CC BY
7
1. Каширский И. С., Ловкий В. Л'., Трохименко Я■ К. Проектирование радиотехнических схем на инженерных ЭЦВМ. Киев: Техжка, 1976. 272 с. 2. Ловкий В. К. Анализ радиоэлектронных схем на инженерных ЭВМ: Автореф. ... канд. техн. наук. Киев. 1973. 20 с. 3. Ловкий В. К. К реализации метода обобщенных чисел на малых ЭВМ // Вестн. Киев, политехи, ин-та. Радиотехника и электроакустика. 1973. Вып. 10. С. 202—204. 4. Ловкий В. К. Использование массива топологии для нахождения путей и циклов графа // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1973. Т. XVI, № 6. С. 146—147. 5. Трохименко Я. К. Метод обобщенных чисел и анализ линейных цепей. М.:Сов. радио, 1972. 310 с.
Поступила в редколлегию 25.04.84
УДК 621.317.757
О. П. ЛЫСЕНКО, канд. техн. наук
ШУМЫ ОКРУГЛЕНИЯ ПРИ ЭКОНОМИЧНОМ ДВУМЕРНОМ БЫСТРОМ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ФУРЬЕ
Экономичный алгоритм двумерного быстрого преобразования Фурье (БПФ-2) [1] позволяет уменьшить вдвое количество нетривиальных умножений по сравнению с последовательным (стандартным) преобразованием. По количеству алгебраических сложений оба алгоритма равноценны. Оценим шумы округления результатов при БПФ-2, пользуясь методом анализа шумов при представлении чисел с плавающей запятой, примененным в 12] для одномерного БПФ-1 .
Вначале оценим шумы округления для последовательного БПФ-2, суть которого состоит в последовательном выполнении БПФ-1 строк двумерного массива размерностью N X N, а затем столбцов преобразованного массива. Дисперсия (ст2£1) шума, возникающего в результате первого преобразования (строк), определяется [2] как о|, =
= 2vN ciCg, = 2-2 /3. Здесь v = log2 N\ b — количество двоичных разрядов, представляющих мантиссу; а^ — дисперсия входного сигнала. Второе преобразование (столбцов) обусловливает шум с дисперсией (о|2), равной о2Е2 = 2vNo22a , где ст2с2 — дисперсия сигнала после первого преобразования. Поскольку о22 = No2v последнее выражение принимает вид о2Е2 — 2vAÍ2a2clcr2. Помимо возникновения шума Е2 второе преобразование обусловливает увеличение шума Е\ в N раз, т. е. его выходная составляющая равна o2ElN. Поскольку шумы округления аддитивны и некоррелированны, дисперсия полного выходного шума при последовательном БПФ-2 определится как а| = o2ElN + + о2Е2 = 4vA/2o21o2. Отношение С/Ш на выходе с учетом, что дисперсия выходного сигнала i = N2o2c¡, равно
С/Ш = oI/o'e = 3-22í74v. (1)
Оценим шум округления для экономичного БПФ-2, который сводится к выполнению БПФ-1 одномерного массива размерностью N2. При таком алгоритме для v/2 нетривиальных этапов элементар-
ной операцией, обусловливающей шум округления, является комплексное взвешивание двух отсчетов и последующее их алгебраическое суммирование. Для остальных Зv/2 этапов (тривиальных) шумы обусловливает лишь операция комплексного суммирования. Дисперсия о2 шума за счет комплексного взвешивания определяется [2[ как.
сигнала при суммировании удваивается, нетрудно показать, что дисперсия шума округления при этой операции также определяется (2), причем дисперсия одинакова как при суммировании взвешенных, так и не взвешенных отсчетов, поскольку модуль весового коэффициента равен единице. Таким образом, дисперсия шумов, порождаемых на каждом нетривиальном (а;,) и тривиальном (а2 этапах равна
Поскольку коэффициент передачи шумов с любого этапа на выход одинаков и равен [2] Ы2!2, то дисперсия выходного шума от каждого нетривиального (ст|,) и тривиального (ст|2) этапов из выражений (3) определится как а2, = ЗN2(У-c]o2^, сг2 = /\/2а2,ст2. Умножив последние выражения на количество нетривиальных (у/2) и тривиальных (Зу/2) этапов соответственно и сложив их, получим дисперсию (а|) шума округления на выходе, порождаемого всеми этапами экономичного БПФ-2: а| = ЗуЛ^о сг2. Отсюда определится отношение С/Ш на выходе для экономичного БПФ-2
Из сравнения выражений (1) и (4) видно, что отношение С/Ш для экономичного БПФ-2 приблизительно на 33 % больше, чем для последовательного .
Для проверки полученных результатов выполнено моделирование вычислений по алгоритмам последовательного и экономичного БПФ-2 с ограниченной разрядностью операндов в форме с плавающей запятой. С помощью генератора случайных чисел формировалась последовательность некоррелированных комплексных чисел с равномерным распределением. Эта последовательность преобразовывалась экономичным и последовательным БПФ-2 дважды — при стандартной разрядности операндов и при округленных до значительно меньшей длины слова (Ь = 4 -г-8). Для нахождения дисперсии шума на выходе результаты двух БПФ-2 (с округлением и без) вычитались, квадри-ровались и усреднялись по выходному массиву. Преобразованию подвергалось 10 последовательностей, а результат осреднялся. Мощность выходного сигнала вычислялась как средний квадрат выходного массива при отсутствии округления.
а2 = За2 = бег2.а2; а2 = 2а" а2.
«1 е С1 е2 о е
(3)
с/ш ==' о2с/о% =
(4)
Результаты моделирования показали преимущество экономичного БПФ-2 по С/Ш на 35 -т- 45 % (для различных b) по сравнению с последовательным БПФ-2, что достаточно хорошо согласуется с теоретическими результатами.
1. Васюк Г. И., Круковский-Синевич К. Б., Лысенко О. П. Оптимизация алгоритмов многомер] го быстрого преобразования Фурье по количеству арифметических операций // Гр. Всесоюз. симпозиума «Статистические измерения и применение микромашинных средств в измерениях». 1982. Т. 4. С. 48—51. 2. Oppenheim А. V., Weinstein С W. Effects of Finite Register Length in Digital Filters and the Fast Fourier Transform/// Proc. IEEE. 1972. Vol. 60, N 8. P. 957—976.
Поступила в редколлегию 20.09.84
УДК 621.396.669
Ю. Л. МАЗОР, канд. техн. наук. В. М. ПЕТРЕНКО, инж.
СТАБИЛИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫХОДНОГО ПРОДУКТА В АДАПТИВНЫХ ПРИЕМНИКАХ ШУМОВЫХ СИГНАЛОВ
При приеме аддитивной смеси шумового сигнала и шумовой помехи, спектры которых априорно неизвестны, но обладают определенной гладкостью, применяют квазиоптимальный адаптнвный приемник [3, 4] с выходным продуктом
(1)
¿=1
где рх1 — мощность процесса на выходе /-го узкополосного парциального канала обработки фильтр — детектор — фильтр; Ц7» — адап. тивно установленный вес этого канала; N — количество каналов. При некоторых способах адаптации возникает сложное распределение (1), которое приводит к такому разбросу выходного продукта, который делаег невозможной обработку с фиксированным порогом. Для стабилизации распределения Z на основании метода максимального правдоподобия [1] после ряда упрощений может быть предложен обнаружитель с центрированным и нормированным выходным продуктом
N N
2 - 2 Кр* = — , (2)
где р„/ — мощность процесса на выходе 1-го узкополосного парциального канала опорного (помехового) тракта. Структурная схема такого обнаружителя приведена на рисунке.
При выводе (2) априорно принималось, что рабочая выборка входного процесса X по гипотезе Н1 представляет сумму сигнала и помехи, а по гипотезе НО только помеху; опорная выборка П по обеим
