CC BY
47
ФОРМАЛИЗОВАННАЯ МОДЕЛЬ ЦЕЛЕПОЛАГАНИЯ С УЧЕТОМ ТРЕБОВАНИЙ ЗАИНТЕРЕСОВАНЫХ СТОРОН ДЛЯ ПОДДЕРЖКИ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ОРГАНИЗАЦИИ FORMALIZED MODEL OF GOAL-SETTING IN ACCORDANCE WITH STAKEHOLDERS’ REQUIREMENTS FOR THE DECISION-MAKING PROCESS SUPPORT IN THE ORGANIZATION
Милова Наталия Вячеславовна—аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения;
e-mail: [email protected]
Аннотация: В статье рассмотрена математическая модель целеполагания по произвольным показателям организации с учетом мнения заинтересованных сторон. Исследование системы автономных обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, учитывающей временные зависимости показателей организации и требования заинтересованных сторон, сводится к поиску их устойчивых равновесных значений. Рассмотрены две конкретные реализации такой модели и рассчитаны целевые значения показателей при заданных согласованных значениях параметров уравнения и приближенные оценки времен их достижения. Приведен алгоритм определения параметров автономной системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений по заданным целевым значениям показателя, требованиям заинтересованных сторон и времени, в течение которого достигается устойчивое равновесие положения, и приведены примеры расчетов по таким алгоритмам.
Ключевые слова: целеполагание, устойчивость, сложные системы,
устойчивое развитие.
Abstract In the article there is considered a goal-setting mathematical model on
chosen organizational indicators taking into account the stakeholders’ opinions.
The study of autonomous systems of nonlinear ordinary differential equations,
1
which takes into account the time dependence of the organization's performance and stakeholder requirements, reduced to the search of their stable equilibrium values. There are two specific implementations of such a model considered and there are calculated values of the target agreed at the given values of the parameters of the equation and approximate estimates of the reach them. An algorithm for determining the parameters of an autonomous system of nonlinear ordinary differential equations for the specified target values of the index, the requirements of stakeholders and the time over which the stable equilibrium position , and examples of the settlement of such algorithms.
Keywords: goalsetting , stability, complex systems , sustain able development .
В последние годы все больше организаций планируют свою деятельность, исходя из концепции «Устойчивого развития». Меньше чем за полвека направление «Устойчивого развития», интегрирующее в себя принципы TQM, требования стандартовсерии ISO, завоевало практически мировое признание. В связи с этим формирование новых подходов и способов оценки и планирования деятельности организации и ее составляющих, построенных с применением методов системного анализа и синергетики для эффективного управления, представляется чрезвычайно актуальным.
Методы синергетики для определения равновесных состояний системы
успешно применялись в закрытых системах (физических, химических и т.д.),
затем постепенно находя свое более широкое применение в разных системах
открытого типа (биологических, социально-экономических и т.д.).
Применение этих методов позволяет определить не только приближенные
равновесные устойчивые положения системы с учетом влияния внешней
среды, но и определить приблизительное время их достижения, а так же
выявить области допустимых устойчивых значений для выбранных
локальных показателей системы. В этой связи актуальной становится задача
целеполагания в организации по каждому отдельно взятому показателю
организации с учетом требований заинтересованных сторон (ТЗС), выраженных категориями «качество», «стоимость», «удовлетворенность» и т.д. во времени.
Обозначим через х=х(уД) исследуемый показатель организации, зависящий от ТЗС и времени, а через у=у(хД)—требования заинтересованных сторон. Тогда взаимосвязь х, у, tв общем виде можно записать как систему автономных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:
Исследованию такого рода динамических систем посвящено большое количество работ, среди которых представляют интерес работы как основоположников синергетики (Хакен Г., Пригожин И.Р.), так и последователей этой науки (Арнольд В.И., Милованов В.П., Занг В.)[1-4,9]. Большой материал по исследованию неравновесных социальноэкономических систем приведен в работе [5]. Рассмотрение проблемы целеполагания с учетом ТЗС в более широком контексте управления качеством в организациях телекоммуникационной отрасли приведено в работе авторов [6].
Алгоритм нахождения устойчивых равновесных состояний представляет собой следующие шаги:
1. Определение равновесных состояний системы~;~из условий:
3. Разложение функций /1(х,у) и ^(х,у)в ряд Тейлора в окрестности (~;~) В случае, если /1(х, у)и/или ^(х, у) представляют собой нелинейные функции по х или у, разложение функций в степенной ряд Тейлора [7] в
(1)
(2)
2. Построение фазового портрета
= ■/! (X у) 4у Л(х у)
окрестности
точки
(~)
имеет
вид:
Їі (х у) = Їі (~,гу) +
ї (X, у)
дх
(х - ~) +
дїі (х, у)
ду
(У - У) + члены 2-го и более высоких порядков (3)
Пренебрегая членами 2-го и более высоких порядков, учитывая, что f (~ ) = 0, введем обозначение:
и = х - X
IV = у - у
Приведем систему (1) к линеаризованной:
д/і( х у ) „
(4)
ёи = д/і ( х, у ) Л дх
Ж =дїіЗД)
Л дх
и + -
х, у
и +
ду
дЛ (X, у )
х, у
ду
(5)
х, у
Решением этой системы будет:
и (t) = х (t) - у = Ае + Ве х 12 ,У (2) = у (2) - у = Сех‘2 + Dе^
где А, В, С, D — постоянные, зависящие от начальных условий, а
решения характеристического уравнения для системы (5).
(6)
Л? Л2
4. Решение характеристического уравнения Я2 - стЯ + А = 0
5. Классификация точек равновесия в зависимости от Я1 и Я1
6. Выбор точки устойчивого равновесия (хуст > ууст ) и ограничений, налагаемых на ~ и ~ в зависимости от значений параметров, входящих в систему (1).
Следует сказать, что характер траекторий исследуется на фазовом портрете системы (1)
Лх = и X У) (7) Лу fl(хуУ
А устойчивость решений (6) вблизи точек равновесия зависит от характера Я и Я2. Классификация особых точек приведена на рис. 1.
V
Рисунок 1. Классификация особых точек Подробный анализ поведения системы в этих точках приведен в [8].
Для нас интерес будут представлять устойчивые положения равновесия. Рассмотрим модель (1), в которой х, у)и f2( х, у) даны в явном виде:
dx ,
— = аху - Ьх dt
dУ А 2 7
— = сху - dx - ку
dt
Из условия (2) находим положения равновесия системы:
Ьс (Ьс)2 - 4аёЬк
(8)
х =
2ad
(9)
у =
а
Фазовый портрет системы задается уравнением:
dx аху - Ьх dy сху - dx2 - ку
Линеаризовав систему (8), получаем:
— = (ау - С)и + аXV сИ
— = (су - 2Сх )и + (сх - к)v Л
(10)
(11)
(12)
Учитывая, что (ау - С)=0,согласно (9), а так же условия существования ненулевого решения системы (11)
0 - X ах ~ ~ = 0 су - 2Сх (сх - к) - X
Получено характеристическое уравнение системы
X - оХ + А = 0, о = сх - к
где
А = ах (2а~ - су)
(13)
(14)
ь
из (13) получаем:
Х1,2 =
о
+ Vо2 -4А
Поскольку
ХХ2 = А = ах (2Сх - су)
(16)
то устойчивый узел (рис.1) будем иметь при выполнении следующих
условий:
а~ (2- су) > 0 с~ - к < 0 о 2 > 4 А
(17)
Поясним смысл, входящих в (17) параметров. В зависимости от знака, параметр Ь ик характеризуют рост (Ь<0, к>0) или падение (Ь>0, к<0) со временем соответственно показателя х и ТЗС у. Параметры а и с характеризуют взаимовлияние показателя и ТЗС; параметр С характеризует линейную зависимость ТЗС от времени с учетом нелинейного изменения показателя.
Таким образом, устойчивый узел реализуется в одном из двух случаев (прио2 > 4А).
Или
а > 0 2 > су
с~ < к
а < 0
2 < су
с~ < к
(18)
(19)
При о2 > 4А имеем устойчивый фокус при
сх < к (20)
Для иллюстрации применения предложенного метода целеполагания рассмотрим следующий пример:
Пусть необходимо увеличить количество выпускаемой продукции х от уровня х0=1 до равновесного устойчивого состояния у =10000 за to=5
2
месяцев. При этом ТЗС по стоимости следующие: стоимость с уровня Уо=1000 должна уменьшиться за то же время до уровня 1. Показатель определен в условных единицах.
Значения параметров, удовлетворяющих этим условиям, устойчивому
решению системы (8), а так же условиям (19), будут следующие:
а = 1,84 Ь = 1,84
с = 10 (21)
d = -1 к = 4 * 1010
Зная параметры (21) системы (8) можно с помощью пакета прикладных программ отслеживать реальное продвижение к устойчивой точке равновесия на фазовом портрете (~ ;у) = (10000;1).
С другой стороны, компонуя параметры системы (8) таким образом, чтобы они не противоречили условиям (9), (18), (19), можно ставить другие цели с учетом ТЗС.
Модель (8) не является единственной, которая может описать ту или иную ситуацию. Рассмотрим, например, систему:
Сх ,
— = аху - Ьх Сг
Су А 2 7
— = сху - Сх у - ку
Сг
Фазовый портрет системы (22) определяется из:
Су _ (сх - Сх2 - к) у Сх х(ау - Ь)
После разделения переменных получаем:
(ау - Ь)Су _ (сх - Сх2 - к)Сх
(22)
(23)
(24)
у х
После интегрирования получим уравнения траекторий фазового портрета этой системы:
dx 2
ау - Ь 1п у = сх —-— k 1п х + С
(25)где
С1— постоянная интегрирования, определенная начальными условиями. Взяв в качестве реперных выбранные нами 6 точек (х1, yi), включая (х0, у0) и (~) получим систему 6 уравнений с 6 неизвестными, решая которую можно получить значения параметров системы а, Ь, с, d, к.
Изменение состоит в том, что благодаря члену - dx2у влияние количества выпускаемой продукции на ТЗС будет более сильно выраженным по сравнению с линейным в (8). Аналогично вышеприведенному рассмотрению, получаем следующие точки равновесия:
' Ь
(26)
у =
а
х =
с ± л/с2 - 4ёк
2ё
А исследование условий устойчивости приводит к требованиям:
Ь > 0
с ~ с
— < х <---
ё 2 ё
(27)
Ь < 0
х <
с
х <
(28)
В этом случае, например, для перехода из начального состояния (х0, у0)=
~ ~ 11
(1, 1) к устойчивому условию (~) = (- ;-) (уменьшение как показателя, так
и ТЗС), подойдут параметры:
а = 0,3 Ь = 0,1 с = 0,8 ё = 1,2 к = 0,1
(29)
Отметим следующую особенность рассмотренных нами систем: так как в
реальной ситуации параметры а, Ь, с, d, кмогут меняться под влиянием
8
различных внешних воздействий, то будут меняться так же А и а в (14), и если рассмотреть бифуркационную диаграмму [8] (рис. 2), то можно увидеть, что при переходе через границы областей 1-У характер фазового портрета качественно меняется—устойчивые состояния могут сменяться неустойчивыми и наоборот. Анализ таких бифуркационных переходов является сложной проблемой и выходит за рамки настоящей статьи.
Неустойчивый узел ^ |=0
Рисунок 2 Бифуркационная диаграмма для системы линейных уравнений
Обобщая полученные результаты, можно сделать следующие выводы: для анализа конкретных значений показателя для целеполагания с учетом ТЗС необходимо иметь возможность оценить значения параметрова, Ь, с, d, кв (8) или (22).
Сравнение с реальной динамикой изменения этих показателей на практике и для каждого типа показателя и ТЗС позволит скорректировать значения этих параметров, а так же вносить в случае необходимости, изменения в предполагаемую модель.
Необходимо так же отметить, что поскольку ТЗС могут носить качественный характер (например, ТЗС к качеству услуги), модель можно применять и в этом случае, заменяя четкое значение у(х,1) на дефазифицированное значение:
| у(х,г)ц(у,г)dy
~ (г) = ^ , (30)
| ц (у, г) dy
0
качественной переменной с функцией принадлежности /л( у, г) [10]
Таким образом, в статье предложена формализованная модель
целеполагания по произвольному показателю организации с учетом ТЗС,
позволяющая ЛПР учитывать как интересы организации, так и интересы
заинтересованных сторон.
Список литературы:
1. Хакен Г. «Синергетика», М., Мир, 1980 — 404 с.
2. Николис Г., Пригожин И.Р. «Познание сложного», М., Мир, 1990 - 342 с.;
3. Занг В.-Б. «Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории», М., Мир, 1999 — 335 с.
4. Коршунов Г.И.,Милова Н.В.Задачи оценки эффективности инновационных компаний малого и среднего бизнеса (Статья). Сборник научных трудов Международной научно - практической конференции. -СПб.: Изд.СПб университета управления и экономики, 2012.- с. 52-55.
5. Милованов В.П. Неравновесные социально-экономические системы: синергетика и самоорганизация. — М. Эдиториал УРСС, 2001 — 264 с
6. Коршунов Г.И., Милова В.М., Милова Н.В. «Модели и методы поддержки управленческих решений в организациях телекоммуникационнойотрасли».Статья. в печати
7. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. «Дифференциальные уравнения: примеры и задачи». М. Высшая школа, 1989, 384 с.
8. Г.Ю.Ризниченко. Лекции по математическим моделям в биологии
9. В.И.Арнольд . Теория катастроф М., Наука, 1990
10.Милова В.М., Семенова Е.Г., Добряков А.А. Особенности применения теории нечетких множеств в задачах управления сложными системами. Статья. Вопросы радиоэлектроники Серия общетехническая. Выпуск 2, ОАО «ЦНИИ» Электроника», 2010. -С. 172 - 179.
