Экспертиза утечек газа из резервуаров с высоким давлением Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТРАНСПОРТ, ХРАНЕНИЕ И ПЕРЕРАБОТКА НЕФТИ И ГАЗА

УДК 622.691.4

М.В. Лурье, д.т.н., профессор Российского государственного университета нефти и газа имени И.М. Губкина, заслуженный деятель науки Российской Федерации, e-mail: lurie254@gubkin.ru

Экспертиза утечек газа из резервуаров с высоким давлением

Рассматривается вопрос о расчете потерь газа при разгерметизации резервуаров, содержащих газ под высоким (5-15 МПа) или сверхвысоким (до 20-35 МПа) давлением. Классическая теория этого вопроса дает ответ о режиме истечения газа, значениях давления, температуры, плотности и скорости истечения, а также о расходе газа, однако при этом предполагается, что газ является совершенным (т.е. его свойства описываются уравнением состояния Клапейрона - Менделеева). Предполагается также, что внутренняя энергия и энтальпия газа зависят только от температуры, процесс считается адиабатическим, описываемым классической адиабатой Пуассона. Для истечения реального газа, находящегося в резервуарах с высоким давлением, большинство этих допущений не имеет места, и хотя процесс истечения действительно адиабатический, уравнение адиабаты будет совершенно иным, нежели в классическом случае. В статье предлагается решение этого вопроса, свободное от необоснованных допущений.

Ключевые слова: расчет, утечка, потеря газа, резервуар, газопровод, отверстие, истечение, реальный газ, высокие и сверхвысокие давления, критический режим, уравнение состояния, эффект Джоуля - Томсона, теплоемкость, адиабатический процесс, адиабата реального газа.

ФОРМУЛИРОВКА ВОПРОСА

Первый этап истечения газа из резервуаров (в частности, из газопроводов) с высоким и сверхвысоким давлением (от 5 до 30 МПа) в атмосферу происходит в критическом режиме, т.е. режиме, в котором скорость и газа в наименьшем сечении струи равна местной скорости звука c=350-500 м/с. Газ с давлением р0 и температурой Т0, первоначально находившийся в состоянии покоя (d 0=0), при движении по направлению к отверстию ускоряется, т.е. его скорость увеличивается, а давление и температура, наоборот, уменьшаются, причем последняя настолько значительно, что участок поверхности трубопровода вблизи выходного сечения зачастую покрывается льдом. При этом расход Q газа остается постоянным, равным Q= р d F ., где F . - площадь наимень-

гкр. кр. min " min ^ "

шего сечения струи вытекающего газа

^т.п«0,74^, где F - площадь отверстия), а критическое значение ркр плотности газа зависит от критических значений ркр давления и Ткр температуры [1-3]. Если речь идет о сравнительно умеренных давлениях (0,2-2,0 МПа), то для расчета критических параметров газа, а значит, расхода газа и объема утечки, существуют хорошо известные в газовой динамике формулы:

Ркр=Ро(к+т) 'Ткр=Т0к+Т'

р^Ш" (1)

Эти формулы получены в предположении о том, что газ совершенный (т.е. его свойства моделируются уравнением p=pRT Менделеева - Клапейрона), что рассматриваемый процесс адиабатический и что внутренняя энергия е и

г г внут.

энтальпия Л=е +р/р газа зависят толь-

внут. г/ г

ко от температуры, но не от давления: е =С„Т+соп$и Л=С T+const. Здесь С,„С

внут. V р " V р

- теплоемкости газа при постоянном объеме и давлении, соответственно; к=С

- показатель адиабаты Пуассона, ^-С^ (формула Майера); К - газовая постоянная (для метана к=1,29, С,~1787.Дж/(кг.К), Ср«2305.Дж/(кг.К), 1К=518.Дж/(кг.К)). Однако по мере увеличения давления формулы (1) перестают быть справедливыми. Это объясняется несколькими причинами.

Во-первых, свойства газа при увеличении давления все больше и больше отклоняются от свойств совершенного газа, что отражается в появлении в уравнении состояния коэффициента Ъ сжимаемости, зависящего от давления и температуры, т.е. уравнение состояния приобретает вид: р=Ъ(р,Т).р1КТ. Во-вторых, начинает проявляться зависимость внутренней энергии и эн-

50

№ 4 апрель 2014 ТЕРРИТОРИЯ НЕФТЕГАЗ

OIL AND GAS TRANSPORTATION, STORAGE AND PROCESSING

тальпии газа от давления, например, ■]=](р,Т), так что (¿И/др)т*0. Этот эффект, называемый эффектом Джоуля - Том-сона, влияет на температурный режим истечения газа; именно через производную (сЦ/др)т вводится коэффициент D,(p,T)=-1/Cp.(cio/дp)T Джоуля - Томсона. В-третьих, величина скорости звука г)кр в реальном газе отличается от той, которая приведена в формулах (1). В-четвертых, при увеличении давления связь между теплоемкостями газа Ср и ^ дается не формулой Майера, справедливой для совершенного газа, а более сложным соотношением

Lp Lv рЧэтНэт)'

учитывающим реальные свойства газа. В-пятых, зависимость температуры газа от давления в адиабатическом процессе существенно отличается от зависимости, которая дается уравнением классической адиабатой Пуассона, справедливой, строго говоря, только для совершенного газа. Учитывая сказанное выше, уместно сформулировать следующие вопросы: как происходит процесс истечения реального газа из резервуара через отверстие в его стенках, какие формулы должны прийти на смену классическим формулам (1), как правильно рассчитать расход реального газа через отверстие и, значит, правильно определить объем вышедшего газа. Ответам на эти вопросы посвящено содержание данной статьи.

уравнение адиабаты реального газа

Поскольку истечение газа через отверстие происходит весьма быстро, то теплообменом можно пренебречь и считать процесс истечения изоэн-тропическим ^внеш=0). Из уравнения притока тепла (комбинации уравнений изменения полной и кинетической энергии), которое можно представить как d8внут=-Pd(Vp) или ¿Л(Т,рНр/р, следует, что CpdT-CpD,dp=dp/p. Отсюда получаем дифференциальное уравнение адиабатического (изоэнтропического) процесса в реальном газе [6]:

Это уравнение отличается от классического уравнения адиабаты Пуассона тем, что в его правой части присутствует коэффициент D, Джоуля - Томсона, зависящий от температуры и давления (например, при Т=290.К и p=9.МПа коэффициент D, равен «3,89 К/МПа). По сравнению с классическим случаем имеется как бы дополнительное охлаждение газа, связанное с уменьшением давления. Это охлаждение обусловлено изменением потенциальной энергии взаимодействия молекул, которая в совершенном газе не учитывалась. Другое отличие состоит в том, что удельная теплоемкость С газа также изменяется при изменении давления и температуры (например, при указанных выше температуре и давлении Сз«3083.Дж/(кг.К). Можно дать приближенное решение уравнения (2), если в том или ином узком диапазоне давлений и температур некоторые коэффициенты, входящие в это уравнение, принять слабо изменяющимися. Выразив плотность газа р через давление и температуру, представим уравнение (2) в виде

с1Т Ж Т

и будем считать величины D„ С и Ъ в рассматриваемом диапазоне температур и давлений постоянными. Тогда решение уравнения (2) имеет вид:

Т J DVUJ

VI 1-ZR/cJ 1

1-ZR/C [ р J'

ZR/Cp

(3)

Т/Т„=(Р/Ро)

Если же считать D„*0, то уравнение адиабаты существенно отличается от пуассоновского как по виду, так и по скорости увеличения температуры при одной и той же степени сжатия p/p0. Например, найдем,насколько увеличится температура газа, если Т0=290.К, p0=9.106.Па, D,=3,89.10-6.К/Па; ^=3083. Дж/(кг.К); p/p0=1,25. Если руководствоваться уравнением адиабаты Пуассона, получим:

о IPoi

"Г 1,29-1

►Т=(1,25)1'29 «1,05144.

Если же пользоваться уравнением (3), то получим иной результат. Действительно, поскольку в данном случае

°*Ро/То _3,89-10"6-9-106/290 1-ZR/C "1-0,84-518,3/3083

»0,14059,

ZR 0,84-518,3

р

то

3083

0,141,

где Т^ - начальные значения температуры и давления из рассматриваемого диапазона соответственно. Уравнение (3) представляет уравнение адиабаты реального газа. Разумеется, коэффициенты этого уравнения изменяются при переходе от одного диапазона давлений и температур к другому [4]. Если положить D,=0, Ъ=1 (т.е. считать газ совершенным), то уравнение (3) переходит в известное уравнение

dT п 1

dTD*+pc;

(2) классической адиабаты Пуассона.

^=(1-0,14059)-1,25°'и1+0,14059-1,25«

о

«1,06262>1,05144.

Можно попытаться представить связь Т/Т0 и p/p0 в виде политропической зависимости

т-1

Т/Т0=(р/р0)т,

тогда для p/p0=1,25 показатель т можно вычислить из уравнения

ш-1

1,06262=1,25 т .

Решив уравнение, найдем т=1,374>1,29, т.е. значение показателя т такой зависимости оказывается значительно большим, чем показатель к адиабаты.

уравнение установившегося течения газа к отверстию

Пусть газ движется в резервуаре по направлению к отверстию в его поверхности, причем начальные значения скорости, давления и температуры равны 1^=0^,^ соответственно. Уравнение движения можно представить в виде интеграла

и2 р (1р

ТЕРРИТОРИЯ НЕФТЕГАЗ № 4 апрель 2014

51

ТРАНСПОРТ, ХРАНЕНИЕ И ПЕРЕРАБОТКА НЕФТИ И ГАЗА

однако этот интеграл можно вычислить только для конкретного процесса перехода от начального состояния (р0,Т0) газа к конечному состоянию (р,Т). Полагая такой процесс изоэнтропическим, описываемым уравнением (3), получаем:

г~

+а„

^•WfcMSi К»'

(4)

ZRT

ZWpJT

с 4

ZRT,

0 Т„

1-

Ро I

Рк-Л^Р

+2а„

•I Ркр Ро

~zr/cp

После элементарных преобразований это уравнение приобретает вид:

ICZR/C,

P„p.1zr/cp

-(

(5)

РкР=Ро[2/(к-Ы)]Ч

справедливое для совершенного газа. Уместно указать критерий, показывающий, когда истечение газа из резервуара с давлением р0 в атмосферу с давлением ратм происходит в критическом режиме. Для этого необходимо, чтобы ркр> ратм. Последнее условие выполняется, если имеет место неравенство:

Ра

где а^.р/Т/а^/д, а=1-а2. Зная, как изменяется давление, из уравнения (4) можно узнать, как изменяется скорость течения газа.

уравнение для нахождения критического давления

Из уравнения (4) следует, что при уменьшении давления от значения р0 до критического значения ркр<р0 газ разгоняется, причем скорость газа увеличивается от 0 до некоторого значения икр =с, равного местной скорости звука. Скорость звука в реальном газе представляется выражением [5, 6]:

[СР+ 2 ].

Uv ZR/CpJ 1 Po j '

I 2 Э2 l

VZR/C+2а1 h

°+2

атм.

Ро"

(6)

Для совершенного газа Z=1, Cp-CV=R, a2=0, поэтому условие (6) дает нера-

венство

Js_ k-l

причем если оставаться в рамках принятых допущений, следует положить

т

Подставляя сюда выражение Т/Т0 из уравнения (3) и используя уравнение (4), получаем алгебраическое уравнение для определения критического давления ркр/р0, т.е. давления в наименьшем сечении газовой струи:

т \ZR/CP

Pkd. Pkd./PQ

Po VTo'

^•F

vtTL

KD/ 0

(8)

(9)

Если так же, как и ранее, положить й,=0, Z=1, т.е. считать газ совершенным, то из уравнения (5) следует выражение

Т0=290.К (+17 0С), вытекает из этого резервуара через отверстие. Требуется определить критические параметры истечения и расход газа, а также сравнить полученные результаты с теми, которые дала бы классическая теория. На основе исходных данных вычисляем вспомогательные параметры:

7-п я/ а Р.РА 3,89-10 6-9-106/2 90 и'64' 2-l-ZR/C~ 1-0,84-518,3/308^'

«0,1406, а =0,8594.

После подстановки этих параметров в (5) получаем уравнение

т \ 0,1412 п

15,888-^М +0,6094-^-14,4898=0

Р>аТИ>[(к+1)/2]к"1,

хорошо известное в классической газовой динамике как условие критического режима истечения.

После того, как из уравнения (5) найдено отношение ркр/р0, по формуле (3) можно вычислить критическую температуру Ткр/Т0, критическую плотность р /р0 и критический расход Q =р .и F .

г г " кр. гкр. кр. min

истечения газа в данном диапазоне температур и давлений:

из которого находим ркр/р0«0,454. Если бы для вычисления критического давления использовалась классическая формула (1), мы получили бы:

к 1,29

Р - - • • ---

Р

f ? ]И / 2 Vl.29-1

что примерно на 20,7% больше, чем в действительности.

Далее по формуле (7) вычисляем критическую температуру газа в наименьшем сечении газовой струи:

к Т.

-^0,8594.(0,454)0Д412+

(7) +0,1406.0,454^0,8326.

Уравнение (5) и формулы (7-9) в рамках принятых допущений являются как раз теми соотношениями, которые должны прийти на смену соотношений (1).

оценочный пример расчета

В качестве примера использования полученных результатов, а также для оценки влияния свойств реального газа на параметры исследуемого процесса рассмотрим следующий пример. Пусть газ (метан R=518,3 Дж/(кг.К), С„=1787,24 Дж/(кг.К), Ср=3083 Дж/(кг.К), к=1,29), находящийся в покое (и0=0) в резервуаре с относительно высоким давлением р0=9.106.Па (9 МПа) при температуре

Если бы для вычисления критической температуры использовалась формула (1), мы получили бы:

^=к+г=1дая0'8734,

что примерно на 4,9% больше, чем в действительности. При Т0=290.К разность критических температур составляет 11,8 К (причем в случае использования классических формул температура газа уменьшилась бы на 36,7 К до -19,5 0С, в то время как в действительности она уменьшается на 48,5 К до -31,5 0С). По формуле (8) вычисляем критическую плотность вытекающего газа:

Ркр. Ркр/Ро 0'454 п,л,

го кр/ О '

Если бы для вычисления критической плотности газа использовалась формула (1), мы получили бы:

52

№ 4 апрель 2014 ТЕРРИТОРИЯ НЕФТЕГАЗ

иг&погз marintec

RUSSIA

Российская специализированная выставка и конференция по судостроению и развитию инфраструктуры континентального шельфа

OFFSHORE MARINTEC RUSSIA

7-10 октября 2014

■*— Санкт-Петербург —» www.offshoremarintec-russia.ru

Контакты: тел. +7(812) 320 80 1 5 [i| Email: frolova@restec.ru

http://offshoremarintec-russia.ru/

J

СЗГА31ИМ

Генеральный спонсор

îîîî

ивм

ВЫСТАВОЧНОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ

Организаторы

Наши

мероприятия

jmàvalshore maritltec sea , energy

k^js^ss^. i^p indonesia jpi"

ТРАНСПОРТ, ХРАНЕНИЕ И ПЕРЕРАБОТКА НЕФТИ И ГАЗА

Рко °'548 ^'=ОШГаб27,

что примерно на 15% больше, чем в действительности.

Вычисляем критическую скорость истечения:

кр- с,

pZRT0-IKp'=

V о

Á

3083

0,84-518,3-290-0,8326®

1787,24 ®425,84-м/с.

Если бы для вычисления критической плотности газа использовалась формула (1), мы получили бы:

=Vl,29-518,3-290-0,8734«411,52-M/c,

что примерно на 3,4% меньше, чем в действительности.

Наконец, по формуле (9) вычисляем удельный (т.е. рассчитанный на единицу площади наименьшего сечения газовой струи) расход истечения:

Г^Ро-^^Ро-0'545-425,84®

min « 0

®232,1-р0-кг/(м2-с).

Если бы для вычисления удельного критического расхода газа использовались классические формулы, мы получили бы:

min '0

®-258-р0-кг/(м2-с),

что примерно на 11,2% больше, чем в действительности. Таким образом, неучет реальных свойств газа и исполь-

зование формул, справедливых только для совершенного газа, ведет к завышению расчетных потерь газа, в условиях рассмотренного примера - примерно на 11%.

выводы

Расчет параметров истечения газа через отверстия в поверхности резервуаров должен выполняться с учетом реальных свойств газа. При высоких давлениях классическая адиабата Пуассона и основанные на ней значения критических параметров истечения, в т.ч. и расход газа, оказываются неверными. В диапазоне давлений в резервуаре от 2 до 10 МПа давление и температура газа на срезе выходного отверстия оказываются значительно ниже значений, предсказываемых теорией совершенного газа, а расход - на 10-12% выше, чем в действительности.

Литература:

1. Чарный И.А. Основы газовой динамики. - М.: Гостоптехиздат, 1961. - 200 с.

2. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. - Изд-е 5-е, перераб. - М.: Наука, гл. редакция физ.-мат. лит-ры, 1991. - 597 с.

3. Лурье М.В. Экспертиза потерь нефти и газа при авариях на трубопроводах // Эксперт-криминалист. - 2009. - № 2. - C. 9-13.

4. Стрекалов А.В., Глумов Д.Н. Определение основных свойств реальных газов // Территория «НЕФТЕГАЗ». - 2010. - № 12.

5. Лурье М.В. Теплогидравлический расчет установившихся режимов работы газопроводов высокого давления // Территория «НЕФТЕГАЗ». - 2013. - № 2. - С. 78-83.

6. Лурье М.В. Математическое моделирование процессов трубопроводного транспорта нефти, нефтепродуктов и газа. - М.: Изд. центр РГУ нефти и газа имени И.М. Губкина, 2012. - 456 с.

UDC 622.691.4

M.V. Lurie, Ph.D., professor of Gubkin Russian State Oil and Gas University, e-mail: lurie254@gubkin.ru

Expertise of gas leaks from the gas pipelines with high pressure

The question of calculating gas losses out of gas pipelines containing gas under high (5-15 MPa) or ultra-high (20-35 MPa) pressures is studied in this paper. The classical theory of this question gives answers about regimes of gas outflow, about pressure, temperature, density and velocity of the gas outflow, as well as about the gas flow rate, however, this theory assumes that the gas is perfect one (i.e., gas properties are described by the equation of state of Mendeleev-Clapeyron ). It is also assumed that the internal energy and enthalpy of the gas depend only on temperature, process is considered as adiabatic one, described by the classical Poisson adiabat. For real gas in gas pipelines with the high pressure, most of these assumptions do not hold, and although the efflux of the gas really is adiabatic, nevertheless equation of the adiabat is completely different from the same equation in the classical case. As a result the other value of gas loss is also obtained. The paper proposes a decision of this question, free from unwarranted assumptions.

Keywords: calculation, leak, gas loss, gas pipeline, high and ultra-high pressure, critical mode of gas outflow, real and perfect gas, the equation of state, the Joule-Thomson effect, adiabatic process, the heat capacity, adiabat of real gas.

References:

1. Charny I.A. Osnovy gazovoi dinamiki (Fundamentals of gas dynamics). - Moscow: Gostoptekhizdat, 1961. - 200 p.

2. Abramovich G.N. Prikladnaya gazovaya dinamika (Applied gas dynamics). - 5th edition, revised. - Moscow: Nauka, main editorial office of physics and mathematics literature, 1991. - 597 p.

3. Lurie M.V. Expertiza poter nefti i gaza pri avariyakh na truboprovodakh (Expert examination of oil and gas losses in case of accidents on pipelines) // Forensic expert. - 2009. - No. 2. - P. 9-13.

4. Strekalov A.V., Glumov D.N. Opredelenie osnovnykh svoistv realnykh gazov (Determination of main properties of real gases) // NEFTEGAS Territory. - 2010. - No. 12.

5. Lurie M.V. Teplogidravlichesliy raschet ustanovivshikhsya rezhimov raboty gazoprovodov vysokogo davleniya (Thermohydraulic calculation of high pressure gas pipelines steady-load conditions) // NEFTEGAS Territory. - 2013. - No. 2. - P. 78-83.

6. Lurie M.V. Matematicheskoe modelirovanie protsessov truboprovodnogo transporta nefti, nefteproduktov i gaza (Mathematic modeling of processes of oil, oil products and gas pipeline transportation). - Moscow: Publishing Center of Gubkin Russian State University of Oil and Gas, 2012. - 456 p.

54

№ 4 апрель 2014 ТЕРРИТОРИЯ НЕФТЕГАЗ