НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННЫМИ ПОЛЮСАМИ И ОГРАНИЧЕННЫМИ НУЛЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.537 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10 (68). Вып. 3 МБС 30А10, 30С10, 30С15

Неравенства для производных рациональных функций с заданными полюсами и ограниченными нулями

У. М. Ахангер, В. М. Шах

Центральный университет Кашмира, Индия, 191201, Гандербал

Для цитирования: Ахангер У. М., Шах В. М. Неравенства для производных рациональных функций с заданными полюсами и ограниченными нулями // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2023. Т. 10(68). Вып. 3. С. 554-567. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.309

В статье получены неравенства для производных рациональных функций с заданными полюсами и ограниченными нулями, уточняющие и обобщающие известные классические результаты. Вместо предположения о том, что рациональная функция г (г) с заданными полюсами имеет в начале координат нуль порядка в, предполагается, что функция имеет нуль кратности в в любой точке внутри единичной окружности, тогда как остальные нули находятся внутри или вне круга радиуса к. Помимо обобщения некоторых неравенств для рациональных функций в статье как частные случаи уточняются полиномиальные неравенства.

Ключевые слова: неравенства, многочлены, рациональные функции, полюса, нули.

1. Введение. Пусть Рп — класс всех комплексных полиномов р(г) : ^^с-г'

з=о

степени не более п. Пусть для положительного действительного числа к Т>к обозначает область внутри ЗТ)^ := {г : \г\ = к}, а Т>к является замыканием В частности, мы пишем V вместо Т>1 и М(/, 1) для шах|/(г)|. Положим для а- € С, ] = 1, 2,...,п

,(z):=n(z - aj); B(z) := Ц j=i j=i

1 — CljZ

Tin = TZn(a1,a2, ...,an)\=\ ^-X- : p G Vr,

(z)

Таким образом, Rn — это множество всех рациональных функций с полюсами не более чем ai,a2,...,an и с конечным пределом в то. Во всей статье предполагается, что a,j G C\V. Далее заметим, что B(z) G lZn. Еслир G Vn и р' является производной от p, то

M(p', 1) < nM(p, 1). (1)

(1) — известное точное неравенство Бернштейна (для справки см. [1, 2]). Если мы ограничимся классом полиномов p € Pn таких, что p(z) = 0 при z € D, то неравенство (1) можно уточнить. На самом деле, Эрдош предположил, а впоследствии

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2023

za

3

и

Лакс доказал [3], что если p(z) не обращается в нуль в D, то

n

М(р',1)<-М(р,1). (2)

Туран показал [4], что в случае, если p(z) не обращается в нуль в С\Т>,

n

М(р',1)>-М(р,1). (3)

Для многочленов p G Pn, с p(z) = 0, z G Dk, k > 1 Маликом [5] доказано

n

M(p',l)<—M(p,l), (4)

где в случае p(z) ^ 0, z £ к < 1, им получено неравенство

n

М(р',1)>—М(р,1). (5)

Азиз и Шах [6] обобщили (5) и доказали, что если p(z) имеет все нули в T>k, к < 1, с s-кратными нулями в начале координат, то

М(р',1)>^^М(р,1). (6)

В литературе [7-9] существуют улучшения и обобщения приведенных выше результатов. Ли, Мохапатра и Родригес [8] распространили неравенства (1)-(3) на рациональные функции r G Rn с заданными полюсами ai,a2,...,an с заменой zn на произведение Бляшке B(z). Расширенные варианты этих неравенств можно записать как: для r G Rn и z G SD

\r'(z)\<\B'(z)\M (r, 1). (7)

В случае r(z) =0, z gD, тогда для z G SD

\r\z)\<l-\B\z)\M{r,l) (8)

и r(z) ^ 0 для z G С\V,

\r'(z)\ > - (п-то)}|ф)|, для z G ÔV, (9)

где m — количество нулей, а n — количество полюсов r(z).

Азиз и Шах [10] рассмотрели случай рациональных функций, не обращающихся в нуль в круге C\Vi~,k < 1, и обобщили неравенство (9), получив следующий результат.

Теорема А. Предположим, что r G Rn, имеет ровно n полюсов ai, a2,. ..,an и все нули г лежат в к < 1, тогда для z G ST)

\А*)\ > + 2тТ+к+к)}Нг)1 (10)

где m — количество нулей r.

Этот результат является точным (наилучшим из возможных), и равенство выполняется для

Недавно Вали [11] предположил, что т(г) имеет в начале координат нуль кратности в, и получил следующий результат, который является обобщением и уточнением (9).

Теорема Б. Предположим, что г € 72.„, причем г имеет п полюсов в точках а 1, а2,..., а„, и все нули лежат в Т> с в-кратными нулями в начале координат. Тогда для г € б'О

\г'(г)\ > и\В'(г)\ + (* + ггь - п) + |Ст| " |С'| 1|ф)|,

2 \ет\ +

где т — количество нулей т. Результат точен, и равенство выполняется для

и В(г)=(

(г — а)п у ' - а I

при 2 =1 и \а\ > 1.

2. Основные результаты.

( ) т-в

Теорема 1. Пусть г € 71п такое, что г(г) = ———, где р(г) = (г — 2;о)я ^^ с^г^ и

ш(г) 3=0

все нули т лежат в , к > 1, кроме нуля кратности в в го, \го\< 1 — р, тогда для п > по и г € б'О

\r'(z) | < \

(k +1)(1 — |zo|) k + 1 (M (r, 1))2

m (r, 1), (11)

2s(k +1) 2(m + sk)

ГДеР= n(k+l) + 2(s-m) ИГ]° k + l ■

Результат является наилучшим из возможных при zo = 0, и равенство выполняется для рациональной функции

(z — a)n у z — al

вычисленной при z = 1 и |a| > 1.

Если предположить, что r(z) имеет n нулей и полюс порядка n при z = a, |a| > 1, то

w(z) = (z-a)n и ) ,

z — a

так что

, s p(z)

riz) = --—.

w (z — a)n

2

Это дает

'(г) =

—пр(г) + (г — а)р'(г) -Бар(г)

(г — а)

п+1

(г — а)п+1''

где Вар(г) — полярная производная от р(г) относительно точки а, которая обобщает обычную производную в том смысле, что

р'(г) = Иш

ВаР(г)

а—то а — г

Используя эти факты в теореме 1, мы получаем следующий результат.

Следствие 1. Пусть р € Рп такое, что р(г) = (г — го)в^~"^с^г^, все нули которого

з=о

находятся в С\0и, к > 1, кроме нуля кратность в в точке го, |го| <1 — р' тогда для г £ 6Т), а£ С\Т> и п > г]'0

№ар(г)1 <

1 + а

п +

2в(к + |го|) п(к — 1) 1р(г)

(к + 1)(1 — |го|) к +1 (М (р, 1))2 2вк

М (р, 1), (12)

, 2а(А; + 1) ,

Т№Р =1-п(к-1) + 2*11Г]0 = ]—Т-

Если мы разделим обе части (12) на |а| и положим |а| —> ж, следствие 1 сведется к результату, недавно доказанному авторами [12]. Также при го = 0, имеем следствие из теоремы 1.

( ) т-в

Следствие 2. Пусть г € 72.„, что г (г) = ——, где р(г) = имеет все

з=о

нули в С\Т>к, к > 1, кроме нуля кратности в в начале координат, тогда для г € 50

где п >

У(г)| <

2(т + вк) к + 1

В'^ +

2вк п(к+)1) — 2т \г(г)

к + 1 к +1 (М (г, 1))2

М (г, 1), (13)

При в = 0 теорема 1 сводится к результату Азиза и Заргара [13, теорема 1]. Также из теоремы 1 при в = 0 следует результат, отличный от результата Азиза и Заргара [13].

Следствие 3. Пусть г € Лп такое, что г (г) = ^ ^, где р(г) = со всеми

■(г)'

нулями в С\Т>к, к > 1, тогда для г € 50

з=о

У(г)| <

В'^ + т — п —

Ы—к^СтП Уг)

В следствии 3 при т = п, взяв г(г

|со| + к^Ст^ (М(г, 1))2 р(г)

М (г, 1). (14)

(г — а)п

и действуя как указано выше,

получаем следующее.

2

2

2

1

2

2

1

2

Следствие 4. Пусть р € Рп, что р(г) ^^ с-г- имеет все нули в ,к > 1, _ з=о

тогда для ^ € 6Т) и а € <С\Х>

|со |-kn|c„| |p(z)

п —

lp(z)l. (15)

|cqI + kn\cn\ (M(p, 1))2 Если мы разделим обе части (15) на |а| и положим |а| —> то, то получим

IcQ\-kn\CnI \p(z)\2

\p'(z) I < \

|со| + knlcnl (M(p, 1))2

|p(z)|.

Далее докажем теорему.

p(z )

Теорема 2. Предположим, что г G lZn, что riz) = —-г^-, где p(z) := (z — zo)s

w(z)

m—s

^^ Cjzi, zq G X>, 0 < s < m и все нули г лежат в а /г < 1 — ноль кратности s в

3=0

точке zo, тогда для z G SD

и«)1 * (ty*„7 Vti,

Результат точен при zo = 0, а равенство имеет место для рациональной функции

(z — а)" у z — al

которая вычисляется при z = 1 и а € С\7У.

p(z)

Подставляя вместо riz) = --—, получаем следующее.

(z — а)"

n — s

Следствие 5. Пусть p G Pn такое, что p(z) = (z — zp)s^~"^Cjz3, zo G D, все нули

__3 = 0

которого находятся в T>k, к < 1, кроме нуля кратности s в точке z о, тогда для z G SD и a G С\Д?

При zo = 0 теорема 2 сводится к результату Вали [11, теорема 2.2]. Более того, при s = 0 теорема 2 сводится к теореме A. Азиза и Шаха [6].

Естественно задаться вопросом: есть ли возможность уточнения теоремы 2? В связи с этим имеет место следующий результат, показывающий, что уточнение теоремы 2 возможно только в случае cm—s = 0.

2

p(z)

Теорема 3. Предположим, что г G lZn такое, что riz) = —-г^-, где p(z) :=

w(z)

m—s

(z — zo)s ^^ c-jZ?, ^o G X>, и все нули r лежат в Т>к, к < 1, с кратным нулем s в zo, j=0

тогда для z G SV

\r'(z)\ >-¡\B'(z)\ + 2s(fc~|zo|) + ^-n{k + l) 1 [ )l~ 2\ll*[Z)l+ (k + l)(l + \z0\)+ k+ 1 +

+ k+l[k^\cm^\ + \c0\)flriZ)l где m — количество нулей r(z).

n—s

Следствие 6. Пустьp G Pn такое, чтоp(z) = (z — Cjzj, все нули которого

__3=0

■ в Dfc, к < 1, кроме нуля кратности s в го, тогда для z G ST) и a G <С\Х>

Разделив обе части на |а| и полагая |а| —> œ, получаем следующий результат.

n—s

Следствие 7. Пусть p G Pn такое, что p(z) = (z — zp)s^~"^Cjzj, все нули которого

__3 = 0

лежат в "D^, к < 1, кроме нуля кратности s в го, тогда для z G SD

При к = 1 и s = 0 следствие 7 сводится к результату Дубинина [14]. Более того, при z0 = 0 теорема 3 сводится к следующему результату.

p( z )

Следствие 8. Предположим, что г G 1Zn такое, что r(z) = ——, где p(z) :=

w(z)

m— s

zs CjZ^, и все нули г лежат в Т>к, к < 1, кроме нуля кратности s в начале коор-

j=0

динат, тогда для z G SV

\r'(z)\ > Ц\В'(г)I + 2(m+sk)-n(k+l) Jk_ f ^-'¡^-.¡-¡соЛ 1

k+1 k+1 \k™-°\cm_s\ + \c0\) y K >h

где m — количество нулей r(z).

При к =1 следствие 8 сводится к теореме B, принадлежащей Вали [11].

3. Леммы.

Лемма 1. Пусть r G Rn и все нули r лежат в C\Vk, к > 1, кроме нуля кратности s, 0 < s < m при zo, zo G V, тогда для z G SV

V ф) ) - 2\ У П 1-N ¿i k+\Zj\ f

Доказательство. Пусть г € ~Яп такое, что

Р(г)

г(г) =

'(г)''

где р(г) = (г — го)д(г) и д(г) = ^т=о — г- — многочлен степени т — в, все нули которого лежат в €\Х>&. Следовательно, если г\, г2,..., гт—3 — нули д(г), тогда \г-\ > к, к > 1, ] = 1, 2,...,т — в. Отсюда имеем

гг'(г) вг т— г гю'(г) г(г) г — го ^ г — г- т(г)

Это, в частности, дает для г € 6V

\г(г) ) \г — г0) г — г-) у™(г) ^

<

<

т—в \ / п \

в\г\ ^ I г \ ^ I г'ш'(г)

ЧЕттт: -Н^ • <">

\г — го\ \ г — г-) \ 'ш(г)

■ -

Теперь для г- € и г € 6V имеем

Ее Ы=Не ..)< 1

егв — \г-\егФ - 1 + \г-

если

(1 + \г-\)(1 — \г- \ ОС8(0 — ф)) < 1 + \г-\2 — 2\г- \ сов(0 — ф), что верно, так как

сов(0 — ф) >—1. Следовательно, для г- € €\Ок, к > 1, и для г € б'О имеем

(18)

\г — г- 1 + \г- \ к + \г- \

Кроме того,

т(г)

где и)* (г) = гпт ( — ).

V)

Из вышесказанного следует, что

Мжгжг ж

гг

-

Используя то, что

гВ'(г)

= \В'(г)\, Юг г € 6У,

получаем

Как и ранее,

/гК(г))'\ гт'(г)\ , ,

Ие —= п - Ие —-V . 20

V ) \ •*{*) )

Из (19) и (20) следует, что

Подставляя (18) и (21) в (15), получаем для г € б'О

То есть для г € б'О имеем

V Ф)) - 2\ 1 - ы ^ * +

Это доказывает лемму 1.

р( г )

Лемма 2. Предположим, что г € 71п такая, что г(г) = ——, гдер(г) := (г —го)я

•ш(г)

т—в

с-г-, го € V, имеет ровно п полюсов а1, а2,..., ап, и все нули г лежат в Т>ь, к < 1

-=о

с кратным нулем в в точке го тогда для каждой точки г € 6Т>, такой, что г(г) = 0,

11с(гГ'{г)\ > 1[\3'Ш I 2а(*~1*о1) |

К%Ф)) + (к + т + ы)+ к+1 /•

Доказательство. Пусть г € Кп такое, что

т(г)

Поступая аналогично лемме 1, для \г- \ < к, к < 1,] = 1, 2,...,т — в имеем

гг'(г) вг т-/ г \ гт'(г) Ф) ^-^о и>(г)

Это, в частности, дает для z € 5D

Теперь для Zj € Dk,j = 1, 2,...,m и z € SD имеем при к < 1

Reí —) > , 1. , > * (23)

\Z-Zj) ~ 1 + ¡Zj\ - 1 +к

Используя (23), мы получаем для z € 5D

^ / zr'(z) \ ^ s то — s I п — \B'(z)\ \

r(zW"1 + |zq| к + 1

s(k — |zq|) 2т-п(к + 1) \B'{z)

(к +1)(1 + | zo |) 2(к +1)

То есть для z € 5D

Р Jzr'(z)\ 1 Г 2 s(k-\zo\) 2т — п{к + 1)

К61 ф) J -2Í1 WI+(A + 1)(1 + N)+ к+ 1

Лемма 3. Предположим, что г G lZn, где r(z) = ———-, p(z) := (z — zo)s с^г3',

w(z)

v 7 j=o

zo € D имеет ровно n полюсов ai, a,2,..., an, и все нули r лежат в Dk, к < 1, кроме нуля кратности s в точке zo, тогда для каждой точки z € 5D такой, что r(z) = 0, выполняется следующее неравенство:

^IB'ÜI I | 2m — n(k + 1)

К^ф) ) (k+l)(l + \zo\)+ k + 1 +

J2k_ ífcm-s|cm_s|-|c0|\ 1 k + 1 + |c0| J J

Доказательство. Как и при доказательстве леммы 1, имеем для z € 5D при к1

Re Í^TT =Re f— +Re ¿ —l-^f^

\ r(z) \z — zo \j=i z — zj \ w(z)

>

>

j

. j=i J. 1 "'"-í. к — Izj I m — s n IB'(z)

1 x—\ к — zj m — s n i--\ -b¿i i-----1

h 4- 1 1 4- lr,l h 1 9

1 + | zo | к + 1 j= 1 + Izj I к +1 2 2

= g , k k ~ \zjI , m ~ s _ ü , \B'(Z)\ >

l + \z0\ k + 1 k + k\zj\ k+1 2 2 ~

> s , k k ~ M , w ~s _ ü , lg/(z)l (па) ~ 1 + Ы k + 1 ^ k+\Zj\^ k+1 2 2 1 J

"l — S

s

Простым применением принципа математической индукции получаем

п 1 — ь 1 — Пп Ь ■

\г-\

Используя этот факт в (24) при —< 1, а затем, используя формулу Виета, полу-

к

чаем

Ие

>

+

к (1 — Пт=1в \г-\М т — в п \В'(г

+

~ х +

гг'(г)

+ Ы ' к + 1 ^1 + ПГ=7ЫАУ 1 к + 1 2

1/ 2з(к-Ы) | 2т — п(к + 1) |

2 1 (к + 1)(1 + | ^о |) к + 1 +

>

+

2к кт—в\ст — в\ — \со\

к + 1 \ кт—в\ст — в\ + \со\

Нам также понадобится следующая лемма, принадлежащая Ли, Мохапатре и Род-ригесу [8].

Лемма 4. Если г € то для г € б'О

\(г*(г))'\ + \г'(г)\ < \В'(г)\М(г, 1). (25)

Равенство выполняется для г(г) = АВ(г) с А € 6Т>. 4. Доказательства теорем.

Доказательство теоремы 1. Поскольку г € К-п и все нули г лежат в С\Т>ь,к > 1, кроме нуля кратности в в точке го, следовательно, \г-\ > к,к > 1,] = 1, 2,...,т — в и, следовательно, из неравенства (15) леммы 1 имеем для г € б'О

г(г) 1 — \го\

+ 5>1

-=1 т—в

-

<

1 —|го|

<

-=1

+ Е

+ 5>( —

гг

-в. ^ <

V щг))

п —|В'(г)

-

п —|В'(г)

1 — \го\ ^ 1 + \г- \

^ в ^ т — в ( п — |В'(г)

1 — \го\ 1 + к

<

<

(26)

(27)

Также, если г* (г) = В(г)г I — I, тогда для г € 5Т> имеем

(г* (г))'\ =

гВ\г)г\ - -

В(г)

гВ'(г) ~В{г)

г(г) — гг'(г)

2

г

в

711 —в

1

в

г

хБ'(х)

Используя = \В'(г)\, г € 51получаем

Б(г)

Это дает для г € 5гО

г(г*(г))'

\Г(г))'\ = \\Б'(г)\г(г) - гг'(г)\.

г(г)

= \Б'(г)\2 +

' (г)

г(г)

- 2\Б'(г)\И.е

'(г)

г(г)

Комбинируя (26) и (28), мы получаем для г €

г(г* (г))'

г(г)

>\Б'(г)\2 + = \Б'(г)\2 +

гг'(г

(г)

г(г)

гг'(г)

- 2\Б'(г

в ^ т — в I п — |В'(г)

1 -\го\ 1 + к

г(г)

То есть для г € 6V

\(г*(г))'\2 >

|г/(г)|2 + | п(к+ 1)-2то _ 2ф+ Ы) 1 №)||ф)|2

Поскольку по предположению

где

Р =

к + 1 (1 -\го\)(к +1)

\го\ < 1 - Р, 2з(к + 1)

(29)

г(к + 1) + 2(з - т)

легко проверить, что

Также очевидно, что

если

п(к + 1) - 2т 2з(к + \г0\)

к +1 (к + 1)(1 -\го\)

> 0.

0 < р

2з(к + 1)

п(к + 1) + 2(з - т) 2(т + зк)

< 1,

п >

к + 1

Выбираем

По =

2(т + зк)

к + 1 '

2

2

гг

2

2

2

так, что вследствие неравенства (29) и леммы 4, получаем

\г'(г)\ +

\г' (г)\2 +

2 ]п(к + 1) — 2т 2в(к + \го\)

к +1 (1 — \го\)(к + 1)

|В'(г)||г(г)

<

< \В'(г)\М(г, 1).

После упрощения имеем при г € б'О

|г'(г)|<

|В'(г)|+

2в(к + \го\) п(к + 1) — 2т \г(г)

(к +1)(1 — \го\)

для каждого го с \го\ < 1 — р и п > по, где

2в(к + 1)

р=

к + 1 М (г, 1)2 2(т + вк)

М (г, 1),

и по =

к + 1

п(к + 1) + 2(в — т) Это завершает доказательство теоремы 1.

Доказательство следствия 3. Из неравенства (22) имеем при в = 0 и г € 6Т>

к п —|В'(г)| 1

(г)

-=1 к + |г- | -=1

Ж-

1

Ы

к + \Б'(г)\ + т~п <

1Г 1-П 7=М

<-Ы\г)\ +т-п+ к

1+

т I к

2иг + Щ к

— < \Б (г) \ + т — п + --:-:-:-г >.

2 | кт\ст\ + |со| |

(30)

Комбинируя (28) и (30), мы имеем для г € б'О

г(г* (г))'

г(г)

>\В'(г)\2 +

'(г)

г(г)

\п!( м1кт\ст\ — \со \

|В'(г)| .

То есть

\(г*(г))'\2 > \г'(г)\2 + \В'(г)Ц п — т +

\с0\-кт\сп |с0| + кт\сп

>\Ф)\2.

(31)

Ясно, что правая часть предыдущего неравенства положительна. Следовательно, используя лемму 4 и упрощая, получаем для г € б'О

УШ < 1

\п'( Ы-кт\ст

\В (г)\ + < т — п —

|г(г)

со\ + кт\ст\\ (М(г, 1))2

М (г, 1).

Доказательство теоремы 2. Положим г(г) = 0 для г € 6Т>, тогда из леммы 2 следует, что

I Ф) / " 2Г ^ л (Л + 1)(1 + Ы)

2з(к-\г0\) 2т — п(к — 1) + к+1

2

2

2

2

2

Используя тот факт, что

получаем для z € SD

Rei^Ml <

r(z)

'(z)

r(z)

2 (k + 1)(1 + |zo|)

2s(k — |z0|) 2m — n(k — 1)

+

k + 1

•lr(z)l

В случае г(г) = 0 при г € 5Т>, приведенное выше неравенство выполняется тривиально. Следовательно, результат верен для всех г € 5Т>.

Доказательство теоремы 3. Предположим, что г(г) = 0 при г € 5Т>, поэтому оно следует из леммы 3:

Ччт И г(г,|+<*+1><1+ы)

2s(k-\z0\) 2m — п(к + 1)

k + 1

+

2k km-slcm-sl — lcol

k + 1 \ km-slcm-sl + lcol

Это, в частности, дает для z € SD

\r'(z)\ >-I \B'(z)\ + 2s(fc~|zo|) + ^-n(k + l) lr[Z)l~ 2\ll*[Z)l+ (k + l)(l + \zo\)+ k+1 +

2к

/г + 1 i kms\cmsi + |cqi / f ^

В случае г(г) = 0 при г € 6V приведенное выше неравенство выполняется тривиально. Следовательно, результат верен для всех г € 5Т>.

^HTepaTypa/References

1. Bernstein S. Sur la limitation des dérivées des polynomes. C. R. Acad. Sci. Paris. 190, 338—340 (1930).

2. Schaeffer A. C. Inequalities of A. Markoff and S. Bernstein for polynomials and related functions. Bull. Amer. Math. Soc. 47, 565-579 (1941).

3. Lax P. D. Proof of a conjecture of P. Erdos on the derivative of a polynomial. Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.) 50, 509-513 (1944).

4. Turan P. Uber die ableitung von polynomen. Compos. Math. 7, 89-95 (1939).

5. Malik M. A. On the derivative of a polynomial. J. London Math. Soc. 1, 57-60 (1969). https://doi.org/10.1112/jlms/s2-1.L57

6. Aziz A., Shah W. M. Inequalities for a polynomial and its derivative. Math. Inequal. Appl. 7, 379-391 (2004).

7. Borwein P., Erdelyi T. Sharp extensions of Bernstein inequality to rational spaces. Mathematika 43, 413-423 (1996).

8. Xin Li, Mohapatra R. N., Rodriguez R. S. Bernstein-type inequalities for rational functions with prescribed poles. J. London Math. Soc. 51, 523-531 (1995).

9. Sheil-Small T. Complex polynomials. Cambridge Stud. Adv. Math. (2002).

10. Aziz A., Shah W. M. Some properties of rational functions with prescribed poles and restricted zeros. Math. Balkanica 18, 33-40 (2004).

11. Wali S. L. Inequalities for Maximum Modulus of Rational functions with Prescribed Poles (preprint). Kragujevac J. Math. 47, 865-875 (2023).

12. Ahanger U. M., Shah W. M. Inequalities for the derivative of polynomial with restricted zeros. J. Analysis 29, 1-8 (2021).

13. Aziz A., Zargar B. A. Some properties of rational functions with prescribed poles. Canad. Math. Bull. 42, 417-426 (1999).

14. Dubinin V. N. Applications of the Schwarz Lemma to inequalities for entire functions with constraints on zeros. Journal of Mathematical Sciences 143, 3069-3076 (2007).

Статья поступила в редакцию 23 сентября 2022 г.;

доработана 19 января 2023 г.; рекомендована к печати 16 февраля 2023 г.

Контактная информация:

Ахангер Узма Мубин — PhD; uzmanoor@cukashmir.ac.in Шах Валь Мухамед — Professor, PhD; wmshah@rediffmail.com

Inequalities for the derivative of rational functions with prescribed poles and restricted zeros

U.M. Ahanger, W. M. Shah

Central University of Kashmir, Ganderbal J & K, 191201, India

For citation: Ahanger U.M., Shah W. M. Inequalities for the derivative of rational functions with prescribed poles and restricted zeros. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2023, vol. 10(68), issue 3, pp. 554-567. https://doi.org/10.21638/spbu01.2023.309 (In Russian)

In this paper, instead of assuming that a rational function r(z) with prescribed poles has a zero of order s at origin, we suppose that it has a zero of multiplicity s at any point inside the unit circle, whereas the remaining zeros are within or outside a circle of radius к and prove some results which besides generalizing some inequalities for rational functions include refinements of some polynomial inequalities as special cases.

Keywords: inequalities, polynomials, rational functions, poles, zeros.

Received: September 23, 2022 Revised: January 19, 2023 Accepted: February 16, 2023

Authors' information:

Uzma M. Ahanger — uzmanoor@cukashmir.ac.in Wal M. Shah — wmshah@rediffmail.com