ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ИТО С ОГРАНИЧЕННЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.929.4+519.21

DOI: 10.21779/2542-0321 -2022-37-3 -7-18

12 1 Р.И. Кадиев ' , З.И. Шахбанова

Экспоненциальная устойчивость решений одной непрерывно-дискретной линейной системы Ито с ограниченными запаздываниями

1 Дагестанский государственный университет; Россия, 367000, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43а;

2 Дагестанский федеральный исследовательский центр РАН; Россия, 367000, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 45; kadiev_r@mail.ru

В статье освещаются вопросы экспоненциальной моментной устойчивости решений одной непрерывно-дискретной системы Ито с ограниченными запаздываниями. Для исследования этих вопросов применен модифицированный метод регуляризации. Метод регуляризации для детерминированных функционально-дифференциальных уравнений был разработан Н.В. Азбелевым и его учениками. С помощью теории положительно обратимых матриц онбыл усовершенствован. Благодаря ему получены достаточные условия экспоненциальной момент-ной устойчивости решений исследуемой системы в терминах положительной обратимости матрицы, построенной по коэффициентам и запаздываниям этой системы. Для системы без запаздываний и с постоянными коэффициентами условия устойчивости получены в терминах коэффициентов этой системы.

Ключевые слова: устойчивость решений, дифференциальные и разностные уравнения Ито, метод модельных или вспомогательных уравнений.

Введение

В последнее время у исследователей все больший интерес вызывают процессы, подверженные случайным воздействиям, и вектора состояний которых содержат компоненты с непрерывным и дискретным временем. Развитие этих процессов описываются системами, которые состоят из стохастических дифференциальных и разностных уравнений с запаздываниями. В зарубежных публикациях упомянутые системы называют семидискретными системами уравнений. В отечественных публикациях в детерминированном случае такие системы называют непрерывно-дискретными. Для них также используется более общее название «гибридные системы». Такие системы возникают, например, в теории управления [1], экологических [2] и биологических моделях [3]. В связи с этим все актуальнее становится исследование задачи устойчивости решений таких систем.

Для адекватного описания многих процессов в биологии, иммунологии, химии, экономике, экологии приходится учитывать состояние процесса не только в текущий момент времени, но и в предшествующие. Исследования показывают, что при учете «эффекта последействия», даже в случае маленькой его величины, математические модели точнее описывают развитие процессов. Это обстоятельство, учет случайностей при моделировании процессов и то, что для физической реализации любого процесса

очень важным является его устойчивость, привели к необходимости изучения вопросов устойчивости решений для непрерывно-дискретных систем Ито с запаздыванием.

Исследование вопросов устойчивости для гибридных систем было заложено в работах И.Я. Каца и H.H. Красовского [4], H.H. Красовского и Е.А. Лидского [5]. Систематическое изучение качественной теории детерминированных семидискретных систем с запаздыванием, в том числе их устойчивости, начато в работах В.М. Марченко и его соавторов [6; 7] и продолжено в статье [8]. В этих работах семидискретные системы называются «гибридными», т. к. являются частным случаем гибридных систем. В статье такие системы также названы «гибридными». В настоящее время исследованиям устойчивости решений для детерминированных гибридных систем посвящено множество работ. Достаточно полный их список приведен в монографиях И.Е. Казакова и В.М. Артемьева [9], В.А. Бухалева [10], И.Я. Каца [11], М. Маритон [12].

В статье анализируется задача, которая ранее не исследовалась другими авторами, - задача экспоненциальной моментной устойчивости системы, состоящая из линейного дифференциального и линейного разностного уравнения Ито с ограниченным запаздыванием относительно начальных данных. Исследования проведены с помощью модифицированного метода регуляризации, основанного на выборе модельного уравнения и применении теории положительно обратимых матриц. Суть метода заключается в том, что вместо функционала на пространстве траекторий решений используется «модельная» система уравнений, которая обладает заданным свойством устойчивости и используется для регуляризации исходной системы уравнений. Проверка устойчивости решений преобразованной системы состоит в оценке моментов компонент решений системы уравнений и в проверке положительной обратимости матрицы, полученной при этих оценках. В статье приведены достаточные условия экспоненциальной моментной устойчивости решений одной системы, которая состоит из линейного дифференциального и линейного разностного уравнений Ито с ограниченными запаздываниями. Проверена выполнимость этих условий в частном случае исследуемой системы.

Ранее было начато изучение вопросов моментной устойчивости решений для одной гибридной системы Ито с запаздываниями [13].

Предварительные сведения и задача исследования

Пусть в дальнейшем:

- (А ЭД) ¿>о? Р) - стохастический базис, где А - множество элементарных событий, 3 - а -алгебра событий на А, (3t)t>0 - непрерывный справа поток а -алгебр

на А, Р - полная вероятностная мера на 3;

- E - символ математического ожидания;

- k2 - линейное пространство, элементами которого являются 30 -измеримые 2-мерные случайные величины;

- Bi, i = 2,...,m - скалярные стандартные независимые винеровские процессы;

- 1 <p <да;

- ср- положительное число, зависящее от p ([14], с. 65);

- |.| - некоторая норма вектора в пространстве R2;

- / - мера Лебега на [0, да);

- N - множество натуральных чисел;

- N+={0\^ N;

- E - единичная матрица размерности 2 х 2 ;

- [t ] - целая часть числа t;

- IUIх - норма в нормированном пространстве X;

- D2 - линейное пространство, элементами которого являются прогрессивно измеримые 2-мерные случайные процессы, определенные на [0, да) с почти наверно (п. н.) непрерывными справа и имеющими пределы слева траекториями;

- L2 - линейное пространство, элементами которого являются 2-мерные случайные процессы, определенные на (—да, 0) с п. н. ограниченными в существенном траекториями, независимые от винеровских процессов Bi, i = 2,..., m;

- p.[0, да) ^ R - некоторая положительная непрерывная функция;

о II II def i I p \1/p

- MPp = {x : x e D2,|x||MP = sup(£|p(s)x(s)|* j < да}(МP = Mp);

v +

2 2 и и def( i iPV7p

-k2 = {a.aek ,\\a\\ 2 = IEa ! <да};

У II II kp \ I I /

2 и и def ( i iP V p

- Lp = [p.pe L, Ы 2 = vrai suplE (p(j)) ) <да}.

r iiiiLP \l i/

В дальнейшем через х(t), (/ > 0) будет обозначена компонента вектора состояний системы с непрерывным временем, а через х(я) , (я е Ы+) - компонента вектора состояний системы с дискретным временем. Заметим, что по компоненте х (я), (я е N) вектора состояний системы с дискретным временем однозначно определяется х([ф), (/ > 0) и наоборот. Поэтому при необходимости вместо х(я), (я е N) будем пользоваться х(^])), > 0). Для вектора состояния системы будет использовано также обозначение х^) = col(x(t), x([t])), (I > 0).

В статье анализированы вопросы экспоненциальной моментной устойчивости решений системы вида

dx(t) = -£ А, (t)х(к„ ($М + ££ А (t)х(ку (tШ (t) (t > 0),

У=1 ,=2 ] =1 (1)

^ +1) = х<5)- £])х(])к + £ £АЛ])х(]){Бг ((я + 1)к)-Бг (як)) (я еЫ+)

у=-<ю ,=2 у=-го

относительно начальных данных

х(д) = р(д) (д< 0), (1а)

х(0) = Ь, (1б)

где: _

1. х^) = со1(х^), X([t])), (I > 0);

2. Ау , , = 1,..., т, у = 1,...,т1 - 1 х 2-матрицы, элементами которых являются прогрессивно измеримые скалярные случайные процессы, траектории которых п. н. ло-

кально суммируемы при i = 1, у = 1, ..., т1, а в остальных случаях локально суммируемы с квадратом;

3. к^ , i = 1,..., т , у = 1, ...,mi - измеримые по Борелю функции такие, что ку (V) < t (t е [0, да)) / - почти всюду при i = 1,..., т, у = 1,..., mi;

4. к - положительное число;

5. а, (5, у) - 1 х 2-матрица, у которой элементы -измеримые скалярные случайные величины при i = 1,..., т, у =-да,..., 5, 5 е Л+;

6. р(д) (д < 0) - 2-мерная 30 -измеримая случайная величина (начальная функция);

7. Ь е к2.

Определение 1. Решением задачи (1), (1а), (1б) случайный процесс х^) = со1(х(t), х(^])) ^ е (-да, да)) который прогрессивно измерим при (/ > 0) , удовлетворяет условиям х(д) = рд) (д < 0), х(0) = Ь, а также Р - почти всюду системе

_ __т1 t т mi t

х(0 = х(0) - X | А у (д) х(ки (д))dд + £ £ | А у (д) х(к у (д)^ (д) (Г > 0),

7=1 0 '=2 У=1 0

= = 5 т 5

х(5 + 1) = х(5) - £ А, (5, У)х(7)к + £ £ А,5, У)х(У)(£г ((5 + 1)к) - Б, (5к)) (5 е Л+),

У=-да /=2 У=-да

где первый интеграл - это интеграл Лебега, а второй - интеграл Ито.

Из этого, а также из работы [15] следует, что задача (1), (1а), (1б) имеет единственное решение. В дальнейшем через х(/, Ь,р) (/ е (-да, да)) обозначим решение задачи (1), (1а), (1б). Очевидно, что при / > 0 х(.,Ь,р) е О2. Заметим также, что задача (1), (1а), (1б) при нулевых начальных условиях имеет только нулевое (тривиальное) решение.

Пусть в дальнейшем 1 < 2 < да.

Определение 2. Нулевое решение системы (1) или систему (1) назовем: - ц-устойчивым, если для любого е > 0 найдется такое 8(е) > 0, что при всех

Ь е кЦ , ре¿2 и ||Ь||к2 +||р||¿2 <8 для любого ? >0+ будет выполнено неравенство

2 2

(Е\х(t, Ь,р)|2 )172 < е ;

- асимптотически ц-устойчивым, если оно ц-устойчиво, и, кроме того, при всех Ь е к2 , ре¿2 и Ь ,2 + |р| 2 <8 будет выполнено соотношение

2 2 II к2 ¿д

lim( Е|х(^ Ь,к)\4 )х/2 = 0;

- экспоненциально 2 -устойчивым, если найдутся такие числа с > 0, ( > 0, что выполнено неравенство (Е|х(^ Ь,р)|2 )х/2 < с(||Ь||к2 + ||р| L2)exp{-(t} (/ > 0).

Определение 3. Систему (1) будем называть Ы7Ч -устойчивым, если для любых Ь е к2, ре для решения х(у,Ь,р) (/ е (-да,да)) задачи (1), (1а), (1б) на интервале

2

2

[0, да) выполнено соотношение х(., Ь, р) е Мгч и неравенство ||х(., Ь,р)|| г < с1||Ь|1 2 + ||р|| г ) для некоторого положительного числа с .

II IIмц \1 Пкц П ПЬу !

Нетрудно убедиться в том, что справедливы следующие утверждения:

1) если q(t) = 1 (t > 0) и система (1) является Mra -устойчивой, то она и q -ус-

тойчива;

2) если y(t) >5 (t > 0) для некоторого 5 > 0, lim y(t) = и система (1) является M7q -устойчивой, то она и асимптотически q-устойчива;

3) если q(t) = expß} (t > 0), где ß> 0 и система (1) является Mq -устойчивjq, то она и экспоненциально q -устойчива.

Метод регуляризации

Как отмечено во введении, экспоненциальную моментную устойчивость системы (1) будем исследовать преобразованием этой системы (1) в другую более простую эквивалентную систему с помощью вспомогательной (модельной) системы. Условия устойчивости для преобразованной системы устанавливаются легко. Они сформулированы в терминах положительной обратимости матрицы, построенной по коэффициентам и запаздываниям исходной системы.

В качестве модельной (вспомогательной) системы возьмем систему вида

ёха)=(-ад х(о+/^оэ + ^ тлв (о ц > о),

1=2

= = = т (2)

х(5 +1) = х(5) + (-А(5)х(5) + 81(з))И + £g1 (5)(В ((5 +1)А) - Бг (зИ)) (5 е М+),

1=2

где В(г) , /1 (г) - прогрессивно измеримые скалярные случайные с п. н. локально суммируемыми траекториями, (г),г = 2,..., т - прогрессивно измеримые скалярные случайные процессы с п. н. локально суммируемыми с квадратом траекториями, а И -положительное число, как и в системе (1), А(з),gi(з),г = 1,...,т - случайные величины,

которые 35 -измеримы при 5 е Ы+ .

Справедливость следующей леммы непосредственно вытекает из известной формулы представления для решений линейных обыкновенных неоднородных дифференциальных и разностных уравнений.

Лемма. Пусть х(г) = со1(х(г), х([г])) (г > 0) решение системы (2) такое, что х(0) = со1(х 0, х 0). Тогда для этого решения имеет место следующее представление

_ _ _ * __т * _

х(г) = X(г,0) х0 + |X(г,д)/х(д)йд + £ { X(г,д)¡г(д)йВг(д) (г > 0),

0 1=2 0 (3)

= = = 5-1 = ( т (^+1)И \

х (5) = X (5,0) х 0 + £ X (5 ,Т) gl(т) И + £ В1(г) | йВг (С) (5 е N +),

г =0 I 1 =2 ф

где X(t,g) (t > 0,0<g< t) - решение уравнения dx(t) = B(t) x(t)dt (t >0), а X(t,t) = 1 (t > 0), X(s,r) (s,reN+ ,0<r<s) - решение уравнения

x(s +1) = x(s) + £ B(s, j) x( j)h (s e N+ ), причем X (r, r) = 1 (re N+).

j=0

Используя Лемму, задачу (1), (1a), (1б) перепишем в следующем эквивалентном

виде:

X(t) = X(t)b + (©X)(t) + (Cp)(t) (t > 0), (4)

где X(t)-диагональная 2*2-матрица, на главной диагонали которой расположены слу-

чайные процессы X (t ,0) и X ([t ],0),

(0X)(t) = col

Л t

[t-1]= £ x ([t],r+1)

r=0

jX(t,g) B(g)X-£Ay(g)X(hiJ(g)) dg + jX(t,g)££A(g)Xc(h1](g))dB1 (g),

V 0 v j=1 У 0 '=2 ]=!

í = r Л m r (r+1)h Л

A(r)X(r)-£Ax(r,j)X(j) h + ££Ai(s,j)X(j) jdB,(g)!

j=0 У i=2 j=0 rh J

__í m1 Л t __m m,

(Cp)(t) = col jX(t,s)l -£Aj(g)p(h1](g)) dg + jX(t,r)££A1}(g)p(hj(g))dB,(g),

V 0

1=2 j=1

[t-1] =

m -1

(r+1) h

£X([t],r + 1j- £A1(r, j)p(j)h + £ £At(s, ])p(/) jdB1 (g)

r=0 I /=-<ю i=2 rh

X(t) = col (X(t), X(t)) - двумерный неизвестный случайный процесс на (-да, да) такой, что X(t) = 0 при t < 0 и X(t) = X(t) при t > 0 , pp(t) - известный двумерный случайный процесс на (-да, да) такой, что Pp(t) = p(t) при t < 0 и pp(t) = 0 при t > 0 .

В дальнейшем используем следующие

обозначения:

Í

Xr = col

t>0

supl E r(t)X(t)

2 p

1/2 p

, supl E

st>0 *

r(t) X(t)

2p

\1/2p Л

; e = col (1,1).

Пусть для решения системы (4) при любых Ь е к2, ре¿2 удалось получить

матричное неравенство вида

E~r < C~r + c||b|l 2 e + c|pP , e,

(5)

где С - некоторая 2 х 2 -матрица, с, с - некоторые положительные числа. В работе [13] доказана следующая теорема.

Теорема 1 [13]. Если в неравенстве (5) матрица Е - С является положительно обратимой, то система (1) М 7г -устойчива.

В следующем пункте эта теорема будет использована для получения достаточных условий экспоненциальной моментной устойчивости системы (1).

Достаточные условия устойчивости

В этом пункте будут получены достаточные условия экспоненциальной 2^-устойчивости системы (1). Признаки устойчивости системы (1) получены на основе теоремы 1 предыдущего пункта. Как следует из второго пункта работы, экспоненциальная 2^-устойчивость системы (1) относительно начальных данных эквивалентна M-устойчивости этой же системы при y(t) = exp{(} (t > 0) для некоторого (> 0.

В дальнейшем пусть y(t) = exp{(} (t > 0), где ( - некоторое положительное число.

Кроме того, элементы матрицы Atj (t) из системы (1) обозначим через afr (t) при

i = 1,..., m , j = 1,..., mi, а элементы матрицы Ai(s, j) из этой же системы - через

al2r(s, j), r = 1,2 при i = 1,...,m , j = —да,...,s , s eN+ . Примеры показывают [16], что экспоненциальная устойчивость решений систем детерминированных линейных функционально-дифференциальных уравнений, как правило, наблюдается только в случае ограниченных запаздываний. Предположим, что:

- существуют неотрицательные числа г,i = 1,..., m, j = 1,..., mt такие, что

0 < t — hij (t) < rij (t e [0, да)) / - почти всюду при i = 1,..., m, j = 1,..., mt;

- существуют неотрицательные числа a 1r, i = 1,..., m, j = 1,..., mt, r = 1,2 такие, что aj(t) < air (t > 0) Pх/ - почти всюду при i = 1,..., m, j = 1,..., mt, r = 1, 2 ;

- второй элемент матрицы A1(s, s) (se N+ ) имеет вид a22(s, s) + Л (s e N + ), где Л - некоторое положительное число;

- £ aJ! (t) > Л (t > 0) P х/ - почти всюду для некоторого подмножества

jeI

1 e{1,...,ml};

- 0 < Л-h < 1;

- существуют dt eN+,i = 1,...,m такие, что элементы матриц At(s, j) равны нулю P - почти всюду при s e N+, j = -да,..., s — di, i = 1,..., m;

- существуют неотрицательные числа a2r (s, j), i = 1,..., m, r = 1,2, s e N+, j = s — di,...,s такие, что | a\r (s, j)|< a2r (s, j) P - почти всюду при i = 1,..., m, r = 1,2, s e N+, j = s — d,..., s , причём для всех i = 1,..., m, r = 1,2

Г _i

sup £ a2r (s, j) <да, где vt (г) = 0 при 0 <г< dt и vi (г) = г—dt при г> dt;

reN+ j=Vi (Г)

- элементы 2 х 2-матрицы C определены следующим образом:

- 1

С11 = —

Л

С12 = —

Л

an £anr,; + ££cmjг1 ; + £an

, —1v

v jeI Vv=1

71,

j

j=W«I

С m mi ,,

££a?1,

V2i

i=2 j=1

Л m,

1 j ^ _ 1v —ivt- ^ — 1 j

a 11 £ a 11r, j + ££ anJ r1 j +£ an

vj'eI v

i=2 v=1

j=1

c m mt ..

+ш£ £-

i=2 v=1

1

- _ 1 C2r = М

( т m т

h sup £a2r (s, j) + cp4h£ sup £ a2r (s, j) , r = 1,2.

V teN+ j=Vi(T) i=2 TeN+ j=Vj (т) J

Теорема 2. Если матрица E - С положительно обратима, то система (1) M-устойчива с экспоненциальным весом y(t) = exp{Jt} ( t > 0 ), где

0 < J < min{A,-ln(1 - ^h)}.

Доказательство. Воспользуемся теоремой 1 при q = 2p и y(t) = exp{J3t} (t > 0) , где J - некоторое положительное число. В качестве вспомогательной системы (2) возьмем систему, где B (t) = £ a1j (t), A(s) = Л. В этом случае

jel

X(t,т) = ехр|-£ jаЦ(g)dgj (t > 0), X(s,r) = (1 -Щ'~т (s,reN + ,0 <т<s) и систему (3) можно переписать в следующем виде:

dg +

j X (t ,g)££ Aj (g) X( hj (g))dB, (g) -j X (t ,g) £ A1; (g)*; (g)^} (g))dg

0 i=2 j=1 0 j=1 t __m m,

j X(t, g)£ £ Aj (g)Ztj(g)fthj (g)>®i (g) (t > 0),

0 l=2 j=1

X(t) = X([t],0)b2 + £Х(Щт+ЩЩт)- £Д(т, j)x(j) h+£ £ A(s, j)x(j) jd$(g)[

_ __г__( _ д __т1 Л

х(г) = X(г,0)Ь +1 X(г, д) £ а\{ (д)х(д) - £ аЦ(д) | dX(£) - £ А1; (д)х(к} (д))

0 ^7е1 7е1 к!у(д) 7=

г __т т1 г

+ 1X (г, д)£ £ Ау (д) *( ку (д)^Вг (д) -1X (г, д) £ А, (д) ^ (д )р( Ь,. (д) ^д +

0 i=2 7=1 0 7=1

т т;

+ Г~,

0 i=2 7=1

[г-1]= |7 = г Л т Т (т+1)к 1

" ~ ..........»+£ £ А(5,зУхЦ) I(Щ(д)Г+

т=0 7=4 (т) ] ,'=2 7=15 (т) Тк \

[г-1]= Г -1 т -1 (т+1)к ]

+ £X(И,т+1к- £АТ,Ш])р(])к+£ £ (47.(7)р(7) |dB1 Ц (г > 0),

Т=0 [ г=2 7=-4 Тк )

где %у(д) - характеристическая функция отрезка [0, гг] при д> 0 для , = 1,..., т ,

7 = 1,..., т,, ^ (т) - характеристическая функция множества 0 <г< di при те Л+ для

, = 1,..., т, (г) = 0 при 0 <т< , (г) = г - при т> для , = 1,..., т.

В дальнейшем через к7 обозначена измеримая по Борелю функция, заданная на

(-да, да) такие, что к7(г) = к7 (г) при г > 0 и к7 (г) = 0 при г < 0 для ' = 1,..., т ,

7 = 1,..., т1. Из предыдущей системы, условий теоремы, Леммы 3 работы [13], а также учитывая, что

__т1

dX(д) = -£ А1](д)(хх(к11 (г)) + ^.(дЖ^ (д))^д +

=1

т т.

+

££ Al](t)(xc(kll (т)) + (g)g>(hll (g)))dB, (g) (g> 0),

i=2 j=1

(e bil2p )1/(2p) < |\b\l , vrai sup(E|ъ jfP )1'(2') < И, , i = 1, 2,

\ / II WKlp i<0 2 p

,1/2

sup

' _ 1 ( ' _

\ X(г, д)у(г )у(д) 1 dд < -—, §ир| \ (X(г, д)у(г)у(д)~>)2 dg

г>0 0 X — Р г>0 , о

<

1

л/2(Х — Р)

Хг, {^)У{^) < У{Тг, > 0 * = 1 7 = 1 X Хг {т)У{т + 1) < У^г + 1)(т £ Л+ > г = 1 тХ

1

и,, \г> / / \г> / — / у г, — --?•••?•••'?../ V' ' -•/ — / \"г ' -•/V ' ^ +

Г [г Н= Л

0 < Р < тт{Я,—1п{1 — ЯН)}, sup у{г)£ X{[г], т + 1)у (т +1)—1

г>0 V т=0 )

1 — ехр{1п{1 — ЯН) + РУ

у(г)у(Н(г))—1 <т,, (г > 0),г = 1,..., т,, = 1,..., тг,

Бир £ у(т + 1)у(7)—1 а2Г (т < уК +1) вир £ а2\(тЛ * =1,...,т, г =1, 2,

теЛ+ ,=.

У=Ч (т)

теЛ+ ,=.

У=Ч (т)

Бир

д>0

Е

ь _

у(д) | с1х(д)

,(д)

<

т т

У(т1,)

4^=1 f

+ У(т1;)

£ а11у(т1^)т1, + ££ а11у(т1^^л/г1У

л

£ ^КОт + ср ££ а12у{тlv^л/г

г=2 у=1 т т

)

Бир[Е у(д) Х(д

V д>0

2 р

1\(2 р|

+ И

л

Ч,

Бир

д>0

Е

у(д) Х(д

2р

\1\(2р|

+И

Vv=1 ,=2 у=1

в справедливости которых можно убедиться непосредственно, получим

Е~у(2р) < С (Р)~у(2р) + 1У2 е + е(Р)\И . ,

II к2 р " р

где С(Р) = (с, (Р))г2,=1 - 2 х 2-матрица, элементы которой определены следующим об-

разом:

сп(Р) = я—Р

+

( т1

£а11у(т1,) £а11у(т1у)т1, + ср££а11у(т1у^Л/тТ7 + £а11у(т1,)

т тг . __т1 .

Vv=1

г=2 у=1

,=1,,'

+

Л/2(Я — Р) г=2 ,=1 _ (

С12 (Р) =ЯР

££ а"У(тд

("¡1

£а11у(т1,) £а11у(т1у)т1,- + ср££ъуЫЯ^ |+£а11у(т1,)

т т; , _ \ т. .

^г^ ^ ч I- | у-Ц—

+

Л/2(Я — Р) г=2 ,=1 1

V V у=1

т тг ,

££ а1;1У(гг- х

г=2 у=1

=1

+

С2г ="

г _1 т т _г

Ну{dl +1)Бир £а2г(т,,) + Ср4и£у^1 +1)Бир £а'2г(т,,)

1 — ехр{1П1 — Я?) + Р} V теЛГ+

г = 1,2,

а компоненты вектора с(Р) = со1(с\(Р), с 2(Р)) задаются так:

г=2

т^Л+ ;=Ч(т)

2

£

С

р

С

р

2 f m m _^

ci(()=j^ZallZy(Tj) Zairx(riv)rij+cpZZaivy(Tiv)T

I -1 j

,aii.

jel 'r=4

p^L^ V 4v /Д/ "i j Vv=i i=2 v=i У

+

УУ

2 f mi — i j С m mi _j ^

Z KZairr(^i;) + h p ZZa^r(Tv),

r=i ^ j=i Л]2(Л~Р) i=2 j=i /

= i f 2 f T — i m T _ i W

С2 =--f. i - Z hY(di +i)sUP Za2r(Tj) + sV^Z^i + i)SUP Za2r(T j)

i-exp{ln(-Ah) + (} ^r=i ^ TeN+ ;=4(T) i=2 TeN+ ;=ц(т)

По условиям теоремы, матрица E - С является положительно обратимой, причём С(0) = С . Следовательно, при достаточно малых ( также будет положительно обратима матрица E - С((). Тогда в силу теоремы i предыдущего пункта, система (i) будет M 1р -устойчива с экспоненциальным весом y(t) = exp{(} (t > 0), где

0 < ( < min{A,-ln(i - Ah)}. Теорема доказана.

Следствие. Пусть выполнены все предположения, предшествующие Теореме 2

и cii > 0, ciic22 > ci2c2i Тогда система (i) MУ-устойчива с экспоненциальным весом

y(t) = exp{(t} (t > 0), где 0 < ( <min{A,-ln(i - Ah)}.

Таким образом, при предположениях следствия матрица E - С в силу результатов, изложенных в монографии [i7] является положительно обратимой.

Пример. В качестве примера рассмотрим частный случай системы (i) систему

вида

dx(t) = [-ai i x(t) + ai2 x( [t] )]dt + [bi i x(t) + bi2 x( [t] )]dB(t) (t > 0),

= = _=_= (6)

x(s +1) = x(s) + [a2ix(s) - a22x(s)]h + [bi2ix(s) + b22x([s])](B((s + i)h) - B(sh)) (s e N+), где h - известное достаточно малое положительное действительное число, aH - некоторые известные действительные числа при i, j = i, 2 , s e N+ , B - скалярный стандартный винеровский процесс.

Так как в уравнениях системы (6) отсутствуют запаздывания в начальных данных, для этой системы нет необходимости задавать начальную функцию р.

Утверждение. Пусть aii > 0, 0 < a22h < i,

f ' c b ^ 1 a2i 1 h + cp 1 b2i 1 ^ c pbi2 \ a2i 1 h + cp \ b2i\Jh rp

> , ---. Тогда система (6)

a2ih +. cPbii

v aii T^aiiJ (i - exP{ln(i + a22h)}) V^a^ (i - exp{ln(i + a22h)}) M 2P -устойчива с экспоненциальным весом y(t) = exp{(} (t > 0), где

0 < (< min{an,-ln(i - aiih)}.

Справедливость утверждения вытекает из следствия Теоремы 2.

Литература

1. Марченко B.M. Вполне регулярные системы с последействием // Труды Ин-та математики HAH Беларуси. 200i. Т. 7. - С. 97-i04.

2. Singh A., Nisbet R.M. Semi-discrete host-parasitoid models // Journal of Theoretical Biology. 2007. Vol. 247. - Рр. 733-742.

3. Mailleret L., Lemsle V. A not on semi-discrete modelling in the life scineces // Phil. Trans. R. Soc. A. 2009. Vol. 367. - Рр. 4779-4799.

4. Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Приклалная математика и механика. 1960. Т. 27. - С. 809-823.

5. Красовский H.H., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными свойствами. Ч. I, II, III // Автоматика и телемеханика. 1961. Т.22.- С. 1145-1150, 1273-1278, 1425-1431.

6. Марченко В.М., Поддубная О.Н. Представление решений гибридных дифференциально-разностных систем // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 6. -С.741-755.

7. Марченко В.М., Луазо Ж.Ж. Об устойчивости гибридных дифференциально-разностных систем // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45, № 5. - С. 728-740.

8. Ларионов А.С., Симонов П.М. Устойчивость гибридных функционально-дифференциальных систем с последействием (ГФДСП) // Вестник РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 13, № 4. - С. 34-37.

9. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. - М.: Наука, 1980.

10. Бухалев В.А. Распознавание, оценивание и управление в системах со случайной скачкообразной структурой. - М.: Наука. Физматлит, 1996.

11. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. - Екатеринбург: Изд-во Уральской государственной академии путей сообщения, 1998.

12. Mariton M. Jump linear systems in automatic control. Marcel Dekker, Inc. - New York, 1990.

13. Кадиев Р.И., Шахбанова З.И. Устойчивость решений одной гибридной системы Ито с последействием по части переменных относительно начальных данных // Вестник ДГУ. Сер. 1: Естественные науки. 2020. Т. 35, вып. 2. - С. 33-42.

14. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. - М.: Наука, 1986.

15. Кадиев Р.И. Существование и единственность решения задачи Коши для функционально-дифференциальных уравнений по семимартингалу // Изв. вузов. Математика. 1995. № 10. - С. 35-40.

16. Azbelev N.V., Simonov P.M. Stability of Differential Equations With Aftereffect. Taylor and Francis. - London, 2002.

17. Беллман Р. Введение в теорию матриц. - М.: Наука, 1969.

Поступила в редакцию 12 февраля 2022 г.

UDC 517.929.4+519.21

DOI: 10.21779/2542-0321 -2022-37-3 -7-18

The Exponential Stability of Solutions of One Continuous-Discrete Linear Ito System

with Limited Delays

12 1 R.I. Kadiyev ' , Z.I. Shakhbanova

1 Dagestan State University; Russia, 367001, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 43a;

2

Dagestan Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences; Russia, 367000, Makhachkala, M. Gadzhiev st., 45; kadiev_r@mail.ru

The work is devoted to the study of the exponential moment stability of solutions of one continuous-discrete Ito system with limited delays. To study these issues a modified regularization method was used . The development of the regularization method for the deterministic functional differential equations was carried out by N.V. Azbelev and his students. We have improved this method by applying the theory of positively invertible matrices for this purpose. This method provides sufficient conditions for exponential moment stability of solutions of the system under study in terms of positive reversibility of the matrix constructed by the coefficients and delays of this system. For a system without delays and with constant coefficients, the stability conditions are obtained in terms of this system coefficients.

Keywords: stability of solutions, differential and difference Ito equations, method of model or auxiliary equations

Received 12 February 2022