Анализ воздействия параметра на вычислительную сложность параметризированного алгоритма Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Притыкин, Ф. Н. Автоматизированный способ оценки взаимного положения фрагментов изображений на чертежах металлорежущего инструмента / Ф. Н. Притыкин, Е. Е. Шму-ленкова // Вестник СибАДИ. — 2011. — № 1 (19). — С. 59 — 62.

7. Фокс, А. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве / А. Фокс, М. Пратт. — М. : Мир, 1982. - 304 с.

ПРИТЫКИН Фёдор Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная

графика» Омского государственного технического университета.

Адрес для переписки: Pritykin@mail.ru ШМУЛЕНКОВА Елена Евгеньевна, ассистент кафедры «Инженерная графика и механика» Омского государственного аграрного университета им. П. А. Столыпина.

Адрес для переписки: elenashmulenkova@rambler.ru

Статья поступила в редакцию 30.11.2011 г.

© Ф. Н. Притыкин, Е. Е. Шмуленкова

УДК 510.52+004.051 в. В. БЫКОВА

Сибирский федеральный университет, г. Красноярск

АНАЛИЗ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПАРАМЕТРА НА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ СЛОЖНОСТЬ ПАРАМЕТРИЗИРОВАННОГО АЛГОРИТМА________________________________________

Приведены некоторые положения параметризированной алгоритмики — нового направления теории сложности вычислений. Предложены математические основы анализа степени влияния параметра на время выполнения параметризированного алгоритма.

Ключевые слова: параметризированные алгоритмы, анализ алгоритмов, эластичность алгоритмов.

1. Введение. С позиции классической теории сложности большинство задач, имеющих важное практическое значение, ЫР-трудные. Классическая теория сложности анализирует и классифицирует задачи и алгоритмы по объему ресурса (преимущественно времени), необходимого для достижения требуемого результата, и потому оперирует функциями вычислительной сложности Цп), зависящими от одной переменной п — длины входа алгоритма. Такая одномерность и ориентация в анализе алгоритмов на худший случай зачастую делает задачи сложнее, чем они есть на самом деле. Для практического решения ЫР-трудных задач были предложены многие подходы, среди которых параметризированные алгоритмы. Параметризированные алгоритмы направлены на поиск точных решений ЫР-трудных задач, когда параметр решаемой задачи мал по сравнению с длиной входа алгоритма. Роль этого параметра — учесть структуру входных данных алгоритма и выделить основной источник неполиномиальной сложности ЫР-трудной задачи. При парамет-ризированном подходе используются двумерные функции вычислительной сложности (далее просто функции сложности) алгоритмов. Такой подход создает основу для детальной классификации задач, труднорешаемых в классическом понимании, а также для развития новых методов анализа и разработки эффективных алгоритмов решения ЫР-труд-ных задач.

Приведем необходимые понятия и обозначения параметризированной алгоритмики [1-3]. Пусть задан некоторый язык ЦП)сЕ*хН, где Е — конечный алфавит, Е* — множество всех слов в данном алфавите и Ы — множество всех неотрицательных целых

чисел. Параметризованная задача П состоит в том, что для -ЦП) и пары (I, k)eE*xN требуется определить, является ли (I, к) элементом -(П). Для алгоритма а, решающего данную задачу, (I, к) называют входом, I — его основной частью, n = 111 — длиной входа и к — параметром задачи. Алгоритм а называют параметризированным, если его вычислительная сложность, определяемая количеством времени исполнения, оценивается с точки зрения n и к. Итак, функция сложности параметризированного алгоритма, устанавливающая время его работы, — функция двух переменных t(n, к).

Параметризованную задачу П считают разрешимой с фиксированным параметром, или FPT-разрешимой (Fixed-Parameter Tractable) относительно параметра к, если она может быть решена некоторым параметризированным алгоритмом за время

t(n,к) = O(nO(1) ■ f(к)) (1)

для вычислимой функции f, зависящей только от к. Порядок роста функции f(k) не ограничен. Так, возможно f(k) = 2o(k) или f(k)=2O(k). Соответствующие параметризированные алгоритмы, решающие такие задачи, называют FPT-алгоритмами. Следует отметить, что для одной и той же NP-трудной задачи могут существовать различные параметризации (различные формулировки относительно разных параметров).

С теоретической точки зрения все FPT-разрешимые задачи могут быть решены за полиномиальное время при каждом фиксированном значении к. Однако реально это удается осуществить, как правило, лишь при малых значениях параметра. Ясно,

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012

что в БРТ лежат все полиномиально разрешимые задачи. С точки зрения теории и практики, наибольший интерес представляют БРТ-разрешимые задачи, являющиеся ЫР-трудными (в классическом понимании).

Параметризированный подход в теории сложности вычислений развивается по нескольким направлениям: определение иерархии классов сложности параметризированных задач, установление условий БРТ-разрешимости, выявление взаимосвязи между параметризированной сложностью и классами приближенных алгоритмов, развитие методов анализа и разработки параметризированных алгоритмов. Представленные в данной работе результаты касаются последнего направления — вопросов анализа параметризированных алгоритмов. В настоящее время для этих целей традиционно применяются методы классической (одномерной) теории сложности. Между тем классическая одномерность ограничивает глубину анализа параметризированных алгоритмов.

В данной работе предлагается показатель вычислительной сложности параметризированного алгоритма, с помощью которого можно измерять темп роста функции многих переменных и анализировать степень влияния параметра на время исполнения алгоритма. Этим показателем является частная эластичность функции сложности алгоритма. Представленные в работе положения являются обобщением и расширением результатов автора, опубликованных в [4-5] применительно к одномерной теории сложности вычислений.

2. Эластичность как показатель сложности алгоритма. Формальный подход к анализу параметризи-рованных алгоритмов требует уточнения свойств их функций сложности. Во-первых, без потери общности мы будем рассматривать функции сложности только от двух переменных. Во-вторых, полагаем, что ^п, к) — монотонно неубывающие функции по обоим аргументам, областью значений этих функций выступает множество неотрицательных действительных чисел, а областью определения — множество ЫхЫ. В-третьих, допускаем возможность отступления от дискретности изменения п и к (с формальной заменой п на х, а к на у), т.е. считаем, что аргументы функции t(n, к) непрерывны, а необходимые значения вычисляются в целочисленных точках х = п и у=к. Руководствуясь данным допущением, ниже вместо ^п, к) будем писать z(x, у). В-четвертых, мы исходим из того, что большинству алгоритмов свойственны функции сложности, представимые в виде Ь-функций («по-существу положительных», логарифмически-экспоненциальных функций). Функция z(x, у) считается «по существу положительной», если существуют такие значения х0, у0, что z(x, у)>0 для всех х>х0, у>у0. Семейство Ь-функций определено рекурсивно и всякая функция z(x, у)еЬ представима в виде z(x, у) = е у), где ш(х, у)еЬ. Заметим, что каждая

Ь-функция непрерывна и дифференцируема в той области, где она определена. Это является гарантией существования эластичности для функций сложности алгоритмов.

Рассмотрим вначале одномерный случай. Под эластичностью Ех^) функции z = z(х) принято понимать предел отношения относительного приращения этой функции к относительному приращению аргумента:

, . .. ( Dz Dx dz dx

Ex(z) =Alimnl — :------------ = —:— =

Dx ®n I z x I z x

dz x x

■-------— = z — = x(ln z) .

dx z z

При z = z(x)eL всегда Ex(z)>0. Примечательно, что иерархия эластичностей порождает идентичную иерархию L-функций [4]: если Ex(z1)<Ex(z2), то zt(x)< <z2(x). Здесь и далее отношение < следует понимать так: zt(x)<z2(x) тогда и только тогда, когда zt(x) = =o[z2(x)]. Согласно (2) эластичности Ex(z) присущи свойства, сходные со свойствами операций логарифмирования и дифференцирования, поэтому для L-функций она легко вычисляется. Кроме того, при Dx ® П справедливо приближение:

Dz с , , Dx

— » Ex(z) —,

zx

которое свидетельствует, что Ex(z) — коэффициент пропорциональности между темпами роста переменных z и x: если z= z(x) — функция сложности некоторого алгоритма, то при повышении значения x (длины входа алгоритма) на один процент, значение z (время выполнения этого алгоритма) увеличивается приблизительно на Ex(z) процентов.

В работе [5] доказано, что при больших значениях аргумента в поведении эластичности L-функций наблюдаются определенные закономерности: разным (по скорости роста) классам L-функций свойственно принципиально различное поведение эластичности. Этот факт отражает следующая теорема.

Теорема. Разбиение семейства монотонно неубывающих, «по существу положительных» L-функций на классы SUBPOLY, POLY, SUBEXP, EXP, HYPER-EXP в соответствии с порядком их роста эквивалентно надлежащему разбиению по асимптотике эластичности этих функций на бесконечности:

SUBPOLY =

: {z(x) | z(x) • eO((n x)} ° {z(x) | Ex (z) = o(l)};

(3)

POLY =

= {z(x) |z(x) = O[eO(lnx)]} ° {z(x) | Ex(z) = O(l)}; (4)

SUBEXP =

= {z(x) | eO(ln x) • z(x) • eO(x)} ° {z(x) |l • Ex (z) • x}; (5) EXP = {z(x) |z(x) = O[eO(x)]} ° {z(x) | Ex(z) = O(x)}; (6)

HYPEREXP

= {z(x) | eO(x) • z(x)} ° {z(x) | x • Ex (z)}.

(7)

Данная теорема порождает пять классов слож-ностных классов алгоритмов (субполиномиальных, полиномиальных, субэкспоненциальных, экспоненциальных и гиперэкспоненциальных соответственно), которые полностью отвечают классификации алгоритмов, используемой в современной одномерной теории сложности вычислений. Класс быстрых алгоритмов составляют алгоритмы с функциями сложности z(x)eSUBPOLY. Таким алгоритмам присуща тождественно нулевая или бесконечно малая эластичность. Класс полиномиальных алгоритмов — множество алгоритмов с z(x)ePOLY и асимптотически постоянной эластичностью Ех^). Класс субэкс-поненциальных алгоритмов — алгоритмы, для которых z(x)eSUBEXP. Эластичность Ех(z) субэкспонен-циального алгоритма — бесконечно большая вели-

чина, такая, что 1 <Ех ^) <х. Класс экспоненциальных алгоритмов — это алгоритмы, для которых z(x)eEXP. Для них эластичность Ех(г) = О(х) — бесконечно большая величина, асимптотически пропорциональная линейной функции. Класс гиперэкспоненци-альных алгоритмов — это алгоритмы, для которых 2(х)еИУРЕЯЕХР и х<Ех^). Для алгоритмической практики эквивалентности (3) — (7) ценны тем, что они обеспечивают «прозрачность» сложностных классов алгоритмов, т.к. чаще всего эластичности представляются более простыми по виду функциями, чем соответствующие им Ь - функции.

Эластичность — дифференциальная характеристика функции, поэтому ее определение легко распространить на дифференцируемые функции многих переменных (такими как раз являются Ь-функции). Это дает возможность применять данную характеристику в анализе параметризированных алгоритмов.

Частная эластичность Ех^) функции z = z(x, у) по аргументу х — эластичность переменной z, которая рассматривается как функция только от х и при постоянных значениях у. Частная эластичность Ех^) связана с частной производной функции z = z(x, у) по х соотношением:

х

Ех И = = х(1п г)'ж.

z

Аналогично для частной эластичности Еу^) функции z = z(x, у) по у имеем:

Еу(г:) = = у(1п ^'у.

, z

Выражения для Ех^), Еу^) подобны формуле (2). Поэтому частные эластичности Ех (z), Еу^) обладают всеми основными свойствами эластичности функции одной переменной. Укажем два необходимых далее свойства частных эластичностей и запишем их применительно к Ех (z).

1. Если z = z(x, у) не зависит от х, то Ех^) =0.

2. Частная эластичность произведения (отношения) функций z1 = z1(x, у) и z2 = z2(х, у) равна сумме (разности) их частных эластичностей:

Ех(^.'^2)= ЕхЕх^2^

Ex(Zl/Z2)=Ex(Zl)-Ex(Z2).

Пусть z = z(n, к) — функция сложности парамет-ризированного алгоритма при длине входа п и параметре к. После формальной замены п на х и к на у имеем z = z(x, у)еЬ. Тогда Ех^) — коэффициент пропорциональности между темпом роста времени работы алгоритма и темпом роста его длины входа. Аналогично Еу^) — коэффициент пропорциональности между темпом роста времени выполнения алгоритма и темпом роста параметра у. Таким образом, частные эластичности имеют отчетливую интерпретацию, они отражают надлежащим образом вычислительную сложность параметризированного алгоритма в целом и, в частности, зависимость ее от параметра.

3. Двумерная классификация параметризированных алгоритмов на основе частных эластичностей. В общем случае частные эластичности Ех^), Еу^) являются функциями, зависящими от двух аргументов х и у. Однако ситуация значительно упрощается, если учесть тот факт, что для большинства параметризированных алгоритмов время работы алгоритма описывается Ь-функцией вида:

z(x, y) = q(x) ■ f (y),

где q(x)eL — количественная компонента, а f(y)eL — параметрическая компонента функции z(x, y). Заметим, что формула (1), определяющая условие FPT-разрешимости задачи, также имеет мультипликативную форму записи:

z(x,y) = 0(x0(1) ■ f(y)).

Пусть z(x, y) = q(x).f(y)eL. Тогда, исходя из свойств эластичности 1 и 2, частные эластичности Ex(z), Ey(z) вырождаются в обычные эластичности функции одного аргумента:

Ex(z) = Ex[q(x) ■ f(y)] =

= Ex [q(x)] + Ex[f (y)] = Ex [q(x)], (8)

Ey(z) = Ey[q(x) ■ f(y)] =

= Ey[q(x)] + Ey [f (y)] = Ey [f (y)]. (9)

Теперь Ex(z) зависит лишь от x, а Ey(z) зависит только от y. Поскольку функции q(x), f(y)eL, то каждая из них (по надлежащему аргументу) принадлежит только одному сложностному классу из множества

K={SUBPOLY, POLY, SUBEXP, EXP, HYPEREXP}.

Обозначим через Kx класс сложности функции z(x, y) по аргументу x, а через Ky класс сложности по аргументу y. Тогда всякому параметризирован-ному алгоритму с функцией сложности z(x, y) = =q(x).f(y)eL отвечает пара (Kx, Ky)eKxK, характеризующая сложность данного алгоритма в целом (по длине входа x и значению параметра y). Таким образом, мы приходим к двумерной классификации пара-метризированных алгоритмов по сложности. Заметим, что классы сложности Kx, Ky функции z(x, y) = =q(x).f(y)eL легко устанавливаются по соответствующим эластичностям Ex (z), Ey(z).

При двумерном подходе более отчетливую и общую формулировку получает определение FPT-алгоритма: параметризированный алгоритм — FPT-алгоритм, если время его исполнения z(x, y) отвечает классам сложности

(Kx, Ky)e {SUBPOLY, POLY}xK.

Когда параметризированная задача не только FPT-разрешима, но и полиномиально разрешима, то для нее существуют FPT-алгоритмы, сложность которых соответствует парам

(Kx, Ky)e {SUBPOLY, POLY}x{SUBPOLY, POLY}.

Подобные параметризированные алгоритмы естественно назвать полиномиальными FPT-алгоритмами. Алгоритмы, для которых

(Kx, Ky)e {SUBPOLY, POLY}x{SUBEXP},

(Kx, Ky)e {SUBPOLY, POLY}x{EXP},

(Kx, Ky)e {SUBPOLY, POLY}x{HYPEREXP}

целесообразно определить как субэкспоненциаль-ные, экспоненциальные и гиперэкспоненциальные FPT-алгоритмы соответственно. Такие FPT-алгоритмы присущи NP-трудным задачам. При тривиальной параметризации y=x соотношения (8), (9) принимают единый вид:

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012

286

Ех (г) = Ех [д(х) ■ / (х)] = Ех (д) + Ех (/).

В этом частном случае приходим к одномерной классификации алгоритмов. Аналогичный случай возникает, когда /(у) — тождественная константа.

4. Исследование влияния параметрической компоненты. Для параметризированных алгоритмов практический интерес представляет анализ, ставящий целью выяснение степени воздействия параметра на время работы исследуемого алгоритма. Можно выделить:

— параметризированные алгоритмы с низкой зависимостью от параметра. Время работы таких алгоритмов слабо зависит от параметрической компоненты — /(у) главным образом устанавливает только коэффициент при д(х);

— параметризированные алгоритмы, для которых параметрическая компонента /(у) и количественная компонента д (х) имеют сопоставимое влияние;

— параметризированные алгоритмы, для которых параметрическая компонента доминирующая.

Для решения ЫР-трудных задач важны парамет-ризированные алгоритмы с доминирующей зависимостью от параметра. Когда параметрическая компонента доминирует, т.е. параметр отчетливо выделяет источник неполиномиальной сложности ЫР-трудной задачи, считается, что найдена удачная параметризация данной задачи. При такой параметризации задача может быть решена за реальное время при малых значения параметра и очень большой длине входных данных. К сожалению, пока в литературе по параметризированной сложности отсутствуют формальные методы выявления параметри-зированных алгоритмов с доминирующей зависимостью от параметра. Применение для этих целей частных эластичностей дает положительные результаты в условиях мультипликативной формы представления функций сложности и в границах семейства Ь-функций.

Пусть z(x, у) = д(х)./(у)еЬ. Сравнение компонент д(х) и /(у) между собой допустимо только тогда, когда известна зависимость у=у(х), описывающая связь между значениями параметра и длиной входа алгоритма. В данных обстоятельствах формула (8) приобретает вид:

ЕхИ = Ех[д(х) ■ /(у)] = Ех(д) + Еу(/) ■ Ех(у).

Здесь слагаемые Ех(д) и Еу(/).Ех(у) — логарифми-чески-экспоненциальные функции, зависящие лишь от х, и потому всегда сопоставимые между собой по порядку роста. Предположим, что z(x, у) = д(х)./(у) не является тождественной константой (случай z(x, у)° °с>0 не представляет интереса). Тогда при х®¥ возможны следующие ситуации. Если верно отношение

Еу (/) ■ Ех (у) • Ех (д), (10)

то

Ех^) = 0[Ех(д) + Еу(/) ■ Ех(у)] = 0[Ех(д)].

Это удостоверяет низкое влияние параметрической компоненты на значение функции z(x, у). Когда

Ех(д) = 0[Еу(/) ■ Ех(у)], (11)

то

Ех^) = 0[Ех (д) + Еу (/) ■ Ех (у)] =

= 0[Ех(д)] = 0[Еу(/) ■ Ех(у)],

что свидетельствует о сопоставимом влиянии параметрической и количественной компонент. Наконец, если

Ех (д) • Еу (/) ■ Ех (у), (12)

то

Ех ^) = 0[Ех (д) + Еу (/) ■ Ех (у)] = 0[Еу (/) ■ Ех (у)].

Это указывает на доминирование параметрической компоненты.

Следовательно, при z(x, у) = д(х)./(у)еЬ установить степень влияния параметрической компоненты /(у) на время работы исследуемого алгоритма можно с помощью проверки отношений (10) — (12). Это процесс упрощается, если у= у(х) — функция полиномиального или субполиномиального порядка роста, т.е. Ех(у) = 0(1) или Ех(у)=о(1) при х®¥ Так, при Ех(у) = 0(1) отношения (10) — (12) принимают соответствующий вид:

Еу(/) • Ех(д),

Ех (д) = 0[Еу (/)],

Ех(д) • Еу(/).

Значит, при полиномиальной зависимости параметра от длины входа все сводится к сравнению двух Ь-функций (точнее, к сравнению их эластичностей). Когда Ех(у) = о(1), то необходимо в (10) — (12) принимать во внимание оба сомножителя выражения

Еу(/).Ех(у).

Для иллюстрации предложенного подхода рассмотрим функцию сложности

z(x, у) = х5 ■ еХу = е51п х ■ еЛу, X > 0,

где д(х) =х5, /(у) = е1у. Параметризированный алгоритм такой сложности является РРТ-алгоритмом. Для него

(Кх, Ку) = (РОЬУ, ЕХР),

ибо Ех(д) = 5, Еу(/)=1у. Пусть вначале у=1п х. Тогда Е (у) = 1 /1п х = о(1). При х®¥ верна оценка

Еу (/) ■ Ех (у) = (X 1п х ■ (1/1п х) = X = 0(1).

Поскольку Ех(д) =5, справедливо отношение (11). Значит, параметрическая и количественная компоненты сопоставимы между собой. Пусть теперь у= х. Имеем Ех(у) = 1. Оценка

Еу (/) ■ Ех (у) = Хх = О(х)

отвечает (12) и свидетельствует о доминирующем влиянии параметрической компоненты.

5. Заключение. Параметризированный подход к решению ЫР-трудных задач стимулировал разработку новых методов конструирования алгоритмов (алгоритмов решения задач, разрешимых с фиксированным параметром), и породил ряд проблем. Одна из них — отсутствие простых и удобных инструментов анализа параметризированных алгоритмов. В настоящей работе предложено для этих целей использовать частные эластичности функций сложности. Показано, как с помощью частных эластичностей можно анализировать степень влияния параметра на вычислительную сложность исследуемого алгоритма.

Библиографический список

1. Flum, J. Parameterized complexity theory: Texts in Theoretical Computer Science. An EATCS Series / J. Flum, M. Grohe. — Berlin; Heidelberg: Springer — Verlag, 2006.

2. Downey, R. Parameterized complexity / R. Downey, M. Fellows. — New York: Springer — Verlag, 1999.

3. Niedermeier, R. Invitation to fixed — parameter algorithms: Oxford Lecture series in mathematics and its applications / R. Niedermeier. — Oxford: University Press, 2006.

4. Быкова, В. В. Эластичность алгоритмов / В. В. Быкова // Прикладная дискретная математика. — 2010.— № 2(8). — С. 87 - 95.

5. Быкова, В. В. Сложность и эластичность вычислений /

B. В. Быкова // Омский научный вестник. — 2011.— № 1(97). —

C. 10-14.

БЫКОВА Валентина Владимировна, кандидат технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры вычислительных и информационных технологий института математики.

Адрес для переписки: bykvalen@mail.ru.

Статья поступила в редакцию 15.11.2011 г.

© В. В. Быкова

УДК 004 021 Е. Б. КВИТКОВА

Омский государственный университет путей сообщения

МЕТРИКИ, ЛЕЖАЩИЕ В ОСНОВЕ АЛГОРИТМОВ ВРЕМЕННОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ OFDM-СИГНАЛА

Основная проблема применения систем с ортогональным частотным разделением каналов связана с их чувствительностью к нарушению синхронизации. Поэтому достаточно актуальной является задача синхронизации, возникающая в таких системах. В данной статье рассмотрены метрики, используемые в алгоритмах оценки временного рассогласования OFDM-сигнала.

Ключевые слова: метрика, OFDM, временная синхронизация, автокорреляционная функция.

В последние годы повышенный интерес проявляется к системам с ортогональным частотным разделением каналов OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing). Основными достоинствами этих систем являются высокая помехозащищенность при передаче через канал с многолучевым распространением, а также эффективное использование полосы канала. Однако в таких системах вследствие расхождения частот дискретизации и опорных частот генераторов передатчика и приемника, а также наличия доплеровского сдвига в подвижной связи возникают рассогласования по времени и частоте. В настоящее время для оценки временного сдвига принимаемого сигнала разработано большое количество алгоритмов, использующих цикличность и избыточность передаваемого сигнала, суть которых состоит в поиске экстремума функции корреляции на предполагаемом символьном интервале [1].

Из теории цифровой обработки сигналов известно, что если объединить все принимаемые сигналы и их смещенные копии в одно множество и задать расстояние между элементами этого множества (метрику), то получим метрическое пространство и вектора, заданные в этом пространстве. Таким образом, двум разным метрикам, определенным на одном и том же множестве, соответствуют разные метрические пространства [2]. Целью данной статьи является обзор метрик, используемых для оценки временных рассогласований.

В основе алгоритмов, использующих корреляционные свойства передаваемого сигнала для получения информации о временном рассогласовании, лежит

вычисление автокорреляционной функции, которая описывается выражением 1 [1] и соответствует корреляции защитного интервала каждого символа с конечной частью БПФ-интервала:

T -1

9 *

с[n] = X г [n + i] ■ г[ n + i + N

i=0

FFT1

(1)

где г[л] — принимаемый сигнал;

Тд — длина защитного интервала;

МРРТ — размерность БПФ.

Рассмотрим первую и самую простую метрику, максимум модуля которой на интервале длиной в один символ соответствует началу его полезной части и определяется выражением 2 [1]:

t = max(|c[n]|).

(2)

Эта метрика характеризуется широким диапазоном значений корреляционных максимумов символов (рис. 1), обусловленным изменениями мгновенной мощности сигнала, таким образом, повысить ее точность можно путем нормирования функции с[п] на мощность сигнала в соответствии с выражением 3 [1].

|c[ n ]| p[n] )'

(3)

где p[n] — мощность сигнала, определяемая выражением 4 [1]:

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (107) 2012 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ