CC BY
10
М. И. Журавлёва, Г. А. Батищева, М. В. Кузнецов, Е. А. Трофименко
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПОДХОД, АНАЛИЗ И УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ «ПОСРЕДНИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ»
Аннотация
В статье проводится бифуркационный анализ математической модели динамической системы «Посредническая деятельность». Данная модель позволяет прогнозировать развитие процесса для любого наперёд заданного начального состояния системы, а также управлять параметрами системы для проектирования наперёд заданного динамического равновесия.
Ключевые слова
Денежный и товарный потоки, автономная система, состояние равновесия, фазовый портрет, пространство параметров, асимптотическая устойчивость, агрегированная переменная.
M. I. Zhuravlyova, G. A. Batishcheva, M. V. Kuznetsov, E. A. Trofimenko
ECONOMIC APPROACH, ANALYSIS AND CONTROL OF DYNAMIC SYSTEM «INTERMEDIARY ACTIVITY»
Annotation
In article the bifurcation analysis of mathematical model of dynamic system «Intermediary activity» is carried out. This model allows you to predict the development of process for any predetermined initial state of system, as well as to control the parameters of system to design a predetermined dynamic equilibrium.
Keywords
Cash and commodity flows, Autonomous system, equilibrium state, phase portrait, parameter space, asymptotic stability, aggregated variable.
Введение
Наличие математической модели взаимосвязанных экономических процессов позволяет привлечь для их анализа и синтеза управления этой взаимосвязью методы современной нелинейной динамики и теории управления [1, 2]. В рамках теории динамических систем полный анализ системы — это её бифуркационный анализ [3]. Результаты анализа естественным образом подводят к задаче управления этой взаимосвязью. Одним из современных методов управления динамической системой является метод синергетического управления,
разработанный А. А. Колесниковым [4]. В статье [5] рассмотрены бифуркационный анализ и синергетическое управление системой «Валовой продукт - трудовой ресурс». В настоящей статье тот же математический аппарат применен к системе «Посредническая деятельность» [6]. Отметим, что некоторые динамические системы психологии реализуются этой же математической моделью [7].
Математическая модель экономической системы «Посредническая деятельность» задается автономной системой дифференциальных уравнений
х( — ах
(1)
а2ху + а3ху
у',— ь - ь2 ху
х(^ — количество денег, находящееся в распоряжении индивида; у(0 — количество товара типа У, обращающееся на рынке; аг — доход предпринимателя, не связанный с реализацией товара типа У; а3ху — доход, который имеет предприниматель, покупая товар типа У на рынке и организуя снабженческую сеть для его перепродажи;
а2ху, Ъ2ху — конкурентные и обменные члены показывают, сколько денег и товара типа У убывает с рынка в результате купли-продажи; Ъ1 — величина постоянного притока товара У на рынок в единицу времени.
Все параметры а¿, Ъу предполагаются постоянными и положительными. Данная система не имеет решения в явном виде, однако для специалиста важны ответы на вопросы: как с течением времени будут изменяться величины — количество денег и у(1) — количество товара типа у, если известны их значения в произвольно фиксированный момент
времени; как можно управлять потоком товара у(1), регулируя величину наличных денег х($ у предпринимателя, и наоборот.
Полный бифуркационный анализ системы
равновесия равно
5 —
Состояние
Г аъЪ1
а2Ъх - ахЪ2
Л
а3Ъх
если
А(аЪ -аАУ
а2Ъ - ахЪ2 ^ 0. При этом условии оно не является ни нейтральным, ни кратным.
1) Если а2Ъх — а А — 0, то конечное состояние равновесия системы отсутствует, и все начинающиеся в первой четверти траектории выходят за ее пределы. Исследование характера состояния равновесия с помощью теоремы Ляпунова дает такой результат. Обозначим:
а —
а2Ъх - ахЪ2
5 —
ч Ъ2 а
,а
аЪ
2) Если а2Ъг - агЪ2 < 0, то 5 находится в третьей четверти фазовой плоскости и является седлом. Численный эксперимент показывает (рис. 1), что все траектории первой четверти уходят на (+ю,0).
Рисунок 1 - Фазовый портрет системы (1) в первой четверти в случае a2b1-a1b2<0í
* Построен в пакете МайаЬ.
3) Если а2Ъх - ахЪ2 > 0, то £ находится в первой четверти фазовой плоскости и возможны 2 варианта:
/ л2
аЪа а Ъ
а) если
V Ъ1
£ — устойчивый узел,
- 4аЪа - 0, то
б) если
/" т . V Ъх а ]
— 4 аЪа < 0,
то $ — устойчивый фокус.
Структура фазового портрета в первой четверти показана на рисунке 2.
Рисунок 2 — Фазовый портрет системы (1) в первой четверти в случае a2b1-a1b2>0*
* Построен в пакете МайаЬ.
Для получения полного фазового портрета необходимо исследовать состояния равновесия на бесконечности. Для исследования в окрестности точек (0,±го) сделаем замену переменных в
системе (1): х = 1 у = у. Имеем:
и и
\и[ = и {—аги3 + а2их — ау1) (2)
I у' = Ъи3 — Ъ2их — ахиъх + а2т2 — ауъ
Согласно [8] траектории, которые входят в состояние равновесия ^ = (0,0), должны лежать на координатных осях. Подстановкой убеждаемся, что они лежат на оси и = 0, которая делит фазовую плоскость на правую полуплоскость с двумя седловыми секторами (рис. 3) и левую полуплоскость с двумя устойчивыми узловыми секторами (рис. 4).
Рисунок 3 — Фазовый портрет системы (2) в правой полуплоскости*
* Построен в пакете МаПаЬ.
На этих рисунках изображен фазовый портрет системы (2) с параметрами а = а3 = Ъ2 = а2 = 1, Ъ = 2 (случай узла) в окрестности состояния равновесия ^ = (0,0). Заметим, что фазовый порт-
Рисунок 4 — Фазовый портрет системы (2) в левой полуплоскости*
* Построен в пакете МаПаЬ.
рет системы (2) с параметрами а = а = Ъг = 1, а = Ъ = 2 (случай узла) в окрестности состояния равновесия ^ = (0,0) имеет подобный вид (рис. 5).
Рисунок 5 — Фазовый портрет системы (2) в случае фокуса*
* Построен в пакете МайаЬ.
Исследуем поведение траекторий на бесконечности в окрестности точек (0,±ю). Сделаем замену переменных в и 1
системе (1): х — —, у — _. Имеем:
V V
| — — ау3 - а—у + а— - Ъ—у3 + Ъ— 2у ^ I у' — -Ъу4 + Ъ—у2
Теоретический анализ показывает [5], что состояние равновесия 52 — (0,0) является седло-узлом. При этом траектории лежат на оси у — 0, которая делит фазовую плоскость на верхнюю полуплоскость с двумя седловыми секторами (рис. 6) и нижнюю полуплоскость с неустойчивым узлом (рис. 7).
Рисунок 6 — Фазовый портрет системы Рисунок 7 — Фазовый портрет системы
(3) в верхней полуплоскости*
* Построен в пакете МаПаЬ.
(3) в нижней полуплоскости*
* Построен в пакете МаПаЬ.
На этих рисунках изображен фазовый портрет системы (3) с параметрами а — а3 — Ъ2 — а2 — _, Ъ — 2 в окрестности состояния равновесия 5 — (0,0).
Таким образом, на бесконечности имеем 4 состояния равновесия. На рисунках 8-9 приведены соответственно схемы фазовых портретов в случае узла и в случае фокуса.
Рисунок 8 — Схема фазового портрета системы (1) в случае узла*
* Построен в пакете МайаЬ.
Рисунок 9 — Схема фазового портрета системы (1) в случае фокуса*
* Построен в пакете МайаЬ.
Вывод. Таким образом, в обоих случаях фазовая плоскость разбивается на три ячейки траекториями, соединяющими точку (0, -<») с точками (—<,0) и (0, +<) соответственно.
Синергетическое управление системой. Применим метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов [4] для ответа на 2 вопроса:
1) как можно управлять размером наличных денег х(1) у предпринимателя, регулируя поток товара у(Х)?
2) как можно управлять потоком товара у($ для регулирования величины наличных денег х(1) у предпринимателя?
Управление ищется в виде аддитивного слагаемого скорости изменения соответствующей величины и является функцией текущего состояния системы. Цель — перевести произвольное начальное состояние системы в наперёд заданное состояние (х0,у0).
X = а! - а2х( 0у(0 + аЗх( Оу2( 0 + О У = Й! - й 2х( 0у(О
Будем искать функцию (называемую агрегированной переменной) ( ), задающую притягивающее инвариантное многообразие ( ) управляемой динамической системы (УДС), вдоль которого траектории этой системы будут стягиваться к (х 0 , у0 ). Согласно [4] состояние равновесия является решением функциональной системы:
( /О, у) = о
{ й 1 - й 2 ху = о ,
а значит лежит на гиперболе у = —. Ее
1 Ь2х
график в первой четверти подсказывает такой выбор агрегированной переменной / 1 = х — а с параметром а>0. Решение системы имеет вид:
г х0 = а
{ й
Уо =
'1 , а > 0.
й2а
Проверим условие асимптотической устойчивости [9]:
Угу г, /2у ^Л*
= -й2х0 < 0.
( Ж о .У о )
То есть у0) устойчиво. Так как для любой траектории / 1(х( 0,у( 0) = ( ) ( ) По-
кажем, что
■ч У(0 = Уо = тгт.
Оой
Из свойства агрегированной переменной ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) = — Г(х — а).
Отсюда УДС имеет вид: Гх£ = — Г(х — а)
Ы = Й1 — й 2 ху,
а управление ( ) ( ) ( )
а з х( Оу 2( 0 — Пх( 0— а).
Подставляя решение первого уравнения ( ) во второе,
получаем линейное неоднородное уравнение первого порядка ( ) . Его общее решение имеет вид
У( 0 = ( й 1 /о ехР {й 2 (ат — тртг + £)} (¿т + Со) * (ехр * й 2 (ат — + £)})"1. Применяя правило Лопиталя, находим предел:
Нту( 0 = Нт——--——
2 - t - тъ 2(а + С е- Т)
Ъ2а
Таким образом, любое решение УДС стягивается к состоянию равновесия. То есть состояние равновесия устойчиво в целом. Выводы
1) при фиксированных параметрах выбранная агрегированная пере-
а,, bj
менная позволяет синтезировать управление размером наличных денег х(£) у предпринимателя по достижению только состояний с координатами ( а,-^), а>0,
лежащих на ветви гиперболы у = —;
1 Ь2х
2) если мы хотим синтезировать систему управления по достижению произвольного наперед заданного со-
стояния (х0, у00), х0, у0>0, то нужно менять параметры товара Ъ1, Ъ2. Должно быть: ^ = у0.
2 \х[ = аа2 х(Оу(0 + а3 х(Ь)у2(О ' { у'ь = Ъ±- Ъ2х(1)у(1) + и(1) •
Будем искать функцию агрегированную переменную гр2(х,у), задающую притягивающее инвариантное многообразие гр2 (х , у) = О УДС, вдоль траектории этой системы будут стягиваться к (х0, уо). Состояние равновесия является решением функциональной системы: Гах — а2ху + а3ху2 = О { гр2(х,у) = О , а значит лежит на кубической кривой:
х = (рис. 10).
а2 \а2-а3у у)
Рисунок 10 — График кубической кривой*
* Построен в пакете МаПаЪ.
Из графика следует, что состояние равновесия лежит на ветви кривой, расположенной в полосе О < у <—. Это
а3
подсказывает такой выбор агрегированной переменной с параметром а е (О ,—). Решение системы имеет вид:
а3
\Ха — 1
а2а — а3аА Уо = а
и лежит в первой четверти при а е (О ,—).
а3
Проверим условие асимптотиче-
ской устойчивости [9].
1Г2у
(х„,Уо )
- а 2 уо + а з у1 = -у оа 3 (а--а)< О.
\а3 /
Так как для любой траектории гр 2(х( г),у( 0) = у( г) - а-* О — со , то Игт-а у (г) = а.
Покажем, что
Нт,. х(г) = х0= ———-
г->оо ч ' и а2а-а3а2
Из гр2(х(0,у($) = -Тгр2^х(0) следует ( ). Отсюда УДС имеет ктятт- \х'2 = а 1- а2Х(г)у{г) + азх(г)у2(г)
вид: { у' = -Т(у-а) ,
а управление: и(г) ■= -Ъ1 + Ъ2х(г)у(г) - Т(у(€) - а)).
Подставляем решение второго уравнения ( ) в первое и
получаем линейное неоднородное уравнение первого порядка:
X2 + (а2уо(О - азу2(0)х = а 1.
Его общее решение имеет вид:
_ а!^ехр{¡1{а2у0(у)~а3у1(у))С1 ехР{/0 а2УоЫ-азу2(т))с1т}
Применяя правило Лопиталя, находим предел:
И гт _ о х( О = И гт _ о-—5— = —~—г.
"2УоСО-азУ5(Ч а 2а—а За 2
Таким образом, любое решение УДС стягивается к состоянию равновесия. То есть оно устойчиво в целом.
Выводы
1) при фиксированных параметрах а , Ъ ■ выбранная агрегированная переменная позволяет синтезировать управление по достижению только состояний с координатами:
«i
-,а), а 6 ( 0
а2а—а3а^ а3
2) если мы хотим синтезировать систему по достижению произвольного наперед заданного состояния (х0, у0), x0, У0 > 0, то нужно менять параметры предпринимателя a1,a2,a3. Должно выполняться равенство: у0 = ———2.
а2х0-а3х0
Библиографический список
1. Пу, Т. Нелинейная экономическая динамика. — Ижевск, 2000.
2. Мясников, А. А. Синергетиче-ские эффекты в современной экономике. — М. : ЛИБРОКОМ, 2013.
3. Баутин, Н. Н., Леонтович, Е. А. Методы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М. : Наука, 1990.
4. Колесников, А. А. Синергетиче-ские методы управления сложными системами. Теория системного анализа. — М., 2006.
5. Журавлёва, М. И. Братищев, А. В. Бифуркационный анализ и синергетиче-ское управление системой «валовой продукт — трудовой ресурс» // Вестник Ростовского государсвтенного экономического университета (РИНХ). — 2015. — № 4 (48). — С. 150-154.
6. Милованов, В. П. Синергетика и самоорганизация. Экономика. Биофизика. — М., 2005.
7. Милованов, В. П. Синергетика и самоорганизация. Общая и социальная психология. — М., 2005.
8. Лефшец, С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. — М., 1961.
9. Братищев, А. В. Математическая теория управляемых динамических систем. Введение в понятия и методы. — Ростов н/Д, 2015.
10. Галазова, С. С. Роль государства в развитии базовых отраслей экономики // Управленческий учет в глобальном экономическом пространстве: межстрановый диалог : сб. междунар. науч.-практ. конф. — 2016. — С. 241-245.
Bibliographic list
1. Poo, T. Nonlinear economic dynamics. — Izhevsk, 2000.
2. Synergetic effects in modern economy. — M. : LIBROKOM, 2013.
3. Bautin, N. N., Leontovich, E. A. Methods of qualitative research of dynamical systems on plane. — M. : Science, 1990.
4. Kolesnikov, A. A. Synergetic methods of management of complex systems. Theory of system analysis. — M., 2006.
5. Zhuravlyova, M. I., Bratishchev, A. V. Bifurcation analysis and sinergeticetion and management of «gross product — labour resource» // Vestnik of Rostov State University of Economics (RINH). — 2015. — № 4 (48). — P. 150-154.
6. Milovanov, V. P. Synergy and self-organization. Economy. — M., 2005.
7. Milovanov, V. P. Synergy and self-organization. General and social psychology. — M., 2005.
8. Lefshets, S. Geometric theory of differential equations. — M., 1961.
9. Bratischev, A. V. Mathematical theory of controlled dynamical systems. Introduction to concepts and methods. — Rostov-on-Don, 2015.
10. Galazova, S. S. Role of state in development of basic branches of economy // Management accounting in global economic space: inter-country dialogue : articles of international scientific-pract. conf. — 2016. — P. 241-245.
