ЧИСЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ИНИЦИАЛИЗАЦИИ СЛЕДОВ ОБЪЕКТОВ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.216.5

В. С. Спивак, А. Г. Тартаковский, Н.Р. Беренков

Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Численное сравнение алгоритмов инициализации

следов объектов

Алгоритмы обнаружения разладки могут быть использованы в большинстве задач инициализации следов объектов. Раньше, когда вычислительная сложность была проблемой, свою популярность завоевал алгоритм K/N благодаря вычислительной легкости. Существенно более эффективный алгоритм инициализации следов может быть построен на основе метода последовательного обнаружения разладки. В данной статье мы рассматриваем алгоритм движущегося среднего. Мы сравниваем характеристики алгоритмов K/N и движущегося среднего. Критерием оптимальности является максимизация вероятности правильного обнаружения в определенном временном интервале при заданном уровне риска ложной тревоги, измеряемом как локальная вероятность ложной тревоги. Для рассматриваемых рабочих характеристик мы получаем теоретическую оценку и оценку методом Монте-Карло. Результаты показывают, что предложенный алгоритм движущегося среднего демонстрирует рабочие характеристики значительно лучшие, чем алгоритм K/N.

Ключевые слова: последовательное обнаружение разладки, вероятность правильного обнаружения, локальная вероятность ложной тревоги, алгоритм K/N, алгоритм движущегося среднего.

V.S. Spivak, A. G. Tartakovsky, N. R. Berenkov Moscow Institute of Physics and Technology

Numerical comparison of objects' tracks initiation

algorithms

In many problems of the initialization of objects' tracks, changepoint detection algorithms can be used. In the past when computational complexity was an issue, the K/N algorithm gained its popularity due to computational simplicity. A substantially more efficient track initiation algorithm can be built based on the sequential change detection technique. In this paper, we consider the Finite Moving Average algorithm. We compare the performance of the K/N algorithm with the Finite Moving Average algorithm. The optimality criterion is to maximize a probability of correct detection in a certain time interval under the given false alarm risk measured as a local probability of a false alarm. For performance, we obtain a theoretical estimate and an estimate by Monte Carlo simulations. The results show that the Finite Moving Average algorithm performs significantly better than the K/N procedure.

Key words: sequential changepoint detection, probability of correct detection, local probability of false alarm, K/N algorithm, finite moving average algorithm.

@ Спивак В. С., Тартаковский А. Г., Беренков Н. Р., 2021

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2021

1. Введение

Задача инициализации следов объектов с целью дальнейшего сопровождения может быть рассмотрена как задача последовательного обнаружения разладки, т. е. обнаружения изменения в наблюдаемом сигнале [1]: интересующий нас объект появляется в неизвестный момент времени, таким образом изменяя свойства наблюдаемого сигнала (процесса). В большинстве задач инициализации следов объектов цель — обнаружить след в определенном временном интервале после появления следа объекта. Таким образом, в качестве оптимального критерия мы выбрали максимизацию минимальной вероятности правильного обнаружения в определенном временном интервале (окне) при ограниченном уровне частоты ложных тревог (срабатываний).

Самым популярным алгоритмом инициализации следов объектов является так называемый алгоритм K/N [2], [3]. Этот алгоритм завоевал свою популярность благодаря своей вычислительной простоте. Во времена, когда вычислительная техника была плохо развита, более сложные алгоритмы не могли быть применимы на практике. Однако, благодаря техническому прогрессу в вычислительной технике, проблема поиска более эффективного алгоритма обнаружения для задачи инициализации следов объектов вновь актуальна и практически важна. К примерам подобных задач относятся инициализация треков спутников, подводных лодок, баллистических ракет и т. д.

В данной работе мы предлагаем в качестве эффективного алгоритма обнаружения алгоритм движущегося среднего (далее I'M Л — Finite Moving Average). В разделе 2 приведена постановка задачи в терминах последовательного обнаружения разладки. В разделе 3 рассматриваются алгоритмы инициализации следов. Здесь приводятся полученные формулы для теоретических оценок рабочих характеристик: в 3.1 для алгоритма K/N, в 3.2 для алгоритма FMA. В разделе 4 представлены результаты симуляций Монте-Карло. Результаты показывают, что алгоритм FMA демонстрирует значительно лучшие рабочие характеристики по сравнению с алгоритмом K/N. Это позволяет нам рекомендовать использовать процедуру FMA на практике для инициализации следов объектов. В разделе 5 представлены выводы по проделанной работе.

2. Постановка задачи

Пусть наблюдаемый процесс {Хп} задается распределением Рж. Будем считать, что в неизвестный момент времени V (и = {0,1, 2,... }) появляется след от интересующего нас объекта. Тогда, после появления следа, наблюдаемый процесс {Хп} задается распределением Ро- Пусть pj(хп), ] = ж, 0 — плотность распределения Рп, где хп = (Х\,... ,Хп) — выборка размера п. Для фиксированного момента разладки и вероятностное распределение Ри с илотностью ри(хп) = р(Хп1и) — является комбинацией до и после изменения плотностей:

р„(Хп)= РСХ>(Х") ■ мхп+1|х-) =

V п т

= П^№|х*-1) ■ П Мхг|х*-1), 1 ;

г=1 г=^+1

где х^ = (Хт,... ,Хп)и pj(Хп|хп-1) — условная плотность Хп, зависящая от хп-1. Мы считаем, что наблюдение является независимым и одинаково распределенным. Обозначим /<х(х) — плотность в нормальном (до разладки) режиме, и /о(х) — плотность в режиме после разладки, т. е. в этом случае (1) записывается с Рж^^Х1-1) = Хг) и РоШХг-1) = ¡о(Хг).

В данной работе наиболее удачно подходит максиминная постановка, в которой момент разладки V — неизвестное, но не обязательно случайное число.

Любая последовательная процедура обнаружения дает время остановки Т для наблюдаемого процесса {Хп}.

Как предложено в [4], в максиминной постановке риск, связанный с ложной тревогой, разумно измерять как максимальную локальную вероятность ложной тревоги (ЬРРА) в определенном окне М, определенную как

ьрел(Т) = вирР^(£<Т < I + М), (2)

1>0

а риск, связанный с обнаружением, — как минимальную вероятность правильного обнаружения (РБ) в определенном окне Ж, определенную как

рб = М Ри(и<Т < и + Ы). (3)

и >0

Однако в задаче инициализации следов объектов разумно задать размеры обоих временных окон М и N одинаковыми N = М.

Для 0 < /3 < 1, пусть сд = {Т : ърел(Т) < /3} — класс процедур обнаружения, для которого локальная вероятность ложной тревоги во временном интервале фиксированной длины N > 1 не превосходит заданного уровня /3. В максиминной постановке цель — найти оптимальную процедуру, которая максимизирует в классе Сд вероятность правильного обнаружения (3) во временном интервале фиксированной длины N > 1.

3. Процедуры обнаружения

Обозначим «ик : V = к» и : V = те» — гипотезы, что разладка (появление следа

от наблюдаемого объекта) происходит в момент времени 0 ^ к < те, и что разладка не происходит никогда (т. е. объект не появляется никогда) соответственно. Тогда, используя (1), мы получаем отношение правдоподобия между этими гипотезами для выборки x«. = (xl,..., хп)

= Рк(Хп) = р^(Хк) ■ Ро(Х«+11Хк) = ЬКк'П = Рж(Х«) = рж(Х«) =

= Пк=1 Р<*>(Ъ х-1) ■ П«=к+1 Ро№|х»-1) = П«=1 Р^ХгХ-1)

= А ро(Хг1Х-1)

= ^|хг-1)' к<П

Так как наблюдения являются независимыми и одинаково распределенными, а р^(Хг1Хг-1) = /^(Хг) И Ро(Хг\Хг-1) = /о(Хг), тогда

«к« = г=П Ш• к<"■

Обозначим Сг = /о№)//те(Хг).

В качестве наблюдения рассматривается гауссовская модель:

Хг = 01{г>и} + Сг , I > 1, (4)

где {Сг}{г>1} _ нормальная (гауссовская) М(0, а2) независимая и одинаково распределенная последовательность, 9 > 0, т.е. мы имеем изменение в среднем независимой и одинаково распределенной гауссовской последовательности. Здесь и далее Ид — индикатор события В. В случае гауссовской модели наблюдений отношение правдоподобия

(9 92 Л

С =6ХР{ - - (^

3.1. Алгоритм K/N

Мы рассматриваем алгоритм инициализации следов объектов K/N. На каждом последовательном скане принимается решение о наличии объекта. Для принятия решения на каждом скане мы сравниваем отношение правдоподобия C из (5) с порогом. Если порог превышен, то ставится отметка о наличии объекта. Если на N последовательных сканах не менее К отметок (обнаружений) о наличии объекта, то след интересующего объекта инициализируется. В противном случае окно смещается последовательно на один скан, и процедура повторяется. Так как Cn(Xi) монотонно возрастает по Xi, мы можем принимать решение о наличии объекта, сравнивая наблюдение Xi из (4) с порогом h:

1, если Xi ^ h, 0, если Xi < h.

Тогда, время остановки алгоритма K/N:

TK/N = inf

n ^ N : Y^ Ut > К

i=n-N+l

(6)

Чтобы подобрать оптимальный порог, мы можем рассматривать задачу инициализации следов объектов как схему испытаний Бернулли [5], в которой «успех» и «неудача» (обнаружение или не обнаружение на каждом последовательном скане соответственно) определяются вероятностями д^)(1) и д^)(0) соответственно:

ди)(0) = 1 - %)(1) = Ф (, 3 =0,1, (7)

где Ф ^н , з =0,1, является функцией распределения гауссовской случайной величины:

ф (^)=2 [1+«- (^);

Таким образом, получена зависимость вероятности обнаружения на каждом последовательном скане от порога и параметров наблюдаемого сигнала.

Вероятность ровно К успехов в N последовательных испытаниях Бернулли

Р« = рк(1 - р)"~к,

где С¡у — биномиальный коэффициент, ар — вероятность «успеха» в каждом последовательном испытании Бернулли.

Тогда, используя (7), мы можем получить рабочие характеристики алгоритма К/И в окне [1, N1:

N

ЬРЕА^ = £ С^0)(%5Г(0), (8)

г=К

И

N

РБ^ = £ (0). (9)

На рис. 1 представлен пример зависимости рабочих характеристик (ЬРЕА и рг)) алгоритма К/И от порога для в = 1.

Рис. 1. Зависимость LPFA и PD от порога для алгоритма K/N

3.2. Алгоритм движущегося среднего

Для сравнения мы предлагаем алгоритм РМА, который основан на методе последовательного обнаружения разладки. В окне фиксированной длины N считается логарифмическое отношение правдоподобия и суммируется по N последовательным сканам и сравнивается с порогом А. Если порог превышен, то принимается решение об инициализации следа интересующего нас объекта. В противном случае окно смещается последовательно на один скан, и процедура повторяется. Таким образом, алгоритм РМА не что иное, как время остановки

tfma = inf

n ^N : Y^ lo§ ^ A

i=n-N+1

(10)

Как и в разделе 3.1, мы можем получить теоретическую оценку рабочих характеристик алгоритма РМА в окне [1^].

В гауссовской случае сумма логарифмических отношений правдоподобия в окне [1, Щ:

N

Xl'N =

г=1

2а2

N.

(11)

Так как У(№) = ^Хг — гауссовская случайная величина М(И ■ ■ а2), то, используя данное свойство гауееовекого распределения и (11), мы получаем теоретическую оценку рабочих характеристик алгоритма РМА в окне [1,^]:

LPFAfMA

1+erf

С

N в2 ' 2а2

A

V2NÖ2

(12)

pd

N

FMA

-A

1 + erf 2а

^ VrnO2 /

(13)

1

2

и

1

TT.reshiold

Рис. 2. Зависимость LPFA и PD от порога для алгоритма FMA

Таким образом, и для алгоритма FMA получена зависимость характеристик обнаружения в зависимости от порога и параметров наблюдаемого сигнала.

На рис. 2 представлен пример подобной зависимости рабочих характеристик (LPFÄ и PD) алгоритма FMA от порога для в = 1.

4. Численное сравнение алгоритма K/N и алгоритма движущегося среднего

В этом разделе сравним рабочие характеристики (lpfa and pd) алгоритмов K/N и FMA, используя метод Монте-Карло. Минимум в (3) достигается при v = 0. Максимум в (2) достигается при I = N — 1. Однако мы заинтересованы в первую очередь в том, чтобы lpfa не превышала заданный уровень ß, и lpfa^/^ ~ LPFA^ma- Поэтому, для простоты, мы будем считать lpfa в окне [1, N].

4.1. Параметры симуляций

1. Мы заинтересованы в низком отношении сигнал-шум (I = в2/2а2). Поэтому мы задаем, 9 = 1; а2 = 1, и в этом случае отношение сигнал-шум I = 0.5.

2. Заданный уровень ЬРРА £ = 0.2; 0.15; 0.1 0.05; 0.02; 0.01 0.001.

3. Результаты симуляций Монте-Карло очень близки к теоретическим оценкам. Поэтому, чтобы получить характеристики, мы подбираем пороги, используя (8), (9), (12), (13).

4. Длина окна N варьируется с 5 до 15.

5. Число прогонов Монте-Карло М = 106, что более чем достаточно, чтобы получить очень точные оценки.

4.2. Моделирование

Моделируем стохастическую модель Хп, используя генератор случайных чисел в (4).

(г)

Чтобы посчитать lpfa, в каждом прогоне Монте-Карло в наблюдении ХП ,n ^ 1 (г = 1,..., М, М-число прогонов Монте-Карло) мы принимаем, что в (4) v = те. В каждом прогоне Монте-Карло считаем время остановки и Тр^мд, используя (6), (10). Тогда

экспериментальная оценка локальной вероятности ложной тревоги сравниваемых алгорит-

1 М

lpfa^ = М £ V«, },

=1

1 м

lpfafma = М £ V^ }. =1

( )

Чтобы вычислить pd, в каждом прогоне Монте-Карло в наблюдении ХП ,n ^ 1 мы принимаем, что в (4) v = 0. В каждом прогоне Монте-Карло считаем время остановки

и Т^МА, используя (6), (10). Тогда экспериментальная оценка вероятности правильного обнаружения сравниваемых алгоритмов:

1 М 1 м

pd^ = м£V«,}, PDfma = мТ.\T?ma<n}■ =1 =1

Зависимость вероятности правильного обнаружения от локальной вероятности ложной тревоги алгоритмов K/N и FMA представлена на рис. 3.

Рис. 3. Рабочие характеристики (PD vs. LPFA) алгоритмов инициализации следов объектов: K/N и FMA

Таблица 1 показывает результаты сравнения алгоритмов инициализации следов объектов: алгоритм K/N и алгоритм FMA. Видно, что рабочие характеристики алгоритма K/N заметно хуже, чем характеристики алгоритма FMA. Разница тем больше, чем меньше lpfa.

Таблица 1

Рабочие характеристики алгоритмов инициализации следов объектов:

K/N и FMA

Уровень ß, ограничивающий LPFA

N = 5 0.2 0.15 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

PDK/N 0.848 0.800 0.731 0.589 0.418 0.326 0.109

PDPMA 0.921 0.886 0.837 0.719 0.571 0.464 0.197

N = 6 0.2 0.15 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

PDK/N 0.878 0.833 0.772 0.651 0.493 0.389 0.151

PDPMA 0.944 0.917 0.882 0.793 0.658 0.549 0.270

N = 7 0.2 0.15 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

PDK/N 0.908 0.876 0.814 0.708 0.543 0.439 0.179

PDPMA 0.962 0.948 0.913 0.846 0.727 0.633 0.339

N = 8 0.2 0.15 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

PDK/N 0.926 0.901 0.850 0.748 0.600 0.499 0.221

PDPMA 0.976 0.964 0.940 0.885 0.782 0.690 0.402

N = 9 0.2 0.15 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

PDK/N 0.940 0.917 0.875 0.786 0.659 0.557 0.270

PDPMA 0.984 0.975 0.958 0.909 0.825 0.748 0.460

N = 10 0.2 0.15 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

PDK/N 0.956 0.937 0.904 0.828 0.704 0.600 0.310

PDPMA 0.990 0.983 0.969 0.935 0.866 0.795 0.538

N = 11 0.2 0.15 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

PDK/N 0.966 0.949 0.919 0.855 0.737 0.643 0.351

PDPMA 0.993 0.989 0.979 0.951 0.897 0.840 0.595

N = 12 0.2 0.15 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

PDK/N 0.974 0.963 0.938 0.880 0.783 0.692 0.398

PDPMA 0.995 0.992 0.985 0.963 0.917 0.876 0.646

N = 13 0.2 0.15 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

PDK/N 0.980 0.970 0.947 0.899 0.809 0.730 0.443

PDPMA 0.997 0.995 0.990 0.976 0.940 0.899 0.701

N = 14 0.2 0.15 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

PDK/N 0.985 0.977 0.958 0.914 0.835 0.759 0.479

PDPMA 0.998 0.997 0.993 0.981 0.954 0.922 0.748

N = 15 0.2 0.15 0.1 0.05 0.02 0.01 0.001

pdK/N 0.989 0.980 0.965 0.930 0.859 0.787 0.520

PDpmA 0.999 0.998 0.995 0.988 0.965 0.939 0.773

5. Заключение

Результаты показывают, что предложенная процедура инициализации следов объектов движущегося среднего демонстрирует рабочие характеристики значительно лучшие, чем процедура K/N. Кроме того, симуляции Монте-Карло демонстрируют, что формулы для теоретических оценок рабочих характеристик очень точны. Это позволяет существенно упростить процесс выбора порога для алгоритмов обнаружения. Поэтому мы рекомендуем использовать алгоритм движущегося среднего на практике. Полученные результаты имеют очень важное практическое значение.

Работа была поддержана грантом Российского Научного Фонда 18-19-00452 в МФТИ.

Литература

1. Tartakovsky A.G., Nikiforov I.V., Bassevile М. Sequential Analysis Hypothesis Testing and Changepoint Detection/ ser. Monographs on Statistics and Applied Probability. Boca Raton-London-New York : Chapman and Hall/CRC Press, 2014.

2. Blackman S.S. Multiple-Target Tracking with Radar Applications, ser. Artech House Radar Library. Dedham, UK : Artech House, 1986.

3. Tartakovsky A.G., Brown J. Adaptive Spatial-Temporal Filtering Methods for Clutter Removal and Target Tracking // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. Oct. 2008. V. 44, N 4. P. 1522-1537.

4. Tartakovsky A.G. Sequential Change Detection and Hypothesis Testing: General Non-i.i.d. Stochastic Models and Asymptotically Optimal Rules, ser. Monographs on Statistics and Applied Probability 165. Boca Raton, London, New York : Chapman k, Hall/CRC Press, 2020.

5. Tartakovsky A. G., Veeravalli V.V. Change-Point Detection in Multichannel and Distributed Systems, ser. Statistics: a Series of Textbooks and Monographs. New York, USA, 2004. V* 173. P. 339-370.

References

1. Tartakovsky A.G., Nikiforov I.V., Bassevile M. Sequential Analysis Hypothesis Testing and Changepoint Detection/ ser. Monographs on Statistics and Applied Probability. Boca Raton-London-New York : Chapman and Hall/CRC Press, 2014.

2. Blackman S.S. Multiple-Target Tracking with Radar Applications, ser. Artech House Radar Library. Dedham, UK : Artech House, 1986.

3. Tartakovsky A.G., Brown J. Adaptive Spatial-Temporal Filtering Methods for Clutter Removal and Target Tracking. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. Oct. 2008. V. 44, N 4. P. 1522-1537.

4. Tartakovsky A.G. Sequential Change Detection and Hypothesis Testing: General Non-i.i.d. Stochastic Models and Asymptotically Optimal Rules, ser. Monographs on Statistics and Applied Probability 165. Boca Raton, London, New York : Chapman k, Hall/CRC Press, 2020.

5. Tartakovsky A. G., Veeravalli V. V. Change-Point Detection in Multichannel and Distributed Systems, ser. Statistics: a Series of Textbooks and Monographs. New York, USA, 2004. V. 173. P. 339-370.

Поступим в редакцию 18.01.2021