Экстремальные проблемы типа Турана о расположении всех нулей одного класса рациональных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.535 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2024. Т. 11 (69). Вып. 2 МБС 30А10, 30С10, 30Б15

Экстремальные проблемы типа Турана о расположении всех нулей одного класса рациональных функций*

М. Ю. Мир, С. Л. Вали, В. М. Шах

Центральный университет Кашмира, Индия, Гандербал-191201

Для цитирования: Мир М. Ю., Вали С. Л., Шах В. М. Экстремальные проблемы типа Турана о расположении всех нулей одного класса рациональных функций // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2024. Т. 11 (69). Вып. 2. С. 324-331. https://doi.org/10.21638/spbu01.2024.206

В статье мы доказываем неравенство типа Турана для рациональных функций и тем самым расширяем его на более общий класс рациональных функций т(в(г)) степени тп с предписанными полюсами, где в(г) — многочлен степени т. Эти результаты не только обобщают некоторые неравенства типа Турана для рациональных функций, но также улучшают и обобщают некоторые известные полиномиальные неравенства.

Ключевые слова: рациональная функция, полиномы, нули, полярная производная, неравенства.

1. Введение. Для каждого натурального п обозначим через Рп линейное про-

п

странство всех многочленов Р(г) := ajстепени не выше п над полем С ком-

з=о

плексных чисел. Пусть Б- — множество точек, лежащих внутри Тк := {г : \г\ = к}, и Б+ — множество точек, лежащих вне Тк. Если Р € Рп, то по оценке \Р'(г)\ через \Р(г)\ на Т для всех 2 € С, мы имеем следующее знаменитое неравенство Берн-штейна [1].

Если Р €Рп, то

тах \Р'(г)\ < птах \Р(г)\. (1)

Поскольку равенство в (1) выполняется тогда и только тогда, когда все нули Р(г) лежат в начале координат, естественно задаться вопросом: что произойдет с неравенством (1), если мы наложим ограничения на расположение нулей Р? В связи с этим Туран [2] доказал следующее.

Если все нули Р €Рп лежат в Т\ и Б-, то

п

тах|Р'(г)|>-тах|Р(г)|. (2)

Неравенство (2) было обобщено Джайном [3] в следующем виде.

*М.Ю.Мир выражает огромную благодарность агентству DST-INSPIRE за финансовую поддержку.

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2024 324 https://doi.org/10.21638/spbu01.2024.206

Если Р €Рп имеет все нули в Т\ и Б- , то для каждой в при \в\ < 1,

шах | гР'(г) + ^Р(г) \ > ^ {1 + Ие(/3)} шах \Р(г) \. (3)

Существует несколько улучшений и обобщений неравенства типа Турана. Ли и др. [4] дали новое измерение неравенствам типа Турана, расширив их до рациональных функций г € 'Яп, где

Пп = 7г„(аь а2,..., ап) := { : Р е Рп >

I Щг) I

и

п

ю(г) = П(г —аз), аз € = 1,2,---,п-

3 = 1

Таким образом, ~Я,п — это множество всех рациональных функций с полюсами «1,«2,■■ ■,ап и конечным пределом в точке то. В этой статье мы предполагаем, что все полюса а\, а.2, . ..,ап лежат в Б+. Заметим, что для произведения Бляшке справедливо В € Кп, где

1 — ~сцх \ и>* (г)

В(г) :=П1

з=1

при <ш*{г) =гпга(±) = П™^1 ~~зх) и \В{г)\ = 1 для г € Тъ

Для этого класса рациональных функций Ли и др. [4] доказали следующее. Если г € имеет все нули в Т и Б-, то для г € Т\,

\г'(г)\ > 1-\В\г)\\т{г)\. (4)

Результат точен, и равенство справедливо для рациональной функции

г(г) = аВ(г) + Ь, \а\ = \Ь\ = 1. Недавно Мир [5] обобщил неравенство (4) и доказал следующее.

Теорема А. Если г € , и все п нули г лежат в Tk и Б-, к < 1. Тогда для любой в при \в\< 1 и г € Т\

\гг'{г) + ТТГ^! " + ТТк^~к + 2Ле(/3))}|ф)|- (5)

В этой статье мы сначала докажем следующее. 2. Основные результаты.

Теорема 1. Если г € и все нули г (г) лежат в Tk и Б-,к < 1. Тогда для любой комплексной в при \в\< 1 и г € Т

г — аз т(г

(г)

1 I м 2t — п(1 + к) 2t I , , ч,

++ + ^(ЯеОТ - |Д)| ш И»)|. (6)

Здесь t < п обозначает количество нулей г(г).

Результат, недавно доказанный (Mir [6], теорема 2), следует из теоремы 1, если положить t = n.

Замечание 1. Для ß = 0 теорема 1 сводится к результату Арунрата и Накпра-сита [7], а для k = 1,ß = 0, t = n теорема 1 сводится к результату Азиза и Шаха ([8], теорема 3).

Если в теореме 1 мы предположим, что r(z) имеет полюс порядка n в точке

z = а, |a| > 1, то r(z)

Р{*)

(z — а)"'

, так что

,, , —DaP(z) г (z) =

(z — a)n+1'

где

DaP(z) := nP(z) + (a — z)P'(z)

обозначает полярную производную Р(г) по отношению к точке а. Она обобщает обычную производную в смысле

P'(z)

Также в этом случае мы имеем

lim

DaP (z)

B(z) = П1

1 — az

1 — az

Это дает

B'(z)

n(l - äz)n_1(H - 1)

- a)n+1

(z — а)

Используя эти факты, мы сразу получаем из теоремы 1 для г € Т\.

Следствие 1. Если многочлен Р(г) имеет все нули в Тк и Б-,к < 1, то для каждой а при \а\> 1 и в при \в\ < 1

—zDaP(z) tß P(z)

(z — a)n+1 1 + k (z — a)n

>

>

+

n(l - äz)П_1(М - 1)

(z — a)n+1 n(l - äz)n-ln-]2

2t — n(1 + k) 2t

1 + k

1 + k

max

zeTt

P(z)

(z — a)n

+

a| — 1)

(z — a)

n+1

2t~n{1 + k) + -^(Mß)-

1 + k

1 + k

min

zETk

P(z)

(z — a)n

Это дает для z G T1 zDaP (z) tß

+

1 + k

P(z)

>

>

1

|a| —1

2t — n(1 + k) 2t +-, , +

1 + k

1 + k

lz — aln

|P(z

zeTt lz — a]

+

az

а

n

za

za

1

az

n

2

za

+

— 1)

2t — n(1 + k) 2t +-, , + т—r(Re(y8)

1 + k

1 + k

|z — a|n min

|P(z

zeTk lz — a\

Если в следствии 1 мы положим \а\ ^ ж, то получим следующее.

Следствие 2. Если многочлен Р(г) имеет все нули в Тк и Б-,к < 1, то для любой комплексной в при \в\ < 1, имеем для г € Т

zP<{z) + -±!L-p{z)

t

> —j(i + Re(ß))m^\P(z)\ +

+ + Ке(/3) - 1/31) ■ \Р^)\.

Полагая к = 1,в = 0 и £ = п, следствие 2 сводится к результату Азиза и Дауда ([9], теорема 4).

Пусть г € Яп и в € Рт, тогда их композиция г о в € Ятп определяется как (г о в)г = г(в(г)). Здесь

Р(ф)) ПФ)) = , ,

Щ.в(г))

где Р(в(г)) обозначает композицию полиномов Р и в, и

тп

™(в(г)) = П(г ~ а). j=l

Произведение Бляшке в этом случае определяется как

B(z) = ^Щ) = zmn w(s(z))

Ю) П(1-«7*)

п

w(s(z)) J-J- z — a^

j=1

aj G D+.

Далее докажем следующее обобщение теоремы 1.

Теорема 2. Если г о в € Ятп, где в(г) — полином степени т и (г о в)(г) =0 в , к < 1, то для любой комплексной в при \в\ < 1, имеем для г € Т\

zs'(z)r'(s(z)) + ——r(s(z))

(1 + k)

>

1 , s, 2mt — mn(1 + k) 2tm „ . , . . .. .

> 2 + —rri—1 + —kRe{ß) Г(ф))|+

1 I п// м 2mt — mn(1 + k) 2tm , 1 *

+ 2 + —Ш—+ TTk{Mß) -l/3|) r '

(7)

где mt — количество нулей (rоs)(z) со счетными кратностями; m* = inf |r(s(z))|.

zeTk

Замечание 2. При ß = 0, t = n, теорема 2 сводится к результату, полученному в (Mir [5], теорема 2), а для s(z) = z теорема 2 сводится к теореме 1.

1

n( a

2

za

3. Леммы. Для доказательства этих теорем нам понадобятся следующие леммы.

Первая лемма принадлежит Азизу и Шаху [10].

Лемма 1. Предположим, г € и все нули г(г) лежат в Ть и Б-, к < 1, тогда для г € Т\

У(г)\ > I (\В\г)| + + |ф)|, (8)

где г < п обозначает количество нулей г(г).

Следующая лемма следует из результата Ахтара и др. [11].

Лемма 2. Предположим, что г € и если все нули г(г) лежат в Ть и Б-, к < 1, то для любой комплексной в при \в\< 1 и г € Т

гг'(г)

г/з 1 + к

г(г)

1 м 2Ь — п(1 + к) 2Ь „ , , ч,

+ 1 + * +ТПДе(/3) |ф)|-

4. Доказательства теорем.

Доказательство теоремы 1. Предположим, что г(г) имеет нуль на Ть, тогда шш \г(г)\ = т = 0 и результат тривиально следует из теоремы А, если взять г = п.

Предположим, что все нули г(г) лежат в Б-, к < 1, так что т > 0 и \г(г)\ > т при г € Ть. Отсюда по теореме Руша следует, что для любой 6 при ^ < 1 все нули

Г (г) = г (г) + 6т

лежат в Б-,к < 1. Применяя лемму 2 к Г (г), имеющему г нулей и п полюсов, получаем для г € Т1

гГ '(г

гв

Г (г)

1 + к

Это дает для г € Т\

гв

гг'(г) + --~{г(г) + 6т)

1 + к

1

2г — п(1 + к)

1 + *

+ ТО-

2г

+ —-уЪеЦЗ) }\ф) + 6т\. 1 + к

Выбирая подходящим образом аргумент 6 в правой части приведенного выше неравенства, и, используя неравенство треугольника в левой части, получим для г € Т1

гг'(г)

г/з 1 + к

г(г)

+ \6\

гтв

1 + к

>

2г — п(1 + к)

г5Г1"1+ 1 + *

+

21 1 + к

Яе(в) МФ)\ +

1 ,„ I м 2г — п(1 + к) 2г

(9)

Полагая |S| ^ 1, получаем для z g t\

zr'(z) +

>

~ \тГк г + Ц |ß,(z)l + 2t i + kk) + TTkRe{ß) f(|ф)| + m)- (10)

Отсюда следует, что для z g T\ tß

zr'(z)

1 + к

r(z)

1 M 2t — n(1 + к) 2t

life + T+~fc Mr(z)l+

+ I №1 + ^^ + - 1,1) mf \r(z)\.

(11) □

Доказательство теоремы 2. Так как r о s g Rmn имеет все нули в Tk и Dk ,

к < 1- Пусть m* = min |r(s(z))|, то m* < |r(s(z))| для z g Tk. Если r(s(z)) имеет zeTk

нуль на Tk, то m* =0, в этом случае теорема следует тривиально из теоремы A, если положить s(z) = z и t = n. Итак, мы предполагаем, что r(s(z)) имеет все нули в D—, тогда для каждой S при |S| < 1 мы имеем

m*^ < |r(s(z))|, for z g Tk.

Следовательно, по теореме Руша все нули рациональной функции T(z) = r(s(z)) + Sm* лежат в D— - Применяя лемму 2 к рациональной функции T(z), имеющей mt нулей и nm полюсов получаем для z G Ti

Аналогично, для z G Ti

>i\nz)\ + Ь-Ц 1 + fc) + ^Re( Л |T()|.

2(1 + к)

(1 + к)

tmß

z(r(s(z))) + ---(r(s(z)) + 5m*)

1 + к

>

, Ш'(z)| 2mt — nm(1 + к) tm ^ .. r _

> < ' V +-, , N--+ „ , . Re(/3) >|r(g(z)) +Sm*\. (12)

2

2(1 + к)

(1 + к)

Выбрав аргумент 6 в правой части подходящим образом, как и в доказательстве теоремы 1, получим для г € Т

+ |S|

tmß

■то

>

+ S

1 + к

Ш' (z)| 2mt — nm(1 + к) tm

>

2

+

2(1 + к)

1 + к

Re(ß) Mr(s(z))|+

m'|M+ 2TOt-nTO(l + fc) + I

(13)

2 2(1 + к) (1 + к) Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2024■ Т. 11 (69). Вып. 2 329

Пусть ^ 1, получаем для z € Ti

z(r(s(z))Y +

>

> -

i =+=

+ m

tmß

1 + k

* IB'(z)l 2mt — nm(1 + k) tm . ...

2

2(1 + k) 1 + k

|B'(z)| 2mt — nm(1 + k) tm

+

2(1 + k)

+

1 + k

Re(ß) }.

(14)

Откуда следует, что

z{r{s{z)))' +

>

IB'(z)l 2mt — nm(1 + k) tm ,,,

H41+ 2(1+k) + mRe(/3) (|г(ф))| + } "

tmß

1 + k

m*. (15)

Теперь (r(s(z)))' = r'(s(z))s'(z), поэтому из неравенства (15) получаем для z € Ti

zs'{z)r'{s{z)) + f-^r(s(z))

>

>

IB' (z)l 2mt — nm(1 + k) tm

+

2 2(1 + k) Аналогично, для z € Ti получаем

+ —Re(m(|r(S(*))| + m*)-

tmß

1 + k

(16)

zs'(z)r'(s(z)) + --^TTr(s(z))

>

>2 №)| +

+ 2 №)l +

(1 + k)

2mt — mn(1 + k) 2tm 1+k +1+k

2mt — mn(1 + k) 2tm

1 + k

+

1 + k

Re(ß)j |r(s(z))| +

(Re(ß) — |ß|)l m*,

(17) □

Благодарность. Авторы выражают глубокую благодарность рецензенту за ценные предложения.

Литература/References

1. Bernstein S. N. Sur la limitation des dérivées des polynomes. C. R. Acad. Sci. Paris 190, 338—340 (1930).

2. Turan P. Über die ableitung von polynomen. Compos. Math. 7, 89—95 (1939).

3. Jain V. K. Generalizations of certain well known inequalities for polynomials. Glas. Math. 32, 45-51 (1997).

4. Li X., Mohapatra R.N. Rodriguez R. S. Bernstein-type inequalities for rational functions with prescribed poles. J. London Math. Soc. 51, 523-531 (1995).

*

m

5. Mir A. Certain estimates of the derivative of a meromorphic function on boundary of the unit disk, Indian. J. Pure Appl. Math. 50 (2), 315-331 (2019).

6. Mir A. Comparison inequalities between rational functions with prescribed poles. RACSAM. (2021). https://doi.org/10.1007/s13398-021-01023-5

7. Arunrat N., Nakprasit K. M. Bounds of the derivative of some classes of rational functions. Mathematics and Mathematical Sciences 52, 1-7 (2020).

8. Aziz A., Shah W. M. Some refinements of Bernstein- type inequalities for rational functions. Glas. Math. 32, 29-37 (1997).

9. Aziz A., Dawood Q. M. Inequalities for a polynomial and its derivative. Journal of Approximation theory 54, 306-313 (1988).

10. Aziz A., Shah W. M. Some properties of rational functions with prescribed poles and restricted zeros. Math. Balkanica 18, 33-40 (2004).

11. Akhtar T., Malik S.A., Zargar B.A. Turan-type inequalities for rational functions with prescribed poles. Int. J. Nonlinear Anal. Appl. 13, 1003-1009 (2022).

12. Markov A. On a problem of D. I. Mendeleev. Zapiski Imperatorskoi Akademii nauk 62, 1-24 (1889).

13. Mir M. Y., Wali S. L., Shah W. M. Inequalities for a class of rational functions. Int. J. Nonlinear Anal. Appl. 13 (2), 609-617 (2022).

Статья поступила в редакцию 7 июня 2023 г.;

доработана 18 сентября 2023 г.; рекомендована к печати 9 ноября 2023 г.

Контактная информация:

Мир Мохаммад Юсуф — д-р, науч. сотр.; myousf@cukashmir.ac.in Вали Шах Лубна — науч. сотр.; wali@cukashmir.ac.in Шах Вали Мохаммад — д-р, проф.; shahlw@yahoo.co.in

Extremal problems of Turan-type involving the location of all zeros of a class of rational functions*

M. Y. Mir, S. L. Wali, W. M. Shah

Central University of Kashmir, Ganderbal-191201, India

For citation: Mir M. Y., Wali S.L., Shah W. M. Extremal problems of Turan-type involving the location of all zeros of a class of rational functions. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2024, vol. 11 (69), issue 2, pp. 324-331. https://doi.org/10.21638/spbu01.2024.206 (In Russian)

In this paper, we prove a Turan-type inequality for rational functions and thereby extend it to a more general class of rational functions r(s(z)) of degree mn with prescribed poles, where s(z) is a polynomial of degree m. These results not only generalize some Turan-type inequalities for rational functions, but also improve as well as generalize some known polynomial inequalities.

Keywords: rational function, polynomials, zeros, polar derivative, inequalities.

Received: June 7, 2023 Revised: September 18, 2023 Accepted: November 9, 2023

Authors' information:

Mohammad Yu. Mir — myousf@cukashmir.ac.in Shah L. Wali — myousf@cukashmir.ac.in Wali M. Shah — shahlw@yahoo.co.in

*M. Y.Mir expresses his deep gratitude to the DST-INSPIRE agency for financial support.