CC BY
24
УДК 519.216.5
B.C. Спивак, А. Г. Тартаковский
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Байесовский подход к наибыстрейшему обнаружению разладки в частично наблюдаемых марковских случайных процессах
Частично наблюдаемые марковские случайные процессы, которые часто называют скрытыми марковскими, составляют класс случайных процессов, которые часто используются в различных практических задачах. В данной работе исследуется эффективность наиболее популярных наибыстрейших алгоритмов обнаружения разладки в скрытых марковских моделях в байесовской постановке. Мы сравниваем рабочие характеристики процедур Ширяева, Ширяева-Робертса и кумулятивных сумм (КУСУМ). Критерием эффективности служит минимизация задержки обнаружения при ограниченной вероятности ложной тревоги. Наилучшие характеристики, как и ожидалось, демонстрирует процедура Ширяева. Лишь незначительно хуже характеристики демонстрирует процедура Ширяева-Робертса. Наиболее часто использующаяся на практике процедура КУСУМ показывает рабочие характеристики заметно хуже других предложенных процедур.
Ключевые слова: обнаружение момента разладки, скрытая марковская модель, процедура Ширяева, процедура Ширяева-Робертса, процедура КУСУМ, прекращение сопровождения цели.
V. S. Spivak, А. G. Tartakovsky Moscow Institute of Physics and Technology
Bayesian quickest changepoint detection approach to partially observe Markov processes
Partially observed Markov processes or the so-called hidden Markov models constitute a class of stochastic processes that are very often used in a variety of practical problems. In this paper, we investigate the efficiency of the most popular quickest changepoint detection algorithms in hidden Markov models of the Bayesian approach. We compare the performance of the Shiryaev, Shiryaev-Roberts, and CUSUM procedures. The efficiency criterion is to minimize the average delay to detection subject to a constraint on the probability of false alarms. The Shiryaev procedure performs the best operating characteristics (as expected). The Shiryaev-Roberts procedure performs only slightly worse operating characteristics. The most popular in practice CUSUM procedure performs significantly worse than other procedures.
Key words: changepoint detection, Hidden Markov model, Shiryaev procedure, Shiryaev-Roberts procedure, CUSUM procedure, target tracking termination.
1. Введение
Мы рассматриваем задачу обнаружения разладки, в которой в качестве модели эволюции процесса во времени используется скрытая марковская модель (далее СММ). СММ
© Спивак B.C., Тартаковский А. Г., 2021
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2021
представляет собой частично наблюдаемый марковский процесс, состоящий из: 1) дискрет-нох'о во времени скрытого от наблюдателя марковскох'о случайного процесса, задающих) пространство состояний системы = [51,..., 5га] с начальным состоянием 50, и из 2) дискретного во времени наблюдаемого случайного процесса У™ = [У\,..., Уп], предоставляющего косвенную информацию о состоянии системы [1|.
Математически СММ описывается следующим образом: задаются
1) конечное (^)-мерное пространство состояний, из которого задается состояние {0,... ,с! — 1}, начальное состояние 50 инициализируется с помощью следующей функции вероятности:
Р (5о = «о) = ^о);
2) матрица вероятностей перехода (параметризованная в) между состояниями из в 8П:
р (Яп = 5п|5га_1 = 5п_1) = Рв («п_1,«п), п = 1, 2,...; (1)
в
процесс Уп в каждый момент времени п в зависимости от состояния системы:
Уа - ¡в (Уп1Уп_1,8п), П =1, 2,... (2)
Разладка изменение вероятностного закона, описывающего СММ, происходит в неизвестный момент времени V. Матрица вероятностей перехода (1) и модель наблюдения (2) претерпевают изменение (из во в в^) в момент разладки V. В последовательной постановке, пока поведение наблюдений согласуется с нормальным состоянием, следует продолжать процесс. Если поведение наблюдений изменяется, то нужно как можно скорее обнаружить это изменение (разладку). На рис. 1 приведен пример наблюдения, удовлетворяющих) СММ, а на рис. 2 пример обнаружения разладки в нем.
Рис. 1. Пример наблюдаемого процесса
В данной работе мы рассматриваем байесовскую постановку задачи (раздел 2). Для нее мы изучаем и сравниваем рабочие характеристики трех наиболее популярных наибыстрейших правил обнаружения разладки (раздел 3): процедура Ширяева, процедура Ширяева Робертса, процедура Кумулятивных Сумм (КУСУМ). Процедура Ширяева оптимальна в случае независимых и одинаково распределенных наблюдений в байесовской постановке, в которой момент изменения случайная величина из геометрического распределения [2|. Поскольку процедура Ширяева плохо применима на практике, интересно изучить, насколько хуже рабочие характеристики имеют процедуры Ширяева Робертса и КУСУМ, которые
не используют априорное распределение момента разладки. Исследование проводится для двух моделей: СММ с Гауееовеким наблюдением (раздел 4) и СММ, описывающая задачу прекращения сопровождения цели (раздел 5). В разделе 6 представлены выводы но проделанной работе.
Рис. 2. Пример обнаружения разладки в наблюдаемом процессе
2. Байесовская постановка
Рассмотрим байесовскую постановку, в которой момент разладки v — случайная величина, не зависящая от наблюдений. Мы считаем, что распределение вероятностей P(v = к) = ж к, к = 0,1, 2,..., является геометрическим:
P(v = k) = p(1 - р)к, к = 0,1, 2,..., (3)
где 0 < р < 1.
Любая последовательная процедура обнаружения разладки это правило, останавливающее наблюдаемый процесс {Xn}n^z+ в момент времени Т. Ложная тревога происходит, когда Т ^ v.
Обозначим P к вероятность, когда разладка происходит в момент времени v = к £ Z+, Z+ = {0,1,...}, Eк — соответствующее математическое ожидание P^(•) = Y1 те=0Pfc(•), E^ — математическое ожидание по мере P\
Из [3] в байесовской постановке риск, связанный с ложным срабатыванием, обычно измеряется как взвешенная вероятность ложной тревоги (probability of false alarm PFA):
те
PFA(T) = P*(T < v) = Y, P^(T < k). (4)
k=l
В свою очередь риск, связанный с задержкой в обнаружении, обычно измеряется как средняя задержка обнаружения (average detection delay ADD):
те
Ek[T - k\T > к^те^ > к)
ADD(T) = E-[T - uIT >u] = -1 - PFA{T)-. (5)
Мы рассматриваем класс процедур обнаружения Са = {Т : PFA(T) ^ а}. Вероятность ложной тревоги ограничена а, 0 < а < 1. Цель байесовской постановки задачи — найти оптимальную процедуру, которая минимизирует в классе Са среднюю задержку обнаружения.
3. Процедуры обнаружения разладки
Пусть «И^ : V = к» и «И« : V = те» — гипотезы, что разладка в наблюдении происходит в момент времени 0 ^ к < те, и что разладка не происходит никогда, соответственно. Отношение правдоподобия между этими гипотезами:
Сп = р ти) т
= р (у^и«,). 1Ь}
3.1. Процедура Ширяева
Из [4] статистика процедуры Ширяева, в которой используется параметр априорного распределения (3) момента разладки р, определяется как
= £ (1 — р)к_1_п ) = (1 — р)к_1_п^- (7)
к=1 У (У1 |И«) к=1
Процедура Ширяева оптимальна в случае независимых и одинаково распределенных наблюдений в байесовской постановке с геометрическим распределением момента изменения в наблюдениях. Если отношение правдоподобия не зависит от момента разлад-к
ний и часто для марковских и скрытых марковских моделей [4], т.е. (6) сводится к £п = Р0(У{11УГ_ 1)/Р«(УГI¥Г_1), статистика Кп,р удовлетворяет рекурсии
Кп,р = (1 + Яа_1,р)1П ^ 1, По,Р = 0. (8)
1— р
Процедура Ширяева относительно порога А определяется как
ТА = М {п ^ 1 : Ка,р ^ А} , А > 0. (9)
3.2. Процедура Ширяева^Робертса
Из [4] статистика процедуры Ширяева-Робертса Ип определяется как
Я = А р(УПН) (Ш
Я = кЬ р (УПи«). (10)
Если Сп не зависит от момента разладки к, тогда из [4] статистика процедуры Ширяева-Робертса удовлетворяет рекурсии
Кп = (1 + Кп_1)Сп, п > 1, Яо = 0. (11)
Процедура Ширяева-Робертса относительно порога В определяется как
Тв = ^ {п ^ 1 : Яп ^ В} , В> 0. (12)
3.3. Процедура КУСУМ
Из [4] статистика КУСУМ Уп = в экспоненциальной форме определяется как
Уп = шах {1, шаЛ Р(У^Ик) \ \ , (13)
га \ , 1шк<п\р(17|и«н/,
и если не зависит от момента разладки к, то из [4] статистика КУСУМ удовлетворяет рекурсии
Уп = шах {1,УП_1 }СП, п ^ 1, Уо = 1. (14)
Процедура КУСУМ относительно порога С определяется как
Тс = Ш {п ^ 1 : Уп ^ С} , С> 0. (15)
4. С ММ с Гауссовским наблюдением
Мы рассматриваем задачу, в которой текущий наблюдаемый сигнал и последующее состояние зависят от текущего состояния (пусть (й = 2)-мерное пространство состояний). Тогда матрицы перехода (1) из предыдущего состояния в текущее рво(Бп = = 8п-1)
и ,р01 (Бп = sn|Sn_1 = ,зп-1) — до и после разладки соответственно
р ( ) = А -аво «00 р ( ) = (1 -а01 ^
Если V — момент разладки, модель наблюдений (2) /во (У,^^^) и ¡в1 (Уи ^) — модель наблюдений до разладки и после разладки соответственно.
Используя правило Байеса и то, что Р(У1|У^'-1, Ик) = Р(У1|У11-1, И«) для 1 < I < к — 1, получаем из (6) отношение правдоподобия (Ск)'-
к Цр^у,'-1,И«) \}„Р(У1\у'_1,И«) ( '
Пусть г\ = Р(Бе = ЦУ^'-1, И«), г = 0,1. Непосредственное вычисление для Р(У|У/-1, И«) дает
Р (У у1-1, И«) = г°е>« ¡во (У Б = 0) + г},« ¡во (У Б = 1), I = 1,2,... (17)
Тогда г\ удовлетворяет следующей рекурсии:
г = Рво(0,¡во(У^Б- = 0) + рво(1, г)г\_1>«¡во(У-1 |Б-1 = 1) Г£'« Г0_1« ¡во ( У_1|Б,_1 = 0) +г]_1« ¡во (У_1 = 1) , (18)
гго,« = Р (Бо = г)=^во (г), г = 0,1.
Пусть г\к = Р(Бе = г|1, Ик) тогда, обобщая (17) для Ик, получаем выражение для
Р(У|У/-1, И)
Р(УДУ*-1, Ик) = г0°киа(УгБ = 0) + г\^ва(УБ = 1), I > к. (19)
Рекурсия для гге к имеет вид
г Рва(0, г)г°о_1к¡вь(У1_1|Б1_1 = 0) + рва(1, г)г]^¡вь(У-^- = 1)
гр° —— _I_I_
1к Г0_1кк ¡вь ( У1_1|Б1_1 = 0) + г\_1к ¡еь ( У1_1|Б1_1 = 1) , (20)
гго,к = Р (Бо = г)=пво (г), г = 0,1,
где
{0, если I < к 10, если I < к
1, если I > к ' 1 1, если 1> к
Вычисляя из рекурсий (18) и (20) и г^ мы получаем Р(У|У/-1, И оо )
Р(У^У^-1, Ик) из (17) и (19) соответственно. Затем, подставляя полученные значения в (16), получаем отношение правдоподобия С, которое используется при вычислении статистик для процедур обнаружения разладки Ширяева, Ширяева-Робертса, КУСУМ (7), (10), (13).
а
4.1. Численное сравнение алгоритмов обнаружения разладки
Для вычисления рабочих характеристик рассматриваемых процедур обнаружения используем метод Монте-Карло. Для каждого прогона Монте-Карло моделируем СММ: последовательность состояний {Sn^}, п > 1 (j = 1,..., N, N — число прогонов Монте-Карло), используя модель Бернулли, и соответствующую ей последовательность наблюдений {Yn^ }. Также мы генерируем случайный момент разладки Uj согласно геометрическому распределению (3). В каждом прогоне Монте-Карло мы получаем, согласно (9), (12), (15), время остановки Тд \ Т(\ j = 1,...,N для процедур Ширяева, Ширяева-
Робертса и КУСУМ соответственно. Прогоны Монте-Карло, которые приводят к ложным срабатываниям, т.е. Т< Vj, используются для вычисления экспериментальных оценок
Монте-Карло вероятности ложной тревоги PFA (4):
_ 1 N
PFA(T^ = N £ ^},
3 = 1
_ 1 N
PFAiTB) = n Е }, (21)
3 = 1
_ i N
PFA(Tc ) = NN E }.
3=1
Тогда экспериментальная оценка Монте-Карло средней задержки обнаружения ADD (5)
1 N 1 Жад ) = NN Ш'- ") V > T-WA(F7>
1 N 1
ADD{TB) = — V (Т^) - иЛ Ux ,-^^-, (22)
) N Ч } 1 -PFA(TB), 1 '
1 N 1
Ad(tc > = N Е w -О } T-WA^.
Параметры моделирования
1) Параметры СММ: од0 = 0.2, adl = 0.35, = 0.5, ^ = 0.4,
^ \М(1,1) если Sn = 0 До разладки : Yn
[N(-2,1) если Sn = 1
\Я(2.5,1) если Sn = 0 После разладки : Yn = <
\М(-0.5,1) если Sn = 1.
2) Параметр геометрического распределения: р = 0.5; 0.1; 0.01.
3) Заданный уровень, ограничивающий PFA: a = 0.2; 0.15; 0.1 0.05; 0.01.
4) Порог для процедуры Ширяева устанавливается как A = (1 — a)/a, для процедур Ширяева-Робертса и КУСУМ: В = (1 — р)/(ра).
5) Число прогонов Монте-Карло: N = 106 Результаты моделирования
В табл. 1 приведены результаты моделирования Монте-Карло. Как и ожидалось, процедура Ширяева работает лучше остальных. Но, так как она работает при условии известного априорного распределения момента разладки, это делает её плохо применимой в большинстве практических задач. В свою очередь процедура Ширяева-Робертса, не использующая априорное распределение, имеет близкие к процедуре Ширяева рабочие характеристики.
Эта разница тем меньше, чем меньше р. Наиболее популярная на практике процедура КУСУМ имеет хуже характеристики, чем процедуры Ширяева и Ширяева-Робертса. Этот
Таблица 1
Рабочие характеристики алгоритмов обнаружения
р а АОВ(ТА) АВО(Тв) АОО(Тс) РРА(Та) РРА(ТВ) РРА(ТС)
0.5 0.2 0.64 0.67 0.81 0.177 0.178 0.184
0.5 0.15 0.80 0.89 1.12 0.139 0.131 0.133
0.5 0.1 1.09 1.12 1.50 0.095 0.087 0.094
0.5 0.05 1.28 1.34 1.71 0.074 0.072 0.075
0.5 0.01 2.98 3.23 4.05 0.009 0.009 0.0087
0.1 0.2 2.83 2.91 3.04 0.183 0.190 0.207
0.1 0.15 3.28 3.35 3.50 0.139 0.143 0.151
0.1 0.1 3.77 3.90 4.07 0.094 0.92 0.103
0.1 0.075 4.35 4.41 4.58 0.074 0.071 0.75
0.1 0.01 7.80 7.89 8.09 0.0095 0.0105 0.0098
0.01 0.2 7.21 7.71 8.02 0.201 0.188 0.204
0.01 0.15 7.76 8.28 8.54 0.148 0.118 0.120
0.01 0.1 8.52 8.81 8.96 0.094 0.099 0.097
0.01 0.075 9.36 9.66 9.85 0.074 0.062 0.080
0.01 0.01 13.54 13.77 13.98 0.0095 0.0088 0.0101
5. Задача прекращения сопровождения цели
Для иллюстрации практической применимости СММ рассмотрим задачу прекращения сопровождения цели в активных сонарных системах [6]. Из-за постоянно меняющихся подводных условий, в частности, геометрических, географических эффектов, реверберации, отношение сигнал-шум (БМИ) может существенно изменяться. Из-за этого производительность датчика при каждом последовательном сканировании может резко меняться: между низким и высоким уровнем обнаружения на каждом сканировании. Чтобы решить эту проблему, разумно использовать СММ. Марковская цепочка (скрытая от наблюдателя компонента) состоит из двух возможных состояний, соответствующих высокой и низкой вероятности обнаружения. Наблюдаемая компонента — последовательность сканов, на каждом из которых цель присутствует или нет. Вероятность обнаружения цели на каждом последовательном скане зависит от состояния обнаружения (скрытой компоненты). Таким образом, задача прекращения сопровождения цели в активных сонарных системах может быть рассмотрена как задача наибыстрейшего обнаружения разладки с СММ: если разладка не произошла (цель присутствует в наблюдаемой зоне), следует продолжать наблюдение и сопровождение цели, но, если разладка произошла (цели в наблюдаемой зоне больше нет), необходимо это обнаружить как можно скорее и прекратить наблюдение и сопровождение.
Обозначим {Хп} скрытую марковскую компоненту. Тогда Хп = 1 соответствует состоянию с высокой вероятностью обнаружения сонаром (БМИ большое), и Хп — 2 соответствует состоянию с низкой вероятностью обнаружения сонаром (БМИ низкое). Таким образом, Хп £ {1, 2} — скрытая марковская цепочка. Пусть Р^ — вероятность перехода между состояниями, где 2 = те и j = 0 задают вероятность перехода до и после разладки соответственно. Тогда Р)(Хп = 1|ХП_1 = 2) = р^(2,1) = р,п ^ 1 — вероятность перехода из состояния с низким БМИ в состояния с большим БМИ, и Р)(Хп = 2|Хга_1 = 1) = рj(1, 2) = д,п ^ 1 — вероятность перехода из состояния с большим БМИ в состояния с низким БМИ. Начальное состояние Х0 определяется го распределения Рj (Х0 = 1) = (1) = р/(р + я) для ] = те и 3=0.
Согласно гипотезе до разладки : V = те, условная плотность наблюдений Уп
р(Уп\¥0п-1,Хп = £, Нте) = де(Уп), I = 1, 2, п > 1,
и согласно гипотезе Н к : V = к, наблюдения после разладки Ук, Ук+1,... являются независимыми и одинаково распределенными с плотностью /(у).
Таким образом, совместная плотность до разладки вектора Щ:
^№П) = П (23)
г=1
Совместная плотность вектора Щ, при условии, что V = к <п:
к—1 п
рк ( уп) = п р^шг1) х п да). (24)
г=1 г=к
Таким образом, используя (23) и (24), преобразуем отношение правдоподобия (6):
Сп = / (Уп)/р^(Уп\У0п-1). (25)
то для подсчета статистик процедур обнаружения мы будем использовать формулы (8), (11), (14).
В (23) рте(1гЦг-1) есть не что иное, как
р~(ВД-1) = Ёде(Уг)Р(Хг = 1\У0г-1), г > 1, (26)
1=1
где Р(Хг = 1) = Рг|г—1 (I) — апостериорная вероятность, и она может быть посчитана
как
Рг|г-1 (2) = Рг-1(2)(1 - р) + Рг-1(1)<?, Рг|г-х(1) = Рг-1(1)(1 - <?) + Рг-1(2)р, (27)
где Рг(1) := Р(Хг = 1\уг) — апостериорная вероятность, которая, согласно формуле Байеса, получается
' р-(<) ^ *(у Ум . <28>
Как описано выше, наблюдение {Уп} — последовательность обнаружений цели на каж-
п Уп = 1
на ^^ ^ше, то Уп = 0. При моделировании мы используем схему Бернулли, в которой успех (Уп = 1) задается вероятностями обнаружения при однократном сканировании Р1 и р2 дЛЯ 50ЛЬШ0Г0 и низкого БN11 соответственно. Тогда
де(Уп) = (р!)¥п (1 -РеЛ)1-¥п, I = 1,2; ¡(Уп) = (Р/а)¥"(1 -Р/а)1-У", (29)
где Р^, Р" и Р/а удовлетворяют неравенствам Р^ > Р" > Р/а.
Используя формулы (26), (27), (28), (29), получаем отношение правдоподобия (25), которое используется при вычислении статистик для процедур обнаружения разладки Ширяева, Ширяева-Робертса, КУСУМ (8), (11), (14).
5.1. Численное сравнение алгоритмов обнаружения разладки
Моделируем стохастическую модель: ({Хга}, {Уп}, г/), используя генератор случайных чисел. Для каждого прогона Монте-Карло получаем, согласно (9), (12), (15), время остановки Т{2\ тЦ\ Т^,г = 1,...,Ы. Вычисляем АББ и РРА аналогично (22) и (21). Параметры моделирования
1) Параметры СММ: р = 1/30, д = 1/10 Р] = 0.9, Р| = 0.1 Рfa = 0.1.
2) Параметр геометрического распределения: р = 0.5; 0.1; 0.01.
3) Заданный уровень, ограничивающий РРА: а = 10-1; 10_2; 10_3; 10_4.
4) Порог для процедуры Ширяева выбирается как А = (1 — а)/а, а для процедур Ширяева-Робертса и КУСУМ — В = (1 — р)/(ра).
Результаты моделирования. Результаты моделирования представлены в табл. 2. Как и для модели из раздела 4, процедура Ширяева-Робертса лишь незначительно уступает процедуре Ширяева, при р ^ 0 разница становится совсем незаметной. В свою очередь популярная процедура КУСУМ для данной модели имеет весьма низкие рабочие характеристики, заметно уступая и процедуре Ширяева, и процедуре Ширяева-Робертса.
Т а б л и ц а 2
Рабочие характеристики алгоритмов обнаружения
Pfg = 0.1,р = 1/30, g = 1/10, Pj = 0.9, Pj = 0.1
р а ADD(TA) ADD(TB) ADD(TC) PFA(TA) PFA(TB) PFA(TC)
0.5 0.1 1.533 1.764 4.745 0.09145 0.08647 0.09155
0.5 0.01 4.320 5.137 31.164 0.00981 0.00983 0.00997
0.5 0.001 7.647 8.8643 49.070 0.000906 0.000904 0.00092
0.5 0.0001 10.721 11.955 54.379 0.000098 0.000092 0.000093
0.1 0.1 12.177 12.237 40.339 0.09325 0.09276 0.09025
0.1 0.01 28.486 28.818 55.942 0.009334 0.009106 0.009366
0.1 0.001 45.466 46.187 75.039 0.000962 0.000932 0.000903
0.1 0.0001 63.546 63.617 94.514 0.000092 0.000092 0.000086
0.01 0.1 70.381 70.519 77.805 0.09795 0.097176 0.09858
0.01 0.01 134.448 134.672 141.706 0.009812 0.00999 0.00994
0.01 0.001 199.416 200.332 206.377 0.00097 0.00096 0.00099
0.01 0.0001 264.739 266.71 269.840 0.000098 0.000097 0.000090
0.001 0.1 166.184 166.280 170.473 0.09861 0.0979 0.09992
0.001 0.01 256.426 258.430 260.535 0.009866 0.00956 0.009801
0.001 0.001 344.781 344.810 349.665 0.0009866 0.00094 0.00090
0.001 0.0001 432.422 432.572 436.921 0.000098 0.000098 0.000096
6. Заключение
Было проведено исследование рабочих характеристик наиболее популярных наибыстрейших процедур обнаружения разладки Ширяева, Ширяева-Робертса, КУСУМ. Критерием эффективности для их сравнения служила средняя задержка обнаружения ADD при ограниченной вероятности ложной тревоги PFA. В качестве модели наблюдения использовались две различные скрытые марковские модели. В результате моделирования получено, что для обеих моделей процедура Ширяева имеет наилучшие рабочие характеристики. Однако процедура Ширяева-Робертса, не использующая, в отличие от процедуры Ширяева, априорное распределение момента разладки, имеет рабочие характеристики лишь незначительно хуже, чем процедура Ширяева. Эта разница уменьшается при р ^ 0. В свою очередь наиболее популярная процедура КУСУМ уступает обеим процедурам (в
первой модели незначительно, но во второй существенно). Исходя из полученных результатов, мы рекомендуем использовать процедуру Ширяева-Робертса в практических задачах по обнаружению разладки в скрытых марковских моделях. Результаты исследования очень полезны и для большинства других приложений.
Работа была поддержана грантом Россиского Научного Фонда 18-19-00452 в МФТИ.
Литература
1. Rabiner L.R. A tutorial on hidden Markov models and selected applications in speech recognition 11 Proceedings of the IEEE. 1989. V. 77, N 2. P. 257-286.
2. Shiryaev A.N. On optimum methods in quickest detection problems // Theory Prob. Appl. 1963. V. 8, N 1. P. 22-46.
3. Tartakovsky A.G. On asymptotic optimalitv in sequential changepoint detection: Non-idd case // IEEE Transactions on Information Theory. October 2015.
4. Tartakovsky A.G., Nikiforov I.V., Bassevile M. Sequential Análisis Hypothesis Testing and Changepoint Detection. Ser. Monographs on Statistics and Applied Probability. Boca Raton-London-New York : Chapman and Hall/CRC Press, 2014.
5. Tartakovsky A.G., Moustakides G. V. On Asymptotic Optimalitv in Sequential Changepoint Detection: Non-iid Case // IEEE Transactions on Information Theory. October 2015.
6. Blanding W.R., Willet P.K., Bar-Shalom Y. Multisensor track management for targets with fluctuating SNR // IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems. 2009. V. 45, N 4. P. 1275-1292.
References
1. Rabiner L.R. A tutorial on hidden Markov models and selected applications in speech recognition. Proceedings of the IEEE. 1989. V. 77, N 2. P. 257-286.
2. Shiryaev A.N. On optimum methods in quickest detection problems. Theory Prob. Appl. 1963. V. 8, N 1. P. 22-46.
3. Tartakovsky A.G. On asymptotic optimalitv in sequential changepoint detection: Non-idd case. IEEE Transactions on Information Theory. October 2015.
4. Tartakovsky A.G., Nikiforov I.V., Bassevile M. Sequential Análisis Hypothesis Testing and Changepoint Detection. Ser. Monographs on Statistics and Applied Probability. Boca Raton-London-New York : Chapman and Hall/CRC Press, 2014.
5. Tartakovsky A.G., Moustakides G. V. On Asymptotic Optimalitv in Sequential Changepoint Detection: Non-iid Case. IEEE Transactions on Information Theory. October 2015.
6. Blanding W.R., Willet P.K., Bar-Shalom Y. Multisensor track management for targets with fluctuating SNR. IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems. 2009. V. 45, N 4. P. 1275-1292.
Поступим в редакцию 18.01.2021
