CC BY
17
Это значит, что, зная коэффициенты полинома и решение в опорных точках, мы можем получить решение во всех произвольных точках любого из трех отрезков в области изменения независимой переменной.
Расчеты показывают, что при I > 3/? аппроксимация производной полиномом приводит к значительным осцилляциям найденной интегральной кривой между опорными точками.
Матричное уравнение, соответствующее таблице, примет вид
М У = Г. (10)
В результате решения уравнения (10) получим значения коэффициентов аь ... а4. Следовательно, мы можем получить решение на трех отрезках в виде
1к </</*+,Д = 1,2,3.
На больших интервалах изменения независимой переменной I » ЗИ решение можно получить методом прогонки. Решение систем дифференциальных уравнений производится аналогично.
Сравнение расчетов по предложенному методу и по методам Гира, Адамса — Маултона, Адамса - Башфорта [1] показало, что для системы уравнений порядка 30 скорость расчета увеличена более чем в два раза.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ортега Дж., Пулл У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 288 с.
УДК 539.3
Н. С. Хлопцева
ОЦЕНКА МАТЕРИАЛОЕМКОСТИ СТЕРЖНЕЙ И КОЛЕЦ, РАБОТАЮЩИХ НА СЖАТИЕ
Весовая выгодность стержней и колец, работающих в условиях сжатия, определяется максимальным значением отношения критических сил р, к весу стержня или кольца С. Для оценки этого отношения введем понятие удельной критической силы
(о
Будем рассматривать стержни трубчатого поперечного сечения и кольца прямоугольного поперечного сечения.
Для определения р, воспользуемся прямым энергетическим методом определения критических нагрузок. Полагая рассматриваемые объекты упругими системами, запишем условие безразличного равновесия, ко-
228
гда потенциальная энергия деформации V равна работе внешних сил А. Для стержня и кольца, соответственно, получим:
и с = ~ 1\0{х){^(х)}2 йЬг; ик = ± ^(Ф^Дф, Хф = --¿V + *');
1 ' 1 АС = г \р* [™'{х)]2 Же; Л = ~
о ^
Условие II = Л дает:
I 2 ^
р,с = ^0(х)[>1-'"(х)]2а!х/ |[м>'(;с)]2 =— 3—^О(ф)соз2 жре&р, (2)
о К К
где Мх) - функция прогиба оси стержня, м/ = и<(®) — радиальные перемещения кольца. Тогда £>(х) = £яЛ3§(х), £>(ф) = 53(ф), где Ь - ширина
кольца, 5 - толщина стенки стержня и кольца.
Из (2) можно получить р, - кр,0, где р*0 - критическая сила однородного стержня или кольца с жесткостью В = й0 [1], а к - поправочный коэффициент, учитывающий закон изменения жесткости и граничные условия.
Для однородного стержня критическая сила потери устойчивости при различных граничных условиях вычисляется по формулам [2]:
Р°ш = (>ия//)21)0 - для шарнирного опирания краев стержня; р?3 = 4р°ш - в случае защемления краев стержня;
р°К = —р°ш - для консольного опирания.
Вес однородного стержня при любых граничных условиях находится по формуле Сс° =у£(5)/, где у — удельный вес материала, - площадь поперечного сечения стержня, а / — собственно длина. Для тонкостенного стержня кругового поперечного сечения толщиной ¿>0 и радиусом срединной поверхности Я имеем
/
Сс° = £Р \2nR5odx = gp2nRБ0l. о
Отношение критической силы к весу (для трех граничных условий, перечисленных выше) соответственно вычисляется по формулам:
—о (тп*)2 Е Л2 1 —о —о —о 1—о
--ур1=4р"' р*=^р ш' (3)
Вес неоднородного стержня для любых граничных условий будет /
иметь значение Сс" Рассмотрены различные случаи из-
о
менения 5(х). Например, для 5(х)= 80(1 + явт-у^) критическая сила потери устойчивости составит р" = кр°, где £ = 1 + д8/Зл - для шарнирного опирания краев стержня, А: = 14- а56/ЗОтс - в случае защемления, к = 1 + а22/6т! - для консольного опирания. Вес стержня в этом случае составит в" = §р2тгЛ 50/И + — |.
V ^
Для неоднородного стержня удельная критическая сила для трех рассматриваемых граничных условий (шарнирного опирания, защемления краев стержня и консольного опирания) соответственно составит:
—н (ткV ЕЯ2 1, ,, —н „ н —н
2^3, р3=3,2рш, рк=0,3рш. (4)
Сравнивая соответствующие формулы (3) и (4) расчета удельной критической силы для каждого из трех рассмотренных видов граничных условий, приходим к выводу, что неоднородный стержень является более выгодным в весовом отношении по сравнению с однородным. Так для классических граничных условий имеем выигрыш в 1,13 раза, а в случае консольного опирания - в 1,32 раза.
Для однородного кольца критическая сила потери устойчивости вычисляется по формуле [3]
п2- 1 л р >к - Л>, IV
Вес однородного кольца находится по формуле Ск° =у Е(8)Ь, где у - удельный вес материала, Р - площадь поперечного сечения кольца, Ъ - ширина кольца. Для кольца прямоугольного поперечного сечения толщиной 50 и радиусом срединной поверхности Я имеем
= £р2л/?506.
Отношение критической силы к весу вычисляется по формуле (1)
_ Е (и2-1) 12р Я4 2л
Вес неоднородного кольца будет иметь значение
71
= 2§р|2лЛ5(ф)Ао!х-. Например, для 5(ср) = 50(1 + дэшср) критическая
о
н ,0 , 2 +За2 6а + 1,4а3 сила потери устойчивости составит р"к = кр"к, где к =--1--------------.
2 л
Вес кольца в этом случае составит Ск" = £р27с/?50б1 1 + —j.
Р (5)
Для неоднородного кольца отношение критической силы к весу будет вычисляться по формуле
н -о 2л+ 3а2л +12,2 +2.8а2
Р =Р -г—-• (6)
2л+ 4 а
Сравнивая формулы (5) и (6) для различных значений а, можно заметить, что неоднородное кольцо в весовом отношении более выгодно, чем неоднородное. Более точные значения для критической силы потери устойчивости неоднородного стержня и кольца можно получить из дифференциальных уравнений.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Антоненко Э. В., Хлопцева Н. С. Устойчивость неоднородных элементов обо-лочечных конструкций // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. С. 39 - 42.
2. Прочность. Устойчивость. Колебания: Справочник: В 3 т. М.: Машиностроение, 1968. Т. 3. 568 с.
3. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1974. 640 с.
УДК 629
Ю. Н. Челноков
ОПТИМАЛЬНАЯ ПЕРЕОРИЕНТАЦИЯ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПОСРЕДСТВОМ РЕАКТИВНОЙ ТЯГИ, ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ*
Рассматривается задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата (КА) с помощью управления, ортогонального плоскости орбиты. При таком управлении орбита КА поворачивается в пространстве как неизменяемая фигура. Для решения задачи используется кватернионное дифференциальное уравнение ориентации орбиты и принцип максимума.
1. Постановка задачи. Требуется определить ограниченное по модулю управление и:
- "max < " £ "max < M=±|u|, (1)
ортогональное плоскости орбиты космического аппарата, переводящее орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями
IcüJdt = к о юп, в>л= со[ii + со212+ шз>з = {г/с) и ii + (с/г2) ¡з, (2) dyldt = clr2, с = const, г =p/(l + е costp), (3)
из заданного начального состояния
i = i0= 0, ф(0) = сро, Х(0) = Х(0)= А(0) о (cos(9o/2) + i3 sin(<p0/2)) (4)
' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 05-01-00347).
231
