CC BY-NC-ND
11
00!: 10.17323/2587-814Х.2020.3.24.34
Экономичный размер заказа с учетом дополнительной информации об известном квантиле функции распределения объема продаж товара
Ж.Н. Зенкова
E-mail: zhanna.zenkova@mail.tsu.ru
У. Мусони
E-mail: wmusoni@uok.ac.rw
Национальный исследовательский Томский государственный университет Адрес: 634030, г. Томск, пр. Ленина, д. 36
Аннотация
В современной логистике и управлении цепями поставок задача управления запасами является первостепенной. От точности расчета объемов и сроков заказов напрямую зависят общие затраты предприятия, а следовательно, и его прибыль. В данной работе решалась задача повышения точности расчета экономичного объема заказа товара за счет привлечения дополнительной информации об известном квантиле заданного уровня функции распределения объемов спроса на товар. Информация о квантиле использовалась при перерасчете годовой потребности в товаре, базирующейся на модифицированной оценке математического ожидания объема продаж за период, которая является асимптотически несмещенной, нормальной и асимптотически более точной, чем традиционное выборочное среднее в смысле среднеквадратической ошибки. Приведены новые формулы расчета экономичного объема заказа, а также доверительного интервала для него, которые были апробированы на реальных данных о помесячных объемах продаж товара крупной торговой сети за два года. Показано, что классический расчет приводит к недооценке объема экономичного размера заказа, что в свою очередь, увеличивает риск возникновения дефицита, а значит, и падение качества логистического обслуживания. Новый способ расчета также показал, что период между заказами должен быть на один день короче. Работа носит практически значимый характер, по ее результатам предприятию даны рекомендации.
Ключевые слова: экономичный размер заказа; выборочное среднее; дополнительная информация; квантиль функции распределения; модифицированная оценка среднего; модифицированный доверительный интервал; точность оценивания; среднеквадратическая ошибка.
Цитирование: Зенкова Ж.Н., Мусони У. Экономичный размер заказа с учетом дополнительной информации об известном квантиле функции распределения объема продаж товара // Бизнес-информатика. 2020. Т 14. № 3. С. 24-34. DOI: 10.17323/2587-814Х.2020.3.24.34
Введение
В борьбе за внимание потребителя, качество его обслуживания и повышение уровня его удовлетворенности [1] современные предприятия все больше ориентируются на улучшение точности прогнозирования будущей потребности в товаре, одновременно снижая риски возникновения дефицита и излишков, стараясь внедрять вытягивающие производственные системы на всем протяжении логистической цепи и выстраивая все производственные процессы исходя из конечной потребности в товаре [2]. Зная достаточно точно объем будущей потребности, предприятие может обеспечить поставки сырья, материалов и товаров с минимальными затратами и минимальными рисками сбоя производственного процесса из-за нехватки товара или затоваривания складов, притом практически точно в срок [3, 4]. Заметим, что в данном случае торговля также рассматривается как производство. Поэтому в современной логистике для поиска лучшей оценки потенциального спроса используются всевозможные математические модели различного уровня сложности [5—8], в том числе те, которые привлекают дополнительную информацию для снижения ошибки прогноза и улучшения качества оценивания [9—11] и классификации товаров [6, 12].
В данной работе предлагается новый, более точный способ расчета экономичного размера заказа и его доверительных интервалов с использованием дополнительной информации о квантиле функции распределения объемов продаж. Источником дополнительной информации могут быть логисты, маркетологи, аналитики фирмы, которые обладают достаточно широкими знаниями специфики работы предприятия и особенностей организации поставок и хранения товаров. Также учитываются ограничительные параметры, например, максимальный объем склада и наблюдавшаяся частота случаев его переполнения. Обычно такие знания игнорируются, хотя могут быть использованы с выгодой, поскольку давно известно, что дополнительная информация помогает улучшить качество статистических процедур [6—13]. Также стоит отметить, что привлечение информации о квантиле уже рассматривалось в ряде работ [13—18], при этом использовался метод проектирования оценки функции распределения в априорный класс. В нашем случае используется такая модифицированная оценка среднего, для которой не требуется предва-
рительно строить модифицированную эмпирическую функцию распределения (ЭФР) и вычислять оценку среднего значения показателя методом подстановки ЭФР в интеграл математического ожидания, что несколько упрощает расчеты.
В итоге следует подчеркнуть, что в данном исследовании дополнительная информация позволила существенно снизить среднеквадратическую ошибку оценки годовой потребности в материалах, и, следовательно, повысить точность расчета экономичного размера заказа.
1. Экономичный размер заказа с учетом дополнительной информации об известном квантиле функции распределения объема продаж товара
Расчет экономичного или оптимального размера заказа (economic order quantity, EOQ) представляет собой классическую задачу логистики [3]. В рамках этой задачи определяется такой размер заказа X, который приводит к минимизации общих затрат на его размещение и хранение, что в конечном счете влияет не только на прибыль компании, но и на ее рыночную стоимость [19]. Размер EOQ напрямую воздействует на многие логистические процессы фирмы и логистической цепи в целом [20], вплоть до выбора упаковки [21] и вида транспорта для доставки [22]. Неточности в расчетах EOQ могут привести к возникновению так называемого эффекта хлыста [23, 24], который нередко приводит к колоссальным убыткам, как это было впервые выявлено компанией Procter & Gamble при продаже памперсов [25, 26].
Классическая формула для EOQ с учетом потерь, связанных с замораживанием оборотного капитала, получается путем минимизации функции ежегодных общих затрат на закупку и размещение заказа в размере Х:
(1)
где М — годовая потребность в товаре (запасе);
к — постоянные затраты на размещение одного заказа;
Р — среднегодовая стоимость единицы рассматриваемого товара (запаса);
£ — доля от цены, не полученная из-за замораживания оборотного капитала в запасе товара в тече-
ние года (в качестве минимального значения можно рассмотреть текущую ключевую ставку Центробанка1 или размер минимальной ставки по депозитным счетам коммерческих банков);
I — норма расходов на хранение в течение года, доля от цены Р.
Фактически первое слагаемое в функции затрат /1\ Л/ ,
(1), равное--к, — это затраты на размещение зака-
X
зов в объеме Х в течение года, при этом количество
заказов в год г = —. Второе слагаемое — P^(l+z) —
X 2
средняя стоимость хранения запаса в течение года.
Нетрудно доказать, что минимальное значение функции ежегодных общих затрат достигается при условии
М
1
ТС\Х) =--т-к + --Р-(1+г) = 0;
если
X. =
2 Мк Р(1 + 1)
(2)
(3)
Заметим, что формула (3) может быть применима только для достаточно стабильного спроса на товар [27], т.е. фактически для товаров из группы Х согласно классификации методом XYZ-анализа [3, 4, 6]. Иначе говоря, формула применима для таких товаров, для которых СУ — коэффициент вариации ряда значений спроса (продаж) не превышает 10%. Здесь СУ выражается формулой:
Г?
СУ = ^--100%. X
В данной формуле
— 1 * х =—Тх,
(4)
(5)
представляет собой средний уровень спроса (продаж),
1 Ы , —.2
(6)
— выборочная оценка дисперсии [28], Хр Х2, ..., Хш —объемы продаж (спроса) на товар в течение года, N — количество рассматриваемых периодов в течение года.
Предположим, что бизнес-экспертам компании известно, что в течение некоторого периода общий
1 https://www.cbr.ru/hd_base/KeyRate/
уровень спроса на товар не превышал определенного порогового уровня хд в д . 100% случаев. Фактически, если предположить, что объем спроса (продаж) Х представляет собой случайную величину с функцией распределения ¥ (х) = Р (X < х), то подобная информация может быть представлена в виде
Р(х9 ) = д,
(7)
где хд — известный квантиль функции распределения (ФР) известного уровня д.
Используем дополнительную информацию о квантиле ФР для улучшения качества оценивания EOQ (3). Для этого предположим, что — выборка объема N — независимые, одинаково распределенные случайные величины с ФР ¥(х). Тогда можно построить более точную оценку годовой потребности в товаре (запасе), используя модифицированную оценку среднего уровня спроса с учетом дополнительной информации вида (7), по формуле:
М" =тХ",
(8)
где т — число периодов в году (например, т = 12, если рассчитывается среднемесячный спрос),
1 N N
X ХГ
ЩМ-1) ^ 9(1-9)
(9)
— модифицированная оценка среднего спроса за период [12]. Эта оценка является асимптотически несмещенной и нормальной, ее дисперсия определяется формулой [12]:
Уаг{Х"} = 1
9(1-9)
+ 0
чАГ.
где
а1 =И-Уаг{х} = Уаг{Х}.
(10)
(11)
При этом нетрудно убедиться, что из формулы (10) следует, что
о-2 =Ит Н-Уаг\Х9\ = аг
4 Х->00 I >
1-9
\2
(12)
• | хйР(х) - • | хйР{х)
Отсюда очевидно, что ст2 ^<г2,т.е. в силу асимптотической несмещенности для достаточно больших объемов наблюдений привлечение дополнительной информации об известном квантиле приводит к снижению нормированной на N среднеквадрати-ческой ошибки (mean squared error, MSE):
jV-MSE{jP} =N-E(xq-af <ir2 = N-E(X-a)\
(13)
а значит, и к улучшению точности оценивания среднего объема спроса. Здесь а = ЕХ.
Заметим, что оценка среднего с учетом квантиля [13], полученная с применением метода проекций [9], имеет схожую асимптотическую дисперсию (12). Преимуществом оценки (9) можно считать то, что для ее использования не требуется никаких предварительных действий, а именно, построения оценки ФР и ее проектирования в априорный класс с последующей подстановкой модифицированной оценки ФР в интеграл для математического ожидания.
На рисунке 1 приведен график зависимости <г2 от д для ¥(х) = К (х) — равномерного в (0,1) распределения, для которого <г2 = Хг. На рисунке 2 представлен аналогичный график для ¥ (х) = N (х) — стандартного нормального распределения с нулевым средним и дисперсией ст2 = 1. На рисунке 3 показан соответствующий график для экспоненциального распределения ¥(х) = 1-е-*, х > 0, с параметром Я = 1, <г2 = Уя = 1. Из графиков видно, что учет дополнительной информации о квантиле позволил существенно улучшить качество оценивания для всех трех случаев, для достаточно больших объемов наблюдений N.
Знание асимптотической нормальности позволяет получить доверительные интервалы с уровнем доверия у для модифицированного среднего (здесь L — нижняя граница, Н — верхняя граница):
— z • а
Lq =Xq-^J~; \Jn
— z ■ ст
4n
(14)
(15)
где (Гч = ^¡о^, с2 рассчитывается по формуле (12).
Таким образом, более точная модифицированная формула для расчета экономичного размера заказа может быть найдена по формуле:
XI
2Мв-к
PQ+z)'
(16)
0 0,2 0,4 0,6 0
Рис. 1. График зависимости с2 от q и ст2 = Хг
Для F(x) = Rm)(x)
1
0,08 0,06 -0,04 -0,02
0 0,2 0,4 0,6 0,
Рис. 2. График зависимости ст2 от q и сг2 =1 для F{x) = NM(x)
1 i
0,0 0,06 -0,04 -0,02
0 0,2 0,4 0,6 0,
Рис. 3. График зависимости ст2 от q и сг2 =1 для F(x) = ,х > О
где М" = т-Хд, X" — средний уровень спроса за период, m — число периодов в году. Доверительные интервалы с уровнем доверия у для модифицированного экономичного размера заказа выглядят следующим образом:
2тк
ЕОО?
н_ =
\р(1+1)
ГХ*-7^ Л
2тк
(17)
(18)
где zr — квантиль уровня -ного распределения.
1 + у
стандартного нормаль-
Вероятность доверия у применяется как мера регулирования уровня риска, она устанавливается логистами предприятия, исходя из следующих соображений:
1. Поскольку для высокоприбыльных товаров группы А (здесь — АХ) дефицит критичен и ведет к прямым убыткам [29], в качестве основы для расчетов параметров системы управления запасами рекомендуется использовать верхнюю границу НЕ0(^ . Риск возникновения дефицита при этом составит
Например, если нужно обеспечить уровень логистического сервиса, при котором Яв допускается на уровне не более 2%, то у = 0,96, а для Яв = 5% у = 0,9. Однако стоит отметить, что чем меньше риск Я тем больше у, шире доверительный интервал и больше значение . Следовательно, нужно увеличивать вложения в запасы (это «плата» за высокий уровень сервиса). В зависимости от стратегии фирмы НЕОв, применяется и для расчетов параметров системы пополнения запаса для товаров группы В (ВХ), но с более высоким уровнем Яв.
2. Нижнюю границу целесообразно использовать для малоприбыльных товаров группы С (СХ), по которым крайне важно снижение риска
1-у
возникновения излишков = ——.
5 2
Это означает, что если предприятие избирает стратегию максимального удовлетворения клиента, то выбирается более высокий уровень (например, = 10%). Тогда нужно производить расчет доверительной границыХ£ое, при у=0,8. Если же предприя-тиенацеленонасокращениезатрат,тонужноснижать Я6 (например, при Я6< = 1% у = 0,98). При этом рост
у равносилен снижению объемов ЬЕ0^„ а, значит сокращению запасов. В зависимости от стратегии фирмы применяется и для расчетов параметров системы пополнения запаса для товаров группы В (ВХ), но с более низким уровнем Я
Отметим, что равенство уровней рисков дефицита Яв и излишков обусловлено симметричностью стандартного нормального распределения: вероятность «попасть» правее верхней границы доверительного интервала равна «попаданию» левее нижней границы. Напомним, что рассмотрение здесь только групп АХ, ВХ и СХ, полученных согласно классификации методом совместного АВС—XYZ анализа [4, 6], обусловлено тем, что расчет экономичного размера заказа EOQ допустим только для товаров со стабильным спросом из группы Х.
Также отметим, что современные базы данных позволяют отслеживать спрос на товар (запас) с его детализацией не только с точностью до недель или дней, но и до часов. Таким образом, количество периодов можно считать достаточно большим, чтобы использовать более точную формулу (16).
2. Расчет оптимального размера заказа на основе реальных данных
Предложенная в работе модифицированная методика расчета апробировалась на реальных данных о продажах крупной торговой сети. Рассматривались месячные объемы продаж за 2017—2018 гг. (более детальное рассмотрение здесь нецелесообразно в виду потери наглядности применения методики). В таблице 1 и на рисунке 4 приведены месячные значения продаж за два года и график их динамики. В целях сохранения коммерческой тайны название предприятия и товара не конкретизируются, однако стоит отметить, что товар не является скоропортящимся, срок его хранения превышает три года.
Исходя из приведенных данных, средний уровень продаж (5) в месяц составляет X = 7 835,75 шт., а выборочная дисперсия (6) S2 = 402 546,98 шт.2. При этом коэффициент вариации (4) составляет СУ = 8,10%, что позволяет сделать вывод о стабильности спроса на данный товар (товар принадлежит группе Х).
Любопытно отметить, что рассматриваемые данные оказались нормально распределенными, что было подтверждено с помощью критерия Шапи-ро—Уилка [30] с достигнутым уровнем значимости р-уа1ие = 0,691. На рисунке 5 приведен график ЭФР
Объем продаж товара за 2017—2018 гг., шт./мес.
Таблица 1.
Год 2017 2018
январь 9 081 7 953
февраль 7 578 6 267
март 7 578 7 700
апрель 8 044 7 747
май 8 490 7 780
июнь 7 587 7 110
июль 7 031 7 392
август 7 560 7 328
сентябрь 8 258 7 776
октябрь 7 609 8 586
ноябрь 7 501 8 302
декабрь 7 898 8 999
¥л,(х) (для удобства восприятия функция отображается в виде точек) и соответствующего нормального распределения ^ 835,75; 402 546,98) (х).
Годовая потребность в товаре в среднем составляет М = 94 029 шт. Предприятие указало среднюю цену на товар за период Р = 110 руб./шт., оценив затраты на хранение в 50% от цены, т.е. I = 0,5 при £ = 0,06. Стоимость размещения одного заказа к = 5 000 руб. В результате
Х =
2-94 029-5000 1100,56
= 3 906,97 пгг.
10000 8000 6000 4000 2000 0
20
25 /
Рис. 4. График динамики продаж товара за 2 года, шт./мес.
1
0,9 0,8 1 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,02 0,01 0
6000 6500 7000 7500 8000 8500 9000 9500
Рис. 5. Графики -Р^х) (Т0Чки) и Л7(7 835_75;40254€,98)
(X)
(сплошная линия)
Поскольку данный товар является неделимым, найдем оптимальный целый X как один из ближайших целых аргументов, доставляющих минимум функции общих затрат:
ТС(3 906) = 240 669,623 > ТС(3 907) = =240 669,616 руб./г. В итоге XI = 3907 шт., следовательно, количество заказов в год составит как минимум 94 029 "
3907
заказами
= [15, 16] = 15 дней для товаров
г = ____ = 24 раза с периодичностью между
365 " 24,07
категории АХ и |~15, 1б"| = 16 дней для категории СХ.
Для категории ВХ выбор количества дней между поставками (15 или 16) зависит, прежде всего, от стратегических целей фирмы.
При проведении рассчетов предприятие предоставило дополнительную информацию о том, что в течение довольно длительного времени (более двух лет) в 95% случаев ежемесячные продажи данного товара не превышали 9000 шт./мес., т.е. ¥(х?) = =¥(9000) = # = 0,95. Это позволяет применить более точный способ расчета экономичного размера заказа (16).
Для корректности использования модифицированной статистики была проверена статистическая гипотезаовзаимнойнезависимостиданныхкритери-ем серий [31], который подтвердил независимость с достигнутым уровнем значимости р^а1ие = 0,53161.
В результате было получено, что X" = 8 162,93 шт./мес, М" = 12 • 8 162,93 = 97 955,16 шт./г. Тогда Хч0 = 3 987,71 шт., минимум функции затрат дости-
0
5
гается при Хч0 = 3 988 шт., частота заказов составила г9 = 24, 56, т.е. минимум 24 раза в год. При этом период между заказами изменился на 14,86 дня. Это означает, что если согласно совместному АВС-XYZ анализу рассматриваемый товар принадлежит группе АХ, то его надо заказывать один раз в 14 дней, для ВХ и СХ — один раз в 15 дней. На рисунке 6 приведены графики зависимостей общих затрат на пополнение запаса ТС(Х) и ТС9 (X).
Заметим, что применение модифицированного метода показало, что объем заказа был недооценен на 2,07%, что могло привести к дефициту товара и к недополучению прибыли. В итоге расчетные общие затраты предприятия выросли на 5 492,25 руб./г., однако улучшение точности оценивания годовой потребности в товаре потенциально позволило снизить логистические риски и компенсировать потери за счет большей прибыли, повышение которой обусловлено более высоким качеством логистического сервиса.
Используем знание распределения объемов продаж исходных данных для того, чтобы получить доверительные интервалы с уровнем доверия у для оценок ежемесячной средней потребности в товаре (здесь дисперсия ст2 предполагается известной):
ч? г -о-
(19)
(20)
где — квантиль уровня
1 + у _
; стандартного нор
мального распределения; а = 634,47 шт.
Для построения доверительных интервалов для модифицированного среднего, используя формулу (12) при ¥(х) = N(7
835,75;402546,98)(x), было определено,
ТС(Х), тыс. руб./г.
280
270 -260 -
250 -
240 -
230
X, шт.
2000
3000
4000
5000
6000
Рис. 6. Графики зависимостей ТС (X) (сплошная линия) и ТС"(Х) (пунктирная линия)
что = 503,16 шт. Результаты приведены в
таблице 2.
Для товаров категории АХ рекомендуется использовать в качестве экономичного размера заказа НЕОд.. Если предприятие стремится к максимальному удовлетворению спроса, то следует выбрать большие значения у, например, 0,98. В этом случае объем поставки будет составлять 4 046 шт., а риск возникновения дефицита В.в будет не более 1%. Если же предприятие нацелено на снижение затрат, то нужно устанавливать более высокие значения В.в, например, 5%. Тогда нужно выбирать у = 1— 2 • 0,05 = 0,9, в итоге экономичный объем заказа составит 4 029 шт. Если наш товар принадлежит к группе СХ, то желательно минимизировать допустимый риск возникновения излишков В.8, установив его на уров-
Таблица 2.
Доверительные интервалы для среднего уровня спроса и экономичного размера заказа без учета и с учетом знания квантиля для разных уровней доверия у
У L Н Ь" Н9 ^ЕОй Ншоа ^ЕОО" тт Еоа«
0,98 2,326 7534 8138 7923 8402 3831 3982 3928 4046
0,95 1,960 7581 8090 7961 8365 3842 3970 3938 4037
0,9 1,645 7622 8049 7993 8332 3853 3960 3945 4029
О 8 1,282 7669 8002 8031 8295 3865 3949 3955 4020
не \_У_. Тогда, например, при 10% уровне риска
2
у = 1 — 2 -0,1 = 0,8 и в заказ пойдет объемом ^ЕОй« = 3 955 шт. При этом ожидается, что в двух случаях из десяти спрос на этот товар будет удовлетворен лишь частично, поскольку он будет полностью распродан и его не хватит на всех покупателей.
Также следует отметить, что доверительные интервалы с учетом дополнительной информации значительно уже (практически на 22%), чем интервалы без учета квантиля. Это объясняется тем, что у модифицированного среднего асимптотическая дисперсия ст2 <сг2, т.е. при том же уровне рисков дефицита Яв и излишков ЯS можно получить более точные доверительные границы — значения экономичного размера заказа для товаров из разных групп АХ, ВХ или СХ.
Заключение
В данной работе предложен новый способ расчета экономичного объема заказа с учетом дополнительной информации об известном квантиле заданного уровня функции распределения объемов продаж (спроса), а также доверительных интервалов для него. Показано, что для достаточно большого количества наблюдений новый метод дает более точное значение экономичного размера заказа и более узкие доверительные интервалы, поскольку базируется на асимптотически несмещенной оценке среднего уровня потребности в товаре с меньшей среднеквадратической ошибкой. Новая методика расчета апробировалась на реальных данных о помесячных продажах крупной торговой сети за два года. Предприятию даны рекомендации по выбору параметров системы управления запасами рассматриваемого товара. ■
Литература
1. Johnson M.D., Gustafsson A. Improving customer satisfaction, loyalty, and profit: An integrated measurement and management system. Jossey-Bass, 2020.
2. Schonsleben Р. Integral logistics management: Operations and supply chain management within and across companies. Boca Raton: CRC Press, 2016. DOI: 10.4324/9781315368320.
3. Silver E. A., Pyke D. F., Thomas D.J. Inventory and production management in supply chains. Boca Raton: CRC Press, 2017. DOI: 10.1201/9781315374406.
4. Zrilic A. Six steps inventory optimization. 2015.
5. Tipi N. Supply chain analytics and modelling: Quantitative tools and applications. Kogan Page, 2020.
6. Zenkova Zh.N., Kabanova T.V. The ABC-XYZ analysis modified for data with outliers // 4th IEEE International Conference on Logistics Operations Management (GOL' 2018). Le Havre, France, 10-12 April 2018. P. 63-68.
7. Гуров Н.В., Зенкова Ж.Н. Робастная оценка среднего в анализе оборачиваемости оборотных средств предприятия // Математическое и компьютерное моделирование в экономике, страховании и управлении рисками. Материалы
V Международной молодежной научно-практической конференции (Саратов, 9-12 ноября 2016 г.). Саратов: Научная книга, 2016. С. 47-51.
8. Зенкова Ж.Н., Краковецкая И.В. Моделирование по неполным данным в логистике и маркетинге // Логистические системы в глобальной экономике: материалы Международной научно-практической конференции (Красноярск, 14-15 марта 2013 г.): в 2 ч. Ч. 1. Научно-исследовательский сектор. Красноярск: СибГАУ, 2013. C. 98-105.
9. Дмитриев Ю.Г., Устинов Ю.К. Статистическое оценивание распределений вероятностей с использованием дополнительной информации. Томск: ТГУ, 1988.
10. Dmitriev Yu.G., Koshkin G.M. Nonparametric estimators of probability characteristics using unbiased prior conditions // Statistical Papers. 2018. Vol. 59. No 4. Р. 1559-1575. DOI: 10.1007/s00362-018-1044-7.
11. Dmitriev Yu.G., Tarasenko P.F. The use of a priori information in the statistical processing of experimental data // Russian Physics Journal. 1992. Vol. 35. No 9. Р. 888-893. DOI: 10.1007/BF00560063.
12. Dmitriev Yu., Zenkova Zh., Musoni W. Statistical estimation with a known quantile and its application in a modified ABC-XYZ analysis // 8th International Conference on Risk Analysis and Design of Experiments. Vienna, Austria, 23-27 April 2019. Book of abstracts.
P. 143-144.
13. Zenkova Zh.N., Krainova E.A. Estimating the net premium using additional information about a quantile of the cumulative distribution function // Business Informatics. 2017. № 4. P. 55-63. DOI: 10.17323/1998-0663.2017.4.55.63.
14. Макеева О.Б., Зенкова Ж.Н. Расчет показателей оборачиваемости по интервально-цензурированным данным с учетом знания квантиля // Educatio. 2015. № 8 (15). Ч. 3. С. 72-76.
15. Зенкова Ж.Н., Макеева О.Б. Использование информации о квантиле при анализе оборачиваемости оборотных средств // III Всероссийская молодежная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», Томск, 22-23 мая 2015. Томск: ТГУ, 2015. С. 82-87.
16. Журко Е.С., Зенкова Ж.Н. Метод ценообразования PSM для цензурированных данных с учетом квантиля // Международный союз ученых «Наука. Технологии. Производство». 2015. № 9 (13). С. 13-16.
17. Журко Е.С., Зенкова Ж.Н. Модификация метода ценообразования PSM с учетом квантиля заданного уровня // Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии Сибири» (ITSIBER]A—2016). Кемерово, 10 ноября 2016 г. Кемерово: УИП КузГТУ, 2016. С. 134-136.
18. Kabanova S.A., Zenkova Zh.N., Danchenko MA. Regional risks of artificial forestation in the steppe zone of Kazakhstan (case study of the green belt of Astana) // IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. 2018. Vol. 211. No 1. Article 012055. P. 1-9. DOI: 10.1088/1755-1315/211/1/012055.
19. Serrano A., Kraiselburd S. Economic order quantity and the value of the firm // SSRN Electronic Journal. July 2007. P. 1-34. DOI: 10.2139/ssrn.1027547.
20. Mandeep M., Shah N.H. Optimal inventory control and management techniques. IGI Global, 2016. DOI: 10.4018/978-1-4666-9888-8.
21. McDonald C.M. Integrating packaging and supply chain decisions: Selection of economic handling unit quantities // International Journal of Production Economics. 2016. Vol. 180. P. 208-221. DOI: 10.1016/j.ijpe.2016.08.003.
22. Wasiak M. Vehicle selection model with respect to economic order quantity // Archives of Transport. 2016. Vol. 40. No 4. P. 77-85. DOI: 10.5604/08669546.1225471.
23. Durlinger P. The bullwhip effect. Durlinger Essential, 2020.
24. Snyder L.V., Shen Z. J. M. Fundamentals of supply chain theory. "Wiley, 2019.
25. Chopra S., Meindl P. Supply chain management. Strategy, planning & operation // C. Boersch, R. Elschen (eds.) Das summa summarum des management. Gabler, 2007. P. 266-275.
26. Lee H.L., Padmanabhan V., Whang S. The bullwhip effect in supply chains // MIT Sloan: Management Review. 1997. Vol. 38. No 3. [Электронный ресурс]: https://sloanreview.mit.edu/article/the-bullwhip-effect-in-supply-chains/ (дата обращения 01.03.2020).
27. Wang C., Tang W., Zhao R. Analysis of economic order quantity under fuzzy environments // Transactions of Tianjin University. 2010. No 16. P. 229-234.
28. Mittelhammer R.C. Mathematical statistics for economics and business. Springer Science & Business Media, 2013.
29. Mike P.C., Malburg T.W. Overcoming economic order quantity limitations // Hospital Materiel Management Quarterly. 1981. Vol. 2. No 3. Р. 65-69.
30. Shapiro S.S., Wilk M.B. An analysis of variance test for normality (complete samples) // Biometrika. 1965. Vol. 52. No 3-4. P. 591-611.
31. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. М.: Финансы и статистика, 1983.
Об авторах
Зенкова Жанна Николаевна
кандидат физико-математических наук, доцент, MBA;
доцент кафедры системного анализа и математического моделирования,
Институт прикладной математики и компьютерных наук,
Национальный исследовательский Томский государственный университет,
634030, г. Томск, пр. Ленина, д. 36;
E-mail: zhanna.zenkova@mail.tsu.ru
ORCID: 0000-0002-3776-9935
Мусони Уильсон
аспирант кафедры системного анализа и математического моделирования, Институт прикладной математики и компьютерных наук, Национальный исследовательский Томский государственный университет, 634030, г. Томск, пр. Ленина, д. 36; E-mail: wmusoni@uok.ac.rw
The economic order quantity taking into account additional information about the known quantile of the cumulative distribution function of the product's sales volume
Zhanna N. Zenkova
E-mail: zhanna.zenkova@mail.tsu.ru
Wilson Musoni
E-mail: wmusoni@uok.ac.rw
National Research Tomsk State University, Address: 36, Lenin Street, Tomsk 634030, Russia
Abstract
In modern logistics and supply chain management, the task of inventory management is paramount. The total costs of the enterprise and consequently, its profit, directly depend on the accuracy of calculating the volumes and terms of orders. In this work, the problem of increasing the accuracy of calculating the economic order quantity for a product was solved by involving additional information about the known quantile of a given level of the distribution function of the volume of product's demand. The quantile information was used to recalculate the annual demand for the product, based on a modified estimator of the sales expectation for the period. The modified estimator is asymptotically unbiased, normal, and more accurate than the traditional sample mean in the sense of mean squared error. New formulas for calculating the economic order quantity and its confidence interval were presented and tested on real data on the monthly sales volumes of goods of a large retail store network over two years. It is shown that the classic way of mean calculation led to an underestimation of the volume of the economic order quantity, which in turn increased the risk of a shortage, and hence a drop in the quality of logistics services. The new calculation method also showed that the period between orders should be one day shorter. The work is practically significant; according to its results, recommendations are given to the enterprise.
Key words: economic order quantity; sample mean; additional information; quantile; modified mean estimator; modified confidence interval; assessment accuracy; mean squared error.
Citation: Zenkova Zh.N., Musoni W. (2020) The economic order quantity taking into account additional information about the known quantile of the cumulative distribution function of the product's sales volume. Business Informatics, vol. 14, no 3, pp. 24-34. DOI: 10.17323/2587-814X.2020.3.24.34
References
1. Johnson M.D., Gustafsson A. (2020) Improving customer satisfaction, loyalty, andprofit: An integrated measurement and management system. Jossey-Bass.
2. Sctónsleben P (2016) Integral logistics management: Operations and supply chain management within and across companies. Boca Raton: CRC Press. DOI: 10.4324/9781315368320.
3. Silver E. A., Pyke D. F, Thomas D.J. (2017) Inventory and production management in supply chains. Boca Raton: CRC Press. DOI: 10.1201/9781315374406.
4. Zrilic A. (2015) Six steps inventory optimization. Lulu.
5. Tipi N. (2020) Supply chain analytics and modelling: Quantitative tools and applications. Kogan Page.
6. Zenkova Zh.N., Kabanova T.V. (2018) The ABC-XYZ analysis modified for data with outliers. Proceedings of the 4th IEEE International Conference on Logistics Operations Management (GOL'2018), Le Havre, France, 10—12April2018, pp. 63—68.
7. Gurov N.V., Zenkova Zh.N. (2016) Robust estimation of means in the analysis of the company's current assets turnover. Proceedings of the V International Youth Scientific and Practical Conference on Mathematical and Computer Modeling in Economics, Insurance and Risk Management, Saratov, Russia, 9—12November2016, pp. 47—51 (in Russian).
BUSINESS INFORMATICS Vol. 14 No 3 - 2020
8. Zenkova Zh.N., Krakovetskaya I.V. (2013) Incomplete data modeling in logistics and marketing. Proceedings of the International Scientific and Practical Conference on Logistics Systems in the Global Economy, Krasnoyarsk, Russia, 14—15 March 2013, part 1, pp. 98—105 (in Russian).
9. Dmitriev Yu.G., Ustinov Yu.K. (1988) Statistical estimation of probability distributions using additional information. Tomsk: TSU (in Russian).
10. Dmitriev Yu.G., Koshkin G.M. (2018) Nonparametric estimators ofprobability characteristics using unbiased prior conditions. Statistical Papers, vol. 59, no 4, pp. 1559-1575. DOI: 10.1007/s00362-018-1044-7.
11. Dmitriev Yu.G., Tarasenko P.F. (1992) The use of a priori information in the statistical processing of experimental data. Russian Physics Journal, vol. 35, no 9, pp. 888-893. DOI: 10.1007/BF00560063.
12. Dmitriev Yu., Zenkova Zh., Musoni W. (2019) Statistical estimation with a known quantile and its application in a modified ABC-XYZ analysis. Book of abstracts of the 8th International Conference on Risk Analysis and Design of Experiments, Vienna, Austria, 23—27April 2019, pp. 143-144.
13. Zenkova Zh.N., Krainova E.A (2017) Estimating the net premium using additional information about a quantile of the cumulative distribution function. Business Informatics, no 4, pp. 55-63. DOI: 10.17323/1998-0663.2017.4.55.63.
14. Makeeva O.B., Zenkova Zh.N. (2015) Calculation of turnover indicators based on interval-censored data, taking into account quantile knowledge. Educatio, no 8 (15), part 3, pp. 72-76 (in Russian).
15. Zenkova Zh.N., Makeeva O.B. (2015) Using quantile information in the analysis of working capital turnover. Proceedings of the III All-Russian Youth Conference on Software and Programs for Information, Technical and Economic Systems, Tomsk, Russia, 22—23 May 2015, pp. 82-87
(in Russian).
16. Zhurko E.S., Zenkova Zh.N. (2015) PSM pricing method for censored data with quantile consideration. International Union of scientists "Science. Technologies. Production", no 9 (13), pp. 13-16 (in Russian).
17. Zhurko E.S., Zenkova Zh.N. (2016) Modification of the PSM pricing method taking into account the quantile of a given level. Proceedings of the International Scientific and Practical Conference on Information Technologies in Siberia (ITSIBERIA—2016), Kemerovo, Russia, 10 November 2016, pp. 134-136 (in Russian).
18. Kabanova S.A., Zenkova Zh.N., Danchenko M.A. (2018) Regional risks of artificial forestation in the steppe zone of Kazakhstan (case study of the green belt ofAstana). IOP Conference Series: Earth and Environmental Science, vol. 211, no 1, article 012055, pp. 1-9.
DOI: 10.1088/1755-1315/211/1/012055.
19. Serrano A., Kraiselburd S. (2007) Economic order quantity and the value of the firm. SSRNElectronic Journal, July, pp. 1-34. DOI: 10.2139/ssrn.1027547.
20. Mandeep M., Shah N.H. (2016) Optimal inventory control and management techniques. IGI Global. DOI: 10.4018/978-1-4666-9888-8.
21. McDonald C.M. (2016) Integrating packaging and supply chain decisions: Selection of economic handling unit quantities. International Journal ofProduction Economics, vol. 180, pp. 208-221. DOI: 10.1016/j.ijpe.2016.08.003.
22. Wasiak M. (2016) Vehicle selection model with respect to economic order quantity. Archives of Transport, vol. 40, no 4, pp. 77-85. DOI: 10.5604/08669546.1225471.
23. Durlinger P. (2020) The bullwhip effect. Durlinger Essential.
24. Snyder L.V., Shen Z. J. M. (2019) Fundamentals of supply chain theory. Wiley.
25. Chopra S., Meindl P (2007) Supply chain management. Strategy, planning & operation. Das summa summarum des management (C. Boersch, R. Elschen, eds.). Gabler, pp. 266-275.
26. Lee H.L., Padmanabhan V., Whang S. (1997) The bullwhip effect in supply chains. MIT Sloan: Management Review, vol. 38, no 3. Available at: https://sloanreview.mit.edu/article/the-bullwhip-effect-in-supply-chains/ (accessed 01 March 2020).
27. Wang C., Tang W., Zhao R. (2010) Analysis of economic order quantity under fuzzy environments. Transactions of Tianjin University, no 16, pp. 229-234.
28. Mittelhammer R.C. (2013) Mathematical statistics for economics and business. Springer Science & Business Media.
29. Mike PC., Malburg T.W. (1981) Overcoming economic order quantity limitations. Hospital Materiel Management Quarterly, vol. 2, no 3, pp. 65-69.
30. Shapiro S.S., Wilk M.B. (1965) An analysis of variance test for normality (complete samples). Biometrika, vol. 52, no 3-4, pp. 591-611.
31. Ayvazyan S.A., Enyukov I.S., Meshalkin L.D. (1983) Applied statistics: Fundamentals of modeling andprimary data processing. Moscow: Finance and Statistics (in Russian).
About the authors
Zhanna N. Zenkova
Cand. Sci. (Phys.-Math.), Associate Professor, MBA;
Associate Professor, Department of Systems Analysis and Mathematical Modeling,
Institute of Applied Mathematics and Computer Science, National Research Tomsk State University,
36, Lenin Street, Tomsk 634030, Russia
E-mail: zhanna.zenkova@mail.tsu.ru
ORCID: 0000-0002-3776-9935
Wilson Musoni
Doctoral Student, Department of Systems Analysis and Mathematical Modeling,
Institute of Applied Mathematics and Computer Science, National Research Tomsk State University,
36, Lenin Street, Tomsk 634030, Russia
E-mail: wmusoni@uok.ac.rw
