Эластичность алгоритмов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2010

Секция 6

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ И ПРОГРАММИРОВАНИЯ

УДК 519.1

ЭЛАСТИЧНОСТЬ АЛГОРИТМОВ

В. В. Быкова

Современная индустрия программного обеспечения и средств информационной безопасности компьютерных систем диктует необходимость развития специальных методов анализа и классификации алгоритмов. В теории сложности вычислений классификация алгоритмов традиционно осуществляется с точки зрения вычислительной сложности — трудоемкости продуцируемых алгоритмами вычислительных процессов. При этом вычислительная сложность алгоритма формально описывается функцией временной сложности ¿(п), отражающей максимальное количество элементарных шагов, которое необходимо алгоритму для достижения запланированного результата в зависимости от п — длины входа алгоритма [1]. Обычно ограничиваются рассмотрением поведения функций сложности в асимптотике при стремлении п к бесконечности, а изложение результатов ведется в терминах О-большое и о-малое [2]. До недавнего времени алгоритмы подразделяли на низкозатратные (полиномиальные) и высокозатратные (экспоненциальные). В сегодняшней программной инженерии используется пять слож-ностных классов алгоритмов. Выделены субполиномиальные (быстрые) алгоритмы из полиномиального класса, субэкспоненциальные и гиперэкспоненциальные алгоритмы из экспоненциального класса. Субполиномиальные и субэкспоненциальные алгоритмы — область повышенного интереса современных криптографических систем [3]. Использование непосредственного асимптотического оценивания для распознавания всех пяти сложностных классов алгоритмов в большинстве случаев сопряжено с трудностями вычислительного характера.

В данной работе в качестве меры вычислительной сложности алгоритмов взята эластичность функций ¿(п). Относительно функций ¿(п) сделан ряд естественных допущений. Во-первых, полагается, что ¿(п) —монотонно неубывающие функции, областью значений которых выступает множество неотрицательных действительных чисел, а областью определения — множество неотрицательных целых чисел. Во-вторых, допускается отступление от дискретности изменения п (с формальной заменой п на ж), т. е. предположение о том, что аргумент ж непрерывен, а необходимые значения ¿(п) вычисляются в целочисленных точках ж = п. В-третьих, рассматриваемое множество функций ограничивается семейством £ — «по-существу положительных» логарифми-чески-экспоненциальных функций. Установление указанных границ рассматриваемого множества функций обеспечивает существование эластичности и возможность сравнения любых двух функций сложности алгоритмов по скорости роста.

Эластичный (греч. еЫвЬгков)—упругий, гибкий. С физической точки зрения эластичность — это свойство вещества оказывать механическое сопротивление силе, которая на него воздействует, и принимать исходную форму после спада данной силы. Противоположность пластичности. Изучается в теории упругости. С экономической

точки зрения эластичность — это характеристика изменения одного показателя (например, спроса) к другому показателю (например, цене товара). Используется в эконометрике для анализа производственных функций. С математической точки зрения эластичность Ex (y) — коэффициент пропорциональности между темпами роста величин y = t(x) и x — дифференциальная характеристика функции y = t(x), определяемая как предел отношения относительного приращения этой функции к относительному приращению аргумента:

Ex(y) = lim (^ ^) = X lim Д = Xy = x(lny)' = (ШТ.

Дх^О у y X J y Ax^0 Дх y (ln x)'

Таким образом, если Ex(t) — эластичность функции временной сложности y = t(x),

то это означает, что при повышении значения x (длины входа алгоритма) на один про-

цент значение t (время выполнения алгоритма) увеличится приблизительно на Ex(t) процентов.

В работе [4] доказано, что семейство монотонно неубывающих, «по-существу положительных» L-функций можно разбить на классы Subpoly, Poly, Subexp, Exp, Hyperexp, для которых свойственно специфическое поведение эластичности на бесконечности. Это позволяет формально описать пять современных сложностных классов алгоритмов. Класс быстрых алгоритмов — множество алгоритмов с функциями сложности t(x) £ Subpoly. Таким алгоритмам присуща тождественно нулевая или бесконечно малая эластичность. Класс полиномиальных алгоритмов — множество алгоритмов с t(x) £ Poly и асимптотически постоянной эластичностью Ex (t). Класс суб-экспоненциальных алгоритмов — алгоритмы, для которых t(x) £ Subexp. Эластичность Ex(t) субэкспоненциального алгоритма — бесконечно большая величина, такая, что 1 -< Ex(t) -< x. Для подобного алгоритма темп роста времени выполнения значительно выше темпа роста длины входа. Класс экспоненциальных алгоритмов — это алгоритмы с t(x) £ Exp. Для них эластичность Ex(t) = O(x) —бесконечно большая величина, асимптотически пропорциональная линейной функции. Функции с аналогичной эластичностью описывают законы естественного роста: скорость увеличения функции прямо пропорциональна ей самой. Класс гиперэкспоненциальных алгоритмов — множество алгоритмов с t(x) £ Hyperexp и x -< Ex(t). Темп роста гиперэкспо-ненциальных функций настолько высок, что не укладывается в законы естественного роста. В настоящее время алгоритмы класса Hyperexp практически неосуществимы при большой длине входа.

Классификация алгоритмов по асимптотике поведения эластичности функций сложности не разрушает прежней, традиционной классификации с полиномиальными и экспоненциальными алгоритмами, а лишь дополняет и уточняет ее. Свойства эластичности позволяют без особого труда вычислять ее для любой L-функции.

В экономических науках наибольший интерес вызывают эластичные и абсолютно (совершенно) эластичные зависимости. Функция временной сложности алгоритма описывает обратную зависимость, нежели производственная функция: если производственная функция — это связь «ресурсы^- объем», то функция сложности алгоритма — «объем исходных данных^- ресурсы». Поэтому естественно то, что в теории сложности вычислений эффективными считают быстрые (совершенно неэластичные) и полиномиальные (эластичные) алгоритмы. Алгоритмы с функциями сложности из классов Subexp, Exp, Hyperexp целесообразно называть абсолютно эластичными. В асимптотике темп роста времени выполнения абсолютно эластичных алгоритмов «взрывается»

даже при небольших изменениях объема исходных данных, поступающих на вход алгоритмов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Юдин Д. Б. Математики измеряют сложность. М.: Книжный дом «Либроком», 2009. 192 с.

2. Быкова В. В. Математические методы анализа рекурсивных алгоритмов // Журнал СФУ.

Математика и физика. 2008. №1(3). С. 236-246.

3. Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. М.: МЦНМО, 2006.

336 с.

4. Быкова В. В. Метод распознавания классов алгоритмов на основе асимптотики эластичности функции сложности // Журнал СФУ. Математика и физика. 2009. №2(1). С. 48-61.

УДК 681.3

АНАЛИЗ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ С РЕСУРСАМИ: ВЫЯВЛЕНИЕ НЕНАДЁЖНЫХ И НЕБЕЗОПАСНЫХ ОПЕРАЦИЙ1

В. В. Горелов

Современное программное обеспечение обладает большим числом разнообразных свойств. Их можно условно разделить на положительные — это те, которые позволяют решить задачу оптимальным методом, и отрицательные, которые мешают задуманному решению. Среди отрицательных свойств программы основными являются ненадёжность и небезопасность. Под надёжностью программы (или программно-аппаратного комплекса) подразумевается её способность, путём действия или бездействия, работать без причинения вреда вовне. Под безопасностью — устойчивость к внешнему воздействию, которое может нарушить работу программы. Данные понятия связаны друг с другом, но существуют разные методы для разработки надёжных и безопасных программ. Здесь предложен метод обнаружения (в процессе работы отлаживаемой программы) нежелательных с точки зрения надёжности и безопасности моментов её работы. Обнаружение подразумевает не только выявление факта нарушения правильной последовательности работы с ресурсами, но и предоставление разработчику детальной информации о конкретном месте ошибки в исходном коде программы. Кроме того, предоставляется информация о ходе её появления в случае не одномоментного (не в одном месте программы) её проистечения.

Уникальность предложенного метода в том, что число ресурсов, с которым он может работать, заранее не ограничено. Такой подход разработан потому, что для большого числа разных ресурсов был замечен общий класс однотипных ошибочных конструкций в программах. В частности, к этому классу отнесены следующие шаблонные ошибки: утечки ресурсов; использование ресурсов после их освобождения; повторные освобождения ресурсов; использование (неинициализированных) ресурсов без их предварительного захвата; использование ресурсов за их границами (относится к динамической памяти и адресному пространству); нарушение вызываемого механизма захвата и освобождения ресурсов (функция захвата возвращает идентификатор ранее захваченного и ещё не освобождённого ресурса) и другие.

Для решения задачи представления неограниченного количества ресурсов разработан язык описания ресурсов (для языка программирования Си). Для описания ресур-

1 Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (гос. контракт № П1010).