Экономико-математическая модель прогнозирования потребности в запасных частях к сельскохозяйственной технике Текст научной статьи по специальности «Математика»

и

ШВ. Н.Борозенец

_____Экономико-математическая модель прогнозирования потребности в запасных частях...

Экономии ннукн

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПОТРЕБНОСТИ В ЗАПАСНЫХ ЧАСТЯХ К СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОЙ ТЕХНИКЕ

В. Н. Борозенец

ECONOMIC-MATHEMATICAL MODEL OF FORECASTING THE DEMAND OF SPARES FOR FARMING MACHINES Borozenets V. N.

The effectiveness of using farming machines in rural economy depends on managing the increases the quality of prognostics and optimizes the spares delivery and storage costs.

Key words: agricultural enterprise, effectiveness, management, optimization, economic-mathematical modeling, prognostics.

Эффективность использования техники в сельском хозяйстве зависит от управления процессом обеспечения запасными частями как основным материальным ресурсом. Экономико-математическое моделирование повышает качество прогнозов и оптимизирует затраты на доставку и хранение запасных частей.

Ключевые слова: сельскохозяйственное предприятие, эффективность, управление, оптимизация, экономико-ма тема тическое

моделирование, прогнозирование.

УДК 338.43.0163

Повышение эффективности основных отраслей сельскохозяйственного производства зависит от многих факторов, и одним из значимых является качественное функционирование вспомогательных производств, и прежде всего машинно-тракторного парка (МТП). Как известно, при помощи МТП осуществляются все механизированные работы в основных отраслях и формируется до 40% затрат в структуре себестоимости продукции. Поэтому рациональная эксплуатация МТП обеспечит качественное и своевременное выполнение работ при их минимальной себестоимости. При этом необходимо отметить, что все затраты, связанные с эксплуатацией техники, кроме расхода топлива, в бухгалтерском учете отнесены к категории распределяемых. Основная доля этих затрат приходится на запасные части и ремонтные материалы. Бухгалтерская процедура списания этих затрат предполагает отнесение их на конкретный счет, без увязки с носителем затрат, конкретной единицей техники. Такой подход не позволяет оценить эффективность использования каждой единицы МТП, следовательно, ни у инженерной, ни у экономической служб нет реальных возможностей управлять формированием этих затрат. Сложившаяся ситуация приводит или к простоям техники, или неоправданному увеличению остатков запасных частей на складе, что и в первом и во втором случае оказывает негативное влияние на конечные результаты основных сельскохозяйственных отраслей.

МТП представлен как самоходными машинами, имеющими свою энергетическую установку (двигатель), так и несамоходными машинами (прицепными и навесными). Кроме того, сельскохозяйственная техника отличается большим разнообразием марок, отечественных и зарубежных. Каждая марка техники имеет свои индивидуальные технические и экономические особенности. Следовательно, добиваясь поддержания работоспособности техники через прогнозирование потребности в запасных частях, необходимо увязывать ее с конкретной маркой. Автором совместно с аспирантами разработана методика детализированного учета движения запасных частей на складе, которая была реализована в виде программного модуля «Склад запасных частей», что позволило автоматизировать процесс сбора информации по каждой единице техники и увязкой с ее уникальным регистрационным или инвентарным номером. Кроме того, в модуле заложена возможность не только получения информации по остаткам, а и по движению запасных частей (дата поступления запасной части и ее списание на конкретную единицу техники). Поэтому, уже сейчас, имея базу данных по движению запасных частей по каждой марке техники, можно прогнозировать потребность в запасных частях. Однако более точные прогнозы строятся на основе использования методов экономико-математического моделирования. С этой целью и предлагаются теоретические подходы к такому прогнозированию. Для примера рассмотрим модель определения потребности в запасных частях для тракторов определенной марки.

Пусть на предприятии, имеющем (п) полей, в сезон полевых работ используются от 0 до N тракторов определенной марки. В течение сезона они работают неравномерно и простаивают в связи с плановыми регламентными работами: техническим, технологическим обслуживанием. Остановки могут быть и неплановыми: погодные условия, отказы элементов (деталей, узлов) тракторов, сбои в работе систем и друге причины. При отказах элементов трактора необходима их замена. При наличии резервного элемен-

та обслуживание происходит незамедлительно. При отсутствии запасной части заявка на обслуживание направляется на склад. Доставка запасных элементов может осуществляться на двух уровнях: из склада хозяйства и основного склада (база, магазин, которые могут находиться в районе, крае или за его пределами). Доставка запасного элемента из основного склада требует расходов на приобретение и транспортировку.

Требуется рассчитать оптимальный резерв запасных элементов на сезон полевых работ, резерв поставляется партиями, поэтому необходимо определить периодичность поставок партий.

В ряде работ по надежности (2, 3, 4) доказывается допустимость принятия экспоненциального закона в качестве закона распределения вероятности безотказной работы сложных систем. Как отмечается в работе (4), «...хотя определенные элементы оборудования могут и не проявлять признаков экспоненциальности, но если отказавшие элементы заменяются новыми, то вследствие перемешивания возрастов, отказы системы в целом будут подчиняться экспоненциальному закону». «Непредсказуемые случайные физические воздействия также определяют экспоненциальный характер распределения отказов».

Все вышеизложенное делает правомочным выдвижение гипотезы об экспоненциальном законе распределения вероятности безотказной работы тракторов с функцией распределения

F (Г) = 1 - в~к‘, (1)

функцией плотности распределения

/ ({) = 1е-х‘, (2)

где 1 - интенсивность отказов, 1/ч.

В теории вероятностей (1) доказывается, что если интервал времени между событиями (в нашем случае - отказами) распределен по экспоненциальному закону, то число событий (отказов системы) в заданном интервале распределено по закону пуассона.

Однако необходимо определить вид потока отказов. На практике чаще всего находят применение два вида потоков отказов - простейший и нестационарный Пуассоновский.

Простейший поток отказов, обладает следующими свойствами:

- стационарностью, т. е. вероятностью попадания того или иного числа событий на участок времени длиной ґ зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси он расположен;

- отсутствием последствия, т. е. для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие;

- ординарностью, т. е. вероятностью попадания на элементарный участок Дґ двух или более событий пренебрежительно мала, по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Поток однородных событий, ординарный и без последействия, но не стационарный, с переменной плотностью 1(ґ) называется нестационарным пуассоновским. Несмотря на то что структура нестационарного пуассоновского потока несколько сложнее, чем простейшего, он очень удобен в практическом применении: главное свойство простейшего потока - отсутствие последействия в нем сохранено.

В целом режим работы трактора, поток отказов, время доставки запасных частей и их замены являются случайными процессами. С высокой степенью надежности можно принять поток отказов элементов определенного типа (/-типа) на любой из (К,-) тракторов простейшим с соответствующей плотностью (1/ ') для одного трактора.

Если полагать, что работающие в одном подразделении трактора одной марки имеют примерно одинаковую наработку, то поток отказов можно считать прямо пропорциональным числу одновременно работающих тракторов (К,). С другой стороны, невозможно сделать долгосрочный (на несколько недель) прогноз того, сколько именно будет их работать в некоторый момент или сколько часов наработает трактор на том или ином виде работ. Поэтому точность расчетов будет значительно выше при краткосрочных прогнозах, такая точность в прогнозе потребности в запасных частях будет оправдана при высокой интенсивности отка-

зов элементов трактора, что как раз и не всегда наблюдается. Так как тракторы используются в течение года довольно продолжительное время, то выбор оптимального прогнозируемого периода для осуществления текущих расчетов (Nil/) (суммарного потока отказов на данном временном отрезке At,) представляет собой сложную задачу, которую и необходимо решить.

Продолжительность полевых работ (Тс) можно принять известной и с некоторым приближением, исходя из типичных для данного хозяйства условий вегетации сельскохозяйственных культур и используемых в хозяйстве технологий возделывания, определить нагрузку на каждый трактор и суммарную нагрузку на все трактора в течение сезона.

Эту нагрузку можно представить ступенчатой диаграммой (рис.1), которая даст основание для приблизительной оценки потока отказов на предстоящий сезон полевых работ. Усреднение потока отказов (N,-V(At)) на начальном промежутке времени (Ato) (рис. 2) и на последующих промежутках (A4) (рис. 3) позволит определить общее количество .-элементов, отказавших к данному моменту на всех работающих тракторах данной марки.

Таким образом, мы принимаем нестационарный поток отказов элементов .-типа на всех тракторах определенной марки с плотностью

(3)

где 1і/ - плотность отказов /-элементов на

одном тракторе.

Для такого потока число отказов на промежутке ґ, начинающемся в момент ґ0, подчиняется закону Пуассона

ат

РД ґо)=—е-т(т=0,1,2,...), (4)

т

где а - математическое ожидание числа событий на участке от ґ0 до ґ0+ґ.

ґ0 +х

а =| 1 (ґ)Ш. (5)

ґ0

месяцы

Рис. 1. Схема графика загрузки тракторов в течение сезона полевых работ

1,(і,т)

І0 Ті

Ді0

Т2

Дт

ДІ0

Дії

І2

Т„,ч

і

0

X і (Д Ґ0 )Д Ґ0 = 1/ (т 0 )Д Т 0 + 1] (Ті )Д Ті + X; ( 2 )(Д ґ0 - Д т 0 - Д Ті )|

Рис. 2. Схема аналитического описания средней плотности отказов на начальном промежутке времени (Л<0) поставки партии запасных частей

1(i,t)

to

to

tm+n

Atk

Тс,ч

1 (A )A ~

1j (tm-1 )(tm - fk )+S bj (tm )A^m + bj (tm + „-1 )(tm + „ - h +1 )

Рис. 3. Схема аналитического описания средней плотности отказов на последующих интервалах времени (Л<к) между поставками партий запасных частей

Для такого потока закон распределения промежутка времени t между соседними событиями (отказами j - элемента) будет подчиняться уравнению вида

t0 +х

ft0 (t) = 1(to +t) exp(- Jl(t)dt). (6)

t0

Г лавное свойство простейшего потока -отсутствие последействия для этого закона сохраняется (1).

Считаем известной величину запаса j-х элементов, хранимых в основном складе к началу сезона полевых работ. Специалисты на основании опыта работы в предыдущие годы определяют первоначальный исходный запас каждого из j-х элементов - djo - на

складе хозяйства. Образованный таким (экспертным) выбором комплект запасных частей обеспечивает в течение времени Дґ0 безотказную работу каждого трактора с некоторой вероятностью Ж (например, Ж = 0,8 -эта величина также должна быть заранее определена специалистами), которую в расчетах следует считать известной. Заявки формируются на партии.

Удельные (на один элемент) расходы на хранение С/ и погрузку и доставку Су можно определить по данным хозяйства.

Целевая функция (сезонные расходы на покупку, доставку и хранение запасных элементов) складывается из затрат на хранение

в складе хозяйства Сі и затрат на покупку и перевозку с основного склада С2.

С = Сі + С 2 —— тіп,

(7)

С і = £ С/(£ Д ґ,).

і=і ,=0

к-і

С 2

(8)

X С1,Я, (I,)АI,

_,=1

где С, - затраты на хранение элемента ,-го типа в складе хозяйства в течение единицы времени, руб./ч; Су - затраты на приобретение и доставку одного ,-го элемента, руб.; т - количество типов резервируемых элементов, шт.; А,- = - 1, - расчетный отре-

зок времени между ,-й и (,' + 1)-й партиями, ч; к - 1 - количество партий запасных элементов данного типа, доставленных в склад хозяйства за сезон полевых работ; 1,(/,) -средняя плотность потока отказов ,-х элементов в течение А,, отказов/ч.

Величина (С2) определяется из следующих соображений. Как было ранее отмечено, плотность (1,) потока отказов элементов каждого из,-х типов (/=1,2,..., т) меняется в течение сезона в соответствии с количеством одновременно работающих тракторов. В течение промежутка А,- в среднем отказывает 1,(/,)А/1 элементов ,-го типа. Чтобы обеспечить заданную вероятность Ж безотказной работы комплекта запасных элементов в складе хозяйства в следующем отрезке времени А,+ необходимо восполнить потери с некоторым запасом. Приведенные затраты на доставку ,-х элементов в ,-й партии составят величину С1,1/(/,)А4 Затраты на доставку ,-х элементов в течение всего сезона будут равны

Затраты на доставку всех необходимых элементов в течение того же времени составят

І

і=і

к-і

£ Сі/ X/ (ґ, )Дґ,

Поменяв местами знаки суммирования получили выражение для С2 в формуле (8). Таким образом, задача оптимизации режима пополнения комплекта запасных элементов

на складе хозяйства должна решаться как нахождение минимума функции Ср

т к-1 к-1 т

С,=£С,' X*, Л+ХХСА, ) Л =

, =1 ,=0 ,=01 =1 (9)

к-1 т г ..

= X Л> X + С1 А .Д,] ® т1п’

,=0 ,=1

где Х-, - запас (остаток) ,-х элементов в комплекте на складе хозяйства в момент I, поступления очередной ,-й партии, в которой элементов данного типа может и не быть, если их оставалось достаточно к моменту /1-1.

Для каждого момента и должно выполняться условие для вероятности неисчерпаемости комплекта

Р

£(г/, - ч» )•

0

(і0)

где У, - количество ,-х элементов, доставленных в комплект в момент I, (момент окончания промежутка А,-); ф, - количество ,-х элементов, израсходованных за А,-.

Сумма в квадратных скобках - количество ,-х элементов в комплекте на складе хозяйства в момент и. Вероятность 0 < Ж < 1. Неравенство должно выполняться для каждого целого (к) из интервала 0 < к < г - 1, где г должно быть определено из другого условия

г - і

£ Д ґ г = Тс

(іі)

Более подробно запись выражения (і0) будет выглядеть так

Р/к = Р

£(1 / (ґ, )Дґ, - ч/ )■

0

> Ж. (і0Л)

(і2)

Для к = 0 получим

Р,0 = Р[1,(10)А I, - dJ0 • 0] =

= Р[0 < dJ0 • 1, (ОА (0 ]> Ж. Обозначив округленную до ближайшего большего целого величину 1,(/Ь)А/Ь через Х,0, получим

к-і

г=0

г = і

г'=і

0

= ХРк

к I к

= <'о)ДТо] хе’,т V

(13)

На основе экспертных оценок можно задаться значением величины Д/0 и определить исходные значения х^0 = 11(/0)Д0 I для последующего расчета величин Ж воспользуемся методом последовательных приближений.

Далее, используя формулы (10Л) и (11), получим

Рк = Р 0 £ X ал + ¿¡к * X 1 ( У* і

_ і=0 і=0

= Р{° £ ¿¡к • X [к( )А(і - ¿л ] + 1 ({к )А(к

<Є-М‘к )Ак 1+ ¿кк |>ж,

= Хк )=Щ[ (к )А^к

(14)

где ¿кк - количество отказавших ¡-х элементов на всех работающих тракторах за время

^к+1 - ^к*

к

X [к( )А{г - ¿і ]+ 1({к )А{к

(15)

к-1

где X - остаток запаса к моменту 4л.

i=0

Получив таким образом Ж, зависящую только от типа запасного элемента, и ряд значений Д4, ограниченных условием (11), можем вычислить значение функции Ср по формуле (9). Выбирая другие исходные значения Д4, полагая 1,(/) известной на всем промежутке от начала до конца сезона и проводя соответствующие этим условиям вычисления целевой функции, получим ряд ее точек, по которым можно выявить ее область минимума. Если значение минимума окажется неудовлетворительным или чувст-

вительность функции Ср к изменению параметров Д4 будет незначительной, то можно объединять временные интервалы при низкой интенсивности использования тракторов, до тех пор пока целевая функция не удовлетворит потребителя.

Поскольку, как отмечалось выше, 1,(/) слабодетерминированные функции, они, в частности, сильно зависят от складывающихся в течение сезона погодных условий. Значение Ср не может быть вычислено с достаточной для рациональной организации резервирования точностью для всего промежутка Тс. Поэтому лучше вести оперативное управление запасами на основе данных, получаемых оперативным путем в течение интервалов поставки очередных партий и прогнозов погоды. Для такой работы условие (9) излишне, достаточно воспользоваться формулой (14), в которой особое внимание надо обратить на выбор Ж, определяющей надежность комплекта. Оптимизировать эту величину ограничениями на затраты, независимо от других неопределенных параметров режима резервирования, невозможно, а введение еще одной переменной неоправданно усложнит задачу. При этом точность решения не станет заметно выше, а экономический эффект не будет заметным.

Таким образом, задача прогнозирования потребности в запасных частях должна решаться с учетом сезонных затрат на хранение, приобретение и транспортировку. Для описания случайного процесса обеспечения тракторов запасными частями целесообразно использовать математический аппарат закона Пуассона, позволяющий установить аналитическую зависимость вероятности отказа системы обеспечения при очередном требовании запасной части от интенсивности отказов этой детали, а также количества одновременно работающих тракторов и продолжительности их совместной работы.

¿к о =0

к-1

¿¡к=0

¿1к =0

ЛИТЕРАТУРА

1. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в надежности. — М.: Наука, 1968.

2. Кокс Д., Смит В. Теория восстановления. — М.: Советское радио, 1967.

3. Сандлер Дж. Теория надежности систем. — М.: Наука, 1966.

4. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: ФизматГИЗ, 1962.

Об авторе

Борозенец Виктор Николаевич, ГОУ ВПО

«Ставропольский государственный университет», кандидат экономических наук, доцент кафедры «Финансы и кредит». Сфера научных интересов - автоматизация управления производственными процессами в сельском хозяйстве, системы поддержки принятия управленческих решений.

Ъуп27@ mail.ru