov A.G. Effect of influation of initial stresses on the homogenized characteristics of composite. Mechanics of materials, 2005, vol. 37, no. 8, pp. 840-854.
18. Uorden K. Novye intellektual'nye materialy i konstrukcii [New Intelligent Materials and Designs]. Moscow: Tekhnosfera, 2006. - 223 p.
19. Berlinkur D., Kerran D., ZHaffe G. P'ezoelektricheskie i p'ezomagnitnye materialy i ih primenenie v preobrazovatelyah [Piezoelectric and piezomagnetic materials and their use in transducers]. Fizicheskaya akustika. T.1: Metody i pribory ul'trazvukovyh issle-dovanij. CHast' A., Moscow: Mir, 1966, pp. 204-326.
20. Karalyunas R.I. Effektivnye termop'ezoelektricheskie svojstva sloistyh kompozitov [Effective thermopiezoelectric properties of laminated composites]. Mekhanika kompozitnyh materialov, 1990, no. 5, pp. 823 830.
21. Getman I.P. O magnitoelektricheskom effekte v p'e-zokompozitah [On the magnetoelectric effect in piezocomposites]. DAN SSSR, 1991, vol. 317, no. 2, pp. 1246-1259.
22. Kogan L.Z., Mol'kov V.A. Magnitoelektricheskie svojstva voloknistyh p'ezokompozitov [Magnetoelectric properties of fibrous piezocomposites]. Izv. RAN. Mekhanika tverdogo tela, 1996, no. 5, pp. 62 68.
23. Gorbachev V.I. Integral formulas in electromagnetic elasticity of heterogeneous bodies. application in the mechanics of composite materials. Composites: Mechanics, Computations, Applications. An International J., 2017, vol. 8, no. 2, pp. 147-170.
24. Filippov D.A. Teoriya magnitoelektricheskogo effekta v gibridnyh ferrit-p'ezoelektricheskih kompozicionnyh materialah
[Theory of magnetoelectric effect in hybrid ferrite-piezoelectric composites]. Pis'ma v ZHTF, 2004, vol. 30, no. 9, pp. 6-11.
25. Turik A.V., CHernobabov A.I., Rodinin M.YU., Tolo-kol'nikov E.A. Magnitoelektrichestvo v dvumernyh statisticheskih smesyah [Magnetoelectricity in two-dimensional statistical mixtures]. Fizika tverdogo tela, 2009, vol. 51, no. 7, pp. 1395-1397.
26. Pobedrya B.E. Mekhanika kompozicionnyh materialov [Mechanics of composite materials]. Moscow: Izd-vo Mosk. uni-versiteta, 1984, 336 p.
27. Grigolyuk E.I., Fil'shtinskij L.A. Perforirovannye plastiny i obolochki [Perforated plates and shells]. Moscow: Nauka, 1970, 556 p.
28. Kristensen R. Vvedenie v mekhaniku kompozitov [Introduction to the mechanics of composites]. Moscow: Mir, 1982, 334 p.
29. Shermergor T.D. Teoriya uprugosti mikroneodnorodny'x sred [Theory of elasticity of microneodonorous media]. Moscow: Nauka, 1976, 399 p.
30. Sokolkin YU.V., Tashkinov A.A. Mekhanika deformiro-vaniya i razrusheniya strukturno neodnorodnyh tel [Mechanics of deformation and destruction of structurally heterogeneous bodies]. Moscow: Nauka, 1984, 115 p.
31. Horoshun L.P., Maslov B.P., Leshchenko P.V. Prognozi-rovanie effektivnyh svojstv p'ezoaktivnyh kompozitnyh materialov [Prediction of effective properties of piezoactive composite materials]. Kiev: Nauk. dumka, 1989, 208 p.
32. Pan'kov A.A. Statisticheskaya mekhanika p'ezokompozi-tov [Statistical mechanics of piezocomposites]. Perm': Izd-vo Perm. gos. tekhn. un-ta, 2009, 480 p.
33. Pan'kov A.A. Maxwell-wagner relaxation in fibrous polydisperse magnetoelectric piezocomposites // Mechanics of Composite Materials, 2013, vol.49, no.1, pp.45-50.
34. Pan'kov A.A. Piezoactive unidirectionally fibrous polydisperse composite. Mechanics of Composite Materials, 2012, vol.48, no.6, pp. 603-610.
35. Pan'kov A.A. Dielektricheskie svojstva polidispersnyh voloknistyh p'ezoelektromagnetikov s maksvell-vagnerovskoj relaksaciej [Dielectric properties of polydisperse fibrous piezoelec-tromagnets with Maxwell-Wagnerian relaxation]. Fizicheskaya mezomekhanika, 2013, vol. 16, no. 2, pp. 73-78.
36. Guo X., Wei P. Dispersion relations of elastic waves in one-dimensional piezoelectric/piezomagnetic phononic crystal with initial stresses. Ultrasonics, 2016, vol. 66, pp. 72-85.
37. Dasdemir A. Forced vibrations of pre-stressed sandwich plate-strip with elastic layers and piezoelectric core. International Applied Mechanics, 2018, vol. 54, no. 4, pp. 480-493.
38. Pan'kov A.A. Koefficienty elektromagnitnoj svyazi kom-pozita s p'ezoaktivnymi fazami [Electromagnetic coupling coefficients of the composite with piezoactive phases]. Fizicheskaya mezomekhanika, 2011, vol.14, no.2, pp. 93-99.
39. Pan'kov A.A. Uprugie svojstva kvaziperiodicheskih kompozitov s uchetom korrelyacionnyh funkcij struktury [Elastic properties of quasi-periodic composites taking into account the correlation functions of the structure]. Mekhanika kompozicionnyh matepialov i konstpukcij, 2011, vol. 17, no. 3, pp. 385-400.
Финансирование. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Пермского края в рамках научного проекта № 20-41-596010.
Конфликт интересов. Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Financing. The reported study was funded by RFBR and Perm Territory, project number 20-41-596010. Conflict of interest. The authors declare no conflict of interest.
