Электрические поля, создаваемые двойниковыми дефектами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПОЛЯ, СОЗДАВАЕМЫЕ ДВОЙНИКОВЫМИ ДЕФЕКТАМИ

В.А. Тялина1, С.В. Мищенко1, Ю.И. Тялин2

Кафедра «Управление качеством и сертификация», ФГБОУВПО «ТГТУ» (1); vtyalina@mail.ru; кафедра общей физики, ФГБОУ ВПО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина» (2)

Ключевые слова и фразы: двойник; двойникующая дислокация; заряженная дислокация; электрическое поле.

Аннотация: Определена напряженность электрического поля, создаваемого двойниковой границей в кристаллах с заряженными двойникующими дислокациями.

В ряде ионных и полупроводниковых кристаллов дислокации являются заряженными. Причем, в полупроводниковых материалах типа А2В6 электрическим зарядом обладают как полные, так и частичные двойникующие дислокации [1]. Плотности дислокационных зарядов могут быть достаточно велики и достигать долей элементарного заряда е на параметр решетки. Это обстоятельство приводит к дополнительному электростатическому взаимодействию между дислокациями, а также к заметной концентрации не только упругих, но и электрических полей в зонах локальной деформации [2]. Последние могут быть ответственны за различного рода механоэлектрические процессы при пластической деформации кристаллов. Приведем расчет электрических полей, создаваемых в кристалле с заряженными двойникующими дислокациями заторможенным и свободно растущим двойниками.

Заторможенный двойник. Известно, что границы двойников представляют собой ступенчатые скопления двойникующих дислокаций [3]. Поэтому в общем случае задача сводится к численному расчету равновесной конфигурации двойника и суммированию электрических полей отдельных дислокаций. При этом возможно использование нескольких дислокационных моделей двойников [4]. Самой простой и общей из них является одиночная двойниковая граница, в которой все дислокации лежат по одну сторону от плоскости движения головной дислокации (рис. 1). В этом случае уравнения равновесия заторможенного двойника будут иметь следующий вид:

где А = ОЬ / 2п(1 - V), О - модуль сдвига, Ь - вектор Бюргерса, V - коэффициент

Пуассона; xi, yi - координаты дислокаций; X - линейная плотность заряда дислокаций; е - диэлектрическая проницаемость; т - внешнее напряжение. Здесь первое слагаемое соответствует упругому, а второе - электростатическому взаимодейст-

j=

2 A,2 Xj - х,-

+------------------------------------------------------

zb (xj - х, )2 + (- у, )2

t = 0, i = 2, 3,..., n,

(1)

вию /-й и_/-й дислокаций. Смещение соседних дислокаций по оси у равно межпло-скостному расстоянию к в направлении, перпендикулярном плоскости двойнико-ванияуг _у/_1 = к.

В вычислениях использовались следующие значения упругих констант: О = 32 ГПа; Ь = 1,27-10_10 м; к = 3,82-10_10 м; V = 0,3. Величина п менялась от единиц до ста, плотность дислокационных зарядов выбиралась равной 10_3 ед. Св8Е/см. Расчеты равновесной конфигурации двойников показали, что в области допустимых т с хорошей точностью двойник может быть представлен одиночной границей с числом дислокаций п, равным сумме подвижных дислокаций в обеих границах двойника (рис. 2). Видно, что координаты дислокаций в двойнике с двумя границами хорошо совпадают с координатами дислокаций в одиночной границе.

Расчеты напряженности электрического поля Е выполнялись в следующей последовательности. При заданных величинах п и т численными методами определялись равновесные координаты дислокации х/. Затем по известным координатам дислокаций с помощью суммирования находилась величина напряженности поля

т:/ ч 2Х п 1

Е(! ) = — 2-----,

6 /=1^ - 2/

где 2г _ координаты дислокаций скопления; п _ число дислокаций. Действительная и мнимая части Е (2) дают проекции вектора напряженности поля на оси координат.

Понятно, что как абсолютные значения, так и распределение напряженности Е зависят от п и т. С ростом внешних напряжений меняется равновесная конфигурация дислокаций в скоплении. Причем наиболее заметно плотность дислокаций меняется в вершине двойника. На рисунке 3 видно, что увеличение внешнего напряжения приводит к затуплению вершины двойника и выстраиванию дислокаций в стенку со все более увеличивающимся углом наклона к вершине. Максимальное значение ткр соответствует сближению головных дислокаций до расстояния ё = х2 _ х1 = 2,41к. Плотность дислокации в вершине двойника при данных условиях максимальна. Очевидно, что данной предельной конфигурации соответствуют наибольшие значения напряженности электрического поля.

Для определения ткр рассчитывались зависимости ё от т и определялась конечная устойчивая конфигурация двойниковой границы (рис. 4). На рисунке 4 дополнительно приведена аналогичная зависимость для плоского скопления дис-

Рис. 2. Расположение дислокаций в вершине дефектов: 1 _ граница двойника; 2 _ двойник с асимметричным расположе-Рис. 1. Схема двойниковой границы нием дислокаций в границах

2,0

4.0 3,5

3.0

2,5

1,0

1,5

0,5

0 100 200 300 400 r-107, м 34 56789 10 т, МПа

локаций. Видно, что в области предельных (для двойника) значений т расстояние между головными дислокациями в плоском скоплении примерно в полтора раза больше, чем в границе.

При этом различия в значениях координат имеют место для небольшой группы дислокаций (до 20 % от общего их числа) в окрестности вершины двойника. Расположение дислокаций в средней и хвостовой частях обоих скоплений различаются незначительно. Таким образом, при т/ттах < 0,1 двойниковую границу можно достаточно точно описывать как плоское скопление.

Результаты расчета напряженности электрического поля приведены на рис. 5, где представлены данные для напряженности поля Е, создаваемого всеми подвижными дислокациями (п - 1) в точке нахождения головной дислокации

ние напряженности поля, создаваемое плоским скоплением (кривая 2) при тех же значениях т. Величины Е в этом случае несколько меньше, чем для двойниковой границы. Это понятно, так как при одной и той же величине т плотность дислокации в двойнике будет больше чем в плоском скоплении. Это связано с тем, что дислокации в соседних плоскостях отталкиваются друг от друга слабее, чем в плоском скоплении. С приемлемой точностью распределение напряженности поля в вершине двойника можно заменить аналогичным распределением для плоского скопления, которое может быть получено в конечном виде [3]. Исключением является область т непосредственно вблизи т = ткр.

Изменение напряженности поля Е за пределами скопления приведено на рис. 6. На малых расстояниях х ~ 1 мкм напряженность поля Е может достигать значений ~104 В/см. Такие значения Е близки к напряженности электрического пробоя атмосферного воздуха. Здесь также следует учесть, что использованные в расчетах значения X существенно меньше предельных плотностей дислокационных зарядов. В этой области расстояний расчеты с использованием плоской и ступенчатой моделей скопления дают практически одинаковые результаты.

Свободно растущий двойник. Выше отмечалось, что при определенных условиях заторможенный двойник может быть заменен плоским скоплением двой-никующих дислокаций. Для свободно растущего двойника, удерживаемого только силами трения, это приближение будет еще более точным, поскольку плотность

Рис. 3. Координаты головных дислокаций двойника при различных внешних напряжениях: 1 - т = 11,7 МПа; 2 -т = 5 МПа; 3 - т = 1 МПа

Рис. 4. Зависимость расстояния между головными дислокациями от приложенного напряжения: 1 - плоское

скопление; 2 - двойниковая граница

плоское

S-10-8, м

ЕТ0-5, В/м

Рис. 5. Напряженность поля в вершине скопления: 1 - граница двойника; 2 -плоское скопление дислокаций

Рис. 6. Распределение напряженности электрического поля на продолжении двойниковой границы

дислокаций в его границах будет меньше, чем в заторможенном двойнике. Дислокационная схема двойника, развивающегося под действием сосредоточенной нагрузки, приведена на рис. 7.

Двойник растет под действием внешнего напряжения т(х) и удерживается напряжением трения т ,. Зададим внешнее напряжение полем дислокации с вектором Бюргерса тЬ, где т целое число. Уравнение равновесия будет иметь следующий вид

l2

— Db f

Р«*+'m^b - ,s=o,

j t — x

11

(2)

где Б = А/Ь; /1, 12 - левая и правая границы скопления соответственно; р(/) - плотность дислокаций в скоплении.

Решение (2), ограниченное в точках х = 11 и х = 12, являющихся границами скопления, дается выражением [5]

1 ______________________l2

Р( х) =-------2 у! (2 — x)x —11 ) f

w(t )dt

(t — x)yl (¡2 — t )(t — li )

(3)

где

. . тЬ т, w(t) =------.

Значения 11 и 12 находятся из системы уравнений, одно из которых является условием нормировки

І2

f р( x)dx

= nb,

(4) v

li

а другое - условием существования решения уравнения (2)

l2

fV(l2

ILL _L _L _L _L

w( x)

V(l2 — x)( x —11)

dx = 0.

(5)

Рис. 7. Дислокационная схема свободного двойника

x

т

л

x

Выполнив интегрирование в (3), получаем

Р( x) == “7= “V (І2 — x)(x —11). (6)

п^1112 X

Для определения величин ¡1 и ¡2 имеем из (4)

(А-Л)2 = пЬ, (7)

2л/ ¡112

и (5)

-1= = —. (8)

ОтЬ

Решая систему уравнений (7) и (8), получаем

¡1 = ^п + т -д/(п + т)2 -т2^; (9)

¡2 = Ь^^п + т + д/(п + т)2 -т2^. (10)

Зная плотность р(х), можно найти напряженность электрического поля Е(7) скопления

е(2) = '2^_т= і (2 ^^/(1237)1137)-^/71/2). (11)

Є 7/1/2 7

Здесь берется главное значение корня в комплексной плоскости с разрезом вдоль оси х от ¡і до ¡2. В полярных координатах выражение (11) примет следующий вид:

Е(г, ср) = —(і - г-1е-гфЛ/Т^гг(ф1 +ф2)/2 - ^г-1е-гф) =

Є УІ¡1¡2

2Х m

f /— ГГГ Л

Є л/1112 V

1 — у Г1Г2 с—г(ф1 +Ф2 — 2ф)/2 Vl1l2 g—гф

(12)

где

Г1 =>/(* - ¡1 )2 + У 2; Г2 = у!(х - ¡2 )2 + У2; г = д/X2 + у2;

Р1 = аг^^-; р2 = агхХ^-^-; р = аг^У.

X - ¡1 X - ¡2 х

Соответственно составляющие вектора Е по осям координат будут равны

Ex (r, Ф) = —<¡1— 2LÜ2 cos[1 +Ф2 — 2ф) / 2]— ]-1-2 cos ф!, (13)

Є V-1-2 I Г Г J

Ey (r, ф) = — —= [—^^[1 +ф2 — 2ф)/2] — ^^sin ф'і. (14)

В 7/1/2 I г г ,

На рисунке 8 приведены кривые изменения плотности дислокации р по длине скопления при различных соотношениях величин т и п. Хорошо видно, что с ростом т скопление удаляется от источника и плотность дислокаций в нем уменьшается. Соответственно и напряженность электрического поля существенно выше у границы 1\ (рис. 9). Кривые 1 и 2 на рис. 9 показывают изменение напряженности в окрестности обеих границ скопления.

r

r

р-10-4, 1/м

Рис. 8. Плотность дислокаций в скоплении: 1 - m = 50, n = 50; 2 - m = 100, n = 50

E-10-4, В/м

Рис. 9. Изменение электрического поля в плоскости скольжения дислокаций: 1 - т = 20, и = 50; 2 - т = 50, и = 50

В зависимости от величины электрического заряда дислокаций, напряжений источника дислокаций и сопротивления кристалла сдвигу величина напряженности поля у левой границы скопления может достигать значений ~104 В/см, сравнимых с напряженностью электрического пробоя воздуха.

Список литературы

1. Перенос электрического заряда полными и частичными дислокациями в ZnS / А.В. Зарецкий [и др.] // Физика твердого тела. - 1983. - Т. 25, № 3. -С. 715-726.

2. Тялин, Ю.И. Скопления заряженных дислокаций и зарождение трещин в неметаллических кристаллах / Ю.И. Тялин, В.М. Финкель // Докл. АН СССР. -1984. - Т. 279, № 5. - С. 1126-1130.

3. Федоров, В. А. Дислокационные механизмы разрушения двойникующихся материалов / В.А. Федоров, Ю.И. Тялин, В.А. Тялина. - М. : Машиностроение-1, 2004. - 336 с.

4. Тялин, Ю.И. Дислокационные модели двойниковых дефектов и зарождение трещин в вершине заторможенного двойника / Ю.И. Тялин, В.А. Тялина // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естественные и техн. науки. - 2011. - Т. 16, вып. 3. -

С. 793-796.

5. Владимиров, В.И. Дискретно-континуальное рассмотрение дислокационных скоплений / В.И. Владимиров, Ш.Х. Ханнанов // Физика металлов и металловедение. - 1969. - Т. 27, № 6. - С. 960-975.

Electric Fields Created by Twin Defects

V.A. Tyalina1, S.V. Mishchenko1, Yu.I. Tyalin2

Department “Quality Management and Certification ", TSTU (1); vtyalina@mail.ru; Department of General Physics, Tambov State University named after G.R. Derzhavin (2)

Key words and phrases: charged dislocation; electric field; twin; twin dislocation.

Abstract: The intensity of electric field created by twin boundary in crystals with charged twin dislocations has been determined.

Elektrische Felder, die von den Zwillingsdefekten geschaffen werden

Zusammenfassung: Es ist die Gespanntheit des elektrischen Feldes, das mit der Zwillingsgrenze in den Kristallen mit den geladenen Zwillingsdislokationen geschaffen wird, bestimmt.

Champs électriques créés par les défauts jumeau

Résumé: Est définie la tension du champs électrique créé par une limite jumeau dans les cristaux avec les dislocations chargées de macle.

Авторы: Тялина Валентина Анатольевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Управление качеством и сертификация»; Мищенко Сергей Владимирович - доктор технических наук, профессор, научный руководитель кафедры «Управление качеством и сертификация», ФГБОУ ВПО «ТГТУ»; Тялин Юрий Ильич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей физики, ФГБОУ ВПО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина».

Рецензент: Поликарпов Валерий Михайлович - доктор химических наук, профессор кафедры «Физика», ФГБОУ ВПО «ТГТУ».