CC BY
153
ЭЛЕКТРОНИКА, ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И РАДИОТЕХНИКА
УДК 621.396.6
О. А. Голованов, Г. С. Макеева, А. А. Туманов
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕКОМПОЗИЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АВТОНОМНЫХ БЛОКОВ С КАНАЛАМИ ФЛОКЕ НА ОСНОВЕ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ИХ ДЕСКРИПТОРОВ1
Разработан итерационный метод рекомпозиции нелинейных универсальных автономных блоков в виде прямоугольного волновода с каналами Флоке (УБФ) на основе линеаризации их дескрипторов. На каждом шаге нелинейные УБФ в декомпозиционной схеме устройства СВЧ заменяются на линеаризованные УБФ с дескрипторами в виде матриц рассеяния, а затем осуществляется их рекомпозиция. Методом нелинейных УБФ проведено математическое моделирование связанных полосковых линий (СПЛ) с нелинейной диэлектрической нерегулярностью, базирующееся на решении трехмерной нелинейной задачи дифракции.
Введение
Матрицы рассеяния, традиционно используемые в качестве дескрипторов устройств СВЧ, не пригодны для математического описания устройств СВЧ с включениями сред, обладающих сильной степенью нелинейности. В настоящее время разработаны лишь методы декомпозиции и рекомпозиции автономных блоков (АБ) с линейной средой заполнения с дескрипторами в виде многоканальных многомодовых матриц рассеяния [1].
Дескрипторы универсальных блоков в виде прямоугольного параллелепипеда с нелинейной средой заполнения и виртуальными каналами Флоке (УБФ) как математические описания в виде систем нелинейных уравнений, связывающих коэффициенты падающих и отраженных мод на виртуальных каналах УБФ [2], определены в [3].
Целью данной работы является разработка методов декомпозиции и рекомпозиции нелинейных УБФ для математического моделирования устройств СВЧ с нелинейными средами на электродинамическом уровне строгости.
1. Рекомпозиция нелинейных автономных блоков с виртуальными каналами Флоке
При рекомпозиции нелинейных УБФ, а также линейных УБФ с нелинейными в декомпозиционной схеме устройства СВЧ необходимо решать системы нелинейных уравнений [3]:
с-(а) (тт ) = (а) (ттс+ ), а = 1, 2,..., 6, к = 1,2,..., Ма, т = ±1, 2,..., ± М , (1)
1 Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, грант № 05-08-33503.
№ 1, 2007 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника где Na - число учитываемых нормальных волн в а -м виртуальном канале; М - число учитываемых комбинационных частот; с+ - аргумент, который определен на множестве |с1+(1)(ю1), Сц2)(ю1), ..., С+(Р)(Ю/ ),..., cNe (6)(ЮМ )} .
Системы нелинейных уравнений (1), устанавливающие связь между коэффициентами с+(р) (Ю/) падающих и отраженных с-(а) (ют) волн на виртуальных каналах Флоке, являются дескрипторами нелинейного УБФ (дескрипторами линейных УБФ, устанавливающими связь между коэффициентами с+(р)(ю/) и с-(а)(ют), являются матрицы рассеяния [1]).
Функции Fk(а)(ют; с +) описывают нелинейную трансформацию волн
в нелинейном УБФ и могут быть использованы в качестве его дескриптора.
Решение системы нелинейных уравнений (1) - это достаточно сложная и трудно алгоритмизируемая вычислительная процедура. В данной работе предложен итерационный метод рекомпозиции нелинейных УБФ на основе линеаризации их дескрипторов. На каждом шаге нелинейные УБФ в декомпозиционной схеме устройства СВЧ заменяются на линеаризованные УБФ с дескрипторами в виде матриц рассеяния SH , а затем осуществляется их рекомпозиция.
Нелинейные функции Fk (а)(ют; с+) в (1) разложим в ряд Тейлора:
с-(а) (ют ) = Fk(а) (ют;с0 ) +
MLNrdFk(a)«»m; с+), + , ч +0 , „ (2)
;—:—(с«(Р) (Ю/) - с«(Р) (Ю/)) +...
/ =1 р=1 n=1 дсп(Р)(ю/)
где М - число учитываемых комбинационных частот; L - число виртуальных каналов; Np - число типов волн, учитываемых в в -м виртуальном канале.
Учитывая в ряде Тейлора (2) члены до первых частых производных включительно, линеаризуем нелинейную зависимость между коэффициентами с+(р)(ют) и с-(а)(ют), представив ее в следующем виде:
C- = C¿ + SHC+ , (3)
где C¿= C-- ShCo+ .
Матрицы-столбцы C+, C- , C+, C- составлены соответственно из
элементов {с+(Р)(Ю/)} , {Fk(а)(ют; со} , |с+(Р)(ю/)} , {с-(а)(ют)} . Матрица
рассеяния SH скомпонована по комбинационным частотам, входным каналам, типам волн; ее элементы вычисляются следующим образом:
оаР/ \ dFk (а)(ют; с0) ...
S“P (Шт, Ю/) = а( +) . (4)
дсп(Р) (ю/ )
Матрица-столбец С^ состоит из элементов {с^£(и)(ют)} и скомпонована так же, как и матрицы-столбцы С- , С- .
На рисунке 1 показана декомпозиционная схема замещения нелинейного УБФ линеаризованным с дескриптором в виде матрицы рассеяния . Линеаризованные УБФ включаются в декомпозиционную схему через фиктивные АБ V , W , которые имеют следующие матрицы рассеяния:
-
( 0 0' ' 0 I 0 0л
I
I 0 0 0
I 0 I , % -
I 0 0 0
ч 0 0 0
V / V 0 I 0 0,
где I - единичная матрица, 0 - нулевая матрица.
Рис. 1 Декомпозиционная схема замещения нелинейного УБФ линеаризованным с включением его через фиктивные автономные блоки
Включение АБ V и W позволяет осуществить доступ к элементам соответственно матрицы-столбца С^ , и матриц-столбцов С + , С- , что необходимо для организации и контроля сходимости итерационного процесса.
Итерационный процесс рекомпозиции нелинейных УБФ состоит в следующем. Задав начальные приближения для с+, определяем из (4) элементы
матрицы рассеяния и матрицы-столбца С£ для всех нелинейных УБФ,
входящих в декомпозиционную схему устройства СВЧ. Объединяя в декомпозиционной схеме дескрипторы в виде матриц рассеяния линеаризован-
ных УБФ, получаем суммарную матрицу рассеяния волноводного трансформатора (устройства СВЧ) на первой итерации. Зная коэффициенты падающих волн во входных каналах волноводного трансформатора и элементы матрицы-столбца С- , определяем коэффициенты отраженных волн в каналах волноводного трансформатора и элементы матриц-столбцов С+, С- в виртуальных каналах Флоке (выходы 3, 4 фиктивных АБ W ).
Если значения элементов матриц-столбцов С+ и С- удовлетворяют с заданной точностью нелинейным уравнениям (1), то вычислительный процесс заканчивается. Если не удовлетворяют, то переходим к следующей итерации, на которой элементы матрицы рассеяния и матрицы-столбца С-
определяются при начальном приближении С0 - С + из (3), (4), и процесс рекомпозиции линеаризованных УБФ в декомпозиционной схеме повторяется. На последней итерации вычисленные коэффициенты отраженных волн в каналах волноводного трансформатора являются решением исходной задачи дифракции.
2. Математическое моделирование нелинейных устройств СВЧ методом нелинейных автономных блоков с виртуальными каналами Флоке
Формально декомпозиционный подход на основе нелинейных УБФ незначительно отличается от подхода на основе линейных УБФ. Посредством декомпозиции устройство СВЧ расчленяется условными границами на линейные и нелинейные УБФ. Затем составляется декомпозиционная схема устройства СВЧ, которая определяет порядок соединения УБФ между собой и служит источником данных при составлении формализованного задания для системы автоматизированного моделирования устройств СВЧ [1].
На рисунке 2 показана связанная полосковая линия (СПЛ) с нерегулярностью, имеющей нелинейную электропроводность. На сечение 51 падают две волны основного (нечетного) типа с частотами /1 -18,0 ГГц и /1 -18,36 ГГц. Первая волна в точке наблюдения 6 имеет амплитуду сщ)^) -100 В/мм,
вторая - Сщ)(Ю2) - 0,1 В/мм. К нелинейной среде (область 4) приложено постоянное электрическое поле, напряженность которого в точке наблюдения 7 равна Е(ю-) -100 В/мм.
Электрическое поле Е(Ю0) определялось из решения электродинамической задачи для поперечной компоненты электрического поля собственной волны основного (нечетного) типа в СПЛ при /т\п - 0,1 ГГц (для построения единообразного вычислительного алгоритма электростатическая задача рассматривалась как предельный случай электродинамической задачи при Ющт ^ 0 [7], при уменьшении /т\п результаты расчета практически не из-
менялись). Экран в математическую модель введен условно - для определения собственных волн СПЛ. Размеры экрана выбраны достаточно большими, так что его влиянием на результаты расчетов можно пренебречь [8].
А У
г /4 1£Л
0,035 -<
Л \ 1 к
5 7
Рис. 2 Связанная полосковая линия с нерегулярностью, имеющей нелинейную электропроводность: 1, 2 - регулярные СПЛ; 3 - неоднородность; 4 - пленка с нелинейной электропроводностью: е = 12,5; О(|Е|) = 8,16 -10-6 |Е| + 2,784 -10-15 • |Е|3,
"" В ~ "" 1 ~
Е — ,О -------- ; 5 - диэлектрическая подложка е = 12,5; 4,5-ц = 1; 6-8 - точки
_ м ] _ Ом х м ]
наблюдения электрического поля
На поперечном сечении СПЛ с нелинейной нерегулярностью расчленялась на 15 УБФ (из них 3 УБФ между и под полосковыми проводниками СПЛ -нелинейные). В математической модели учитывались следующие комбинационные частоты:
Ш1 = 1ш1 + 0ш2; Ю2 = 0ю1 + 1ю2; Ю3 = — 1ш1 + 1ю2 ;
Ю4 = 2ю1 + 0ю2; Ю5 = 1ю1 + 1ю2 ; Ю6 = 2ю1 — 1ю2.
Число базисных функций для нелинейных УБФ выбиралось равным д = 72 (типа Е — 26 , типа Н — 26 , потенциальных - 20). В виртуальных каналах Флоке линейных и нелинейных УБФ учитывалось 24 типа волн. Виртуальные каналы Флоке с регулярными СПЛ 1, 2 «сшивались» с помощью двух дополнительных линейных УБФ [5], при этом собственные волны СПЛ (учитывалось три типа) определялись методом линейных УБФ [4].
Результаты электродинамического расчета амплитуд с—(а)(ют) отраженных (на сечениях 51 , 52) волн основного (нечетного) типа СПЛ разностной частоты Ю3 (кривые 5, 6) и удвоенной частоты Ю4 (кривые 7, 8) в зависимости от длины I нерегулярности с нелинейной электропроводностью
2
1
3
5
0
2
приведены на рисунке 3, где для сравнения представлены также зависимости (кривые 1-4) амплитуд Сщ^Ю}) отраженных (на сечениях 51, 52) волн с частотами Ю} и ю2 . При I < 0,05 мм, когда напряженность электрического поля на частоте Ю} внутри нелинейной области достаточно велика (и поэтому степень нелинейности проводимости среды относительно высокая), происходит эффективное нелинейное преобразование и возбуждение волн на разностной Ю3 (кривые 5, 6) и удвоенной Ю4 (кривые 7, 8) частотах. При увеличении длины I нелинейно проводящего включения эффективность преобразования частоты снижается, и при I > 0,08 мм амплитуды возбужденных волн на комбинационных частотах Ю3 и Ю4 становятся меньше, т.к. напряженности электрического и магнитного полей взаимодействующих волн с частотами Ю1 и Ю2 уменьшаются из-за омических потерь.
Рис. 3 Эффективность преобразования частоты на нелинейной электропроводности
в СПЛ в зависимости от длины I неоднородности: кривые 1 -
С1(1) (юі)
с1(2)(юі)
; 3 - 10(3 •
С1(1) (ю2)
;4 - 10-3•
С1(2)(ю2)
; 5 -2-10
С1 (1) (“3)
6 - 2-10
■4
С1 (2)(ю3)
; 7 - 10
(1
С1(1) (ю4)
; 8 - 10"1 •
С1 (2) (ю4)
С1+1)(Ю1) = 100 в/мм; Сщ)(ю2) = 0,1 в/мм; Е (ю0) = 100 в/мм
2
На рисунке 4 приведены результаты электродинамического расчета амплитуды с—2) (Ю3) отраженной (на сечении 52) волны основного (нечетно-
71
го) типа разностной частоты Ю3 в СПЛ с нерегулярностью, обладающей нелинейной электропроводностью, в зависимости от амплитуды Сщ)^) падающей волны первой временной гармоники. Аналогичный расчет был проведен в [2] альтернативным методом поперечных сечений [6] на основе декомпозиционного подхода. По степени совпадения результатов расчета этими различными вычислительными алгоритмами можно судить о достоверности полученных результатов математического моделирования.
Рис. 4 Эффективность преобразования частоты в зависимости от амплитуды с+1)(ю1) падающей волны: I = 0,06 мм; С1"+1)(ю1) = 0,1 в/мм; £(ю0) = 100 в/мм; 1 - метод нелинейных УБФ; 2 - результат из [2]
Заключение
Методы декомпозиции и рекомпозиции нелинейных УБФ в электродинамике являются пионерскими, т.к. традиционно используемые в качестве дескрипторов линейных АБ многоканальные многомодовые матрицы рассеяния не пригодны для математического описания структур и устройств СВЧ с включениями сильно нелинейных сред. Впервые итерационным методом получены дескрипторы нелинейных устройств СВЧ на электродинамическом уровне строгости как результат рекомпозиции на основе линеаризации дескрипторов нелинейных УБФ в виде систем нелинейных уравнений, связывающих коэффициенты падающих и отраженных мод на виртуальных каналах УБФ.
Разработанный декомпозиционный метод на основе нелинейных УБФ и
реализующие его вычислительные алгоритмы позволяют в полной мере строить адекватные математические модели электродинамического уровня и проектировать нелинейные устройства СВЧ [9] без экспериментальной подгонки.
Список литературы
1. Никольский, В. В. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики / В. В. Никольский, Т. И. Никольская. - М. : Наука, 1983. - 304 с.
2. Голованов, О. А. Декомпозиционные вычислительные методы решения краевых задач для нелинейных уравнений Максвелла / О. А. Голованов. - Пенза : ПАИИ, 2004.
3. Голованов, О. А. Построение дескрипторов нелинейных универсальных автономных блоков с каналами Флоке итерационным методом на основе проекционной модели / О. А. Голованов, Г. С. Макеева, А. А. Туманов. // Известия вузов. Поволжский регион. - 2006. - № 5 (26). - С. 157. - (Естественные науки).
4. Голованов, О. А. Электродинамический анализ устройств и систем сверхвысоких частот на основе универсальных автономных блоков с каналами Флоке / О. А. Голованов, Г. С. Макеева // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2005. - 8 т. - № 4. - С. 10-18.
5. Голованов, О. А. Электродинамический анализ полосково-щелевых линий с гиротропными нелинейными средами / О. А. Голованов // Радиотехника и электроника. - 1991. - 36 т. - № 3. - С. 467.
6. Свешников А. Г. // Доклады АН СССР. - 1969. - 184 т. - № 1. - С. 139-143.
7. Макеева, Г. С. Математическое моделирование и бифуркационный анализ нелинейных колебаний в резонаторных структурах с распределенными полупроводниковыми включениями / Г. С. Макеева, О. А. Голованов, В. Е. Любченко // Известия вузов. Поволжский регион. - 2003. - №. 3 (6). - С. 137-149. - (Естественные науки).
8. Makeeva, G. S. Numerical Simulation of Nonlinear and Parametric Oscillations in a Semiconductor Resonator Structure. Proceedings of PIERS 2006 / G. S. Makeeva, O. A. Golovanov, M. Pardavi-Horvath // The Electromagnetics Academy, Cambridge. -Cambridge, 2006. - Р. 416-420. - ISBN: 1-933077-08-05
9. Makeeva, G. S. Using Nonlinear Universal Blocks with Floket’s Channels for Accurate Electromagnetic Modeling of Nonlinear Microwave Semiconductor and Ferrite Devices / G. S. Makeeva, O. A. Golovanov, M. Pardavi-Horvath // Proceedings of PIERS 2006, 2-5 Aug. - Tokyo, Japan, 2006. - № 060331054023.
