Электрогазодинамическая модель линейного атмосферного разряда Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 551.594 + 533.9

Электрогазодинамическая модель линейного атмосферного разряда

В.И. Пустовойт1, А.А. Аникьев1 1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия.

Рассмотрен газодинамический подход к описанию процессов, приводящих к образованию лидера — локальной области значительной пространственной неоднородности концентрации заряда и, как следствие, сильного электрического поля, инициирующего пробой атмосферного газа. Найдено решение системы нелинейных уравнений гидродинамики сла-боионизованного газа в одномерном случае и получены распределения концентрации частиц и электрического поля в потоке газа. Начальные условия задачи в значительной степени определяют режимы развития неустойчивости исходного распределения концентрации заряженных частиц и исследованы области изменения параметров, при которых нарастание электрического поля приводит к возникновению линий разрыва, аналогичных ударным волнам в газах, но имеющим электрическую природу компрессии. Получены численные решения системы уравнений без каких-либо приближений, использованных ранее. Показано, что в гидродинамическом потоке происходит значительное нарастание электрического поля и неоднородности распределения концентрации, однако поле остается конечным в принятых пространственно-временных масштабах грозового облака.

E-mail: aaanikyev@mail.ru

Ключевые слова: атмосферный разряд, уравнения гидродинамики, уравнение Абеля, фазовая траектория.

Несмотря на значительные усилия по изучению обычных линейных разрядов в атмосфере и их почти полуторавековую историю, механизм накопления заряда и зарождения молний в грозовых облаках остается полем для дискуссий. Наибольших успехов в экспериментальном изучении структуры грозовых облаков и физики формирования молний достигли специалисты Центра глобальной гидрологии и климата NASA, а также сотрудники Лэнгмюровской лаборатории института Нью-Мехико. Результаты последних исследований, по крайней мере до 2008 г., обобщены в работах [1—3]. В российской науке большая доля работ приходится на лабораторные исследования физики пробоя и разрядов в низкотемпературной плазме, газах и смесях газов, близких по составу к земной атмосфере [4, 5], а также построению теоретических моделей и численного моделирования физических процессов, сопровождающих электрические разряды в атмосфере [6]. Сложность в решении самой проблемы механизма формирования грозового разряда во многом связана с тем, что грозовые тучи представляют собой открытый природный резервуар с многофазной средой. Здесь представлены газообразная, жидкая и твердая составляющие, причем концентрации заряженных частиц — свободных электронов, всегда присутствующих в атмосфере, ионов и незаряженных частиц различного размера —

постоянно изменяются в результате столкновений, рекомбинации, ионизации и перезарядки под действием температуры, движения воздушных масс, космических лучей, магнитного поля и потенциала Земли. Следовательно, наряду с электродинамическими процессами последовательный подход должен учитывать и физико-химические процессы взаимодействия между фазовыми составляющими, процессы перезарядки при перемещении воздушных масс в облаках и облаков как одно целое в конвективных и восходящих потоках в атмосфере. Дополнительный импульс к изучению атмосферного электричества был получен после открытия восходящих атмосферных разрядов от вершин грозовых туч через тропосферу до ионосферы — спрайтов, эльфов и голубых джетов [7]. Эти удивительные явления наблюдаются на высоте от 12...20 км от поверхности Земли в приземной атмосфере до 40.90 км и захватывают стратосферу и ионосферу.

Однако в основе всех этих явлений лежит процесс разделения заряда, нарастание электрического поля и последующий пробой воздуха. Сами по себе эти явления носят случайный во времени и пространстве характер, но подготовка разделения заряда и последующее нарастание поля — процесс закономерный, причиной которого является совокупность различных физических факторов. В качестве основных процессов, приводящих к возникновению линейной молнии, предложено три механизма.

Наиболее простой из них — это традиционный пробой на разогретых под действием электрического поля электронах. Часть разогретых электронов, способных к ионизации вещества, генерирует новые электроны и при полях, превышающих пороговое для воздуха значение порядка 10.25 кВ/см, экспоненциальное нарастание вторичных электронов начинает превосходить их гибель за счет рекомбинации, что и приводит к пробою — появлению разряда. Такие разряды в воздухе и сопровождающие их стримеры довольно подробно исследованы в лабораторных экспериментах по получению искрового разряда в газах [4].

Второй подход — пробой на убегающих электронах [6] — предполагает основную причину атмосферного разряда в рождении высокоэнергичных электронов с энергией порядка единиц мегаэлектронвольт при взаимодействии космических лучей с атмосферой. Для таких релятивистских электронов взаимодействие с атомами и ядрами в основном кулоновское и торможение связано с потерями энергии на ионизацию. При больших энергиях электронов сила торможения уменьшается, достигая своего минимального значения при некотором пороговом поле, и при внешних полях больше порогового, равного полю торможения в минимуме силы, электроны ускоряются. При взаимодействии с веществом они генерируют новые электроны, часть из которых в свою очередь рождает новые электроны, таким образом создавая лавину, и в конечном итоге пробой вещества. Энергия поля, необходимая для разгона электронов, до пробоя составляет около 2 кВ/см, что на порядок меньше поля традиционного пробоя. Этот

механизм имеет очевидный выигрыш по энергии, но является ли он основным экспериментально не доказано.

Третий механизм, предложенный в работе [8], основан на рассмотрении потоков заряженных частиц в грозовом облаке, вызванном естественными процессами конвекции и увлечении заряженных частиц восходящими потоками в электрическом поле Земли, что приводит к появлению неоднородного распределения зарядов в облаке, нарастанию электрического поля и появлению локальных областей с полями, превышающими значение пробоя. Данный механизм, являющийся по своей природе случайным процессом, объясняет собирание зарядов с большей части объема облака, появление лидера, величину сопровождющего его поля, что и делает его наиболее близким к реальному процессу разделения заряда, наблюдаемому экспериментально специалистами NASA [9—12]. Настоящая работа, посвященная дальнейшему развитию подхода, предложенного в статье [8]. При этом снят ряд приближений, сделанных в этой статье, при решении основных уравнений.

Перемещение заряженной среды будем описывать в гидродинамическом приближении, считая, что имеем дело со слабоионизован-ным плотным газом, состоящим из электронов, ионов и незаряженных частиц. Исходя из оценок концентрации заряженных частиц порядка 103 см-3 и предполагая примерно постоянной температуру в слое приземной атмосферы (~300 K), можно оценить дебаевский радиус rD = vT/шп ~ 4 см, который превышает расстояние между заряженными частицами и, следовательно, на меньших расстояниях не происходит кулоновского экранирования заряженных частиц. Здесь v2 = kT / m — тепловая скорость электронов, а>п = 1012 с-1 — характерная частота колебаний заряженных частиц.

Будем исходить из уравнений, описывающих закон сохранения импульса (уравнение Навье — Стокса), уравнения непрерывности и уравнения Пуассона для модели слабоионизованного газа. Исходное распределение заряженных областей в грозовом облаке в поле Земли будем принимать отрицательным в нижней части и положительным в верхней части, хотя наблюдаемое распределение заряда несколько сложнее [13—17].

Временное и пространственное распределение электрического поля в данной модели облака может быть найдено из совместного решения уравнений Навье — Стокса в приближении невязкого газа, уравнения непрерывности и уравнения Пуассона для слабоионизо-ванного газа. В одномерном случае имеем:

„ dp до до

-епЕ---mnv(u - и0) = mn--+ mnv—;

дх dt дх

дп + д(пи) = 0,

~dt + дх ~ ' (1)

дЕ

S0 — = 4пе(N0 - п);

дх

J = епи.

Здесь введены обозначения, используемые в работе [8]: е — заряд частицы; m — масса частицы; и — скорость частицы; V — частота соударений частицы со всеми рассеивающими центрами; п — концентрация частиц; N0 — концентрация частиц противоположного знака; ио — скорость нейтральных частиц, с которыми сталкиваются электроны; J — плотность потока частиц; ¿о — диэлектрическая проницаемость среды; p — давление газа, в адиабатическом приближении

кТ

p = (2)

у-1

где у — показатель адиабаты. Вначале будем считать процесс изотермическим на масштабах внутри облака и на временах, предшествующих образованию лидера. Тогда выражение (2) запишем в виде р = кТп. В данной работе, в отличие от [8], мы решаем динамическую задачу, не учитывая, однако, механическую вязкость. Электродинамическая вязкость частично учтена в левой части первого уравнения системы (1) введением члена столкновений и-ио. Перезарядка нейтральных частиц и ионов может быть учтена добавлением в правую часть уравнения непрерывности интеграла столкновений. В первом приближении учитывать процесс перезарядки не будем, учтем его при дальнейшем рассмотрении.

Запишем систему (1) в безразмерном виде, используя следующие обозначения:

е = x/1; т = t/ то; у = eEl/(кТ); р = п13; Ро = N013; и = и / (VI); ио = и / (VI),

/ е2

где / = — — характерное расстояние, на котором энергия кулонов-кТ

ского взаимодействия равна тепловой энергии частиц; mv/ 2 ив2 /2 кТ иТ V " В

концентрация частиц выравнивается за счет диффузии (ив — скорость диффузии, иТ — тепловая скорость частиц; В = кТ / (т V) — коэффициент диффузии). Преобразованную систему запишем в виде

д р ди ди

-Ру-—-тори - ио) = Р—+тоР—;

д£ дт д£

дР____д (Ри) о.

--- = о;

дт д£ (3)

ду 4п , Л

=--(Р-Ро);

¿о

7 = №.

то = 1 ^ = —— = — — время, в течение которого неравновесная

Для безразмерной плотности потока частиц введено обозначение ] = Л 2/(еу).

Преобразуем первое уравнение системы (3) и после интегрирования по переменной % с использованием уравнения непрерывности получим систему (3) в следующем виде:

др 50 ду 50 ду 50 д2у д(рии)

-РУ------— У0--— =--^ + —-- + с(т);

д% 4пдт 4пд% 4пт0Удт2 1

50 ду

- дТ+т"Ури =с2(т); (4)

ду 4п

— =--(Р-Р0);

50

7 = Рu,

где у — константа, у0 = т0уи0; с1(т), с2(т) — постоянные интегрирования С1(г) = у(т, 0), р(т, 0)) и С2(т) = у(т, 0), р(т,0)), которые определяются значениями поля на границе облака. Чтобы выяснить, какую форму должны иметь решения системы (4), рассмотрим систему, состоящую из уравнения непрерывности и уравнения Пуассона. Если предположить, что основную часть воздушного потока составляют заряженные частицы, то плотность тока заряженных частиц можно выразить через проводимость среды и электрическое поле:

7 = & у.

Здесь безразмерная проводимость & = (кТ1 / е2)& в общем случае зависит от концентрации заряженных частиц и возрастает с высотой по экспоненциальному закону [12]. Однако в масштабах грозового облака будем считать проводимость постоянной величиной в среднем по размерам облака. Тогда система из второго и третьего уравнения в (3) будет замкнута и ее можно записать в следующем виде:

др ,ду п

д7+т°& =0;

|Ь--(Р-Р); (5)

50

7 = & 'у.

Первое уравнение можно представить в виде двух уравнений:

др/дт = а

(6)

фу др 4п ,

=--(р-р>).

ар дд 50

В первом уравнении левая часть представляет собой производную / дт, взятую при постоянном значении р, и поскольку в данной системе значение р (£,, т) однозначно определяет у(£ т), то, подставляя значение правой части во второе уравнение, получаем

ио др д7

Отсюда находим связь 7 = и'р + С. Если теперь подставить найденное соотношение в первое уравнение (5), получим уравнение

др = др

~т~ и°

которое описывает волну плотности, распространяющуюся со скоростью и1 в положительном направлении оси х, не изменяя своей формы. Полагая, что все искомые величины зависят, например, от плотности, получим зависимости вида р(£-иот), у(£-иот), ](£-иот). Следовательно, при решении систем (3), (4) можем использовать автомодельное приближение, при котором возмущение плотности, поля или тока движется в пространстве, не меняя своей формы.

Тем не менее точное решение уравнений (5) можно найти и без автомодельного приближения. Полагая неравновесное возмущение плотности распределенным в пространстве по нормальному закону, случайным образом выбираем начальные условия для плотности в виде

_ (х - хо )2

р(о, х) = ро + е 2а2 .

Решение системы (5) имеет вид

у (£т) = аЦ-<еаЬт

р(£,т) = р0 + e 2а2 eabT.

Соответствующие зависимости приведены на рис. 1, на рис. 2 показана фазовая траектория системы.

Как видно на рис. 1, а, напряженность поля возрастает в местах обеднения заряда и с течением времени резко возрастает по мере увеличения амплитуды неравновесной плотности заряда. Образуемая при этом доменная стенка поля движется со скоростью и вдоль направления распространения волны. Дальнейшая эволюция потока должна описываться с учетом включения в рассмотрение первого уравнения системы (4).

б

Рис. 1. Распределение напряженности электрического поля (а) в пространстве и во времени в случае неравновесного распределения плотности заряда (б)

Рис. 2. Фазовая траектория системы Y(p)

Рассмотрим первое уравнение системы (4) в предположении нулевой плотности заряда противоположного знака и выясним, к чему приводит данное предположение. В дальнейшем мы откажемся от этого упрощения. Входящие в уравнение функции плотности и напряженности поля в автомодельном приближении будем считать зависящими от переменной Z = % - Vt Тогда первое уравнение системы (4) после однократного интегрирования по переменной % и исключения скорости может быть записано в виде

dy ^ 2 „ dy

, + ß— + C = 0, dC) dZ

(7)

где

A =

= fS Г

4n)

В = \S 4n

2/o dz \ 4n , _ 4tV , . f4n -y2/2 + y(V-yo)--ci(r)Z--ci(r) +

So SoToV

C2

So

C = ci(r)2/ (tov).

Точное решение уравнения (7) может быть получено при условии, что начальные значения плотности, скорости потока на границе удовлетворяют условию

dy

PoUo = — дт

T = To

Тогда

(8)

у(С) = У0 - V - а • ш [а (С+с)], 1/2

где а = [(V - Уо)2 - С2 ] .

Функция у(С) описывает движение доменной стенки поля со скоростью V, причем амплитуда поля зависит от скорости V.

Константа с2(г) получена при интегрировании уравнения непрерывности по переменной

С2(т) = ро(ТоУЫо - V),

где ро = р(т, 0) — значение плотности на границе облака и окружающей среды, отнесенное к начальной плотности; ио = и/ (у!) —

начальная скорость потока на границе облака; V — скорость профиля потока. Константы интегрирования с1 и с3 определяются из условия произвольного выбора начала отсчета по координате С таким образом, чтобы граничное значение напряженности поля было равным напряженности поля среды у, окружающей грозовое облако.

Зависимость у(£) представлена на рис. 3. Как видно на рисунке, напряженность поля возрастает с координатой и при некотором значении координаты потока происходит срыв линии поля (разрыв). Затем поле начинает снова возрастать. Положение линии разрыва зависит от скорости потока. При изменении параметра скорости линия разрыва смещается в сторону более высоких значений поля и меньших значений координаты разрыва (рис. 4).

Такое поведение с большой долей вероятности описывает процесс нарастания электрического поля в потоке при случайном зарождении неоднородности и по достижении полем критического значения происходит пробой, что обусловливает появление лидера, как было отмечено в работе [8].

Вернемся к системе (4) и учтем плотность частиц противоположного знака N0 ^ о. Первое уравнение (4) проще привести к уравнению относительно плотности частиц, тогда распределение напряженности поля находится путем решения системы относительно плотности и напряженности поля. После исключения из системы скорости и перехода к плотности частиц получим следующую систему уравнений:

d pz)

dZ

p(Z)2 +TV + V2 (p(Z)2 - P02) - 2VP0C2 - c

T0V

p(Z)2 [V (p(Z) -P0 ) + y(Z)P0 - C1

- C1 1 = 0;

(9)

dZ = --(P(Z)-P0 ).

dZ S0

Первое уравнение системы является функциональным дифференциальным уравнением типа уравнения Абеля первого рода с полиномиальными коэффициентами разных степеней и решается путем замены переменных. Предполагая у (£) параметром, можем найти точное решение и распределение плотности. Однако получается довольно громоздкое трансцендентное уравнение относительно плотности, из которого нельзя выразить у (£) явно и подставить во второе уравнение для определения распределения поля. Поэтому мы решали систему уравнений (9) численно, предполагая в качестве начальных условий неравновесное распределение плотности потока и напряженности поля вида (7). Результаты расчетов представлены на рис. 5. Как видно, распределение напряженности поля растет со временем по мере движения потока, оставаясь конечным в заданном распределении координат и времени.

Рис. 3. Разрыв линии напряженности поля при скорости потока 2 ед

Рис. 4. Разрывы линии напряженности поля при увеличении скорости потока до 25 ед

50 z

Рис. 5. Эволюция напряженности поля и плотности заряда в зависимости от координаты при движении потока

Фазовая траектория системы у( р) представлена на рис. 6. Как и ожидается от нелинейной системы, траектория существенно зависит от начальных условий. В частности, при незначительном изменении начальных значений распределения плотности фазовая картина кардинально меняется, причем траектория не занимает определенной области фазового пространства, а существенно растянута по большому объему, что говорит о неустойчивом решении для поля при заданных неравновесных распределениях плотности частиц в потоке. Такое поведение хорошо описывает предлагаемую в работе [8] причину происхождения пробоя воздуха в грозовых облаках, вызванную переносом заряда гидродинамическим потоком и развитие неустойчивости по отношению к нарастанию электрического поля за счет кинетической энергии потока ионизованного газа.

С увеличением скорости напряженность поля нарастает быстрее, однако неравновесное распределение плотности быстрее становится однородным и рост напряженности поля замедляется.

В заключение необходимо отметить, что рассмотрение газодинамического потока в слабоионизованном газе требует учета некоторых граничных значений скорости — «электронной» и «ионной» скоростей звука. При достижении потоком скорости, сравнимой с «ионной» звуковой скоростью и =фг/ (щ дщ) (где р1 — давление в газе ионов, т, щ — масса ионов и их концентрация на линии напряженности поля),

должны появиться разрывы, связанные с появлением ударных волн в ионном звуке. Давление в потоке обусловлено ростом поля и при учете сжимаемости газа получим соответственно линии разрыва напряженности поля как при достижении скорости ионного, так и электронного звука. Учет сжимаемости будет проведен в следующей работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Rakov V.A., Uman M.A. Lightning physics and effects. Cambridge University Press, 2003. 465 p.

2. MacGorman D. R., Rust W. D. The Electrical Nature of Storms, New York: Oxford Univ. Press, 1998. 432 p.

3. Mende S.B. Chang Y.S., Chen A.B. et al., in Sprites, Elves and Intense Lightning Discharges, ed. By M. Fullekrug, E.A. Mareev, M.J. Rycroft (Springer, Berlin, 2006).

4. Базелян Э. П., Райзер Ю. П. Физика молнии и молниезащиты. М., Физ-матлит, 2001. 320 с.

5. Raizer Y.P., Gas Discharge Physics, Springer, New York, 1991. 432 p.

6. Гуревич А. В., Зыбин К. П. Пробой на убегающих электронах и электрические разряды во время грозы // УФН. 2001. Т. 171. № 11. С. 1177— 1199.

7. Гуревич А. В. Нелинейные явления в ионосфере // УФН. 2007. T. 177. № 11. C. 1145—1177.

8. Пустовойт В. И. Об автомодельных решениях уравнений гидродинамики заряженной среды и проблема возникновения молний // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2011. Сер. Приборостроение. Спец. вып. Современные проблемы оптотехники. С. 16—31.

9. Brown K.A., Krehbiel P.R., Moore C.B., Sargent G.N. Electrical screening layers around charged clouds // J. Geophys. Res. 1971. Vol. 76. P. 2825—2835.

10. Global distributions and occurrence rates of transient luminous events / A.B. Chen, et al. // J. Geophys. Res. 2008. 113 p.

11. Meteorological aspects of elves and jets / A.B. Chen et al. // Eos Trans. AGU, 2008. Vol. 89(53), AE13A-0303.

12. A comparative study of the initial sequence of lightning in a small Florida thunderstorm / P.R. Krehbiel, R.Tenni, M. Brook et al.// In Proceedings of the Seventh International Conference on Atmospheric Elecricity, 1984. P. 279—285.

13. Upward electrical discharges from thunderstorms / P. R. Krehbiel, J. A. Rious-set, V. P. Pasko et al. Nat. Geosci. 2008. 1(4). P. 233—237.

14. Three-dimensional fractal modeling of intracloud lightning discharge in a New Mexico thunderstorm and comparison with lightning mapping observations / J.A. Riousset, V.P. Pasko, P.R. Krehbiel, R.J. Thomas et al. // J. Geophys. Res. 2007. Vol. 112. P. 15203.

15. Uman M.A. The Lightning Discharge, unabridged ed. Dover, Mineola, N. Y.: 2001. 377 p.

16. Marshall T.C., McCarthy M. P., Rust W.D. Electric field magnitudes and lightning initiation in thunderstorms // J. Geophys. Res. 1995. Vol. 100 (7), P. 97—104.

17. Mazur V., Ruhnke L. H. Model of electric charges in thunderstorms and associated lightning // J. Geophys. Res. 1998. Vol. 103(23). P. 299—308.

Статья поступила в редакцию 16.10.2012