CC BY
3
Visnyk N'l'UU KP1 Seriia Radiolekhnika tiadioaparatobuduummia, "2021, Iss. 87, pp. 56—60
УДК 681.7
Экстремальный сверточно-матричный метод анализа результатов измерений
Асадов X. Г., Алиева А. Дж.
Национальное Лэрокосмическое Агентство, г. Баку, Азербайджанская Республика E-mail: haeadzadc2001&yahoo. com. amidcc.b&gmaiL com
Матричпые методы измерения давно проникли в теорию и практику контроля и диагностики различных многомерных аппаратов и установок, а также в методологию их функционирования. Такое проникновение в первую очередь связано с многомерной структурой самого объекта исследования. Предлагается новый матричный метод обработки результатов измерения, предусматривающий последовательное осуществление таких операций, как (а) формирование экстремальной скалярной свертки, составляемой из двух противофазных (парафазпых) частных критериев, перемноженных па весовые коэффициенты. При этом парафазпые частные критерии, будучи функциями измеряемого оптического показателя среды, должны иметь противофазную динамику изменения: (б) вывод аналитической формулы для вычисления значения измеряемой величины в зависимости от других показателей системы в момент появления экстремума свертки: (в) проведение аналитических измерительных операций по обнаружению экстремума значения вычисляемой свертки частных критериев при заданных весовых коэффициентах: (г) регулировку весовых коэффициентов для обеспечения максимально достоверной регистрации экстремума значения свертки: (д) составление матрицы значений измеренных величин исследуемого показателя в зависимости от весовых коэффициентов частных критериев. Приведены результаты модельных исследований по апробации предлагаемого метода обработки результатов измерения.
Ключевые слова: матричный метод: измерения: свертка: экстремум: поглощение: рассеяние DOI: 10.20535/RAD АР. 2021.87.56-60
Введение
Как отмечается в [1] матричные методы анализа основаны на линейной и векторно-матричной алгебре и применяются для изучения сложных и многомерных структур. Будучи универсальным математическим аппаратом для сложных структурированных многомерных вычислений, матричные методы анализа давно проникли в теорию и практику разработки и проектирования различных многомерных аппаратов и установок, а также в методологию их функционирования. Применительно к измерительной технике такое проникновение в первую очередь связано с многомерной структурой самого объекта исследования, имеющего природное или антропогенное происхождения. Можно привести множество примеров, где матричные технологии внедрены в информационных системах, комплексах и составляют основу соответствующих методик [2 5] их исследования.
Так. например, в работе [2] сообщается о новом методе формирования матрицы измерений, где требуемая частота выборок намного меньше, чем частота Найквиста-Котелышкова. Этот метод требует меньший объем памяти, позволяет полностью
восстановить двухмерную структуру изображения и основан на хаотической последовательности Че-бышева. Согласно работе [3]. метод матрицы целей [6]. примененный в производственном предприятии для увеличения эффективности производства, позволил определить основные факторы, влияющие на производительность труда. Этими факторами являются: материалы, рабочая сила, станки и оборудование. используемые методы и окружающая среда. Как отмечается в работе [4]. матрица трансмиссии (ТМ) характеризует линейную связь между сигналами на входе и выходе фазирующих полей. Измерение ТМ позволяет получить достаточно полезную информацию для многих приложений, однако требует много времени для случайно выбранной среды. Предложен новый метод матричных измерений. в которых вычислительная сложность намного ниже, чем при использовании фазосдвигающей голографии.
Согласно работе [5]. в высокоскоростных оптоволоконных системах передачи информации учет поляризационных эффектов имеет важное значение. Показано, что проведение матричных измерений и соответствующего анализа позволяет получить пол-
Экстремальный сверточио-матрцчиьш метод анализа результатов измерений
57
пый набор данных об основных поляризационных параметрах оптоволоконной системы передачи.
Следует отметить, что матричные методы относительно широко используются при исследовании оптоэлектронных измерительных систем. Так. например. в работе [6]. сообщается о применении метода матричных измерений для определения геометрических характеристик различных двухмерных объектов поля зрения с использованием различных методов сканирования. В работе [7] сообщается о применении метода матричных измерений для исследования квантового состояния систем. При этом измерения должны быть, осуществлены так. чтобы измеритель не оказывал влияние на состояние системы. В работе [8] сообщается об использовании матричных измерений для исследования свойств рассеивающих свет сред. При этом определяется матрица трансмиссии среды, которая полностью определяет прохождение света через линейную среду от модулятора до детектора. Отмечается, что матричные методы полезны применительно не только к рассеивающим системам, но и другим комплексным системам прохождения света. В работе [9] сообщается о применении матричных измерений для исследования сред, способных трансформировать Гауссовые лазерные лучи в излучение с любым заданным законом распределения. В работе [10] сообщается о разработке простого матричного метода для исследования процесса калибровки измерительных оптоэлектронных систем, содержащих оптические приемники и смоделированные источники излучений.
Вышеизложенный краткий обзор состояния применения матричных методов измерения и анализа результатов измерений показывает широкие возможности этих методов и перспективу их дальнейшего применения в оптоэлектронных информационно-измерительных системах.
1 Предлагаемый метод обработки результатов измерений
Далее в настоящей статье излагается предлагаемый экстремально-сверточно-матричный метод обработки результатов измерений изменяемых оптических показателей различных материалов и веществ. Целыо настоящего исследования является разработка научно методических основ способа определения концентрации исследуемого вещества спектральным методом, позволяющего повысить точность измерений по сравнению с известным способом основанным на использовании уравнения Бу-гера Ламберта Бэра. Как и следует из названия предлагаемого метода, реализация этого метода предусматривает последовательное осуществление следующих операций:
1. Формирование экстремальной скалярной свертки. составляемой из двух противофазных (пара-фазных) частных критериев, перемноженных на весовые коэффициенты. При этом парафазные частные критерии, будучи функциями измеряемого оптического показателя среды, должны иметь противофазный градиент изменения, т.е. увеличение измеряемого показателя должно привести к увеличению одного из критериев и уменьшению другого. Отметим, что свойство экстремума такой скалярной свертки часто используется в практике многокритериальной оптимизации [11 14].
2. Вывод аналитической формулы для вычисления значения измеряемой величины в зависимости от других показателей системы в момент появления экстремума свертки.
3. Проведение аналитических измерительных операций по обнаружению экстремума значения вычисляемой свертки частных критериев при заданных весовых коэффициентах.
4. Возможность регулировки весовых коэффициентов для обеспечения максимально достоверной регистрации экстремума значения свертки.
5. Составление матрицы значений измеренных величин исследуемого показателя в зависимости от весовых коэффициентов частных критериев.
Подробно рассмотрим вопросы реализации вышеизложенных операций и процедур.
1.1 Формирование экстремальной скалярной свертки
Отметим, что формирование экстремальной скалярный свертки осуществляется с применением известного закона Бугера-Ламберта-Бэра. Хорошо известно [15]. что закон Бугера-Ламберта-Бэра определяет степень ослабления оптического сигнала при прохождении светового потока через исследуемую среду. Математическое выражение этого закона имеет вид:
4ых = /с + (1)
^вых - световой поток па выходе исследуемой среды; 1с - световой поток та входе исследуемой среды; х -расстояние прохода оптического потока через исследуемую среду; с - концентрация исследуемой среды; аа - коэффициент абсорбции; аь - коэффициент рассеяния.
Модельная формула (1) позволяет представить процесс прохождения светового луча через исследуемую среду в виде двух эквивалентных блок-схем:
^ и
к е~аахс 1ц е-аъхс !вых1
Рис. 1. Первое эквивалентное представление модели ( ): 1аь - таеть 1с, поглощённая исследуемой средой
58
Асадов X. Г., Алиева Л. Дж.
I7'
10 е-аухс кг ^выхг
Рис. 2. Второе эквивалентное представление модели ( ): 1ь - таеть 10, рассеянная исследуемой средой
Рассмотрим вопрос об аппаратурном определении показателей 1аь и 1ь- Имеем
Ib = lo -h2 = lo - 1ое-аьхс, (2)
где ¡1, ¡2 — весовые коэффициенты.
Также, приняв следующие упрощающие допущения
А = 32=3;
аа = аь = а,
напишем
I2 = 1 -7+12. (12)
lab — Iq — II! — Iq — Iq^
В то же время
lab — Iq — [Iое-("ь+<0-] — 1Ь.
(3)
(4)
F —р! [Iq — Iqе-а°хс] +P2IqC
F! — р Iq —р Iq za* Iq zab+a"
Далее, для упрощения ( ), приняв аь — аа — а;
z ' —j, запишем
F! 2
ы—1 — 7 +
Ч а)
¿7
Следовательно, при 7 = 0, 5 выражение ( ) достигает экстремума. При этом отметим, что
7 — — е-хса — 0, 5.
F2 —Pi[Iq — Iq е-а"хс]+р2[ Iq е
-( аь+аа)х с
Так как уравнения (8) и (12) идентичны, то решение (10) также верно для (12). Решения (10)
Следовательно, для аппаратурного измерения 1ь можно воспользоваться формулой (2) в том смысле, что для определения 1ь достаточно использовать измеритель рассеянного оптического излучения.
Однако, для аппаратурного определения 1аь следует измерить 1Ь, сигнал на выходе и вычесть сумму этих сигналов от 1аь-
Таким образом, экстремальная скалярная свер-
F!
на Рис. 1 имеет вид
1п2
—х са — 1п0, 5 или с —-.
ха
(13)
(5)
где ¡1, [2 - весовые коэффициенты. При = [2 = [ получим
= ¡310 10 е-"аХС + [10 е-(аь + аа)хс . ^
Так как в (6) неизвестным и искомым показателем является с, то приняв е-ХС = г, выражение (6) перепишем как
Таким образом, с учетом принятых упрощающих допущений, выражение (13) можно считать требуемым аналитическим выражением, позволяющим определить величину измеряемого показателя при достижении F2 экстремального значения.
Рассмотрим вопрос об измерении показателей 1ь и 1а ь-
Следует отметить, что измерение таких излучений как 1ь и 1аь не составляет особого труда: 1ъ может быть измерен спектрорадиометром рассеянного излучения, а 1аь может быть измерен согласно выражению (4). Блок-схема такого измерителя показана на Рис. 3.
(7)
(8)
Исследуем (8) на экстремум. Имеем
= —1 + 27. (9)
(Ю)
Экстремальная скалярная свертка F2 применительно к блок-схеме, представленной на Рис. 2 имеет вид
],
Рис. 3. Функциональная схема устройства для формирования сигнала 1а ь
Что касается автоматической регистрации экстремумов F\ или F2, то для этого достаточно проводить измерения по триадам {Ci — Д с; Ci; Ci + Дс}, i = 1, п и обнаруживать экстремум по признаку c-i — Дс < c¿ и c¿ + Дс < q (если экстремум является максимумом), или с-—Дс > с- и с-+Дс > с-
Д
достоверно регистрируемое приращение С.
Нетрудно показать, что изменение значений весовых коэффициентов в предлагаемом методе приводит к смещению позиции экстремумов. Чтобы показать это проведем модельное исследование.
аахс
Экстремальный сверточио-матричный метод анализа результатов измерений
59
2 Модельное исследование
Заключение
Для проведения модельного исследования воспользуется выражением (11). Приведем это выражение к следующему виду
7 = ^ — ßi (1 -k) + (1-ßi)k2
J- о
(14)
где к = еаьхс_
Вычисленные значения 7 для разных значений и к приведены в Таблице 1. Заметим, что монотонность экспоненциальной функции обеспечивает функциональную эквивалентность процессов поиска экстремума как по к, так и по с.
Таблица 1. Значения 7 для разных значений
и к
\k 0 0,05 0,1 Ж 1 0,2 0,3
0,1 0--- 0,1 ------- 0,0972 I 1 0,099 1 0,116 0,151
->--------1
0,2 0,2 0,1925 0,188 0,192 0,212
3 Оценка повышения точности
Сравним предлагаемый метод определения концентрации исследуемого вещества с классическим методом, основанным на законе Буге-ра Ламберта Вера, математическое выражение которого имеет вид (1). Из (1) легко получить следующее выражение для вычисления указанной концентрации, которую обозначим как Ск'.
Су —
1п( 1о/1в ых)
(15)
х(аа + аь)
С учетом ранее принятого упрощающего усло-
вия аа —а^ — а получаем
Ск -
1п( 1о/1в ых) 2х а
(16)
Для предлагаемого метода согласно (13) эта кон-
С
тся как
Сп = ^. (17)
ха
7
имея в виду, что суммарные шумы в сравниваемых методах одинаковы:
Си 1п2 21п2
(18)
Ск 1п(1о/1вых) 1п(1о/1вых)
Из (18) получаем условия получения выигрыша
о
4 >
(19)
Таким образом, при выше принятых допущениях выигрыш в точности будет обеспечен при I о > 4-^вых •
Как видно из данных приведенных в Таблице 1, при изменении от 0,1 до 0,2 происходит смещение минимума Р2/ 1о в сторону больших значений к. Следовательно, имея матричные таблицы вышеприведенного типа и задаваясь величиной ^1, по обнаружению позиции экстремума на соответствующей строке можно автоматически определить искомую величину к. Соответствующие операции показаны пунктиром на полях таблицы матричного типа, куда заранее заносятся значения к, р1 и
7
пунктирной сломанной стрелки определяется соответствующая величина к. Таким образом, предлагаемый метод анализа результата измерений позволяет автоматизировать процесс первичной оценки исковой величины путем проведения определенных операций по выводу значения скалярной свертки к экстремальной величине. Другое немаловажное преимущество предлагаемого метода заключается в повышении точности определения концентрации исследуемого вещества в случае измерения относительно больших концентраций, когда выполняется условие (19).
References
[1] Matrix method and its application in comparative multivariate analysis [Matrichnyiy metod i ego primenenie v sravnitelnom mnogomernom analize]. helpiks.org. [In Russianl.
['2] Renjie Yi, Chen Cui, Yingjie Miao, Biao Wu. ("2020). A Method of Constructing Measurement Matrix for Compressed Sensing by Chebyshev Chaotic Sequence. Entropy, Vol. 22, Iss. 10, 1085. doi:10.3390/e22101085.
[3] Hernadewita, Nunung Fatmawati, Hermiyetti. (2018). An analysis on enhance productivity through objective matrix (UMAX) method on manufacturing line. International .Journal of Modern Research in Engineering and Technology (1JMRET), Vol. 3, Iss. 4, pp. 7-11.
[4] Chen Y., Sharma M. K., Sabharwal A., Veeraraghavan A., Sankaranarayanan A.C. (2020). SPointTM: Faster Measurement of High-Dimensional Transmission Matrices. In: Vedaldi A., Bischof H., Brox T., Frahm .IM. (eds). Computer Vision ECCV 2020. ECCV 2020. Lecture Notes in Computer Science, Vol. 12353, pp. 310-326. Springer, Cham. doi:10.1007/978-3-030-58598-3_19.
[5] X Steve Yao, Xiaojun Chen, Tiegen Liu. (2010). High accuracy polarization measurements using binary polarization rotators. Optics Express, Vol. 18, Iss. 7, pp. 66676685. doi: 10.1364/OE.18.006667.
[6] Tarnovan 1. C., Badila F. L. (2011). Common Applications of Optical Matrix Sensors for Dimensional Control. Acta Electrotehnica, Vol. 52, Num. 1, p. 56-61.
60
Asadov H. H., Aliyeva Л. Dj.
[7] Ravmor M. G., Воск M. ("2004). 7 Experimental Quantum State Tomography of Optical Fields and Ultrafast Statistical Sampling. In: Paris M., Rehacek J. (eds) Quantum State Estimation. Lecture Notes in Physics, Vol. 649. pp. '235-295. Springer. Berlin. Heidelberg, doi: 10.1007/978-3-540-44481-7_7.
[8] Dromoau A.. Liutkus A.. Martina D.. Katz O., Schiilke C.. Krzakala F.. Gigan S. and Daudet L. (2015). Reference-less measurement of the transmission matrix of a highly scattering material using a DMD and phase retrieval techniques. Optics Express, Vol. 23. Iss. 9. pp. 11898-11911. doi: 10.1364/UE.23.011898.
[9] Anthony A. Tovar and Lee W. Oasperson. (1997). Generalized beam matrices. IV. Optical system design. .Journal of the Optical Society of America Л, Vol. 14. Iss. 4. pp. 882-894. doi: 10.1364/.IOSAA.14.000882.
[101 R Hale and D. F. Williams (2003). Calibrated measurement of optoelectronic frequency response. IEEE 'transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 51. no. 4. pp. 1422-1429. doi: 10.1109/TMTT.2003.809186.
[11] Denisova L. A. (2016). Automatic feed control of steam generator in the power unit of a nuclear power plant: Modeling and optimization. Automation and Remote Control, Vol. 77. No. 6. pp. 1084 92. doi: 10.1134/S00051179160600126.
[12] Noghin V. (2011). Reducing the Pareto Set Based on Set-point Information. Scientific and Technical Information Processing, Vol. 38. No. 6. pp. 435 39. DOI: 10.3103/S0147688211050078.
[13] Xue D. and Chen Y. (2013). System Simulation Techniques with MATLAB and Simulink. .John Wiley в Sons, 488 p.
[14] MATLAB Global Optimization Toolbox Users Guide R2020b. The Math Works Inc.
[15] Bulatov M. 1.. Kalinkin 1. P. (1986). A Practical Guide to Photometric Methods of Analysis [Prakti-cheskoe rukovodstvo po fotometricheskim metodam analiza]. L.:Himiya. 432 p. [In Russian].
Екстремальний згортково-матричний метод анал!зу результат!в вим!р1в
Асадов Г. Г., Алгсва А. Дж.
Матричш метода вимфюваппя давно проникли в Teopiio та практику контролю та д1агпостики р1зпих багатовим1рпих апаратв та установок, а також у мето-дологпо 1х фупкцюпуваппя. Таке пропикпеппя пасам-перед пов'язапо з багатовимфпою структурою самого об'екта досл1джеппя. Пропопуеться повий матричпий метод обробки результате вишру, що дозволяв визпа-чити величину вимфювалышх сигпал!в у дипамщь Для визпачеппя величипи сигналу, що вимфюеться. викори-стовуеться озпака появу екстремуму в зпачепш згортки. Екстремальпа властивкть тако! згортки базуеться па принцип! багатокрнтер1алыю1 оптим1зацп. Пропопова-пий матричний метод передбачае иосл1довпе здшепеппя таких операцш. як (а) формуваппя екстремалыю! ска-лярпо! згортки. що складаеться з двох протифазпих (парафазпих) окремих критерпв. иеремпожепих па ва-гов! коефпцепти. що пормуються. При цьому парафазш
окрем! критерп. будучи фупкц!ями оптичпого показии-ка середовища, що вимфюеться. повгшш мати протифа-зпу дгшам!ку змши. тобто зростаппя величгиш одного мае супроводжуватпся змепшеппям зпачмшя inmoro:
(б) впведеппя апал1тичпо1 формулн для обчпелеппя зпа-чеппя вим1рювапо1 величгши в залежпост! в!д шших показ1шк!в системи в момент появу екстремуму згортки:
(в) проведения апалиичпих вим1рювалы1их операц!й з виявлеппя екстремуму зпачмшя обчислювапо! згортки окремих критерпв при задапих вагових коефщ!ептах:
(г) регулюваппя вагових коеф1ц!епт1в для забезпечеппя максимально достов1рпо1 реестрацп екстремуму зпачеп-пя згортки: (д) складаппя матргщ! зпачень вим1рювапих величии досл1джувапого показшжа залежпо в!д вагових коефщ!ептв часткових критерпв. Наведено результатн моделышх досл!джепь щодо апробац!! запропоповапого методу обробки результате вим1рюваппя. що шдтвер-джують ефектившеть запропоповапого методу.
Клюноаг слова: матричпий метод: вимфюваппя: згортка: екстремум: поглгшаш1я: розс1ювашш
Extremal Convolutional-Matrix Method for Analysis of Measuring Results
Asadov H. H., Aliyeva A. Dj.
Matrix methods of measurements intruded into theory and practice of control and diagnostics of different multi-measure apparatus and installations and methodic of their functioning. This an intrusion is firstly linked with multi-measure structure of researched object itself. The new matrix method for processing of measuring results is suggested which make it possible to determine value of measuring signals in dynamics. In order to determine the value of measuring signal the principle of occurrence of ext.remum in convolutions value is utilized. Extremal property of this convolution is based on principle of multi-criteria optimization. The suggested matrix method envisages serial realization of these operations as (a) forming of extremal scalar convolution composed of two anti-phase partial criteria multiplied by normed weight coefficients. The anti-phase partial criteria being the functions of measuring optical parameter of media should has the have anti-phase dynamics of change, i.e. increase of one should accompanied by decrease of another one: (b) development of analytical formula to calculate the value of measuring signal depending of values of other parameters at moment of occurrence of extreme value of convolution: (c) carrying out analytical measuring operations on detection of extreme value of calculated convolution of partial criteria upon given weight coefficients: (d) regulation of weight coefficients to provide the maximum authentic registration of extreme value of convolution: (d) to compose the matrix of values of measured researched parameter depending of weight coefficients of partial criteria. Results of model researches on approbation of suggested method for processing measuring results are given which confirm operabilit.y of suggested method.
Keywords: matrix method: measurements: convolution: extremum: absorption: scattering
