ЭФФЕКТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЫДЕЛЕНИЯ СЛАБОРАЗЛИЧИМЫХ СЛЕДОВ КОСМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ТРУДЫ МФТИ. 2020. Том 12, № 2

Информатика и управление

5

УДК 004.932.2

Н.Р. Беренков, А. Г. Тартаковский

Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Эффективные алгоритмы выделения слаборазличимых следов космических объектов

Рассматривается задача совместного обнаружения и оценивания параметров следов малоконтрастных космических объектов (КО) с неизвестными орбитами в оптическом изображении (кадре). В работе предлагается эффективный двухэтапный алгоритм обнаружения малоконтрастных следов КО и оценивания их параметров. На первом этапе для локализации объекта и предварительного определения начала и конца следа КО используется метод последовательного обнаружения момента «разладки», т.е. обнаружения скачкообразного изменения статистических характеристик сигнала вдоль направления следа КО. На втором этапе применяется метод максимального правдоподобия для уточнения положения следа. Такой подход позволяет значительно сократить количество перебираемых гипотез по сравнению с популярным методом максимизации отношения правдоподобия. Проведены исследования разработанного алгоритма как на симулированных кадрах, так и на реальных кадрах звездного неба, включающих, помимо шума и полезного сигнала, сильную помеху от звезд. В случае работы на реальных кадрах предварительно проводилось их обеление с использованием метода пространственно-временной регрессии. Тестирование показало, что алгоритм позволяет обнаруживать следы КО и весьма точно оценивать их параметры при отношении сигнал-шум (ОСШ) менее 1.

Ключевые слова: обнаружение космических объектов, анализ изображений, обнаружение момента изменения, совместное обнаружение и оценивание, подавление фона.

N.R. Berenkov, A.G. Tartakovsky Moscow Institute of Physics and Technology

Effective algorithms of detection of faint space objects

streaks

A problem of joint detection and estimation of parameters of faint space object streaks in digital image (frame) is considered. In this work, we propose an effective two-stage algorithm for detecting a streak of a faint space object with unknown orbit and estimating its parameters. At the first stage, the sequential change detection method is used to detect abrupt changes in the statistical properties of the signal along the streak direction and thus to localize the object and preliminarily determine the beginning and end of the streak. At the second stage, the maximum likelihood ratio method is used to more precisely estimate the position of the streak. This two stage approach significantly reduces the number of hypotheses compared to the popular maximum likelihood ratio method. The developed algorithm is tested using both the simulated frames and the real data containing discrete clutter due to stars in addition to the background noise and streaks. In the case of real frames a spatiotemporal regression algorithm is used for clutter suppression. Tests show that the proposed two stage algorithm is able to detect streaks of space objects and accurately estimate their parameters with a signal-to-noise ratio for less than 1.

Key words: space object detection, image analysis, changepoint detection, joint hypothesis testing and estimation, background suppression.

© Беренков Н. Р., Тартаковский А. Г., 2020

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2020

1. Введение

Обработка потоков изображений, получаемых от оптических и инфракрасных сенсоров, основана на двух основных технологиях: внутрикадровой и межкадровой обработке данных с накоплением сигналов от объектов. В этой статье обсуждается задача внутрикадрового обнаружения следов малоконтрастных космических объектов с неизвестными орбитами с помощью телескопов. Задача решается для объектов с очень малым отношением сигнал-шум порядка 1 и менее.

Задача может быть решена на основе совместной проверки гипотез и оценивания неизвестных параметров (начала и конца следа) путем максимизации отношения правдоподобия (ОП), т.е. с помощью метода обобщенного ОП [1,2]. Однако при больших размерах изображения порядка 4000 х 2000 этот метод требует огромных вычислительных затрат и может быть реализован только с помощью суперкомпьютера.

В работе [3] рассмотрен метод, который основан на предварительной пороговой обработке и выделении протяженных наборов пикселей, сигналы в которых превышают порог. Затем для таких наборов производится максимизация отношения правдоподобия, и задача сводится к подбору модели следа и его параметров наилучшим образом. Такой подход является довольно точным и быстрым, но результаты в [3] были получены в предположении соотношения сигнал-шум от 2, 5 и выше, что делает данный подход неприменимым

1

порога.

Также существует подход, основанный на применении фильтра частиц [4,5], который дает неплохие результаты, но имеет большую вычислительную сложность, и стековый метод [6], который использует много кадров для накопления сигнала и не может быть применен для обнаружения быстро движущихся объектов, попадающих в поле зрения только один раз.

Мы обратили внимание на схожесть данной задачи и задачи обнаружения разладки, происходящей в случайный момент времени, и воспользовались приемами ее решения с применением статистических методов. Среди основных методов можно выделить алгоритм движущегося среднего и алгоритм кумулятивных сумм [2]. Применение обоих методов с успехом продемонстрировано в работах [7] и [8] для задачи надежного обнаружения сигнала известной длительности, появляющегося в неизвестный момент. Преимуществом этих методов перед вышеупомянутым подходом является высокая скорость работы и возможность регистрации следа с ОСШ до 0, 5. Однако эти методы обладают низкой точностью определения положения следа в кадре.

Поэтому мы предлагаем альтернативный подход, предполагающий разбиение задачи

2

кализации) и, на следующем шаге, уточнения положения следа с использованием метода максимизации отношения правдоподобия. Благодаря тому, что метод максимизации отношения правдоподобия применяется в локализованной области, количество перебираемых гипотез значительно сокращается. Поэтому решение задачи совместного обнаружения и оценивания может быть получено на обычном компьютере.

Алгоритм показал хорошую работоспособность не только на симулированных кадрах, включающих полезный сигнал и белый гауссовский шум, но и на реальных кадрах, включающих шум, неоднородный фон и сигналы от изображений звезд, порождающих сильную помеху, помимо полезного сигнала.

2. Модели сигналов и основные допущения

Предполагается, что суммарный полезный сигнал от нескольких объектов в одном пикселе изображения равен сумме полезных сигналов, создаваемых каждым объектом.

Принимается следующая модель сигнала от одного объекта в пикселе (г, ]) изображения:

Т ( г+1 з+\ |

Уг,з = А J \ ! J Р(X Хт,у - Ут)йхйу \йт + И£^, (1)

0 [ г 3 )

где

Т — известное время экспозиции,

А — приведенная интенсивность излучения объекта (Ас!тР(х — хт, у — ут)dхdу — сигнал от объекта с положением (хт, ут), накапливаемый в точке х, у на площади dх х dу за время dт), х,

мается размер пикселя по соответствующему направлению), хт, ут — положение объекта в изображении в момент времени т, Р(и, у) — функция рассеяния точки (ФРТ) оптической системы, с помощью которой ведется съемка,

— остаточный (после предобработки) шум изображения с нулевым средним и дис-перепей и2.

Принимается, что

• шумы в разных пикселях некоррелированные и распределены нормально,

А

• объект перемещается в кадре равномерно и прямолинейно:

хт = хо + ухт, ут + Уут, (2)

* = (х^—г^= , (3)

т.е. след объекта задается вектором координат его концов X = (х0, у0,хт, ут)• Подстановка формулы (2) в (1) дает

Т ( г+1 3+1

Уг,з = А [ \ [ [ Р(х — хо — ухт, у — уо — уут)dхdу ^ dт. (4)

Обозначения

Т г+13+1

в^з = (хо, уо, Ух, Уу ) = Ау <у J Р (х — хт ,у — ут )dхdу}dт (5)

о \ г 3

позволяют записать формулу (4) в виде

Уг>] = АБг>] (X) + и eí,j. (6)

На рис. 1 изображен модельный профиль следа, в котором значения каждого пикселя рассчитываются исходя из формул (5), (6).

Рис. 1. Модельный профиль следа

3. Постановка задачи

Пусть П — область поиска следа, состоящая из сигналов в пикселях исходного изображения, П — область кадра: П С П.

Рассматриваются две альтернативные гипотезы: Но — в области П отсутствуют полезные сигналы от объекта, или Н1 — в области П присутствует след объекта с неизвестными параметрами X, А.

По реализации совокупности случайных сигналов V = У, (г,]) € П требуется вынести решение о том, какая их двух гипотез справедлива, причем решение о справедливости гипотезы Н1 принимается совместно с оцениванием неизвестного положения следа X. Задачу разобьем на 2 этапа:

П

ствования следа

2) В локализованной области происходит уточнение положения следа, т.е. его начала и

4. Процедура нахождения следа на выбранном направлении

Для нахождения следа на выбранном направлении используется движущееся окно фиксированной длительности, в котором вычисляется отношение правдоподобия. Из леммы Неймана Пирсона [5] для распределений с монотонным отношением правдоподобия следует, что такой подход является оптимальным для неподвижного окна с точки зрения максимизации вероятности правильного обнаружения в окне при фиксированной вероятности ложной тревоги. Кроме того, этот подход инвариантен относительно амплитуды следа. Таким образом, интуитивно можно предположить высокую эффективность данного подхода для движущегося окна.

Введем решения ^о и ^1, состоящие в принятии гипотез Но и Н1 соответственно. Напомним, что А обозначает амплитуду. В терминах параметра А гипотезы могут быть записаны как Н1 : А > 0 — след ееть, Но : А = 0 — следа нет. Запишем логарифм отношения правдоподобия (ЛОП):

конца.

, РУ1Нх,Х,А(У)

Рт |Но (У)

(Г)

где

PyIHuX,a(V) = сехР \ -¿2 Е [у^ - ASbi(X)]2 \ , (8)

(г ,з)еп

Рт|Ио (у) = сехр I — 2и2 ^ у1з \ , (9)

I И (,ЬЗ)€П )

Тогда в результате подстановки (8) и (9) в (7) получим выражение для ЛОП:

A(A) = ¿2

(10)

£ 2уг,3АБг,3(X) — £ (Х)А2 Введем функцию

Км(Т)= £ уг^(X), (11)

(1,з)ем

где М — прямоугольное окно с длительностью (длиной) N пикселей и шириной К пикселей (выбор N и К определяется ифрт — стандартным отклонением функции рассеяния точки; в нашем случае выбор N = 10 — 15 иК = 8 дал хорошие результаты), — значения

М

заранее, у^ — наблюдения в пикселях входного изображения. Функцию Км(V) возьмем в качестве статистики обнаружения. Процедура обнаружения, которая состоит в сравнении статистики (11) с порогом называется процедурой движущегося среднего:

Км(V) = ^ у%,звг,з > ЪА,а,м. (12)

(г,з)ем

Величина порога ЪА,<г,мзависит отношения сигнал-шум А. Гипотеза Н1 принимается при Км(V) ^ Ъ.

Очевидно, ЛОП А(А) есть неубывающая функция от Км (у)- Отсюда следует, что при заданной вероятности ложной тревоги Ро^ = 1) = а критерий минимизирует вероятность пропуска Ра^ = 0) в фиксированном окне и является равномерно наиболее мощным для всех А > 0.

В теории последовательного обнаружения разладки, которая возникает в неизвестный момент времени 0, существует следующая постановка задачи оптимизации, которая

лучше всего подходит для обнаружения следов КО [2]:

М Р^(Торъ < у + М\Topt > и) = эир М Р^(и <Т < и + М|Т> и), (13)

и>о ТеС(т,а) V>о

где C(m, а) = < Т : sup Рте(Т ^ I + m|T > 1) ^ а > — класс правил обнаружения разладки, 1^0 ) для которых максимальная вероятность ложной тревоги в интервале длительности m не

превышает заданный уровень а £ (0,1). Следовательно, задача заключается в нахождении правила обнаружения, максимизирующего минимальную вероятность обнаружения в окне длительности М при заданном уровне ложных тревог. Строгое математическое решение этой задачи пока не найдено. Однако есть предположение, что используемая нами процедура движущегося среднего является асимптотически оптимальной при а ^ 0. М

выбрав значения порога, можно определить, есть ли след на этом направлении, и при положительном результате довольно точно определить его положение (до 5-10 пикселей). На рис. 2 изображен пример поведения статистики для правильного направления. Для примера взято правильное направление со следом в координатах (40, 110). ОСШ = 0, 9; М = 10

черта) со статистикой используются для уточнения положения следа.

Рис. 2. Поведение статистики вдоль выбранного направления. Горизонтальная черта порог. Реальный след расположен на этом направлении с координатами (40,110)

5. Процедура уточнения положения следа

П1

в которой .локализован след для этого направления после работы первой процедуры.

В качестве алгоритма принятия решения воспользуемся популярным методом максимума правдоподобия:

Рт\Н 1,Х,А(у)

^ тах. Рг\Но(у) Х,А

(14)

При этом в качестве оценок XX, А параметров следа X, А принимаются значения х, А, доставляющие максимум (14).

В соответствии с (4) условные плотности вероятности имеют вид

Рт\Н1,Х,А(У) = с ехР < -^ [у%,з - (х)]2 > = с ехр | -3(А,X) | ,

(м)еп

(15)

Рт\Н1,Х,А(У) = с ехР \ -^

Уг,1

где с — нормирующий коэффициент, а

(16)

3(А, Х)= £ [уг,3 - АБг,3(X)]2. (¿¿)еП1

С учетом (16) и (17) решающее правило (14) приобретает вид

(17)

тах

Х,А

£ (2уг,3 АБг,3 (X) - А2Б1)

(г,з)еП1

(18)

Из формулы (18) следует, что оценки XX, А параметров следа X, А определяются из условия

3(X,1) = т£птт 3(А, X), (19)

где минимизация проводится при ограничениях (хо, уо) € П1, (ж1, у{) € П1, А> 0.

Найдем сначала оптимальное значение А, доставляющее безусловный минимум критерия (17) по А из условия

9,7^ ^ = Е ^ (X)] (X) = 0, (20)

(¿¿)еП1

из которого

Е у^ (X)

А = -. (21)

Е ^(X)2

(г,з)еП1

При у^ ^ 0, ^ 0 значение А автоматически оказывается в неотрицательной области. Подстановка (21) в (17) дает

* (X)= Е

(г,з)еП1

Е у^ (X)

Уг,3--ч ^ „ ,„ч2 (X)

Е ^ (X)2

(г,^')еП1

2

Таким образом, функция .](X) будет расчитываться для всевозможных X = (жо, Уо,%1, У1) внутри области П1 для этого направления. Значение вектора X, обеспечивающее глобальный минимум .](X), будет искомым для этого направления.

6. Моделирование

Разработанный алгоритм был протестирован в ходе решения реальной задачи поиска следов экваториальных спутников на кадрах, полученных с телескопа, установленного на экваторе. В данном случае область поиска объектов ограничена прямоугольной областью в центре кадра длиной несколько десятков пикселей и шириной, равной ширине кадра.

На рис. 3 показана область поиска.

20пикс

_I_

Г" "«

Область поиска следа КО. Пунктиром показано одно из возможных направлений поиска. Вытянутый эллипс - след КО,

Рис. 3. Наглядное представление области поиска и направлений

6.1. Моделирование на симулированных кадрах

1) На вход программы подается уже обеленный кадр размером 1000 х 500 пикселей с треком порядка 20 100 пикселей длиной и ОСШ около 1. На рис. 4 приведен пример входного кадра.

Рис. 4. Пример входного кадра с ОСШ =1,1

2) След моделируется с помощью процедуры численного интегрирования выражения (4) для заданного начала и конца следа, а также заданной приведенной интенсивности излучения А. ФРТ предполагается гауссовой. Стандартное отклонение ФРТ, стфрт, предполагается известным (и равным 1). Шум с заданной дисперсией аддитивно добавляется в каждом пикселе входного изображения с помощью встроенного генератора, генерирующего числа по нормальному закону распределения.

3) По области поиска в центре кадра шириной 10-20 стфрт с помощью процедуры нахождения следа производится поиск направления, на котором расположен след КО. Число направлений определяется шагом перебора (равным 0, 5 пикселя) по верхней и нижней границе области поиска. Рис. 3 иллюстрирует область поиска и вид направления. Порог к выбирается с учетом необходимого уровня ложных тревог а:

к = <гФ-1 [1 - а],

сг2 = а2^^ где а — среднеквадратическое отклонение шума (которое предпола-(ьз)

гается известным), — значения гауссового профиля в окне размера М (которое моделируется с помощью готовой процедуры).

4) Так как мы работаем с низким ОСШ, во время поиска следов КО могут возникать ложные тревоги и пропуски. Если встречается превышение порога в идущих подряд значениях статистики так, что длина полученной последовательности не превышает 20 пикселей, то выносится решение о ложной тревоге (считается, что след не может быть меньше 20 пикселей), в противном случае выносится решение, что найден вероятный след. Если ряд значений статистики, превышающих порог, прерывается значениями ниже порога (при этом длина последовательности, лежащей ниже порога

10

тельность значений статистики до и после пропуска считается за один след. На рис. 5 показан пример ложной тревоги и пропуска.

Рис. 5. Примеры ложной тревоги и пропуска при работе процедуры поиска направления и локализации следа

5) Выбираются несколько (5 10) направлений с наиболее длинными последовательностями значений статистики превышающей порог. Для каждого из этих направлений применяется процедура уточнения положения следа. На рис. 6 показана область локализации следа, в которой будет производится уточнение его положения. Глобальный минимум функции .](X) для всех полученных направлений будет искомым для данного кадра.

Рис. 6. Пример области локализации

Результаты работы программы на симулированных кадрах

Для тестирования работы программы мы использовали метод Монте-Карло. Было создано 2000 кадров размером 1000 х 500 пикселей с белым гауссовым шумом и следом размером 50 пикселей. Для последовательности ОСШ от 10 до 0, 9 была получена зависимость ереднеквадратичеекого отклонения (СКО) обнаруженных начала и конца следа от ОСШ. На рис. 7 представлен график полученной зависимости.

СКО, пике

3.0

2.7

2.4

2.1

1.8

1.5 1,2 0,9 0,6 0,3

0 1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 6,6 7,7 8,8 9,9

ОСШ

Рис. 7. Зависимость СКО от ОСШ. Пунктирной линией обозначен график СКО для начала следа, сплошной — для конца следа

На рис. 8 показан график той же зависимости, но для ОСШ в диапазоне от 2 до 0, 90.

ЭР,пике

3.0

2.7

2.4

2.1

1.8

1.5 1,2 0,9 0,6 0,3

0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8

ОСШ

Рис. 8. Зависимость СКО от ОСШ. Пунктирной линией обозначен график СКО для начала следа, сплошной — для конца следа

6.2. Моделирование на реальных кадрах

Реальный кадр, помимо гауссового шума и полезного сигнала в виде следов КО, включает сигналы от изображений звезд и фоновой составляющей. Изображения звезд (далее звезды) создают значительные проблемы для обнаружения малозаметного следа, т.к. они представляют мощную дискретную помеху — сигнал от звезды имеет большое значение

сигнал шум (порядка 100 150), и несколько рядом находящихся звезд могут сформировать ложную гипотезу о присутствии следа. Фоновая составляющая (в общем случае коррелированная и неоднородная по кадру) также представляет серьезную помеху для выделения следов КО. Поэтому для корректной работы алгоритма поиска следов на реальных кадрах необходимо выполнить подавление сигналов от звезд и фоновой составляющей. Далее будем называть помехи в виде фоновой составляющей и звезд фоном. Подавление фона было проведено сначала популярным методом вычитания двух последовательно снятых кадров, который имеет недостаток в том, что дисперсия шума после вычитания возрастает в 2 раза. По этой причине для улучшения подавления фона был также использован метод пространственно-временной регрессии на серии из 10 15 кадров. Этот метод отличается простотой реализации и эффективностью. Также можно использовать и другие методы пространственно-временной обработки для фильтрации фона, описанные, например в [9].

Подавление фона методом вычитания двух последовательных кадров

Для применения метода вычитания кадров для подавления фона необходимо иметь два кадра, снятых последовательно в режиме без ведения. Таким образом, изображения звезд во втором кадре будут сдвинуты на определенный вектор относительно звезд в первом кадре.

о ь. 1

Рис. 9. Схема поиска подобных треугольников. В каждом треугольнике стороны обозначены а,Ь,с в порядке убывания длины. Каждый треугольник описывается двумя отношениями: Ь/а и с/а. Два треугольника с одинаковыми отношениями сторон являются подобными

Фильтрация проводится следующим образом:

1) Кадр разбивается на несколько прямоугольных областей, в каждой из которых итеративной процедурой вычисляется среднее и а шума, на каждом следующем шаге которой отбрасываются пиксели, значения которых выходят за определенное количество а. Потом проводится пороговая обработка, в результате которой обнаруживаются пиксели с полезным сигналом.

2) Далее проводится процедура рекурсивного объединения пикселей в связанные области (области нахождения изображения звезды в кадре). Объединение проводится согласно критерию соседства пикселя с каким-либо уже находящимся в области. Затем для каждой такой области находится центр масс, который будет положением центра звезды в кадре (положением звезды в кадре).

3) После повторения пунктов 1 и 2 для второго кадра получается два набора координат звезд. После этого наборы координат звезд связываются с использованием процедуры триангуляции. Первый шаг процедуры триангуляции проводится следующим образом: по параметрам звезд из двух кадров строятся наборы всевозможных треуголь-

ников с определенными ограничениями (не рассматриваются сильно вытянутые треугольники и треугольники с размером сторон больше половины кадра). Следующий шаг — поиск подобных треугольников по 2-м наборам координат звезд. На рис. 9 приведена схема поиска подобных треугольников.

Производится попарное вычисление евклидового расстояния между параметрами треугольников в 2-х наборах звезд. Затем строится матрица соответствий, в которой строки соответствуют номерам звезд из 1-го набора, а столбцы — номерам звезд из 2-го набора. Элементы матрицы соответствия, превышающие заданный (эмпирически) порог, описывают проиденти-фицированные пары звезд.

4) На основе параметров проидентифицированных звезд вычисляется вектор сдвига одного кадра относительно другого.

5) С помощью афинного преобразования координат с билинейной интерполяцией второй кадр сдвигается на полученный вектор.

6) Для улучшения результатов вычитания кадров все обнаруженные звезды (см. п. 1-2) закрашиваются прямоугольниками со средним значением фона. Затем сдвинутый кадр вычитается из первого.

а) Входной кадр с помехой от звезд и фона б) Обеленный кадр с подавленной помехой

Рис. 10. Входной кадр с помехой и обеленный кадр с подавленной помехой и мало видимым следом

Таблица1

Результат работы алгоритма обнаружения следа на кадре после подавления

фона методом вычитания двух кадров

У нач. пике. X нач пике. У кон пике. X кон пике.

Исходный след 130 500,45 210 501,25

Обнаруженный след 129 500,24 209,5 500,84

Исходный след 340 494,75 420 495,9

Обнаруженный след 341 494,52 422 495,78

Исходный след 700 503 780 503,8

Обнаруженный след 700,5 502,75 781,5 503,9

Для тестирования вышеупомянутого метода фильтрации на два последовательных реальных кадра был искусственно добавлен след с ОСШ = 1, 5. На рис. 10 показан реальный кадр и кадр с подавленным фоном. В таблице приведены результаты работы алго-

ритма обнаружения на кадре с подавленным фоном. Таким образом, можно сделать вывод, что алгоритм остался работоспособным, однако увеличение дисперсии шума вследствие вычитания кадров не позволяет надежно обнаруживать следы на реальных кадрах с ОСШ < 1, 5. Поэтому в следующем разделе рассматривается применение метода пространственно-временной регрессии для подавления фона без значительного увеличения дисперсии шума. В таблице 1 приведены результаты алгоритма обнаружения следа на кадре после подавления фона.

Подавление фона методом пространственно-временной регрессии

Рассмотрим модель входного изображения:

^ = ^ + В? + ^, (22)

где

у*'3 — сигнал в пикселе (г,]) в кадре с номером (г = 0...Ж — = 0...М — 1), Б^3 — полезный сигнал в пикселе (г, ]) в кадре с номером

— фон в пикселе (г, ]) в кадре с номером

— шум в пикселе (г,]) в кадре с номером

Будем искать оценку Ь\'3 величины фона ВI'3 в виде линейной комбинации реализации уг сигналов :

^ = Е Е Е я'4у+,3+д, (23)

р=—Ьд=—Ьт= 1

где 2Ь — пространственная иТ — временная память алгоритма. Обеленный кадр определяется по формуле:

§? = Уу — ъу. (24)

Оптимальные значения /Зг'я коэффициентов линейной комбинации /Зг'я определим из условия минимума квадратичной невязки между сигналами в кадре и их моделью:

а2 = ЕЕE(Ä - ^)2 = ЕЕE(Ä - ЕЕЕя*)2 ^ А2. (25)

г j т г j т г j т т

Решение задачи минимизации сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно вектора коэффициентов ßg'q. Полученные значения ßg'q подставляются в оценку фона (23), которая, в свою очередь, подставляется в оценку полезного сигнала (24).

Для тестирования данного метода фильтрации ставилась задача обнаружить малозаметный след КО на серии кадров с короткой выдержкой и рассчитать его параметры: начало и скорость. Также ставилась задача сравнить вероятность обнаружения следа на серии кадров с короткой выдержкой с вероятностью обнаружения того же следа на серии кадров с длинной выдержкой при фиксированной вероятности ложной тревоги в окне:

inf Pv (Tagt < V + М\Topt >v)= sup inf Pv (v<T < V + M\T>V), vTec(m,a)

где C(m, а) = \т : sup P^(T < l + m\T > l) ^ a\.

I imo )

(26)

Предположительно, результаты на серии кадров с короткой выдержкой должны быть лучше, так как сигнал от изображений звезд на кадрах с короткой выдержкой в разы

меньше, чем на кадрах с длинной выдержкой (соответственно меньше остаточные сигналы после фильтрации). На рис. 11 показаны примеры входных кадров.

Для упрощения будем считать, что направление, на котором расположен след, выдержка и время между кадрами нам известны точно. Для тестирования были взяты две последовательности кадров (6 кадров с выдержкой 50 мс и 1 кадр с выдержкой 300 мс так, что общее время присутствия полезного сигнала на кадрах было одинаково — 300 мс), которые предварительно были подвергнуты процедуре пространственно-временной регрессии для подавления фона. Для обнаружения следов применялась процедура движущегося среднего (12). Вероятность обнаружения получилась в пределах 0,9-0,95 при вероятности ложной тревоги 0, 001.

а) Пример входного кадра с выдержкой 50 мс б) Пример входного кадра с ввщержкой 300 мс

Рис. 11. Примеры входных кадров с разными выдержками

Рис. 12. Зависимость СКО обнаруженных начала и конца трека КО от ОСШ для серий кадров с разными выдержками. Пунктирной линией обозначены зависимости для начала трека, сплошной — для конца

На рис. 12 изображена зависимость СКО обнаруженных концов трека КО от ОСШ. Хорошо заметно, что СКО в случае серии кадров с короткой выдержкой значительно меньше, чем СКО в серии с длинной выдержкой.

7. Заключение

В работе был разработан новый двухэтапный алгоритм, который значительно превосходит по быстродействию популярный метод максимизации отношения правдоподобия. Алгоритм был протестирован как на симулированных, так и на реальных кадрах, предварительно очищенных от фонового шума с использованием метода пространственно-временной регрессии, и продемонстрировал надежное обнаружение следов КО совместно с оцениванием их положения (ошибка в определении положения в случае реальных входных кадров с короткими выдержками не превышала 8-10% от длины следа вплоть до ОСШ = 1).

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки, проект № 10А. 100 и проект

Российского Научного Фонда № 18-19-00-452.

Литература

1. Tartakovsky A.G., Nikiforov I.V., Basseville М. Sequential Analysis: Hypothesis Testing and Changepoint Detection. Boca Raton, FL, USA : CRC Press, 2014.

2. Lehmann E., Romano J. Testing Statistical Hypotheses. New York, NY, USA : Springer, 2005.

3. Simmsa L.M., Riota V., De Vriesa W., Oliviera S.S., Perticaa A., Baumana B.J., Philliona D., Nikolaeva S. Optical Pavload for the STARE Mission // SPIE Defense And Security. 2011.

4. Uetsuhara M.,Ikoma N. Faint Debris Detection by Particle Based Track-Before-Detect Method //In Advanced Maui Optical and Space Surveillance Technologies Conference. Sept. 2014.

5. Wei S., Feng X., Wang Q. Track-before-Detect Algorithm Based on Gaussian Particle Cardinalized Probability Hypothesis Density / / 2nd International Conference on Information Technology and Management Engineering. 2017.

6. Yanagisawa Т., Kurosaki H., Nakajima A. The stacking method: The technique to detect small size of GEO debris and asteroids // Technical report Japan Aerospace Exploration Agency. 2008.

7. Guéppié В.К., Fillatre L., Nikiforov I. V. Sequential Detection of Transient Changes // Sequential Analysis: Design Methods and Applications. 2012. V. 31, N 4. P. 528-547.

8. Guéppié В.К., Fillatre L., Nikiforov I. V. Detecting a Suddenly Arriving Dynamic Profile of Finite Duration // IEEE Transactions on Information Theory. 2017. V. 63, N 5. P. 30393052.

9. Tartakovsky A.G., Brown J. Adaptive Spatial-Temporal Filtering Methods for Clutter Removal and Target Tracking // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. Oct. 2008. V. 44, N 4. P. 1522-1537.

References

1. Tartakovsky A.G., Nikiforov I.V., Basseville M. Sequential Analysis: Hypothesis Testing and Changepoint Detection. Boca Raton, FL, USA : CRC Press, 2014.

2. Lehmann E., Romano J. Testing Statistical Hypotheses. New York, NY, USA : Springer, 2005.

3. Sim,m,sa L.M., Riota V., De Vriesa W., Oliviera S.S., Perticaa A., Baumana B.J., Philliona D., Nikolaeva S. Optical Payload for the STARE Mission. SPIE Defense And Security. 2011.

4. Uetsuhara M.,Ikoma N. Faint Debris Detection by Particle Based Track-Before-Detect Method. In Advanced Maui Optical and Space Surveillance Technologies Conference. Sept. 2014.

5. Wei S., Feng X., Wang Q. Track-before-Detect Algorithm Based on Gaussian Particle Cardinalized Probability Hypothesis Density. 2nd International Conference on Information Technology and Management Engineering. 2017.

6. Yanagisawa T., Kurosaki H., Nakajima A. The stacking method: The technique to detect small size of GEO debris and asteroids. Technical report Japan Aerospace Exploration Agency. 2008.

7. Guéppié B.K., Fillatre L., Nikiforov I.V. Sequential Detection of Transient Changes. Sequential Analysis: Design Methods and Applications. 2012. V. 31, N 4. P. 528-547.

8. Guéppié B.K., Fillatre L., Nikiforov I. V. Detecting a Suddenly Arriving Dynamic Profile of Finite Duration. IEEE Transactions on Information Theory. 2017. V. 63, N 5. P. 3039-3052.

9. Tartakovsky A.G., Brown J. Adaptive Spatial-Temporal Filtering Methods for Clutter Removal and Target Tracking. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. Oct. 2008. V. 44, N 4. P. 1522-1537.

Поступим в редакцию 19.02.2020