CC BY
16Об аппроксимации затрат в БОО моделях управления запасами со случайным сбоем поставок
Валиев Айдар Рустамович,
студент, кафедра математического моделирования энергетических систем,Санкт-Петербургский государственный университет, valiev.aidar.r@gmail.com
Захаров Виктор Васильевич,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования энергетических систем, Санкт-Петербургский государственный университет, v.zaharov@spbu.ru
В данной работе рассматривается задача выбора оптимального размера заказа ритейлера в условиях ценовой конкуренции при сбоях у поставщика. Представлен обзор литературы по существующим исследованиям по проблематике сбоев в поставках. В ходе исследования построена модель экономичного размера заказа в условиях ценовой конкуренции ритей-леров и потери мощности поставщика. Доказана теорема о непрерывной дифференцируемости и вогнутости функции ожидаемой прибыли розничного продавца. Найдены аналитические представления оптимальных размеров заказа в условиях случайного сбоя при аппроксимации ожидаемых затрат. Приведены примеры расчёта оптимальных размеров заказа для случаев двух и трех рителейлов при линейной функции спроса и показана возможность использования аппроксимации ожидаемых затрат для расчета оптимальных размеров заказа.
Ключевые слова: цепи поставок, управление запасами, сбои в поставках, ценовая конкуренция, экономичный размер заказа.
о
о
см
<£> О!
^
I-О ш т х
<
т о х
X
1. Введение
На сегодняшний день почти у каждой фирмы есть своя цепочка поставок. И, к сожалению, почти любая такая цепочка подвержена сбоям. Причины, из-за которых возникают сбои, могут быть различны, будь то действия рабочих, техногенные катастрофы и др. Например, землетрясение на Тайване в 1999 привело к серьёзным последствиям [1]. Также бывают и менее масштабные сбои, происходящие чаще. Например, аварийные сигналы из распределительных центров компании WalMart почти каждый день поступают в центр по чрезвычайным ситуациям [2]. Модель, исследуемая в данной работе, применима к нарушениям разного масштаба.
В одной из научных работ [3] впервые было введено определение сбоев в поставках, как случайных событий, из-за которых поставщик или другие звенья цепочки поставок перестают частично или полностью функционировать в течение случайного временного промежутка. Чтобы не допустить или уменьшить воздействия от последствий сбоев, необходимо усовершенствовать методы управления цепочками поставок. При разработке таких методов специалисты-практики цепочки поставок должны учитывать конкуренцию на рынке.
2. Обзор литературы
Парлар и Беркин [4] представили первую систему подобную модели EOQ, в которой у поставщика периодически происходят сбои - EOQD. Спрос теряется, если у розничного продавца не хватает запасов для его удовлетворения во время сбоев у поставщика. При этом ритейлер следует политике заказа при нулевом запасе ^Ю). Берк и Арриола-Риза [5] показали, что стоимостная функция в работе [4] является ошибочной в двух предположениях, и предложили новую исправленную функцию. Но решение для полученной ими модели не может быть представлено в аналитической форме, поэтому Снайдер в своей работе [6] вводит аппроксимацию ожидаемой длины цикла, исследует ее и находит решение в аналитической форме.
Парлар и Перри [7] расширяют модель EOQD, ослабляя предположение ZЮ, принимая за переменную решения время между попытками заказа (предполагая ненулевую стоимость для опреде-
ления состояния поставщика), и рассматривая как случайные, так и детерминированные выходы. (Предположение 210 было также рассмотрено Белецки и Кумаром [8]. Они обнаружили, что при определенных допущениях в модели политика 210 может быть оптимальной даже в условиях сбоев в поставках, что противоречит общему мнению о том, что при наличии какой-либо неопределенности оптимально формировать некоторый страховой запас.) Уже в следующей своей работе [9] Парлар и Перри рассматривают модель БООй с одним, двумя или несколькими поставщиками и ненулевыми точками повторного заказа. Они доказывают, что задача сводится к классической модели БОО, если количество поставщиков велико.
С учетом сложностей, внесенными перебоями в поставках, лишь в нескольких работах также рассматривается стохастический спрос. Гупта [10] формулирует модель типа (О, р со спросом Пуассона и экспоненциальными влажными и сухими периодами. Парлар [11] изучает аналогичную, но более общую модель, чем Гупта, например, учитывая случайное время выполнения заказа, но при этом пользуется приближенной функцей затрат. Мохебби [12, 13] расширяет модель Гупта для рассмотрения составного спроса Пуассона при случайном времени выполнения заказа; он получает выражения для распределения уровня запасов и ожидаемой стоимости, значения которых должны быть численно оценены, за исключением особого случая, когда объемы спроса экспоненциально распределены.
Томлин [14] исследует ряд стратегий для преодоления сбоев в поставках; он определяет параметры, при которых каждая стратегия является оптимальной. Снайдер и Томлин [15] рассматривают систему "угроза-рекомендация", в которой риск нарушения является нестационарным, и фирма имеет некоторое представление о текущем уровне угрозы; они изучают преимущества такой системы и влияние, которое она оказывает на оптимальную стратегию управления нарушением.
В работе [16] решается проблема сбоев в поставке топлива для авиарейсов. Предложена модель распределения страхового запаса топлива при возникновении сбоя. Автор статьи [17] построил и определил параметры логистической системы управления запасами покупного изделия. Также в работе была рассчитана возможность самостоятельного возращения системы в нормальное состояние в случае наличия одного сбоя в поставках. В исследовании [18] на примере промышленного предприятия предложена модель управления запасами предприятия для обеспечения непрерывности процесса производства для предотвращения сбоев из-за нехватки сырья и материалов.
В целом, можно констатировать, что проблема нахождения оптимального размера заказа в цепи поставок с нарушением мощности в условиях конкуренции мало изучена на данный момент, что, несомненно, повышает ценность исследования, описанного в данной статье.
3. Модель оптимального размера заказа при срывах поставок для случая ценовой конкуренции.
3.1. Постановка задачи и описание модели Предполагается, что на рынке есть N фирм-продавцов (ритейлеров), которые реализуют продукцию, оптимизируя свои системы управления запасами, и 1 поставщик. Поставщик функционирует устойчиво в течение определенного периода времени, а затем происходит сбой на некоторый срок. Периоды сбоя поставок принято обозначать как "сухие", а периоды нормального функционирования, как "влажные". Если поставщик находится в сухом периоде, то продавец не может получить от поставщика продукты, а появившийся во время сухого периода спрос, теряется с издержками за единицу объема потерянных продаж. Продолжительности "влажного" и "сухого" периодов поставщика распределены экспоненциально с параметрами Я и ц. соответственно. При этом заказы размещаются в тот момент, когда уровень запасов достигает 0, и размещенный заказ исполняются немедленно. Ритейлеры принимают решения относительно размера заказа О,. Пусть задана некоторая непрерывно дифференцируемая функция спроса для каждого ритейлера £>г = ^¿(р;,р_0, где р^ - цена розничного продавца ¿, - вектор цен остальных ритейлеров, цены всех продавцов изначально заданы. Спрос является детерминированным и равномерным в течение рассматриваемого периода (например, одного года).
У каждого ритейлера есть фиксированная стоимость заказа К^ и стоимость хранения к за единицу запаса в год.
Функции прибыли каждого ритейлера I = 1,2, равна П (Р1, Р-;) = А (р1, р_г)рг - (Яг (рг, р_г), д) (3.1) где ¿¿(^¿(р;, р_г),&) - функция логистических затрат по удовлетворению спроса й1(р1,р_1).
Так же как в модели БООй Берка и Арриола-Ризы [5] представим ожидаемое значение функции годовых логистических затрат ритейлера , в виде
£г(0г(рг,р-г))
Кс +
2А(Р;,Р-0
+
Qí
где
^¿(Р1,Р-1)
РоЮ =
+
я + ^
Ро№
(1
(3.2)
X X О го А С.
X
го т
о
) (3.3)
ю 6
м о
да
о
2
<в О!
О Ш
В
X
3
<
В О
X X
вероятность того, что поставщик находится в сухом периоде, когда уровень запасов розничного продавца достигает 0.
Подставив выражение (3.2) в (3.1) с учетом (3.3), получим ожидаемое значение прибыли ри-тейлера I в виде
П;(Р;,Р-;) = П(р;, р_£, =
= ^£(Р£-Р-ОРГ
Кс +
2А(Р;-Р-0
+
/¿А(РмР-Л0Ш
Qí
+
Шд
А(Р;,Р-0 ' V
= АОмР-ОР;
^íQí
цК^ (Р1, р_г) + V+ по! (рг, Р-др0 ш --2- (3 4)
На рисунке 3.1. представлены кривые запасов для трех различных ритейлеров с различными размерами заказа. Как видно из рисунка, уровни доступного количества товаров у ритейлеров во время наступления "сухого" периода из-за разных размеров заказа могут быть различны.
Тот факт, что у ритейлеров один и тот же поставщик, позволяет аппроксимировать вероятность Ро^О так же, как и в модели Снайдера [6]. В этом случае функция ожидаемой прибыли (3.4) примет вид
Пг(рг.р-г.&) =
= 01(р1,р_др1
цк^ (рьр_д + ^-^г- + По! (Р1, р-др
(3.5)
где
Р =
Я + (М
г,0<г <1
<2,
О, № 20, Ю
О,
О,
(}г/о 2(3,/О 50./О
0,^0 го, ю
зо,Ю
Зададим множество возможных размеров заказа ритейлера I =
П = I Qi 6 к- Ьг] с [0, ю)}. Пусть аг << Ьг для всех /'=1,..., М.
Тогда, получим, что каждый продавец / при оптимизации логистических затрат при срывах в поставках выбирает значение переменной Qi, решая задачу максимизации ожидаемой прибыли (3.5) .
Критерием максимизации является
Ql
Теорема 3.1. Функция ожидаемой прибыли (3.5) каждой фирмы / = при любом фикси-
рованном наборе цен (Р^Р-О является непрерывно дифференцируемой и вогнутой по Qi на множестве [0,ю).
Доказательство. Для каждого / непрерывная дифференцируемость функции (3.5) по Qi очевидна.
Для вогнутости достаточно, чтобы ее вторая производная функции ожидаемой прибыли по Qi была меньше 0. Вычислим ее первую производную по Qi
дQi
№
тг^яипг лп (РКьО&РиР-д +P^hlDl(pl,p.l)Ql-,{+^lPDl(p,p_l)2)
А затем и вторую
дПКр^^О = дQ!
< 0
Из последнего неравенства следует, что функция (3.5) вогнута. □
Так как функция ожидаемой прибыли (3.5) вогнута, то стационарная точка если она существует, будет ее максимизировать. Для ее определения необходимо производную по Qi приравнять к нулю
+ рцк101(р1,р_1)д1 - ^(хК^р^р.д + +/г0А(Рг.Р-г)2)
(№1+р01(р1,р_1)У
= 0
или
м2
^ Q2 + pцhiDi(pi,p_i)Qi = 0
Выбирая положительное значение из двух возможных решений данного уравнения, получаем оптимальные размеры заказов
Рис. 1. Кривые запасов трех разных ритейлеров
Функция ожидаемой прибыли (3.5) ритейлера / зависит от цен всех фирм (р£, р_£) и от переменной Qi, управляемой им.
Q'i =
р_0) +
ШР. Р-г)+у V+/"¿£A(p¿,P-¿)2/
(3.7)
4. Пример модели оптимального размера заказа при срывах поставок для случая ценовой конкуренции при линейной функции спроса.
Предположим, что функции спроса А^Р-г) у всех игроков (фирм) имеют одинаковый характер зависимости от внешних стратегий. Введем функции спроса для фирмы ¡, /=1,...Д следующего вида:
А(рг, Р-г) = «г - «гРг + ^ РцР], (4.1)
где аI и Рц - некоторые положительные числа, Ъ > > 0 V; Ф и I = 1,..., N.
Для данного примера перепишем формулу для определения оптимального размера заказа
(0Лг(Дг-агРг+£7-*г0уР7-))2 + /^(fy - «¿р; + Zj^fcjPj) +N
h^
Phi(Ri - «¿p; + h^
(4.2)
Решение задачи. Случай двух игроков
На рынке действуют 2 фирмы и заданы конкретные значения для всех параметров задачи: К1 = 1000, Йх = 100, Я1 = 900, а1 = 5, = 2, рх = 120, р2 = 110, К2 = 800, Й2 = 80, Я2 = 800, а2 = 4, = 2, Д = 200, /2 = 150, Я = 6,^ = 40.
Найдем оптимальные значения размеров заказа каждой фирмы по формуле (3.7) Q2 и @2:
= 116.32 и С2* = 126.12. Теперь вычислим оптимальные размеры заказа Q01 и Q02 из выражения (3.4), используя численные методы: Q01 = 116.32 и Q02 = 126.11.
Решение задачи. Случай трех игроков
Добавим в условия задачи выше еще одну фирму. Значения параметров задачи: Кг = 1000, Й1 = 100, Я1 = 900, а1 = 5, 012 = 2, = 2, р1 = 120, Д = 200, К2 = 800, Й2 = 80, Я2 = 800, а2 = 4, £21 = 2, р23 = 2, р2 = 110, /2 = 150, К3 = 850, Й3 = 60, Д3 = 700, а3 = 5, = 2, р32 =
2, р3 = 120, Я = 6, ^ = 40.
Проведем для данного случая вычисления аналогичные случаю выше и получим следующие результаты: Q2 = 140.53, = 149.26, ^з = 169.25 и = 140.51, Q02 = 149.23, С0з = 169.25.
Вывод
Как видим, размеры заказов, вычисленные по двум разным выражениям (3.4) и (3.7) в обоих случаях, совпадают с точностью до первого знака после запятой. На практике, в основном, размер заказа является целой величиной, а из этого следует, что оптимальные размеры заказов фирм в условиях ценовой конкуренции могут быть вычислены по формуле (3.7).
5. Заключение
В статье предложена модель оптимального размера заказа при ценовой конкуренции ритей-
леров в цепи поставок в условиях потери мощности поставок провайдера. Найдены аналитические представления оптимальных размеров заказа продукции для модели экономичного размера заказа в условиях неопределенности при использовании аппроксимации ожидаемых затрат. Приведены примеры расчёта оптимальных размеров заказа для случая линейной функции спроса и продемонстрирована возможность использования для расчета оптимальных размеров заказа аппроксимации ожидаемых затрат.
Литература
1. Burrows, P. The vise trapping PC makers; caught between rising chip prices and stingy consumers. // Business Week, 1999. Vol. 3652, No 40.
2. Leonard, D. The only lifeline was the Wal-Mart. // Fortune, 2005. Vol. 152, No 7. P. 74-80.
3. Snyder, L. V., Z. Atan, P. Peng, Y. Rong, A. Schmitt, and B. Sinsoysal. OR/MS models for supply chain disruptions: A review // IIE Transactions, 2016. Vol. 48, No 2. P. 89-109.
4. Parlar M., Berkin D. Future supply uncertainty in EOQ models // Naval Res. Logist., 1991. Vol. 38, No 1. P. 107-121.
5. Berk E., Arreola-Risa A. Note on "Future supply uncertainty in EOQ models" // Naval Res. Logist, 1994. Vol. 41, No.1. P.129-132.
6. Snyder L.V., 2014. A tight approximation for an EOQ model with supply disruptions // Int. J. Production Economics., 2014. Vol. 155, P. 91-108.
7. Parlar M., Perry D. Analysis of a (Q, r, T) inventory policy with deterministic and random yields when future supply is uncertain // Eur. J. Oper. Res., 1995. Vol. 84, No 2. P. 431-443.
8. Bielecki T., Kumar P.R. Optimality of zero-inventory policies for unreliable manufacturing systems. // Oper. Res., 1988. Vol. 36, No. 4. P. 532541.
9. Parlar M., Perry D. Inventory models of future supply uncertainty with single and multiple suppliers // Naval Res. Logist., 1996. Vol. 43, No 2. P. 191210.
10.Gupta, D. The (Q, r) inventory system with an unreliable supplier. // INFOR: Information Systems and Operational Research, 1996. Vol. 34, No 2. P. 59-76.
11.Parlar M. Continuous-review inventory problem with random supply interruptions // Eur. J. Oper. Res., 1997. Vol. 99, No. 2. P. 366-385
12.Mohebbi E. Supply interruptions in a lost-sales inventory system with random lead time // Comput. Oper. Res., 2003. Vol. 30, No 3. P. 411-426.
13.Mohebbi E. A replenishment model for the supply-uncertainty problem // Int. J. Prod. Econ., 2004. Vol. 87, No 1. P. 25-37.
14.Tomlin B.T. On the value of mitigation and contingency strategies for managing supply chain
x
X
о
го А с.
X
го m
о
ю 6
м о
to
disruption risks // Manag. Sci., 2006. Vol. 52, No 5. P.639-657.
15.Snyder L.V., Tomlin B.T. On the Value of a Threat Advisory System for Managing Supply Chain Disruptions. Technical report, Lehigh University, 2006.
16.Петухова Н.А. Разработка и моделирование работы логистической системы управления запасами покупного изделия на этапе технической подготовки производства. // Контенсус, 2016. № 8 (49). С. 88-93.
17.Баранчикова О.И., Вилисов В.Я. Модели поддержки принятия решений при сбоях в аэропорту. // Информационно-технологический вестник, 2016. № 9 (3). С. 12-18.
18.Плохова А.О., Кузнецова Е.В., Павлова И.Ю. Управление запасами производственного предприятия // Аллея науки, 2018. Т. 5, № 9 (25). С. 243-246
About approximation of costs in EOQ inventory management
models with random supply disruptions Valiev A.R., Zakharov V.V.
St. Petersburg State University
In this paper we consider the problem of choosing the optimal size of the retailer's order in the conditions of price competition in case of failures at the supplier. A review of the literature on existing research on supply failures is presented. In the course of the study, a model of the economical size of the order in the conditions of price competition of retailers and loss of supplier capacity was built. The theorem of continuous differentiability and concavity of the function of the expected profit of the retailer is proved. Analytical representations of the optimal order sizes in the conditions of random failure at approximation of expected costs are found. Examples of calculating the optimal order sizes for the cases of two and three retailers with a linear demand function are given and the possibility of using the approximation of the expected costs to calculate the optimal order sizes is shown. Keywords: supply chain, inventory management, supply disruptions, price competition, economic order quantity
References
1. Burrows, P. The vise trapping PC makers; chip prices and stingy consumers. // Business Week, 1999. Vol. 3652, No 40.
2. Leonard, D. The only lifeline was the Wal-Mart. // Fortune, 2005.
Vol. 152, No. 7. P. 74-80.
3. Snyder, L. V., Z. Atan, P. Peng, Y. Rong, A. Schmitt, and B.
Sinsoysal. OR / MS models for supply chain disruptions: A review // IIE Transactions, 2016. Vol. 48, No. 2. P. 89-109.
4. Parlar M., Berkin D. Future supply uncertainty in EOQ models //
Naval Res. Logist., 1991. Vol. 38, No. 1. P. 107-121.
5. Berk E., Arreola-Risa A. Note on "Future supply uncertainty in EOQ
models" // Naval Res. Logist, 1994. Vol. 41, No.1. P.129-132.
6. Snyder L.V., 2014. A tight approximation for an EOQ model with
supply disruptions // Int. J. Production Economics., 2014. Vol. 155, p. 91-108.
7. Parlar M., Perry D. Analysis of a (Q, r, T) inventory policy with
deterministic and random yields when it's not possible // Eur. J. Oper. Res., 1995. Vol. 84, No. 2. P. 431-443.
8. Bielecki T., Kumar P.R. Optimality of zero-inventory policies for
unreliable manufacturing systems. // Oper. Res., 1988. Vol. 36, No. 4. P. 532-541.
9. Parlar M., Perry D. Inventory models of supply with single and
multiple suppliers // Naval Res. Logist., 1996. Vol. 43, No. 2. P. 191-210.
10. Gupta, D. The (Q, r) inventory system with an unreliable supplier. // INFOR: Information Systems and Operational Research, 1996. Vol. 34, No. 2. P. 59-76.
11. Parlar M. Continuous-review inventory supply with interruptions // Eur. J. Oper. Res., 1997. Vol. 99, No. 2. P. 366-385
12. Mohebbi E. Supply lead time system with random lead time // Comput. Oper. Res., 2003. Vol. 30, No. 3. P. 411-426.
13. Mohebbi E. A replenishment model for the supply-uncertainty problem // Int. J. Prod. Econ., 2004. Vol. 87, No. 1. P. 25-37.
14. Tomlin B.T. Supply Chain Disruption Risks // Manag. Sci., 2006. Vol. 52, No 5. P. 639-657.
15. Snyder L.V., Tomlin B.T. System for Managing Supply Chain Disruptions. Technical report, Lehigh University, 2006.
16. Petukhova N.A. Development and modeling of the work of a logistic inventory management system of a purchased product at the stage of technical preparation for production. // Consensus, 2016. № 8 (49). Pp. 88-93.
17. Baranchikova O.I., Vilisov V.Ya. Decision support models for airport failures. // Information technology bulletin, 2016. № 9 (3). P. 12-18.
18. Plokhova A.O., Kuznetsova E.V., Pavlova I.Yu. Inventory management of an industrial enterprise // Alley of Science, 2018. Vol. 5, No. 9 (25). Pp. 243-246
a>
о
СЧ
to
Ol
О Ш
m
X
<
m о x
X
