CC BY
0
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЖЕСТКОСТЕЙ ЗАКРЕПЛЕНИЙ
ДВУХ СВЯЗАННЫХ ВАЛОВ
Г.Ф. Сафина, канд. физ.-мат. наук, доцент Е.С. Валишина, студент
Нефтекамский филиал Уфимского университета науки и технологий (Россия, г. Нефтекамск)
DOI:10.24412/2500-1000-2024-4-5-110-113
Аннотация. Рассмотрена задача восстановления коэффициентов жесткостей валов, закрепленных между собой упругой связью. Получено вековое уравнение, позволяющее определять частоты свободных колебаний механической системы из двух связанных валов. По обратной задаче предложен алгоритм рассмотрения дополнительного числового параметра, с помощью которого рассматривается решение системы из трех линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Решение системы приводит к единственности определения параметров упругих закреплений обоих валов по известным значениям трех частот малых свободных колебаний связанной механической системы. Приведены аналитические формулы для искомых коэффициентов жесткостей с учетом ограничений введенного в рассмотрение дополнительного параметра.
Ключевые слова: связанные валы, упругие закрепления, частоты колебаний, частотное уравнение, восстановление параметров, коэффициенты жесткостей.
Упруго связанные между собой валы часто являются рабочими основами (динамическими моделями) обрабатывающих станков или многих других технических систем [1-6, 11,12]. Восстановление их параметров, как жесткостей закреплений, так и физических или геометрических, отно-
сятся к исследованиям в вибродиагностике технических конструкций по фиксируемому приборами их акустическому отклику [7-10].
Динамическая модель из связанных упруго валов представлена на рисунке 1 [5].
Рис. 1. Модель из двух валов с упругой связью
На рисунке 1 отмечены обобщенные координаты: прогиб ух(х;?) сечения, прогиб у2(0 центра масс валов, поворот Ф2() 2-го вала относительно 1-го, а также жесткостные параметры: Сх, С2 - коэффициенты жесткостей валов, с - коэф-
фициент упругости связывающего два вала материала.
Математическое описание колебательного процесса такой динамической модели приводит к граничной задаче с дифференциальными уравнениями
х
d4y1(x, t) д2 х, t) EiTi —Ti— + P-;— +
( l Л
cyi(xi,t)-У2(t)- --x l^2(t)
V2 J
Л
дх4 ' 1 dt m2y2(t) + (2c2 + cl)y2(t)-c^yl(xj)dx = 0;
= 0;
(1) (2)
1 i
B2(p2(t) + (6c2 + cl)l2 <p2(t) /12 - c/J* yr(x,t)dx / 2 + с J xyr{x,t)dx = 0
(3)
y"(x; t) = 0; EI y/" (0; t) = -cy (0; t); y'(l; t) = 0; y/
с граничными условиями:
(i Л
2t j
= 0.
(4)
В (1)-(4): В, В - моменты инерции масс т1, т2 валов длины I; р1, р2 и Е111, Е212 -
плотности и изгибные жесткости соответствующих валов. Решения (1)-(3) примем гармоническими:
y (х, t) = A (х) sin cot, y2(t) = A2 sin at, ^(t) = Д sin cot,
(5)
в которых С - собственная частота, Л (х), Л2, Д - амплитуды малых колебаний динамической системы из двух связанных валов.
Введем в рассмотрение также следующие безразмерные параметры жесткостей и масс:
cl т2
k =-, m = 2
Eili
Pil
С =
cj.3
Eli
С = C2l 3
E T
E2T 2
(6)
Стандартная подстановка функций (5) и их производных (до 3-го порядка включительно) в граничные условия (4) с учетом (6) приводит к системе 4-х алгебраических уравнений, которая должна иметь ненулевые решения относительно амплитуд ко-
лебаний. Что приводит к равенству к нулю определителя матрицы указанной системы, раскрывая и преобразовывая который приходим к следующему вековому уравнению малых свободных колебаний упруго связанных между собой валов:
Л(Л4(2С2 + k-т(Л4 + k)) + k2Л4 sh — cos — + ch—sin — |-ICfh — cos —
vV 2 2 22 J 2 2
Л
(—
— . —Л
+2k С sh — cos— + ch—sin —
= 0,
(6)
где Л4 = Л(с) = (Р-)--спектральное значение граничной задачи (1)-(4).
ЕЛ
Из векового уравнения (6) при различных физических и геометрических характеристиках валов и связывающего материала можно с помощью программ с применением численных пакетов определять спектральные значения Л. = Л.(с) , и соот-
коле-
ветствующие частоты (] = 1, да)
баний динамической системы.
Рассмотрим теперь обратную спектральную задачу - задачу восстановления
параметров жесткостей валов с1, с2 по
известным значениям частот малых сво-
0
бодных колебаний связанных валов. В безразмерных параметрах ставится задача поиска неизвестных коэффициентов С и
С2 по известным спектральным корням
Л1 = ЛДа) векового уравнения (6).
Остановимся на алгоритме решения обратной задачи. Введем в рассмотрение дополнительный параметр:
Сз С1С2
(8)
и вековое уравнение (6) приведем к виду:
С-/- (Л)+С2/2 (Л)+Сз/з (Л)+/4(Л) = 0,
в котором:
/
А(Л) = 2ЛЛ
. Л Л , Л . Л sh—cos—+ eh — sin —
v 2 2 2 2 y
/2 (Л) = -2Л
„¿г, ,?ч,Л Л т ( , Л Л ,Л.Л
Л\к-т(Л + к) + к )eh — cos- + 2F
22 (10)
I 4/1 4/7 „„/i4
\\
sh — cos—+ eh — sin—
'У J
/з (Л) = -4Л5eh Л cos Л ; /4 (Л) = Л4 (Л4 (к - т(Л4 + к)) + к2)
i
, Л Л , Л . Л sh — cos —+ eh — sin —
v 2 2 2 2,
(9)
Если теперь известные значения а. (7 = 1,2,3) частот колебаний, а значит, спектральные значения ^ (7 = 1,2,3) задачи (1)-(4), подставить в (9), то имеем систему линейных уравнений:
с/М)+/Л)+Сз/зЛ) = -/Л
с/Л+С/Л+/Л) = -Л (Л);
С/Л+с 2/2 ( Лз )+Сз/з(Лз) = -/Л
(11)
которая позволяет получить следующие аналитические выражения для искомых безразмерных коэффициентов жесткостей в виде:
где А =
/1(Л) /2Л) /з(Л) /А) /Л /з(Л)
/-(Л) /2(Л) /з(Лз)
Ai =
г -А г -А
С А ' А' -/(Л) /(Л) /з(Л)
-/4(Л) /А) /з(Л)
-/4(Л ) /(Л) //Л
А 2 =
(13)
Аз А, А2 . при ограничениях — = —- • —, Аз = А А А
/1(Л) Л(Л) ^./4(Л)
.Щ) /2(^2) -/4(^2)
/-(Лз) /2(Лз) -/4(Л)
(12)
/Л) -/4(Л) /з(Л)
/- ( Л2 ) -/4Л2) /з(Л)
/-(Лз) -/4 (Л) /з(Лз)
<
Полученные из (10)-(13) значения без- В работе проведены численные расчеты
размерных параметров Q, С2 при усло- с помощью программных реализаций в численных пакетах, доказывающие получен-вии, что Д^ U для матрицы системы (11), „ ,
ный алгоритм и аналитические формулы позволяют восстанавливать жесткости за- ri пл п
креплений обоих валов с учетом равенств ( ' (6) единственным образом.
Библиографический список
1. Бабаков И.М. Теория колебаний. - М.: Дрофа, 2004. - 592 с.
2. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. - М.: Ленанд, 2017. - 416 с.
3. Вульфсон И.И. Динамика машин. Колебания. - М.: Юрайт, 2017. - 275 с.
4. Вульфсон И.И. Краткий курс теории механических колебаний / И.И. Вульфсон -Библиотека ВНТР. - М.: ВНТР, 2017. - 241 с.
5. Галаев В.И. Динамические характеристики системы ножевой вал - полуфабрикат -прижимной вал строгальных машин // Известия вузов. Технология легкой промышленности. - 1987. - № 1. - С. 128-131.
6. Гоц А.Н. Крутильные колебания коленчатых валов автомобильных и тракторных двигателей: учебное пособие. - Владимир: ВГУ, 2008. - 200 с.
7. Григорьев А.Ю., Григорьев К.А., Малявко Д.П. Колебания и виброактивность элементов машин. - СПб.: Университет ИТМО, 2016. - 136 с.
8. Маслов Г.С. Расчеты колебаний валов. - М.: Машиностроение, 1980. - 151 с.
9. Сафина Г.Ф. Моделирование в задаче свободных колебаний жесткого ротора на податливых подшипниках // Современные наукоемкие технологии. 2020. - № 4-1. - С. 64-68.
10. Сафина Г.Ф., Тухбатова Г.З. Метод диагностирования жесткостей пружин скользящих опор балки на упругом основании // Физическое образование в ВУЗах. - 2023. - Т. 29. № 1. - С. 135-138.
11. Фомин В.М., Бекшаев С.Я., Фомина И.П. Динамические модели в инженерных задачах. Учебное пособие. - Одесса: ОГАСА, 2012. - 194 с.
12. Яблонский А.А., Норейко С.С. Курс теории колебаний - М.: Высшая школа, 1975. -248 с.
UNIQUE RECOVERY OF FASTENERS OF TWO COUPLED SHAFTS
G.F. Safina, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor E.S. Valishina, Student
Neftekamsk branch of Ufa University of Science and Technology (Russia, Neftekamsk)
Abstract. The problem of recovery of stiffness coefficients of shafts fixed to each other by elastic connection is considered. A century-old equation has been obtained that allows determining the free vibration frequencies of a mechanical system from two coupled shafts. According to the inverse problem, an algorithm for considering an additional numerical parameter is proposed, with the help of which a solution of a system of three linear equations with respect to the desired coefficients is considered. The solution of the system leads to the uniqueness of determining the parameters of elastic fixation of both shafts from the known values of the three frequencies of small free vibrations of the coupled mechanical system. Analytical formulas for the desired stiffness coefficients are given, taking into account the limitations of the additional parameter introduced into consideration.
Keywords: coupled shafts, elastic fixations, vibration frequencies, frequency equation, parameters recovery, stiffness coefficients.
