Электродиффузия зондирующих ионов к поверхности частиц биоколлоидов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2017, том 27, № 4, c. 24-33

= СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ПРИБОРОВ ^ И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МЕТОДИК

УДК544.77.03; 544.034 © А. Г. Варехов

ЭЛЕКТРОДИФФУЗИЯ ЗОНДИРУЮЩИХ ИОНОВ К ПОВЕРХНОСТИ ЧАСТИЦ БИОКОЛЛОИДОВ

В статье предлагается решение электродиффузионной задачи, которое может быть использовано в исследованиях суспензий клеток и других частиц (например, липосом) с применением зондирующих (индикаторных) ионов, но также и в прикладных задачах. Например, при изучении доставки в клетки лекарственных препаратов или при изучении воздействия коротких электрических импульсов на клеточные суспензии. Предполагается, что продолжительность процесса электродиффузии определяется не пулом индикаторных ионов, а условиями на поверхности частиц, т. е. поверхностным и электрокинетическим потенциалами. Адсорбция индикаторных ионов кинетически описывается при малых временах (менее одной миллисекунды) как дрейф ионов в электрическом поле у поверхности частицы и диффузия — при относительно больших временах. Обосновываются оптимальные значения концентрации индикаторных ионов при использовании таких инструментальных методов, как потенциометрический и флуоресцентный анализы.

Кл. сл.: биоколлоиды, зондирующие (индикаторные) ионы, электродиффузия, кинетика связывания, оптимальные концентрации

ВВЕДЕНИЕ

Диффузионные процессы, определяющие потоки веществ и энергии в биологических системах, давно стали предметом многочисленных исследований и, в частности, представляют интерес для развития современной мембранной биофизики.

Исследования биологических мембран с использованием зондирующих (индикаторных) ионов, таких, например, как липофильные катионы тетрафенилфосфония (TPP+) [1] или флуоресцирующих агентов, таких как анилинонафталин-сульфонат (ANS"), связывание частицами которого приводит к возрастанию квантового выхода флуоресценции, использующийся для измерения трансмембранного потенциала, и 9-аминоакридин, использующийся для измерения трансмембранного градиента pH, квантовый выход флуоресценции которого при связывании уменьшается почти до нуля (тушение флуоресценции) [2, 3]. Эти исследования способствовали развитию детальных представлений о строении и свойствах мембран клеток и клеточных органелл, а также модельных частиц (например, липосом) различного происхождения [4].

Более подробно потенциометрические и флуоресцентные методы с использованием индикаторных ионов описаны в работах [5, 6].

Электродиффузионный процесс в целом складывается из трех стадий. Первая из этих ста-

дий состоит из управляемых концентрационными и электрическими (потенциальными) градиентами диффузионных и дрейфовых перемещений электролитов и неэлектролитов к поверхности. Адсорбция этих компонентов, т. е. вторая стадия, сопровождается установлением электрохимического равновесия и формированием стационарных или квазистационарных уровней поверхностных потенциалов. Наконец, последняя стадия состоит в появлении трансмембранных потоков, определяющих уровень метаболических изменений. Отметим, что наиболее быстро протекающей стадией является первая, протекающая в наружном по отношению к частице электролите, тогда как третья стадия — наиболее длительной. Точные решения электродиффузионных задач всегда сопряжены со значительными математическими трудностями.

Формирование потенциометрического ответа при зондировании клеточных суспензий является частью фундаментальной задачи исследования механизмов транспорта электролитов и неэлектролитов через клеточные мембраны. Общая формула для потока к поверхности заряженных и незаряженных частиц (ионов и молекул) выражается в известной классической формулировке как произведение подвижности частиц, их концентрации и полной движущей силы, определяемой градиентами химического (концентрации) и электрического (объемной плотности заряда) потенциалов. Одновременный учет обеих компонент движущей

силы приводит к уравнению электродиффузии, т. е. по отношению к сферической клетке — к диффузии в поле центральной электрической силы. Задача анализа сводится к тому, чтобы максимально упростить сложности математического порядка, возникающие, как уже было отмечено, при решении электродиффузионной задачи. Котык и Яначек [7] цитируют Якобса (M.H. Jacobs) [8], который полагал, что "...в большинстве биологических задач стремиться к математической строгости не только бесполезно, но и ненаучно.". Такой подход, разумеется, не может считаться руководством к действию, но часто является необходимым средством для получения результата.

в котором In (xn), Rn (r, xn) — функции параметров xn, определяемых как положительные корни трансцендентного уравнения xn ctg [(1 - k) xn J = 1, где k = a/b. В частности, например, при k = 0.1 эти корни для n = 1,2,3,4 равны соответственно X = 0.60; x2 = 5.02; x3 = 8.60; x4 = 12.13, а все последующие значения получаются прибавлением ж. Таким образом, ясно, что слагаемые в выражении для концентрации быстро убывают.

Число молекул или ионов, находящихся в момент t в сферическом объеме, ограниченном поверхностями r = a и r = b , равно

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Радиально-симметричная диффузия катионов ТРР+ к сферической клетке при отсутствии электрического поля у ее поверхности определяется уравнением [9, с. 55] (второй закон диффузии Фи-ка)

ас

1 а ( , ас

P (t ) = j>^r 2C (r, t) dr = P0 X An exp (-t/ т),

где

P ( 0) = C03 л( Ь - а3);

т.. = -

A =-

612

' 'n Dx2/ b3(1 -k3)"

— = Б——I г2— I (а < г < Ь )

дt г2 дг ^ дг) v '

с граничными условиями:

а) С (а, t) = 0 (условие "прилипания" Смолу-

ховского), т. е. идеальная адсорбция без отражения; а — радиус частицы (клетки);

б) (дС/дг)| = 0 (нулевой поток через поверхность, ограничивающую элементарный объем); Ь = гср/2 (гср — среднее расстояние между клетками в суспензии); таким образом, поверхность г = Ь — идеально отражающая.

Начальное условие записывается в виде С(г,0) = С0 (а < г < Ь). Б — коэффициент диффузии.

Решение для концентрации ищется [10] методом функции Гринадля решения краевых задач и записывается в виде

ь

С (г,t) = С014лг(г, t, г')dr',

а

где источником диффундирующих частиц при t = 0 считается сферический слой толщины dr' и радиуса а < г '< Ь .

Интегрирование приводит [9] к выражению для концентрации

м ^ (г)

С ( г, t ) = 2С0 Xехр (-Бс^/Ь2),

Доля молекул или ионов, сорбирующихся на поверхности частицы за время t от начала процесса, определяется равенством [9]

f (t) P (P (t) 1 М

JK) P ( ° ) P (0 )■

Функция f (t) представляет собой плотность

вероятности адсорбции индивидуальной индикаторной молекулы или иона (например, ТРР+) за время t от начала процесса, и, следовательно, выполняется условие нормировки

Г f (t) dt=1

Среднее время пребывания молекулы в области а < г < Ь (элементарном объеме суспензии) дается выражением

т =

j™ tdfdt j J° dt J(

™ df . t^- dt 0 dt

j™ df

j0 dt

dt

f (t )i;

=j™ tf dt. 0 dt

Для радиально-симметричной задачи это время равно

т = -

bL _1

D xj

У 1 ь_

D 3 а

Отметим, что время т возрастает с уменьшением концентрации частиц в суспензии.

Недостаток полученного решения состоит

2

b

в том, что концентрация С (г, t) с течением времени неограниченно убывает, тогда как практически диффузионный процесс заканчивается за счет исчерпания мест связывания на поверхности г = а. Другими словами, процесс электродиффузии лимитируется не пулом диффундирующих молекул или ионов, а условиями на поверхности сорбирующей частицы.

Общее уравнение кинетики электродиффузии в поле центральной силы записывается в виде

|—dV + | J • п • dS + | рdV = 0,

V ^ £ V

•дС

где I — dV — скорость изменения концентрации дt

в объеме V; | J • п • dS — поток (массовый и элек-

S

трический) из объема V через поверхность S, ограничивающую этот объем; п — единичная нормаль к поверхности; | рdV — скорость уменьше-

V

ния концентрации диффундирующих ионов за счет реакций с их участием в диффузионном объеме V (р — кинетическая константа закона действующих масс). Отметим, что поглощение индикаторных катионов на граничной поверхности частицы и, следовательно, уменьшение их концентрации неэквивалентно протеканию химической реакции. С другой стороны, уменьшение концентрации при адсорбции должно быть учтено как условие сохранения числа ионов. Это условие будет использовано ниже. Таким образом, положим последний интеграл в кинетическом уравнении равным нулю и перейдем во втором интеграле от потока через поверхность £ к потоку из объема V, ограниченного этой поверхностью (теорема Остроградского—Гаусса). В результате запишем равенство

— + VJ |dV = 0.

дt

Выражение для электродиффузионного потока J как суммы диффузионной и дрейфовой составляющих, известное как уравнение Нернста— Планка для потока, записывается в виде

J = -RT/VС - д/СУр,

где / — механическая подвижность частиц; R — универсальная газовая постоянная; Т — абсолютная температура; д/ — электрическая подвижность (д — заряд частицы); р — электрический потенциал; кроме того, D = RT / — коэффициент

диффузии; знаки " - " означают движение против градиентов концентрации и потенциала.

Отметим, что координатные зависимости химического (концентрации) и электрического потенциалов недоступны прямым измерениям. Известны лишь конечные разности (скачки) таких потенциалов на границах раздела, например, во внутреннем компартменте клетки по отношению к значениям в инкубационной среде снаружи. Исторически эти координатные зависимости предполагались линейными (приближение Ген-дерсона (1908 г.) для концентрации и приближение Гольдмана (1943 г.) для электрического потенциала [7]). Линейное приближение будет использовано и в настоящей статье.

Общее электродиффузионное уравнение второго порядка, таким образом, выражается в виде

— .V и=

дt

дС

= — + RT /•АС + д/и^С •Vр + д/С -Др = 0. дt

Аналитическое решение этого уравнения в общем виде сопряжено со значительными трудностями. Рассмотрим поэтому некоторые предпосылки для упрощения решения общего уравнения. Для этого рассмотрим элементарный объем, заключенный между двумя концентрическими сферами £ и £ радиусов г > а и г + dr . Центр такого объема, по понятным соображениям, совпадает с геометрическим центром сферической частицы. Обозначим диффузионные потоки через поверхности этих сфер соответственно JS и J . . Результирующий поток, направленный к поверхности частицы (клетки), определяется разностью Си - J£ J£ ' ,

а в

относительных единицах — соотношениями ^^ = 2гаТ/г2 и далее Ли = ( 2Сг/г ) J (г, {) . Скорость уменьшения концентрации ионов в элементарном сферическом объеме СУ за счет диффузии к поверхности г = а выражается соотношением

дС

"дГ

си • s • Л = J (г, t)• 4лг2 • 2Сг • dV • Л

= - и* ( Гt).

4л г Сг • г •(

Поскольку эти рассуждения не зависят от физической природы потока, аналогичное соотношение можно записать и для электрической компоненты (дрейфа ионов) потока

дС_

= ~ие1 ( г, t).

г

Рис. 1. Характер изменения концентрации при удалении от поглощающей границы. Кривые 2, 3, 4 соответствуют времени t = 0.2, 0.5, 2 мс от начала диффузионного процесса ^ = 0); линеаризация 1, эквивалентная расчетной кривой 2, образована двумя линейно зависящими от времени отрезками; параметр 8 =(г; - а)/а = 0.6 определяет толщину обедненного сферического слоя по окончании быстрой фазы процесса; значения г1 = 4.2а и (г - а )/ а = 3.2 получены из условия сохранения числа частиц

Рассмотренная схема, строго говоря, относится к области, достаточно далеко отстоящей от поглощающей поверхности частицы, где обе производные дС/дг и дф/дг достаточно малы для того, чтобы можно было пренебречь слагаемым в общем выражении -УС -Уф, содержащим произведение этих производных. Целесообразно далее иметь представление об особенностях концентрационной зависимости в ближайшем окружении поглощающей частицы.

РАСЧЕТ НА ОСНОВЕ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ

На рис. 1 представлены результаты расчетов концентрации на основе точного решения, записанного выше. Расчет концентрации С(г,t) был проделан для трех моментов времени (кривые 2, 3, 4), отсчитанных от начала ^ = 0) диффузионного

процесса, т. е. t = 0.2, 0.5, 2 мс. При этом было достаточно учесть шесть первых слагаемых в выражении для числа частиц Р ^) с постоянными времени т1 = 174, т2 = 2.5, т3 = 0.845, т4 = 0.425,

т5 = 0.257, т6 = 0.173мс, причем для самого короткого промежутка времени (0.2 мс) вклады всех слагаемых были соизмеримы. Линеаризация 1 на рис. 1 соответствует нелинейной расчетной кривой 2. Таким образом, линеаризация сводится к замене нелинейной кривой суммой двух линейных отрезков, построенных для интервала 0 < г < г, соответствующего начальной быстрой фазе процесса и обеднению ближней периферической области частицы, и интервала г < г < г 1, соответствующего установлению равновесия в этой области. Нелинейности в областях а < г < г и г < г < г увеличивают число "избыточных" молекул (по отношению к уровню исходной концентрации См ) в области г < г < г1 и уменьшают число "вакансий" (также по отношению к уровню См) в области а < г < г. Для выполнения условия сохранения числа частиц необходимо отодвинуть границу г = г вправо. Это увеличивает, как видно на рисунке, ошибку линеаризации. Перемещение же границы г = г1 влево уменьшает ошибку линеаризации, но приводит к несохранению числа молекул. Целесообразно стремиться минимизировать ошибку, о чем следует помнить при анализе окончательных выражений.

В целом представленный на рис. 1 билинейный характер изменения концентрации представляется достаточно обоснованным. В самом деле, в начале диффузионного процесса зондирующие молекулы из тонкого слоя а < г < г быстро диффундируют к поверхности; если концентрация молекул достаточно велика, а число мест связывания зондирующих ионов на поверхности мало, изменение концентрации АС также невелико. Быстрая фаза диффузионного процесса заканчивается опустошением (обеднением) тонкой области а < г < г; в дальнейшем, в течение медленной фазы, в объеме суспензии устанавливается равновесная концентрация, протекают процессы установления термодинамического равновесия на поверхности частицы, релаксации двойного электрического слоя и т. д. Хотя в области а < г < Ь зависимость С (г,t) существенно нелинейна, она может считаться почти линейной в области а < г < г. Если зависимость С(г, t) линейна или почти линейна, то д 2С/ дг2 = 0 и, следовательно, приближенно выполняется равенство У2С = (2/г)УС .

Точно так же выполняется аналогичное приближенное равенство для потенциала, т. е. У2ф = (2/г)Уф . Понижение порядка дифференци-

ального уравнения позволяет записать электродиффузионное уравнение в виде

ас = 2D vc + 2^С dt r r

а граничное и начальное условия сформулировать, как и раньше, в виде С (a, t) = 0 при t = 0, т. е. поверхность r = a является идеально поглощающей; (8С/8r)| = 0 при t = 0, т. е. поверхность r = b

является идеально отражающей. Это второе условие означает, что поверхности r = b являются границами зерен или элементарных областей, между которыми обмен ионами отсутствует. Обозначим еще равновесные концентрации: С (r,0) = С0 при a < r < b - начальная равновесная концентрация и С (r, да) = Сда при a < r < b - конечная равновесная

концентрация.

Решение электродиффузионного уравнения запишем в виде линейной зависимости

С(r, t) = A(t)(r - a),

где A(t) — коэффициент пропорциональности,

зависящий от времени. При всех рассматриваемых значениях t выполняется соотношение A(t)(r - a) = const = С ; кроме того, при ограниченном числе мест связывания ионов выполняются приближенные равенства С = С0 = Сда.

Запишем выражение для потенциальной функции, используя приближение Дебая—Хюккеля, в виде, основанном на разделении переменных

р(r, t) = С(t)exP[_-%(r - rc)],

где электрокинетический потенциал £( t) зависит только от времени, а дебаевская длина экранирования lD = 1/ % = (ее0 kBT/2 ne2) определяется

только концентрацией индифферентного электролита n.

Разделение переменных, т. е. запись потенциальной функции в ближайшем окружении частицы

ф°рме р(r,t) = C(t)exP[-^(r -rc)] ,

на самом

деле основано на предположении о том, что структура двойного электрического слоя и положение плоскости г = гс в течение всего диффузионного процесса определяются концентрацией индифферентного электролита, но не концентрацией индикаторных ионов, которая значительно меньше.

Поскольку установление равновесия в медленной фазе процесса связано с перетеканием ионов в обедненную область а < г < г1, то, очевидно,

имеет место приближенное соотношение (условие сохранения числа частиц):

ь г

|АС(г)4^г2дг = |[СЮ - С (г)]4^г2dr,

или

Я

АС

r - r

b - r

14nr 2dr =

= С 4 я( r1 - a3 )-fr' С 3 V 1 ' ia '

r - a . 2, -4л r dr.

Если считать, что на поверхности г = Ь концентрация не меняется существенно в течение всего диффузионного процесса, то можно положить АС = С0 - Ст . Интегрирование приводит к уравнению для безразмерного радиуса г1пр = г1/ а

в функции объемной доли х = АС С сорбировавшихся ионов в форме

V (1 + X) + VI 1 + fl + 1пр| 1 + £ 1 = 3| 1 + ъ ■

X

k J 111р у k2) у k3

где k = a/b. В частности, при х = 0 получаем

3 2 ~> л

Г1ПР + Г1ПР + Г1ПР = 3, т. е. Г1ПР = 1 и r1 = a .

Произведем теперь оценочный расчет доли х, основываясь на экспериментальных данных. Используем для этого результаты потенциометриче-ских измерений, полученные в работе [5]. Добавление в инкубационную среду (физиологический раствор) интактных клеток В^иЬ^Ш приводило к связыванию клетками индикаторных катионов ТРР+. Изменение потенциала измерительного ТРР -селективного электрода после добавления клеток составляло Арэ = 1мВ. Это изменение определялось относительным уменьшением концентрации катионов х = АС/С и могло быть рассчитано в соответствии с равенством Арэ = = ( 2.3RT|F ) ^ (1 + х ) (уравнение Нернста—Планка), откуда следует значение х = 0.04. Подставляя это значение в выражение, записанное выше, для г1пр при k = 0.1 получаем значение приведенного

радиуса г1пр = 4.2 (г1 = 4.2а), отмеченное на рис. 1.

Для оценки времени диффузионного процесса используем известное соотношение (формула Эйнштейна):

г2 = 2Dt,

в котором D — коэффициент диффузии частиц. Относительно значения D для водного раствора

r1 - a

в

тетрафенилфосфония надежных данных нет, поэтому используем полуэмпирическое выражение вида Б = ^2 [11], где к1 — коэффициент, не зависящий от свойств растворителя, к1 = 4-10-5м-с-12 (использованы данные коэффициента ^ для тетрахлорметана), и k2 — коэффициент, не зависящий от свойств растворенного вещества, для воды k2 = 4.151-10-5м-с-12. Таким

образом, получаем Б = 1.6 -10-9 м2 - с-1. Теперь можно оценить среднее время пребывания молекулы в сферическом слое радиуса а < г < Ь , используя приведенное выше выражение

т = (1/3)(Ь2/Б)(Ыа) .

Такое время оказывается равным примерно 200мс. Это означает, что если концентрация мест связывания зондирующих молекул не ограничена, то суммарное их количество спустя время т будет находиться в связанном состоянии. Если же принять долю связанного заряда равной с = 0.04, то при подстановке в формулу Эйнштейна Г = 4.2а и а = 1 мкм получим диффузионное время t = 2.1мс.

Оценим также влияние диффундирующих к поверхности катионов ТРР + на поверхностный потенциал. Для этого зададимся относительным изменением концентрации, как и раньше, равным х = АС/С = 0.04. Тогда для значения концентрации катионов С = 10-5М-л-1 получаем изменение

АС = 10-5 - 0.04 =

АФа =

ч

1

концентрации,

равное

= 4 -10-7 М - л = 4 -10 М - мл . При концентрации клеток N = 109мл-1 число индикаторных катионов ТРР +, сорбирующихся на одной клетке,

АС 4 10 10

равно -N. =^—а—6.023-1023 = 2.4-105. Отме-

N А 109

тим, что при концентрации 109мл-1 среднее расстояние между частицами составляет примерно 10мкм, а параметр k = а/Ь для микронных частиц равен 0.1. Кроме того, для микронной частицы средняя площадь, занятая одним катионом ТРР+ на поверхности, составит примерно (7 х 7 ) квадратных нанометров. Соответственно суммарный заряд на частицу и поверхностная плотность заряда равны

Ч = eАCNa/N = 1.6 -10-19 - 2.4 -105 = 3.83 - 10-14Кл;

е = ч/4ла2 = 3.83-10-14/4я-10-12 = 3.2-10-3Кл-

м

Такой заряд в приближении Дебая—Хюккеля соответствует поверхностному потенциалу

4ж£0еа 1 + %а

3.83 -10-14 - 56.6 -10-10 -103 4ж - 8.85-1012-78.3-1012

= 24.9мВ

(а = 10-6 м; 1Б = 1/^ = 56.6 -10-10 м; е = 78.3). При этом предполагается, что поляризуемость граничной области определяется водой, т. е. е = 78.3. Поскольку в большинстве случаев поверхностный потенциал не превосходит 100мВ и, кроме того, поверхностное значение е может быть несколько меньше, а значение Афа соответственно больше, заданные значения х = 0.04 и концентрация зондирующих ионов 10мкМ оказываются вполне приемлемыми.

Таким образом, в общем случае значения Афа и фа соизмеримы, и, следовательно, поверхностный и электрокинетический потенциалы в исходном электродиффузионном уравнении должны быть функциями времени.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ

Вернемся к исходному уравнению электродиффузии

дС = 2Б уС + уф.

дt г г

Подставляя решение С(г, t) = Л^)(г - а) и выражая по модулю градиенты УС и Уф в виде

УС = дС; Уф=д-ф дг дг

и, кроме того, вводя обозначения С (t) = ф2 ^) и ехр (г - гс ^ = ф (г ) , получим соотношение

(г - а ) = ^ Л^)+ 2"Л( ^ Г - а > ф( г )ф2 (t).

Г г

Деля в этом равенстве обе части на Л^) и интегрируя по t, получаем

(г - а)= Г + ^ г )1 »2 (t) ^

В этом последнем выражении предполагается, что к моменту времени t = 0 + 0 выполняется равенство г ^ = 0 + 0) = гс, т. е. спустя малое время от начала процесса опустошается сферический слой толщиной, определяемой расстоянием от поверх-

2

ности частицы (клетки) до поверхности сферы радиуса, равного радиусу гидродинамического скольжения. Для не слишком малых частиц толщина этого слоя оценивается значением гс - а = 0.7/д . Для микронных частиц при 1С = 60 А (приведено выше) толщина слоя, таким образом, составляет около (40-50) А.

Введя далее обозначение

í

|(2 ^) dt =^2 (t)

и интегрируя по переменной г, получаем общее выражение в виде:

л(0

1п—, 4 ' ч Г( г - а) dr = Л( 0 + 0) '

2Dt+ 2/ир2 (t)

Г Г- '( \

|((г)dr - а{^dr

I;—dt = -ета Ш [-т (а + у )]

где

-%авл

= хае

Рг е рда е

I -dr = -хаехх I -dr =

»Г V 3 Г V

■чс г

е~хгс

ХГс

= 1.

Таким образом, получаем равенство

1 (г - г )21п-^к =

2 (Г1 Гс) 1П Л( 0 + 0)

( г\ 2D1п-^

г

t + 2/¥2 (t) еХР [-Х(Г1 - Гс )].

с /

Используем после этого условие

Л( t )•( г - а ) = Л( 0 + 0) • ( гс - а ) = С,

или

Л^ )

Л( 0 + 0)

г - а

на основании которого запишем

Для интегрирования второго слагаемого в квадратных скобках правой части равенства произведем сначала дифференцирование р (г) в подынтегральном выражении

Г рр( г ) } е'х(г-гс] } е~хг -а I ——dr = -ха I-dr = -хаеХс I-dr.

J г г г

гс гс гс

Используем затем способ интегрирования [12]

(г1 - гс )21п

г - а

= 4Dt 1п г + 4/^2 ^ ) ехр [-х( г1 - гс)].

Деление обеих частей этого последнего выражения на (г1 - гс )2 определяет равенство

1п

г - а

(г1 - гс)

и правило для вычисления интеграла Эйлера

Е1 (- у) при больших значениях аргумента:

е-у

Е (- у ) = - F;—,

у

X {4Dt 1п (^ /гс) + 4/^2 ^)ехр [-х (г - г )]},

которое позволяет записать безразмерную кинетическую функцию в виде суммы диффузионного и дрейфового слагаемых:

ф(t) = t + 4/ехр[-х(^-гс)]^(t) .

(г1 - гс )

(г1 - гс )

„ . 1! 2! 3!

F1 =1 -- + —- — +... у у у

Здесь у = хгс = х • а — аргумент функции Эйлера. Для совокупности значений а = 10-6м; X = 1/ ¡с = 1.765 -108м-1 получаем у = 177 и F = 1. Учитывая дополнительно, что подынтегральная функция ехр (-хг)/г быстро убывает, записываем далее

К моменту окончания быстрой фазы электродиффузионного процесса должно выполняться, как уже отмечалось выше, условие сохранения числа ионов, т. е.

АС •4 п(Ьъ - а3 ) = !г С

^ г - а^ 1--

V г1 - а /

4жг 2dr,

которое после интегрирования приводит к уравнению

3 2 1 k _

г ™ + г 1 + г™ = 4 х—— + 3,

1пр 1пр 1пр

г1 - а

г - а

1

х

к— а

к

ч

(U

X н о

о ч о

Й К К

3

4 о н

л-=0.С)5

0.001

л*=0.005

л-=0.002 л-=0.001

л-=0.0001

Время, мс

Рис. 2. Объемная доля сорбированных ионов (х) и толщина в относительных единицах обедненного сферического слоя ((г1 - а)/а) в функции

времени для суммарной (дрейфовой и диффузионной) (1) и диффузионной (2) составляющих

х

где по-прежнему г1пр = а, х = АС/С, k = а/Ь при х = 0, как и выше, получаем г1пр = 1 и г1 = а .

Сравним теперь диффузионные и дрейфовые слагаемые в дифференциальном электродиффузионном уравнении. Для этого вычислим квадраты перемещений катионов ТРР+ вблизи поверхности частицы (клетки), т. е. при условии г = гс и, следовательно, ехр [-^ (г - гс)] = 1,

й = 2Б, и г2 = 2 (Уф)2 = 0 2.

Учитывая, что Б = (kBT/е) ц, и принимая значения Б = 1.6-10-5см2-с-1, 1Б = 0.566 - 106см, kBT/е = 25.7мВ и С = 60мВ, получаем отношение

= =-БС , = 1.36-108,, или

г2 21Б (kвT/e )2

= 1.16-10^7,.

4г2

Таким образом, при известных параметрах (электрокинетический потенциал частиц или клеток, свойства электролита, температура, а также заданные свойства индикаторных ионов, т. е. прежде всего коэффициент диффузии и подвижность)

временной масштаб определяется множителем -у/, .

Рис. 2 показывает полученное расчетным путем соотношение дрейфовой и диффузионной составляющих электродиффузионного переноса для нескольких последовательных фаз процесса, определяемых объемной долей х сорбированных ионов. При х > 0.0001, т. е. в самом начале процесса, дрейфовые перемещения ионов превышают диффузионные уже при временах t > 10бс. При этом толщина обедненного слоя (r1 - a )a в относительных единицах составляет менее 0.1, а разность Г - a для микронной частицы — менее 0.1 мкм (100 нанометров). Это соответствует быстрой, начальной фазе процесса (см. рис. 1), когда велика напряженность поля, определяемая градиентом ионов V^. Однако при х > 0.001 и (r1 - a)/a =

= 0.4, т. е. r = rc + (5 ^ б)lD, электрическое поле ослабевает настолько, что при временах t = 0.1 мс обе составляющие соизмеримы, а при t > 1 мс полностью преобладает диффузионный поток. Таким образом, для достаточно больших частиц, т. е. при xa >> 1, процесс диффузии начинается как

электрический дрейф катионов TPP+ в сильном поле около поверхности частицы, но в дальнейшем определяется почти исключительно диффузией. Целесообразно поэтому считать, что в полученной кинетической функции

ф(,) = 4Dln(^)t + 4^ехр[-,(r2 -)]^ {t)

( ' - rc )

( Г - rc )

первое слагаемое описывает весь процесс электродиффузии, а второе слагаемое описывает процесс при малых временах. Таким образом, можно составить две системы уравнений, первая из которых может быть записана в форме

3 ? <1 к _

г1пр + г1пр + г^р = 4 х-т- + 3

1п г^ = t = ф1 (t),

. г1 - а (г1 - гс )2

а вторая система — в форме, где первое уравнение получается путем дифференцирования первого уравнения первой системы по переменной х, т. е.

/ , ч 4 (l - к3 )

(Sr^ + 2'inp +i)_ V 7 Sx,

ln

rc - a _ 4^exp \-x(ri - rc )] ri - a (ri - r )2

W2 (t )_Ф 2 (t )•

В первом уравнении второй системы величины 5х и 5г1пр обозначают малые приращения объемной доли сорбированных индикаторных ионов и толщины (в относительных единицах) обедненного сферического слоя. Отметим, что приращение объемной доли определяет характер реального сигнала, характерного для используемой экспериментальной техники, в частности [5], при потен-циометрических измерениях с использованием ионселективного мембранного электрода.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Flewelling R.F., Hubbell W.L. Hydrophobic ion interactions with membranes. Thermodynamic analysis of tetra-phenylphosphonium binding to vesicles // Biophys. J. i986. Vol. 49, no. 2. P. 53i-540.

2. Владимиров Ю.А., Добрецов Г.Е. Флуоресцентные зонды в исследовании биологических мембран. М.: Наука, i980. 320 с.

3. Lemke E.A., Schultz C. Principles for designing fluorescent sensors and reporters // Nature Chemical Biology. 20ii. Vol. 7, no. 8. P. 480-483.

4. Остроумова О.С., Ефимова С.С., Малев В.В., Щаги-на Л.В. Ионные каналы в модельных липидных мембранах. СПб.: Изд. Ин-та цитологии РАН, 20i2. i64 с.

5. Варехов А.Г. Потенциометрические измерения трансмембранного потенциала клеток с использованием проникающих ионов // Научное приборостроение. 20i5. Т. 25, № i. С. 27-35. URL: http://2i3. i70.69.26/mag/20i5/absti.php#abst3.

6. Варехов А.Г. Флуоресцентное зондирование суспензий биологических частиц (обзор) // Научное приборостроение. 20i6. Т. 26, № 2. С. 29-36. URL: http://2i3. i70.69.26/mag/20i6/abst2.php#abst4.

7. Котык А., Яначек К. Мембранный транспорт. Междисциплинарный подход. М.: Изд. Мир, i980. 34i с.

8. Jacobs M.H. Diffusion Processes. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg, i967. i60 p.

9. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии: лекции о моделях. М.: Мир, i983. 397 с.

10. Карслоу Г., Егер Дж. Теплопроводность твердых тел. М.: Изд. Наука, i964. 367 с.

11. Краткий справочник физико-химических величин / Составители: Барон Н.М., Квят Э.И. и др. Л.: Изд. Химия, Лен. oтделение, i967. i82 с.

12. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Изд. Наука, Гл. Ред. физ.-мат. лит., i978. 224 с.

ВЫВОДЫ

Динамические свойства коллоидной системы при добавлении индикаторных ионов определяются всей совокупностью процессов, включая пассивные (конвекцию и перемешивание), но также и электродиффузионный процесс адсорбции ионов, определяющийся свойствами поверхности частиц. Временная структура переходного процесса и соответственно полученные кинетические уравнения отражают все процессы, происходящие на поверхности частиц.

Санкт-Петербургский Государственный университет аэрокосмического приборостроения

Контакты: Варехов Алексей Григорьевич, varekhov@mail. ru

Материал поступил в редакцию 4. i0.20i7

ISSN 0868-5886

NAUCHNOE PRIBOROSTROENIE, 2017, Vol. 27, No. 4, pp. 24-33

THE ELECTRODIFFUSION OF PROBING IONS TO BIOCOLLOIDS SURFACE

A. G. Varekhov

St. Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, Russia

The solution of the electrodiffusion problem that can be used in study of suspensions of cells and other particles (for example, liposomes), using probing ions, but also can be used in application-oriented tasks is proposed in this article. For example, in case of a medicines delivery study in cells or in case of a study of impact of short electrical pulses on cellular suspensions. It is supposed that duration of process of electrodiffusion is determined not by a pool of probing ions, but conditions on surfaces of particles, that are surface and electroki-netic potentials. In case of small times (less than one millisecond) the adsorption of probing ions is kinetically described as drift of ions in an electric field at a surface of a particle and in case of rather big times it is described as diffusion. The best values of probing ions concentration, when using such instrumental methods as the potentiometric and fluorescent analysis, are proved.

Keywords: biocolloids, probing ions, electrodiffusion, binding kinetics, optimum concentration

REFERENСES

1. Flewelling R.F., Hubbell W.L. Hydrophobic ion interactions with membranes. Thermodynamic analysis of tetra-phenylphosphonium binding to vesicles. Biophys. J., 1986, vol. 49, no. 2, pp. 531-540. Doi: 10.1016/S0006-3495(86)83663-3.

2. Vladimirov Yu.A., Dobrecov G.E. Fluorescentnye zondy v issledovanii biologicheskih membrane [Fluorescent probes in a research of biological membranes]. Moscow, Nauka Publ., 1980. 320 p. (In Russ.).

3. Lemke E.A., Schultz C. Principles for designing fluorescent sensors and reporters. Nature Chemical Biology, 2011, vol. 7, no. 8, pp. 480-483.

Doi: 10.1038/nchembio.620.

4. Ostroumova O.S., Efimova S.S., Malev V.V., Shagina L.V. Ionnye kanaly v model'nyh lipidnyh membranah [Ion channels in model lipide membranes]. Saint-Petersburg, Institute of Cytology RAS, 2012. 164 p. (In Russ.).

5. Varekhov A.G. [Potentiometric measurements of transmembrane potential of cells with use of the penetrating ions]. Nauchnoe Priborostroenie [Scientific Instrumentation], 2015, vol. 25, no. 1, pp. 27-35. Doi: 10.18358/np-25-1-i2735. (In Russ.).

6. Varekhov A.G. [Fluorescent probing of biological particles suspensions]. Nauchnoe Priborostroenie [Scientific Instrumentation], 2016, vol. 26, no. 2, pp. 29-36. Doi:

Contacts: Varekhov Aleksey Grigor'evich, varekhov@mail.ru

10.18358/np-26-2-i2936. (In Russ.).

7. Kotyk A., Yanachek K. Membrannyj transport. Mezhdis-ciplinarnyj podhod [Membranous transport. Cross-disciplinary approach]. Moscow, Mir Publ., 1980. 341 p. (In Russ.).

8. Jacobs M.H. Diffusion Processes. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg, 1967. 160 p. Doi: 10.1007/978-3-64286414-8.

9. Marry G. Nelinejnye differencial'nye uravneniya v biolo-gii: lekcii o modelyah [Non-linear differential equations in biology: lectures about models]. Moscow, Mir Publ., 1983. 397 p. (In Russ.).

10. Carslaw H.S., Jaeger J.C. Conduction of Heat in Solids. Clarendon Press, 1986. 510 p. (Russ. ed.: Karslou G., Eger Dzh. Teploprovodnost' tverdyh tel. Moscow, Nauka Publ., 1964. 367 p.).

11. Baron N.M., Kvyat E.I., eds. Kratkij spravochnik fiziko-himicheskih velichin [Quick reference guide of physical and chemical values]. Leningrad, Chemistry Publ., 1967. 182 p. (In Russ.).

12. Dwight H.B. Tables of Integrals and Other Mathematical Data. N.Y., 1966. 336 p. (Russ. ed.: Dvajt G.B. Tablicy integralov i drugie matematicheskie formuly. Moscow, Nauka Publ., 1978. 224 p.).

Article received in edition: 4.10.2017