CC BY
40
ЭФФЕКТИВНОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ ПАКЕТОВ МОД ИДЕАЛЬНОГО ГРАДИЕНТНОГО ВОЛНОВОДА С ЗАДАННЫМИ ФАЗОВЫМИ СКОРОСТЯМИ
М.А. Бахарев*, В.В. Котляр, В.С. Павельев, В.А. Сойфер**, С.Н. Хонина Институт систем обработки изображений РАН, *) АО НПЦ "СПЕКТР " (г. Самара), **) Самарский государственный аэрокосмический университет
Аннотация
В данной работе разработан подход к повышению эффективности возбуждения мод градиентного волновода с помощью дифракционных оптических элементов (ДОЭ) в задачах уплотнения каналов волоконно-оптической связи, рассмотренных в [1]. Предложена модификация итерационного алгоритма [2], позволяющая существенно повысить эффективность формирования заданного модового состава и вместе с тем избежать уширения импульса, возникающего из-за межмодовой дисперсии [3], в каждом канале связи.
Вводится понятие инвариантного модового пакета - амплитудно-фазового распределения специального вида, обладающего рядом свойств мод лазерного излучения. Приведены результаты вычислительных экспериментов по расчету и моделированию дифракционных оптических элементов, формирующих инвариантные мо-довые пакеты в заданных порядках дифракции, а также по прохождению сформированных пучков через Фурье-каскад.
Введение
В [1] рассмотрена принципиальная возможность повышения информационной емкости каналов связи волоконно-оптических систем с помощью селективного возбуждения мод градиентного оптоволокна. Однако, существенным недостатком элементов, предложенных в [1] для возбуждения заданных гауссовых мод или групп мод (моданов), является их низкая энергетическая эффективность, связанная с появлением паразитных дифракционных порядков. Энергетическая эффективность однопучковых моданов, рассмотренных в [1], не превышала 10-33%.
В [2] был предложен итерационный метод расчета фазовых дифракционных оптических элементов, согласованных с несколькими модами, позволяющий достигать значения энергетической эффективности 85-90%. Метод [2] использует в качестве свободных параметров фазовые сдвиги между формируемыми модами в плоскости формирования мо-довых пучков и значения отсчетов фазовой функции рассчитываемого элемента в плоскости ДОЭ.
Однако, в случае небольшого числа каналов (25) свободных параметров в плоскости формирования модовых пучков может оказаться недостаточно для работы итерационной процедуры [2], что приведет к ощутимой ошибке формирования заданного модового распределения. На Рис. 1 представлена схема возбуждения оптоволокна с селективной модуляцией мод с помощью модана, предложенного в [2] : L - лазер, P - блок коллиматора, M - многопучковый модан, О - линза, Е - оптический сумматор мод, D - оптические модуляторы, F - оптическое волокно. В данной работе с целью увеличения числа свободных параметров предлагается использовать для реализации отдельного информационного канала пакеты гауссовых мод с одинаковой фазовой скоростью распространения. Число свободных параметров (фазовых межмодовых сдвигов) по сравнению с подходом [2] возрастает в т раз, где т - число мод в каждом пакете. В то же время, использование пакета мод с одинаковой фазовой скоростью для реализации отдельного информационного канала позволит избежать уширения импульса, вызываемого межмодовой дисперсией [3].
P
M
O
Б
I
Рис. 1.
1. Фазовая скорость мод лазерного излучения
Для градиентного волоконного световода с поперечно-неоднородным показателем прелом-
ления п(х, у), волновые фронты мод являются плоскостями, а оператор распространения связывает решение й)(х, у, 2) уравнения Гельмгольца [1]
у>(х, у, 7 )+д 2|(( .У ■ 7) + п2 (, у). к2 ,т(х, у, 2 ) = 0 (1) дх
с граничным значением |г=0 = |(х, у,0),
( д д ^
где =
дх' ду
- поперечный оператор Га-
чту
мильтона, а монохроматическое поле описывается в скалярном представлении комплексной амплитудой |(х, у, г ).
Моды поперечно-неоднородного волоконного световода определяются из уравнения [1]:
V 2 у (х, у)+ [к2 п2 (х, у)- Р2р1 ]• у (х, у) = 0, (2)
где ур1 (х, у) - комплексная амплитуда моды с номером р, 1. Для любого расстояния г имеем:
|(х, у,г ) = у р1 -у р1(, у), (3)
У р1 = ехр[(/р р1 +а р1).г ],
где Рр1 - постоянная распространения, ар1 - коэффициент затухания моды ур1.
Собственными функциями оператора распространения света в градиентном оптическом световоде с квадратичным распределением показателя преломления
п 2 (г ) = п2 1 - 2д|-
г = д/ х2 + у2 < а
(4)
Д - константа, являются функции Гаусса-Эрмита и обобщенные функции Гаусса-Лагерра [1].
Обобщенные моды Гаусса-Лагерра определяются следующим выражением:
Ур1(х у) = Ер11 — | • Ёр (— | • ехр
а
—
ехр [1а], (5)
где а- полярный угол вектора (х, у),
г = д/х2 + у2 , (.) - обобщённый полином Лагерра, а -
радиус моды,
Е1 =
фундаментальный 2
- нормировочная константа.
^ 2п • ПС1р+1
Моды Гаусса-Эрмита определяются соотношением:
л/2д
Ур1 (х,у) = Ер, • НрI |.Н,I ^ |.ехр
х2 + у2
(6)
где Нр (.) - полином Эрмита степени р, а - фундаментальный радиус моды ГЭ,
Ер1 =-
п. 2р+1 • р!. 1!
Фазовая скорость в распространения гауссовых мод определяется уравнением [1]
в ^к 2 п2г (+1)
(7)
где Гр1 =р+1 для мод Гаусса-Эрмита и гр1=2р+1 для мод Гаусса-Лагерра.
Напомним замечательные свойства гауссовых мод [1,4]:
1) являясь собственными функциями распространения света в градиентном волокне, гауссовы моды сохраняют амплитудно-фазовую структуру при распространении в свободном пространстве;
2) гауссовы моды сохраняют взаимную ортогональность при распространении в градиентных средах и свободном пространстве;
3) гауссовы моды сохраняют амплитудно-фазовую структуру при прохождении Фурье-каскада.
Из (3) и (7) следует, что в отсутствие затухания (ар1=0) линейная комбинация нескольких гауссовых мод, для которых выполняется
гр1=сот1 (8)
при распространении ведет себя фактически как отдельная мода лазерного излучения: амплитудно-фазовая структура пучка будет сохраняться, а комбинации, соответствующие различным значениям Гр1 ,будут взаимно ортогональны, так как не могут содержать мод с одинаковой парой индексов (р,1) . Амплитудно-фазовые распределения, описываемые линейными комбинациями гауссовых мод, удовлетворяющих (8), будем называть инвариантными модовыми пакетами.
При передаче информации по отдельным каналам с помощью инвариантных модовых пакетов в идеальном градиентном волноводе с профилем (4) не будет возникать межмодовой дисперсии и, следовательно, уширения импульса, вызываемого меж-модовой дисперсией [3].
С другой стороны, выбор инвариантных модо-вых пакетов в качестве носителей информационных каналов позволяет использовать в качестве свободных параметров для итерационной процедуры [2] не только фазовые сдвиги между отдельными инвариантными модовыми пакетами, но и межмодовые фазовые сдвиги внутри каждого пакета.
2. Построение итерационной
процедуры расчета дифракционного оптического элемента, согласованного с инвариантными модовыми пакетами
Нам необходимо вычислить фазу <$(х,у) оптического элемента, освещаемого Гауссовым пуч-
и
ком с распределением амплитуды А(х,у). Элемент формирует моды (пакеты мод) в дифракционных порядках, определяемых векторами пространствен-
(Vp/' v(o/ ) ' где р' l- порядко-
ных частот несущих р^, V ^^
вые номера моды. Функция комплексного пропус кания такого элемента должна подчиняться сле дующему соотношению [2]: А (х, у )• ежр[/ф(х, у)] =
= ^С pi уpi (х, y) • exp[- i 2n(v(p/x + ypl
v(3 y
(9)
р 1.
I I р = 0 I = 0
где у р1 (х, у ) - гауссова мода с порядковыми номерами (р, I). Модуль коэффициента С р1 выбирается из условия желаемого распределения энергии между модами.
Разница между соседними пространственными
частотами V р +1 | — V р | выбирается достаточно большой, чтобы коэффициенты в уравнении (9) могли быть представлены как:
С pi = j j A (x, y )exp[(x, y )]
—<X)
x V pi (x, y )exp[2n(v(/J|)x + vg> y
.(10)
'pi
dxdy
Можно получить коэффициенты С р1 с помощью двухмерного Фурье преобразования используя следующее уравнение [2]:
где
F ( n)=JJ^ (х ' У )
• exp[(x, y )]
—œ
x Q (x, y )• exp[/'2n(^x +ny )]xdy
г
Q (x , y )=ZZv pi(x , y)
p=0l=0
(11)
(12)
В этом случае, функция Е(;, Т]) в точках
(, п) плоскости с координатами (vP1|), vpp ) будет равна передаточным коэффициентам:
г Мр>п^<2>Ср1
(13)
В [2] для поиска фазы оптического элемента ф(х,у) был предложен следующий итерационный алгоритм. Выбирается начальная фаза ф0 (х, у).
Предположим, что на к итерационном шаге мы получаем фазу фк (х, у). Используя функцию
фк (х, у), мы получаем коэффициенты Ср) из уравнения (13) или (10). Затем эти коэффициенты
заменяются коэффициентами С^ ^ используя следующее правило:
C (к ) = в C ( ) ^ pi ~ " р^ pi
с (к ) pi
(14)
где Bpl положительные числа, характеризующие распределение энергии между модами.
Коэффициент Cpîl ^ подставляется в (9). Как итоговый результат, мы получаем функцию + l(x, y ), аргумент которой сохраняется как оценка фазы:
Фк + i(x, y) = argFk + ,(x, y ). (15)
Релаксационная способность итерационной процедуры может быть проконтролирована по уменьшению ошибки СКО:
82 =
ЕЕ( —
p=0 l=0
CS1)
S SB2 p-
p=0 l=0
(16)
В нашем случае процедура будет отличаться лишь специфическим выбором значений несущих:
(17)
(18)
^ р1 = v р' I' Р + 1 = Р '+1' [Vр1 * Vр' I' р + I * р'+1'
для мод Гаусса-Эрмита и
[V р1 =V р' I' 2 р + I = 2 р '+1' [V р/ ^ р' I' 2 р + I * 2 р'+!'
для мод Гаусса-Лагерра.
3. Экспериментальные результаты В данной работе производился итерационный расчет ДОЭ, формирующего из Гауссова пучка с распределением интенсивности
(
I ( x, y ) = exp
2( x 2 + y 2) ^
V
(19)
У
несколько инвариантных модовых пакетов, распространяющихся вдоль оптической оси.
На Рис. 2 представлено трехмерное распределение интенсивности в выходной плоскости ДОЭ, формирующего четыре пакета мод Гаусса-Эрмита: гр1=1- моды с порядковыми номерами (1,0),(0,1); гР1=2 - моды с номерами (2,0),(0,2),(1,1); гР1=3 - моды с номерами (3,0),(0,3),(2,1); гР1=4 - моды с номерами (4,0),(0,4),(3,1).
Ошибка формирования заданного распределения составляла 13% на десятой итерации, в то время как ошибка формирования четырех мод Га-усса-Эрмита элементом, рассчитанным процедурой [2], составила 23%. Таким образом, увеличение числа свободных параметров в зоне ди-
фракции Френеля с 4 до 13 привело к снижению ошибки в 1,8 раза.
что объясняется спецификой используемой технологии изготовления градиентных волокон.
Рис. 2.
На практике дальнейшее увеличение числа свободных параметров будет определятся, очевидно, числом каналируемых мод волновода (или числом отсечки [3]).
В [4] было показано, что Гауссовы моды не меняют своей структуры и при прохождении Фурье-каскада. В этом случае меняется лишь значение фундаментального радиуса моды а на aF, определяемое параметрами Фурье-каскада:
Xf
а F =-. (20)
ап
На Рис. 3 и 4 приведены результаты моделирования прохождения модового пакета через Фурье-каскад. Рис.3 - амплитудное распределение суммы мод Гаусса-Эрмита с номерами (2,2) и (4,0) с единичными весами во входной плоскости Фурье-каскада, Рис.4 - в выходной.
Рис. 3.
Моделирование проводилось с помощью программного обеспечения "QUICK- DOE", разработанного в Институте систем обработки изображений РАН [5]. Необходимо отметить, что на практике приходится иметь дело с градиентными волокнами, реальный профиль которых значительно отличается от идеального параболического. Как правило, имеет место резкий провал значения показателя преломления в центре сердцевины волокна,
Рис. 4.
Уменьшить влияние технологических погрешностей изготовления волокон можно, выбирая для передачи одного канала связи группу мод Гаус-са-Лагерра, связанных соотношением
2p +1 = const, l Ф 0.
В данной работе проводился расчет и моделирование ДОЭ, формирующего 4 пакета мод Гаус-са-Лагерра со следующими значениями порядковых номеров:
rp=15 - моды с номерами(5,5),(6,3),(7,1); rp]r17 - моды с номерами (8,1),(6,5),(7,3); гр=19 - моды с номерами (9,1),(8,3),(7,5); rp=21 - моды с номерами (10,1),(9,3),(8,5).
Сумма квадратов коэффициентов при заданных модах в разложении комплексного распределения непосредственно за рассчитанным ДОЭ, составило 0,8. Таким образом, на формирование заданных мод приходится 80% энергии освещающего пучка.
На Рис. 5 и Рис. 6 представлены, соответственно, фаза ДОЭ, согласованного с пакетами мод Гаусса-Лагерра, и распределение амплитуды, сформированное ДОЭ в зоне дифракции Френеля.
Рис. 5.
Рис. 6.
Заключение
Разработан подход к повышению эффективности возбуждения мод градиентного волновода с помощью дифракционных оптических элементов в задачах уплотнения каналов волоконно-оптической связи, рассмотренных в [1]. Предложена модификация итерационного алгоритма [2], позволяющая существенно повысить эффективность формирования заданного модового состава и вместе с тем избежать уширения импульса, возникающего из-за межмодо-вой дисперсии [3], в каждом канале связи. Результаты вычислительных экспериментов демонстрируют весьма ощутимый выигрыш по сравнению с результатами, полученными при расчете ДОЭ алгоритмом [2]. В качестве возможной технологии изготовления ДОЭ, рассчитанного с помощью предлагаемой модификации процедуры [2], может быть выбрана технология многоуровневого травления ре-зиста, описанная в [6].
На Рис. 7 представлена пятая бинарная маска из технологического комплекта масок, предназначенного для формирования 16-уровневого фазового рельефа ДОЭ, согласованного с пакетами мод Гаусса-Эрмита. Результат моделирования данного элемента приведен на Рис. 2. Комплект бинарных фотошаблонов для изготовления элемента был получен с помощью ПО
"DOE-tools", разработанного в Институте систем обработки изображений РАН.
Рис.7.
Литература
1. Soifer V.A., Golub M.A., Laser Beam Mode Se-
lection by Computer Generated Holograms , CRC Press, 1994.
2. V.V. Kotlyar, I.V. Nikolsky, V.A. Soifer An algo-
rithm for calculating multichannel formers of Gaussian modes.// Optik V. 98, No. 1, (1994) p. 26-30
3. A. W. Snyder, J.D. Love. Optical waveguide theory.
Chapman and Hall. 1984
4. Yariv A., Optical electronics, Holt, Rinehart and
Winston, New York, 1985.
5. Doskolovich L.L., Golub M.A., Kazanskiy N.L.,
Khramov A.G., Pavelyev V.S., Seraphimovich P.G., Soifer V.A., Volotovskiy S.G., Software on diffractive optics and computer generated holograms. //Proceeding SPIE 2363.
6. Duparre M., Pavelyev V., Luedge B., Kley B., Ko-
warschik R., Soifer V. "Forming of selected unimodal complex amplitude distributions by means of novel DOEs of MODAN-type"// Proceedings SPIE 3134.
7. Solimeno S., Crosignani B., Di Porto P., Guiding, dif-
fraction and confinement of optical radiation, Academic Press, Inc., 1986.
