CC BY
8
Операцию определения ДКФ разобьем на два этапа. На первом этапе вычисляются пары двучленов
а<40, + аМ02 и аМ01 + аЛ08; аА10 + а*Аг0 и аМ10 + аЛгс;
аЛи + а*Л22 и аМц + а/^; аЛ12 + а*Л21 и аМ12 + а/^,' а также двучлены /401 + Л02, -4- /420, А{1
Для вычисления каждой пары требуется два умножения действительных чисел на УЗ/2, два умножения на тривиальный множитель 1/2 и 4 суммирования действительных чисел. Для вычисления всех двучленов требуете» восемь умножений на УЗ/2, восемь умножений на 1/2 и 32 суммирования действительных чисел.
Второй этап сводится к суммированию полученных двучленов, для чего требуется 70 суммирований действительных чисел.
Сравнение с предыдущим вариантом алгоритма показывает, что последний по количеству суммирований практически не отличается от варианта последовательного преобразования, но требует для вычисления каждых девяти ДКФ двух перемножений комплексных чисел вместо трех. Недостатком же варианта одновременного вычисления ДКФ является отсутствие цикличности (базисного преобразования) внутри каждого девятиточечного двумерного ДПФ. Поэтому вопрос о выборе этого или иного варианта алгоритма должен решаться при разработке схемы процессора БПФ, исходя из конкретных требований к разрабатываемому преобразователю.
1. Васюк Г. И. Алгоритм двумерного преобразования Фурье со смешанным основанием.— Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1983, № 12, с. 80—81. 2. Ра-бинер Л., Гоилд Б. Теория.и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с. .
Поступила в редколлегию 30.08.82 *
УДК 621.327.757
Г. И. ВАСЮК, канд. техн. наук, К. Б. КРУКОВСКИЙ-СИНЕВИЧ. д-р техн. наук, И. В. ЛАТЕНКО, канд. техн. наук
ЭКОНОМНЫЙ АЛГОРИТМ МНОГОМЕРНОГО БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ С ОСНОВАНИЕМ 8
Экономные алгоритмы многомерного быстрого преобразования Фурье с основаниями 2 и 4 описаны в работе [1]. Целью нашей статьи является рассмотрение экономии количества умножений на нетривиальные множители (отличающиеся от±1 и ±/| при ис« пользовании основания 8.
Будем исходить ич аналитического представления двумерного дискретного преобразования Фурье числового массива из 64 элементов а (т.п), размещенных в восьми строках и восьми столбцах,
7
А {¿.к) = V V а {т.п) ехр . — [гт +пк) I. (1)
¿хгх а_
т=т О
Алгоритм двумерного быстрого преобразования Фурье (БПФ-2) такого массива можно получить, представив выражение (1) в матричной форме, соответствующей прямому построчному расположению элементов а (т.п.) в матрице-столбце col (а),
col (Л) = (WtWiWiW3col (а), (2)
где = /32 ® Q; Й72 =/4 ® Q <8>/8; W3 = (/le ® Q ® /2).D3; Ds = = d3®d¿ d3 = diag (1,1,1,1,1,1, — /, — /'); = (/2 ® Q ® /la)-D4;
£>4 = d4<8>d4; d4 ,= diag (l, 1, 1, 1, 1, , 1, ~ ' ~ '- f; >5 = /8 ® <8>Q®/4; W, = [(Q <8> / J-D.l ® /le; De = diag(l, 1, 1, -/); Q =
1 П ,
^ ; /„ — единичная матрица, порядка л; ®—знак кроне-
керова произведения матриц.
Полученный результат распространим на БПФ-2 квадратных массивов с линейным размером N = 8Г, составив алгоритм из г описанных этапов. Каждый этап объединения массива Na X Nn в массив 8Nп X 8/V„ описывается следующим образом!
7 7
A (i + pNn-k + qNn) = ^ S Bm n (Í' k) eXP I + Щ)]' (3)
tn=>0
где Bm n (i. k) = A.„.„ (i. k) exp | — - - (mp + nq)
Из выражений (2) и (3) следует, что весь алгоритм состоит из г этапов, каждый из которых содержит шесть ступеней. На каждой пятой ступени во всех этапах нетривиальные множители имеют один и тот же, коэффициент 1/1 2 Умножение на i (1 ±/)/|/1Г можно выполнить путем умножения на 1/^2 с последующим выполнением тривиального умножения на ± (1 ± /), которое сводится к операциям суммирования — вычитания и переадресации. Общее количество нетривиальных комплексных умножений состоит из (г — 1) умножений при объединении массивов и 12 N2r/64 умножений на множитель 1/]/ 2, т. е. равно
Мя = ЛГ2
j|log8yV- 1
(4)
Например, для массива 64 X 64 при выполнении БПФ-2 по алгоритму с основанием 8 необходимо выполнить (1!/8) • 212 умножений.
Для сравнения заметим, что для такого же массива при выполнении БПФ-2 по алгоритму с основанием 4 потребуется 2 • 212 умножений, а при последовательном преобразовании с основанием 2 потребуется 4 • 212 умножений.
Итак, в предлагаемом алгоритме ценой добавления умножений на тривиальный множитель ± (1 ±/) достигается экономия числа нетривиальных умножений примерно на 65 % по отношению к стандартному алгоритму последовательного преобразования в основанием 2.
Все нетривиальные умножения сосредоточены в одной ступени каждого этапа и между этапами, что упрощает реализацию алгоритма на универсальных ЭВМ и обусловливает существенное упрощение схемы спецпроцессора, особенно при поточной обработке информации.
Заметим, однако, что разнообразие квадратных массивов, для которых ножно выполнять БПФ-2 по алгоритму с основанием 8 весьма невелико, поэтому алгоритм вряд ли представляет самостоятельный интерес, но его рационально применять в качестве составной части алгоритма со смешанным основанием. Аналогичные результаты можно получить и для случая многомерного БПФ.
1. Васюк Г. И., Круковский-Синевич К- Б. Экономный алгоритм многомерного быстрого преобразования Фурье.—Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1982, 25, 5, с. 63—
66.
Поступила в редколлегию 02.08.82
УДК 621.396.622
Н Ф ВОЛЛЕРНЕР, д-р техн наук
К ВЫВОДУ РАСЧЕТНЫХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ЧАСТОТЫ
Соотношения для расчета преобразователей частоты (ПрЧ) можно получить несколько проще, чем обычно [2] Для этого представим При нелинейным шестиполюсннком, к двум входам которого подключены контуры и подведены напряжение сигнала ис — Ue sin ш* и гетеродина иг = У г cos !ört (см. рисунок), а на выходе включена селективная цепь, настроенная на про-
ш
'вх АЭ <в
_ "г Un
1
1
U)r II
межуточную частоту, ton и выделяется напряжение и„ = = U„ sin <!)„/. В ПрЧ выходной ток нелинейного активного элемента (АЭ) зависит от напряжений Uc, иг и Un in ='<|1("с. Ur.Un), при этом .выполняется условие fe <fr> Uп- Разложим выражение для выходного тока /„ в ряд Тейлора по степеням малых напряжений ис, и, и, ограничившись линейным приближением,
получим
¿в = И' ("с, и г, и„) = y\i (и г) + (diniduc) uQ + (dijdun) í¿n
(1)
где г|з(мг). дидис и гНв/дип—нелинейные функции напряжения ыг. Полагая для упрощения, что ток ;'в зависит от суммы взвешенных напряжений иг, ис и «„, и = Ф («с "г, и„) — ^ (и, + ри( + кип) = — ^ («г), их = иг -}- рис + ки„, аппроксимируем вольт-амперную характеристику (ВАХ) АЭ усеченным полиномом степени с!
и = i)' (ms) = i„ + su.; + (s7 2) uz + ... + (s /dl) «I,
(2)
где i = üiJOuz ... s1
fd— 11
d^ia/duí — крутизна ВАХ и ее производные,
