Эффективность сжатых стержней Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ

УДК 539.3

Э.В. Антоненко, Н.С. Хлопцева ЭФФЕКТИВНОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Первые попытки отыскания оптимальной формы сжатых осевыми силами колонн принадлежат Ж.Л. Лагранжу. Для нахождения максимальной осевой критической силы Р* колонны сплошного кругового поперечного сечения при ее минимальном объеме V он ввел величину Р*/У2, назвав ее эффективностью. До настоящего времени решение такой задачи в общем виде отсутствует [1-4].

Снижение материалоемкости, характеризующееся отношением критической силы к массе стержня стало актуальным в период развития авио- и ракетостроения. Результаты расчета устойчивости стержней переменного сечения, связанные с этой проблемой, нашли отражение в справочной литературе [5]. Однако рекомендаций по выбору эффективной формы стержней обнаружить не удалось.

Предлагаются решения задачи устойчивости стержня переменного по длине поперечного сечения с учетом его массы и рекомендации по выбору закона изменения поперечного сечения.

Критические силы потери устойчивости геометрически неоднородных стержней определялись методом Рэлея:

]'Б(х)[ш"(х)]2 Ах

Р* = Ь-' (!)

]>'(х)]2 Ах о

где О(х) = Е1 (х) — изгибная жесткость, ,ш(х) — функция прогиба оси стержня, I — его длина, х — осевая координата.

Рассматривались стержни сплошного кругового сечения (I = пЯ4/4) с переменным по длине радиусом Я(х) и кольцевого поперечного сечения (I =

= пЯ3£(ж)) с радиусом средней поверхности Я и переменной вдоль оси стержня толщиной £(ж). Определялась их масса т и эффективность

- Р* р =_*

т

Эффективность неоднородного Р^ сравнивалась с эффективностью однородного стержня Р^. При одинаковой массе неоднородного и однородного стержней весовая выгодность оценивалась показателем

Y =

P н

-1 *

При 7 > 1 неоднородный стержень «выгоднее» однородного. По показателю 7 и заданной величине требуемой критической силы можно оценить массу стержня (колонны).

Расчеты проводились для трех граничных условий: 1 — шарнирное опи-рание, 2 — защемление и 3 — консольное закрепление. Функции прогиба соответственно задавались в виде

nx

nx

nx\

^(ж) = А БШ^, = А 8Ш2 , и>3(ж) = А (1 — СО^^ ].

I I V 21 /

При расчете критических сил и массы однородных стержней, равных по массе неоднородным той же длины, вводилось понятие среднего радиуса Яср и средней толщины £ср, обеспечивающих изгибную жесткость Рср.

Формулы для Р*, полученные из (1), представлялись в виде известных формул для соответствующих граничных условий с поправочным коэффициентом к [4]. Например, для кольцевого составного, шарнирно закрепленного стержня

, 2 Т^ гт Т^ 7 7 Т» Т . ЛТ\ иг 7 8Ш2п/

Po = (f)2 De, PH =_P*°k, k = N + ¿3(1 - N),

Y = k[/ + ¿(1 - /)]-3, / = /1//, ¿ = ¿2/¿i.

N = /-

2n

Рассматривались несколько законов изменения R(x) и ¿(x) (таблица).

Для сплошного сечения Для кольцевого сечения

I. Составной стержень ад = (0 5 x 2 \Д2, /l < X < /, Rcp = Ri\J/ + R2(1 - /), R = R2/R1, / = /1// I. Составной стержень ¿( Г ¿1, 0 < x < /i, \¿2, /l < X < /, ¿cp = ¿1 [/ + ¿(1 -/)], ¿ = ¿2/¿1, / = /l//

II. R(x) = R0 (1 + a sin x), Rcp = Ro^ 1 + 4 a + 2 a2 II. ¿(x) = ¿0 (1 + a sin f-), ¿cp = ¿0 (1 + 2 a)

III. R(x) = Ro(1 + ax), Rcp = Ro^ 1 + a/ + 3 (a/)2 III. ¿(x) = í¿0 (1 + f) , 0 < x < //2, \¿0 (3 - f) , //2 < x</, ¿cp = 1,5¿0

Вычислительный эксперимент показал высокую эффективность для консольного составного сплошного сечения (рис. 1), трубчатого стержня с переменной толщиной (рис. 2), где ó(x) = ó0 (1 + a sin пр), и стержня с переменным радиусом (рис. 3), где R = R0 (1 + a sin пр). Меньшая эффективность оказалась для стержня сплошного сечения, когда R(x) = R0(1 + ax) (рис. 4), где l = al.

Цифры около кривых (1, 2, 3) указывают схему закреплений.

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Авторы располагают аналитическими выражениями и графическими зависимостями P и y для перечисленных ситуаций (I, II, III).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сейранян А.П. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны // Успехи механики. 2003. № 2. С. 45-96.

2. Egorov Y. V. On the Lagrange problem about the strongest colonn // Rapport Interne 02-16. Universite Paul Sabatier, Toulouse. 2002. P. 1-7.

3. Kanno Y., Ohsaki M. Necessary and sufficent conditions for global optimality of eigenvalue optimization problems // Structural and Multidisciplinary Optimization. 2001. V. 22. P. 248-252.

4. Антоненко Э.В., Хлопцева Н.С. Устойчивость неоднородных элементов оболочеч-ных конструкций // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. С. 39-42.

5. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник: В 3 т. М.: Машиностроение, 1968. Т. 3. 568 с.