Эффективный коэффициент теплопроводности нанокомпозита при наличии промежуточного слоя между фуллеренами и матрицей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.2

Эффективный коэффициент теплопроводности нанокомпозита при наличии промежуточного слоя между фуллеренами и матрицей

© Г.Н. Кувыркин

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Построена математическая модель переноса тепловой энергии в композите, модифицированном фуллеренами. Получены оценки эффективного коэффициента теплопроводности такого композита при наличии промежуточного слоя между фуллеренами и матрицей, в том числе с использованием двойственной вариационной формы математической модели процесса стационарной теплопроводности в неоднородном твердом теле. Получено ограничение на интервал изменения объемной концентрации фуллеренов, в пределах которого представленные оценки сохраняют смысл.

Ключевые слова: композит, эффективный коэффициент теплопроводности, фуллерен, матрица, промежуточный слой.

Введение. В развитие математической модели переноса тепловой энергии в нанокомпозите, модифицированном фуллеренами [1], учтена возможность возникновения промежуточного слоя, отделяющего фуллерен от матрицы и имеющего коэффициент теплопроводности 1*, отличающийся от коэффициента теплопроводности 1м материала матрицы. Наличие промежуточного слоя может быть связано, например, с возможным химическим взаимодействием фуллерена с полимерной матрицей [2]. Представительный элемент такого композита примем в виде составной шаровой частицы радиусом Д, в центре которой помещена сферическая оболочка с внешним радиусом Я0 и толщиной к. Такую оболочку будем считать приемлемым приближением к геометрической форме фуллерена [3, 4]. Оболочка окружена шаровым промежуточным слоем толщиной (Я* — Д0), а материал матрицы заполняет шаровой слой толщиной (Я — Д*). По аналогии со свойствами анизотропного пирографита [1, 5] примем коэффициент теплопроводности сферической оболочки в радиальном направлении пренебрежимо малым по сравнению с коэффициентом теплопроводности 1о в тангенциальных направлениях.

Математическая модель. Составная шаровая частица по своей внешней поверхности радиусом Д контактирует с изотропной однородной средой, занимающей неограниченную область и соответствующей рассматриваемому композиту с искомым значением 1 эффективного коэффициента теплопроводности. Таким образом, композит

представлен четырехфазной моделью, включающей в себя трехфазную составную частицу и окружающую ее изотропную однородную среду.

Установившееся распределение температуры Т в описанной модели удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в сферической системе координат с началом в центре фуллерена имеет вид

1 д ( 2 дТ \ 1 д ( дТ \ 1 д2Т -2 ^ г2 ^ ш sm 9 — + = 0. (1)

г2 дг\ дг ) г2 sin 8 58 V д 8 / г2 sin2 8 дф2 Примем, что на большом по сравнению с радиусом R расстоянии г от начала координат задан вектор градиента температурного поля в однородной среде, направленный по оси сферической системы координат, от которой происходит отсчет угловой координаты 8, т. е. при г ^ <х> распределение температуры в этой среде описывается функцией Т^(г, 8) = Gr cos 8, где G — модуль вектора градиента. Несложно проверить, что эта функция удовлетворяет уравнению (1), причем благодаря параллельности заданного вектора градиента температурного поля оси отсчета угловой координаты 8 распределение температуры симметрично относительно этой оси и не зависит от угловой координаты ф, т. е. д2Т/дф2 = 0.

Наличие составной частицы вызывает при конечных значениях г возмущение температурного поля в однородной среде, описываемое слагаемым (В/г2) cos 8 [6], также удовлетворяющем уравнению (1). Таким образом, установившееся распределение температуры в этой среде можно задать соотношением

Т(г, 8) = Gr cos 8 + — cos 8, г ^ R, 0 ^ 8 ^ я, (2)

в котором постоянный коэффициент В определяется условием теплового взаимодействия однородной среды с составной частицей.

Распределение температуры в шаровом слое толщиной (R — R*), заполненном материалом матрицы, описывается функцией, аналогичной соотношению (2) и содержащей два неизвестных коэффициента: Ам и Дм, т. е.

Тм(г, 8) = Амг cos 8 + -2м cos 8, R* ^ г ^ R, 0 ^ 8 ^ я. (3)

В предположении идеального теплового контакта однородной среды и составной частицы из условий равенства температур и плотности тепловых потоков на сферической поверхности при г = R получим с учетом соотношений (2) и (3) следующие два равенства:

= А + ^ 2Л\ = . (А _ ^

R3 = Лм + R3 , Ч^ R3) = Км\Лм R3 ,

На сферической поверхности радиусом R* слой матрицы контактирует с промежуточным слоем, распределение температуры в котором описывается функцией

—

Т*(г, 0) = A*r cos 0 + — cos 0, Ro ^ г ^ R*, 0 ^ 0 ^ я. (5)

Из условий идеального теплового контакта на этой поверхности следует

+ | = 4 + §, Ц4- - ^) = - ^)■ ^

На поверхности радиусом В0 промежуточный шаровой слой контактирует со сферической оболочкой, соответствующей фуллерену. Если считать и на этой поверхности тепловой контакт идеальным, распределение температуры То(0) в оболочке будет описываться соотношением (5) при г = В0. Из условия теплового баланса в оболочке получаем уравнение

JTo(0)\ , , 0Т*( г, 0)

lod 2pRo(sin 0) h + l*---

\ Rod0 J or

Подставляя в это уравнение соотношение (5), имеем

21oh / —* \ 2—м

2pRo(sln 0) Rod0 = 0.

r=Ro

1*Ro

(A. -

f—з) +Ам R3

* Ro Ro Ro

или

R3 * 2 +2p

где b* = (1o/1*)h/ Ro.

Используя равенства (6) и (7), находим

3Ам(1 + b)

-* = А, i-Ц, (7)

A

(1 + b)(2 + 1*) + (1 - 2b)(1 - 1*)/Rf

?м (1 + b)(1 - X*) + (1 - 2b)(1 + 21*)/(2 R3)

AмR3 (1 + b)(2 + 1*) + (1 - 2b)(1 - X*)/R3

См

где 1* = 1*/1м и В* = В*/В0. Последнее соотношение в сочетании с равенствами (4) позволяют найти

В 1(1 + СмВ^Су) — (1 — 2СмВ3Су)

(8)

21(1 + СмВ*Су) + 1 — 2СмВ3Су

где 1 = 1/1м и Су = В°/В3 — объемная концентрация фуллеренов в композите.

При замене составной шаровой частицы равновеликим шаром радиусом В с искомым коэффициентом теплопроводности 1 исчезают возмущения температурного поля в окружающем ее однородном ма-

териале. При этом в правой части соотношения (2) второе слагаемое станет равным нулю, т. е. В = 0. Из этого условия, согласно равенству (8), получим

~ = 1 — 2СмЯ*Су (9)

= 1 + СмЩСу . ()

В случае отсутствия промежуточного слоя (R* = 1 и "К* = 1) См = (1 — 2b*)/(2 + 2b*) и равенство (9) переходит в полученную в [1] формулу

- = 2 + 2Ь — 2(1 — 2b)Cv = 2 +2Ь +(1 — 2b)Cy '

где b = (1o/1u)h/Ro. Следует отметить, что применительно к композиту, модифицированному фуллеренами, которые представлены в использованной выше модели сферической оболочкой с фиксированным значением R0 радиуса внешней поверхности, реально достижимое значение Су < 1. При заданном значении R* = R*/R0 в силу наличия промежуточного слоя даже при предельно плотной упаковке шаров с внешним радиусом R*, допускающей непосредственный контакт между ними, наибольшее возможное значение объемной концентрации таких шаров С* = я/(3л/2) ~ 0,7405 [7]. При такой упаковке шаров одинакового радиуса возникают пустоты двух видов: тетраэдрические, каждая из которых окружена четырьмя оболочками с центрами в вершинах правильного тетраэдра с длиной ребра 2R*, и октаэдрические, каждая из которых окружена шестью оболочками с центрами в вершинах октаэдра с той же длиной ребра. В этих пустотах уже не удается поместить шар радиусом R*, и применительно к композиту они могут быть заполнены лишь материалом матрицы. Таким образом, в случае модификации композита фуллеренами одного типа с фиксированным условным радиусом R0 внешней поверхности и внешним радиусом R* промежуточного слоя рассмотренная выше модель сохраняет смысл лишь при условии Су ^ С* = С*/Щ.

Двусторонние оценки. Равенство (7) по форме совпадает с соотношением между коэффициентами В* и А* в случае, если промежуточный шаровой слой вместо сферической оболочки покрывает сплошной шар радиусом R0 из материала с коэффициентом теплопроводности А,! = 2b*1*. Распределение температуры в таком шаре определяет функция Ti(r, 0) = Air cos 0. Используем замену сферической оболочки сплошным шаром для оценки возможной погрешности формулы (9) с помощью двойственной вариационной формулировки задачи стационарной теплопроводности [8, 9], позволяющей получить двусторонние оценки эффективного коэффициента теплопроводности рассматриваемого композита.

Область V, содержащую представительный элемент в виде половины составной частицы радиусом R, выберем в виде прямого цилиндра с достаточно большой площадью S0 параллельных оснований, одно из которых соответствует в сферических координатах значению 8 = я/2, а точки второй имеют координаты reos 0 = H, т. е. высота цилиндра равна Н, причем Н ^ R. Боковую поверхность цилиндра примем идеально теплоизолированной, температуру основания при 0 = я/2 положим равной нулю, а на втором основании зададим температуру GH. Однородный материал в части области вне составной частицы имеет коэффициент теплопроводности 1. Таким образом, в неоднородной цилиндрической области объемом V0 = HS0, ограниченной поверхностью S, распределение температуры Т(М) и коэффициент теплопроводности Л( М) являются функциями координат точки М € V, причем функция Л(М) кусочно-постоянная и принимает значения 1i при 0 ^ г ^ Ro, 1* при R0 ^ г ^ R*, 1м при R* ^ r^ R и 1 при г ^ R.

Примем для минимизируемого функционала [9] в качестве допустимого

J [Т] = Л(М )(VT (М ))2 dV (М), (10)

у

где V — дифференциальный оператор Гамильтона, линейное по высоте цилиндра распределение температуры с постоянной составляющей градиента G. В этом случае из формулы (10) получим

Ji[T] = 1HSo-2pR31+2я 1м+2я 1*+2я R21i У

(11)

Для максимизируемого функционала [9]

1 Г (q(М))2

PeS,

т = -Ц {м) — /т{рЫР) ■п{р) ^{р

У 5

(12)

где п — единичный вектор внешней нормали к поверхности Б, в качестве допустимого распределения вектора плотности теплового потока д примем постоянное значение д = —Ю единственной составляющей этого вектора, перпендикулярной основаниям цилиндра. Тогда формула (12) примет вид

(1G)VHSo - 2яR3/3 R3 -R3

h[q] = -^^ (HS0 - -R/3 + 2я^^ +

1WJ 2 V 1 31м

R R R + 2я + 2я + 1G2HSo. (13)

3Л* 31i

)

Принятые допустимые распределения температуры и плотности теплового потока для неоднородной области отличаются от действительных и поэтому значения ,]1 [Т] и 11 [д] не будут совпадать, причем Jl[T] > /^д]. В промежутке между этими значениями должно быть расположено и значение = (1/2)С2Н80 минимизируемого функционала (10) для однородной области с коэффициентом теплопроводности 1. Тогда при (Д0/Д)3 = Су с учетом формулы (11) из условия ^[Т] ^ ^о получим

1 ^ 1 - КЗСу + 1*Су(Д3 - 1 + 20*)

1

а при использовании формулы (13) из условия 11[д\ ^ ^ найдем

1

1 >

1_

1 - ДЗСу + (Д3 - 1)Су/1* + Су/(20*1*)

Результаты расчетов. Для сферической оболочки в составной шаровой частице положим Я0 = 0,3899 нм и = 0,075 нм, что соответствует условным параметрам фуллерена C60 [10]. Таким образом, в случае фуллерена С60 Ъ & 0,1924 и 0* = 0,19241/1*, где 1 = 10/1м. Для примера расчета примем параметр Су = 0,4, что соответствует значению Ё* = 1,234, и 1* = (1м +10)/2, т.е. 1* = (1 +1)/2. В этом случае 0* = 0,38481/(1 + 1). На рис. 1, а, б при различных значениях 1 приведены зависимости от объемной концентрации Су верхней 1+ и нижней 1- оценок отношения 1 = 1/1м. Сплошными линиями показаны зависимости отношения 1 от параметра Су, построенные по формуле (9).

X, "К I,

Л., КI,

1,0

А,=10 0,8

0,6

>5

0,4

>4

3

2 0,2

\ \

0 ,1

.....

1=2

0,5 0,2

од

0,2

0,3

С,

Рис. 1. Зависимости верхней 1+ и нижней 1_ оценок отношения 1 = 1/1м от объемной концентрации Су при X = 2 ... 10 (а) и 1 = 0,1... 2 (б)

Результаты аналогичных расчетов при С* = 0,6, что соответствует значению Ё* = 1,073, приведены на рис. 2, а, б.

3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

Рис.2. Зависимости верхней 1+ и нижней 1_ оценок отношения 1 = 1/1м от объемной концентрации Су при X = 2 ... 10 (а) и 1 = 0,1... 2 (б)

Для значений X е [1, 5] разность 1+ — 1_ сравнительно мала и поэтому возможную погрешность формулы (9) можно считать приемлемой во всем промежутке изменения объемной концентрации фуллере-нов. Однако при X > 5 и 1 < 2 эта разность становится значительной, особенно в случае 1 < 1 (см. рис. 1, б и 2, б). Причина этого состоит в использовании достаточно простых допустимых распределений температуры и плотности теплового потока при вычислении функционалов, входящих в двойственную вариационную формулировку задачи теплопроводности. Можно ожидать, что построение более близких к действительным распределений позволит уменьшить разность 1+ —1_ и тем самым точнее оценить возможную погрешность формулы (9)_.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-255.2012.8).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Головин Н.Н., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Оценки эффективного коэффициента теплопроводности композита, модифицированного фуллеренами. Композиты и наноструктуры, 2012, № 4, с. 15-22.

[2] Сидоров Л.Н., Макеев Ю.А. Химия фуллеренов. Соросовский образовательный журнал, 2000, № 5, с. 21-25.

[3] Кац Е.А. Фуллерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры. Родословная форм и идей. Москва, Изд-во ЛКИ, 2008, 296 с.

[4] Поздняков В.А. Физическое материаловедение наноструктурных материалов. Москва, МГИУ, 2007, 424 с.

[5] Фиалков А.С., Бавер А.И., Сидоров Н.М., Чайкун М.И., Рабинович С.М. Пи-рографит: получение, структура, свойства. Успехи химии, 1965, т. 34, № 1, с. 132-153.

[6] Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. Москва, Наука, 1964, 488 с.

[7] Шаскольская М.П. Кристаллография. Москва, Высшая школа, 1976, 392 с.

[8] Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. Москва, Энергоатомиздат, 1983, 328 с.

[9] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008, 512 с.

[10] Елецкий А.В., Смирнов Б.М. Фуллерены. Успехи физических наук, 1993, т. 163, № 2, с. 33-60.

Статья поступила в редакцию 20.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Кувыркин Г.Н. Эффективный коэффициент теплопроводности на-нокомпозита при наличии промежуточного слоя между фуллеренами и матрицей. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 8. URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/material/890.html

Кувыркин Георгий Николаевич — д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. E-mail: gnk1914@mail.ru