Связанные краевые задачи электромагнитоупругости для пьезоактивных композитов Текст научной статьи по специальности «Физика»

2416

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2416-2417

УДК 539.3

СВЯЗАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОСТИ ДЛЯ ПЬЕЗОАКТИВНЫХ КОМПОЗИТОВ

© 2011 г. А.А. Паньков

Пермский государственный технический университет mkmk@pstu.ru

Поступила в редакцию 24.08.2011

Представлены постановки и методы решения нелинейных стохастических связанных краевых задач элек-тромагнитоупругости для композитов с пьезоактивными элементами структуры. Выявлены уникальные свойства пьезокомпозитов с взаимообратной поляризацией ориентированных эллипсоидальных включений и матрицы, слоистых структур с взаимообратной поляризацией слоев из полимерного пьезоэлектрика PVF. Исследован магнитоэлектрический эффект возникновения электродвижущей силы в материале под действием постоянного магнитного поля для композита, содержащего пьезоэлектрические и пьезомагнитные ком -поненты; если такой пьезокомпозит поместить в магнитное поле, то будет деформироваться пьезомагнитный компонент, вместе с ним и пьезоэлектрический компонент, и весь композит в целом. В силу деформации пьезоэлектрического компонента в композите возникнет электрическое поле; на макроуровне вектор индукции электрического поля будет связан с вектором напряженности магнитного поля тензором эффективных магнитоэлектрических констант. Определяющие соотношения на макроуровне пьезокомпозита отличаются от определяющих соотношений для элементов структуры, в частности, наличием тензоров электромагнитной связи. Получены новые решения связанных краевых задач электромагнитоупругости в обобщенном сингулярном приближении статистической механики композитов на основе новых решений для сингулярных составляющих вторых производных функций Грина для однородной трансверсально-изотропной пьезоэлектромагнитной среды с эллипсоидальным зерном неоднородности. Представлены новые решения для тензоров эффективных магнитоэлектрических свойств трансверсально-изотропного композита с пьезоэлектрической матрицей и ориентированными пьезомагнитными эллипсоидальными включениями; в частности, определены магнитоэлектрические свойства слоистого пьезокомпозита с чередующимися пьезоэлектрическими и пьезомагнитными слоями. Даны результаты расчета в сингулярном приближении всех 20 независимых констант эффективных трансверсально-изотропных упругих и пьезоэлектромагнитных свойств пьезоэлектрика PVF с пьезомагнитными эллипсоидальными включениями. В частном случае для слоистого композита из чередующихся пьезоэлектрических и пьезомагнитных слоев результаты расчета в сингулярном приближении всех независимых эффективных констант в точности совпали с полученными непосредственным осреднением для этих констант новыми аналитическими решениями.

Ключевые слова: пьезокомпозит, краевая задача электромагнитоупругости, метод функций Грина, эффективные свойства композита.

Для представительной области композита V с границей Г рассмотрено решение связанной стохастической краевой задачи электромагнитоупру-гости

[Сутп (г)ит,п (Г)],3 + [вЩ (г)Фп (Г)],у +

+ [Ку (г)у,п(г)],у - [Ру (г)],у 0 = 0

[еутп(г)ит,п (г)],у - [^уп (г)ф,п (г)],у +

+ [п 3 (г)], 3 0 = 0,

[Иутп(г)ит,п (г)],у - [^уп(г)У,п (г)],3 +

+ [3 у (г)],у 0 = 0;

и |г = у, ф|г=-£у4-, Чг = -^ /у для полей перемещений и(г), электрического ф(г) и магнитного ^(г) потенциалов при заданных значениях однородных макродеформаций £у, макро-

у

нап >яженностей электрического Е и магнитно-

)у

го Н полей, У - приращение температуры, вызванное внешним нагревом композита. Тензоры упругих свойств С, пьезоэлектрических е и пьезомагнитных Ь свойств, диэлектрических X и магнитных |! проницаемостей, температурных коэф -фициентов в, пироэлектрических постоянных П и ф — быстро осциллирующие функции координат г. На рис. 1 приведены результаты расчета в сингулярном приближении механики композитов отличных от нуля эффективных коэффициентов электромагнитной связи Ку1, ку3 и ку2 пьезоэлектромагнитного композита с ориентированными пьезомагнитными эллипсоидальными включениями в пьезоэлектрической матрице РУБ в зависимости от относительного объемного содер-

Рис. 1

жания v1 и для различных форм эллипсоидальных включений: □ — слои ^ ^ 0); диски: — ^ = 0.2), + ^ = 0.5); О — шары ^ = 1); иглы: Д ^ = 2), X ^ = 5), * (q = 10); 0 — волокна ^ ^ ^); параметр q = a3/a1(2) при a1 = a2, где ai — главные полуоси включений. Новые точные аналитические реше-

ния для эффективных констант слоистых структур совпадают с решением сингулярного приближения

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ-Урал, грант №10-01-96047-р_урал_а.

v

CONNECTED BOUNDARY-VALUE PROBLEMS OF ELECTRO-MAGNETIC ELASTICITY

FOR PIEZOACTIVE COMPOSITES

A.A. Pan’kov

New formulations and methods for analyzing stochastic coupled boundary-value problems of electro-magnetic elasticity for composites with pieso-active structural elements are presented. Unique properties of pieso-composites with reciprocal polarization of oriented ellipsoidal inclusions and the matrix, layered structures with reciprocal polarization of the layers made of the PVF polymeric piezo-electric have been revealed. The magnetic-electrical effect of inducing an eclectic-motive force in the material under the action of a constant magnetic field for a composite containing piezo-electric and pieso-magnetic components has been investigated; if such a pieso-composite is placed in a magnetic field, the pieso-magnetic component will deform, and the pieso-electric component as well as the entire composite will deform too. Due to the deformation of the piezo-electric component, an electric field will be induced in the composite; on the macro-level, the electric field induction tensor will be coupled with the magnetic field stress vector through the tensor of effective magneto-electric constants. On the macro-level, the constitutive relations of the pieso-composite differ from those of the structural elements, in particular, by the presence of electro-magnetic coupling tensors. New solutions for coupled boundary-value problems of electro-magnetic elasticity in a generalized singular approximation of statistical mechanics of composites are presented, based on new solutions for singular components of the second derivatives of Green's function for a uniform transversal-isotropic piezo-electro-magnetic medium with an ellipsoid inclusion. New solutions for the tensors of effective magneto-electrical properties of a transversally-isotropic composite with a pieso-electric matrix and oriented pieso-magnetic ellipsoid inclusions are presented; in particular, magneto-electrical properties of a layered composite with alternating pieso-electric and pieso-magnetic layers have been determined. The results of the calculation of all the 20 independent constants of the effective transversally-isotropic elastic and pieso-magnetic properties of the PVF pieso-electric with pieso-magnetic ellipsoid inclusions are presented. In a particular case of a layered composite with alternating piezoelectric and piezo-magnetic layers the calculation results in the singular approximation of all the independent effective constants perfectly agree with the exact analytical solutions using the direct averaging of these constants.

Keywords: piezocomposite, boundary value problem of electro-magnetic elasticity, method of Green's functions, effective properties of composite.