Акустическая диагностика сосредоточенных масс на концах струнного графа с упругим закреплением на концах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 534.1

АКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА СОСРЕДОТОЧЕННЫХ МАСС НА КОНЦАХ СТРУННОГО ГРАФА С УПРУГИМ ЗАКРЕПЛЕНИЕМ НА КОНЦАХ

© З. Ф. Аксенова1*, А. М. Ахтямов2

1Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Уфимский филиал Россия, Республика Башкортостан, 450015 г. Уфа, ул. Мустая Карима, 69/1.

2Институт механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН Россия, Республика Башкортостан, 450054 г. Уфа, пр. Октября, 71.

E-mail: [email protected]

Рассмотрен граф G в виде звезды из n ребер-струн с одним общим концом в нуле. Длина i -й струны равна li . Тупиковые концы струн упруго закреплены, причем каждая из струн может быть закреплена пружинками неодинаковой жесткости, в местах закрепления подвешены сосредоточенные массы mi . Требуется определить сосредоточенные массы mi по собственным частотам колебаний графа и известному набору коэффициентов жесткости пружин струнного графа. В этой работе предложен метод введения дополнительных неизвестных величин, на основе которого сформулирована теорема об однозначности восстановления трех масс, сосредоточенных на тупиковых концах струнного графа с упругим закреплением, по 7 собственным частотам. Полученные результаты позволяют получать механические системы с заданным спектром колебаний, проектировать виброзащитные системы, сохраняющие приборы от ударного воздействия, а также проводить диагностику таких систем.

Ключевые слова: виброзащитные системы, собственные частоты, свободные колебания, обратная спектральная задача, звездообразный граф.

рована теорема об однозначности восстановления трех масс, сосредоточенных на тупиковых концах струнного графа с упругим закреплением, по 7 значениям собственных частот.

Полученные результаты позволяют получать механические системы с заданным спектром колебаний, проектировать виброзащитные системы, сохраняющие приборы от ударного воздействия, а также проводить диагностику таких систем.

Введение

Статья посвящена разработке методов акустической диагностики сосредоточенных масс с упругим закреплением на тупиковых концах струнного графа.

Ранее решались прямые и обратные спектральные задачи для задач Штурма-Лиувилля (см. [1, 2]), в том числе и заданных на графе [3, 4]. Однако в этих работах коэффициенты краевых условий идентифицировались вместе с коэффициентами дифференциальных уравнений. Причем в качестве данных восстановления в этих работах использовалась не часть спектра, как в нашей работе, а несколько спектров, или же спектр и дополнительные спектральные данные (функция Вейля, матрица Вейля, спектральная функция, весовые числа и т.п.). В [5, 6] решались задачи идентификации закреплений и нагруженности струн, стержней, пластин и оболочек по конечному набору собственных частот, а также задача восстановления коэффициентов жесткости пружинок, закрепляющих струнный граф, по собственным частотам его колебаний. Близкая по результатам работа [7] была посвящена восстановлению сосредоточенных масс на тупиковых вершинах графа, но с одинаковыми коэффициентами жесткости пружинок на концах струнного графа. Задачи идентификации сосредоточенных масс на графе с закрепленными пружинами, обладающими разными коэффициентами жесткости, по конечному набору собственных частот ранее не рассматривались. В [8] рассматривается задача идентификации 6 параметров закрепления графа по 6 собственным значениям, однако при использовании такого же числа собственных значений решение оказывается неединственным. В отличие от [7, 8] предложен метод введения дополнительных неизвестных величин, на основе которого сформули-

Постановка обратной задачи

Рассмотрим граф О в виде звезды из п ребер-струн с одним общим концом в нуле. Длина г -й струны равна 1г . Длины струн 1г попарно различны, толщина струн одинаковая. Тупиковые концы струн упруго закреплены, причем каждая из струн может быть закреплена пружинками неодинаковой жесткости, в местах закрепления подвешены сосредоточенные массы тг (см. рис. 1).

Задача состоит в определении сосредоточенных масс тг на тупиковых вершинах звездного струнного графа по собственным значениям краевой задачи о колебаниях графа и известному набору коэффициентов жесткости пружин, закрепляющих тупиковые вершины струнного графа.

Как известно [3], на каждом ребре графа уравнение для собственных функций и собственных значений имеет вид:

-у"(хг) = 52у(х), , = 1, 2,к,п. (1)

Здесь хг - расстояние от общего узла по оси ОХ, 0 < хг < Iг, у (хг) (г = 1, 2, к, п ) -прогибы (отклонения от состояния равновесия) г -ой струны (см. рис. 2), то есть вертикальные смещения с выходом из плоскости начального расположения струнного графа, а 5 - спектральный параметр.

* автор, ответственный за переписку

Рис. 1. Первоначальное расположение струнного графа.

Считаем, что общая точка О (хг = 0, г = 1, 2,... ,п) не закреплена каким-либо образом, а является свободной (подвижной). Полагаем, что длины струн Iг не являются одинаковыми, т.е. попарно различны (механическая система не симметрична).

Условия в общей точке имеют вид [3]:

М0) = У2(0) =... = Уп (0), (2)

у' (0) + У2' (0) +... + уП (0) = 0, (3)

Краевые условия на тупиковых вершинах: у'(¡г) + Ну (¡г) + т^2у(1г )= 0, (4)

где г = 1, 2, к, п .

Условию (2) соответствуют условия непрерывности, условию (3) - баланс сил действующих на общую точку О (узел) со стороны каждой из примыкающих к узлу струн, условия (4) - условия упругого закрепления струн с сосредоточенными массами, где Нг - коэффициент жесткости пружины упругого закрепления г -ой струны, тг - сосредоточенная масса, прикрепленная к г -ой струне графа.

Математически в терминах введенных обозначений поставленную задачу можно переформулировать следующим образом: пусть - неизвестны, а ¡i и Нг - известны и попарно различны. Требуется найти тг по известному набору собственных значений ¿к задачи (1)-(4).

Ранее в работах [7, 8] было показано, если количество собственных значений совпадает с количеством неизвестных, то задача определения тг имеет п! решений с учетом кратности, однако поскольку рассматриваемая нами система является не симметричной, то из физического смысла задачи, следует что, она имеет единственное решение.

Возникает вопрос: сколько собственных значений ¿к нужно для единственности определения сосредоточенных масс тг? Ответу на этот вопрос посвящена настоящая статья. Ниже приводится два метода решения задачи об однозначной идентификации сосредоточенных масс тг. Приводится также теорема о корректности по А. Н. Тихонову соответствующей задачи.

Методы решения обратной задачи

Пусть значения масс тг (г = 1, 2, ..., п) неизвестны, но известны коэффициенты жесткости

пружин Нг, длины струн ¡г и собственные значения ¿к задачи (1)-(4).

¡г

Рис. 2. Вертикальное смещение ребра г-го струнного графа.

Стандартными методами [5] нетрудно показать, что собственные значения ¿к удовлетворяют уравнению:

^ sk sin(lA) - [hj + slm )cos(/a )

' 'jsk) + [hj + s2mj

= 0 .

1 oos(ljsk) + [hj + s2mj )sin(/^ ' sk

(6)

где к = 1, 2, к, п +1.

Далее для наглядности изложения примеры, методы решения и теорема приводятся для случая п = 3.

Рассмотрим механическую систему из трех струн разной длины ¡г с одним общим концом. Свободные концы струн упруго закреплены, причем каждая из струн может быть закреплена пружинками неодинаковой жесткости Нг , в местах закрепления сосредоточены массы тг .

Пример 1. Пусть известны четыре собственных значения ¿1 = 3.120045088, = 6.272090903, 53 = 12.55353828, = 15.69769363. Требуется найти значения масс тг (г = 1, 2, 3), причем длины струн равны ¡1 =1, ¡2 =2, ¡3 =3, и коэффициенты жесткости пружин Н1 = 1, Н2 = 2, Н3 = 3 соответственно.

Поскольку легче решать системы уравнений, у которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений, предлагаем использовать следующий метод. Сначала система (6) решается при к = 1, 2, к, п — 1, п , т.е. без (п +1) - го уравнения, затем система (6) решается при к = 1, 2, к, п — 1, п +1, т.е. без п - го уравнения, при этом каждая система будет иметь п ! решений, Пересечение множеств полученных решений будет искомым, причем таких решений будет не больше п!

Решая систему (6) при к = 1, 2, 3 получаем 3! = 6 наборов решений, приведенных в табл. 1.

Решив ту же систему (6) при к = 1, 2, 4 получаем 3! = 6 наборов решений, приведенных в табл. 2.

Из таблиц видно, что если рассматривать пересечение множеств наборов решений, то решением системы (6) является набор решений №4 с точностью до 0.0001. Перебирая остальные наборы решений, видим точность их совпадения ниже, и колеблется от 0.1 до 0.001. Поэтому ответить на вопросы: можно ли считать их совпадающими решениями,

сколько имеет решений система нелинейных уравнений, какие решения являются лишними, оказывается достаточно сложной задачей. Ниже приведено решение этой задачи методом введения дополнительных неизвестных величин [6], из которого следует, что единственным решением примера 1 является набор решений т1 = 4.000 , т2 = 5.000 , т3 = 6.000 (с точностью до 0.001). Приводится также и общая теорема, которая позволяет ответить на вопросы о единственности решений.

Метод введения дополнительной неизвестной величины

Пусть 51, 52, к, 57 собственные значения, длины струн равны 11 = 1, 12 = 2, 13 = 3, и коэффициенты жесткости пружин кх = 1, к2 = 2, к3 = 3 задачи (1)-(4), требуется найти значение масс т1,

т2, т3.

Для того чтобы решить эту задачу приведем нелинейную систему уравнений (6) к системе линейных уравнений для этого введем дополнительные неизвестные:

х1 = т1, х2 = т2, х3 = т3, х4 = т2т1,

х5 = т3т1, х6 = т3т2 , х7 = т1т2т3. (7)

В результате получим систему семи линейных уравнений от семи неизвестных х1, х2, ..., х7 :

Х1 • ОД ) + Х2 • С2 (4 ) + +Х3 • С3 (4 ) +

+ Х4 • С4 (Л, ) + Х5 • С5 (Л, ) + Хб • Сб (Л, ) + , (8)

+х7 • с7 (4 ) = 0,(4) где Ст (т = 0,1,...,7) коэффициенты матрицы системы, зависящие от спектрального параметра

4 =л& (/,к = 1,2, к, 7).

Из теоремы Крамера следует, что если определитель квадратной матрицы системы (8) не равен

нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам:

А,-

Х] =

А

где А - определитель матрицы системы, А(у = 1,2,...,7) - определитель матрицы системы,

где вместо ] -го столбца стоит столбец свободных

случае, если собственные значения 57 найдены с большой погрешностью, то

членов. В

51, 52, . •' может оказаться, что

А4 ф А! • А2 А А А

А А

5 ф А1 . А3

АА

Аб .А9 А

Ф-

2

3

ф А1 А2

— Ф---

А

(10)

3

А,

А А А ' А А А А тогда система уравнений для определения неизвестных х = т1, х2 = т2, х3 = т3 оказывается переопределенной. То есть, задача определения

по семи значениям

1

51, 52,

1

2

2

3

3

57 может не иметь решения, а поэтому является не корректной по Адамару. Однако она корректна по А. Н. Тихонову. Это доказывается также как в теореме 1 из работы [6].

Следовательно, нам выполнение (10) не нужно. Решением будем считать, следующие значения: числа х, х2, х3, найденные по формулам (9), и числа х4 , х5, х6, х7 , найденные по формулам (7), а не (9). Решение будет тем ближе к точному, чем ближе к точным собственным значениям числа

51, 52, . • •, 57 .

Таблица 1

Решения системы (6) при к = 1, 2, 3

№ т1 т2 т3

1 48.93188866 5.019573081 1.801193288

2 5.575814703 15.57328741 2.135716071

3 11.76710606 2.601894943 5.064494676

4 4.000013651 4.999953504 6.000036749

5 3.709129151+0.9147115417г 3.593419847-1.673006065/ 7.541297922+2.316783181/

6 3.709129151-0.9147115417/ 3.593419847+1.673006065/ 7.541297922-2.316783181/

Таблица 2

Решения системы (6) при к = 1, 2, 4

№ т1 т2 т3

1 48.81595240 5.019902678 1.807188633

2 5.577755714 15.54225790 2.140727757

3 11.76552562 2.604735625 5.064721509

4 4.000016726 4.999952828 6.000036874

5 3.708552248+0.9148089466/ 3.593888411-1.671884750/ 7.541639522+2.315015023/

6 3.708552248-0.9148089466/ 3.593888411+1.671884750/ 7.541639522-2.315015023/

Таким образом, можем сформулировать теорему.

Теорема. Если ¿2,..., ¿7 являются действительными собственными значениями краевой задачи (1)-(4), причем определитель матрицы системы (8) отличен от нуля, то задача отыскания масс т1, т2, т3 по собственным значениям ¿2, ..., ¿7 является корректной по А. Н. Тихонову. Единственное решение х1 = т1 , х2 = т2 , х3 = т3 дается первыми тремя формулами (9).

Замечание. При приближенном решении важно, чтобы матрица системы (8) была бы хорошо обусловленной. Иначе решение получается с очень большой погрешностью. Соответствующий пример 2 приведен ниже. В примере 2 показано, что использование в качестве данных восстановления произвольного набора отличных от нуля собственных значений, еще не гарантирует высокой точности восстановления сосредоточенных масс на концах тупиковых вершин струнного графа [5].

Пример 2. Известны собственные значения ^ = 3.091068774, = 6.272090903, ¿3 = 12.55353828, ¿4 = 15.69769363, ¿5 = 18.05844158, ¿6 = 21.98794996, ¿7 = 25.12632015. Решая систему линейных уравнений (8)-(9) получим: определитель матрицы системы Д = —9.205915700-1016 * 0; х1 = 1.072285376, х2 = 30.72419091, х3 =—31.76016168, х4 = 10.04338931, х5 = 15.84367740, х6 =—18.55279036, х7 = 0.2905809947. Учитывая (7) - получаем, что система линейных уравнений имеет единственное решение т1 = 1.072285376, т2 = 30.72419091, т3 =—31.76016168 Однако это решение получено с большой погрешностью, к тому же т3 < 0. Причина этого в том,

что соответствующая матрица А системы (8) плохо обусловлена.

В качестве числа обусловленности матрицы будем использовать число Тюринга

Л • Л"

N = -

= 3.885 -10 (чем меньше это число,

тем более хорошо матрица обусловлена) очень велико, а определитель обратной матрицы системы

ае^А"1) = -1.086-10-17 близок к нулю [5, с. 19].

Для точности восстановления сосредоточенных масс струнного графа существенным является использование именно первых отличных от нуля собственных значений (см. пример 3 ниже).

Пример 3. Возьмем первых семь собственных значений ^ = 1.221798859,

s3 = 3.120045088,

s 4 = 4.399840034,

s2 = 2.314409060,

s5 = 5.479153694,

s6 = 6.272090903, значения

5б

эти

s

Д = 6.4931832211014 * 0;

= 7.054048135. Подставив

в (8)-(9). получим: х1 = 3.9998652185 х2 = 4.999931934,

x3 = 5.999756518,

x4 = 19.99959184,

x5 = 23.99927841,

х6 = 29.99909285, х7 = 119.9967504. В данном случае матрица хорошо обусловлена N = 27693.

Учитывая (7) и округляя результат до 0.001, получаем, что система линейных уравнений имеет единственное решение т1 = 4.000, т2 = 5.000, т3 = 6.000.

Приведенные выше два метода идентификации сосредоточенных масс для случая п = 3 справедливы и для произвольного п .

Выводы

Таким образом, в настоящей работе показано, что для однозначной идентификации сосредоточенных трех масс тг по собственным значениям колебаний графа и известному набору коэффициентов жесткости пружин Нг струнного графа - достаточно использование семи собственных значений. Для решения задачи предложено два метода решения: метод четырех систем нелинейных уравнений и методом введения дополнительных неизвестных.

Первый метод удобен тем, что для его реализации достаточно четыре собственных значения (а не семи, как во втором методе). Однако с помощью этого метода тяжело выделить единственное решение. Второй метод позволяет выделить единственное решение, однако для его использования необходимо знание семи собственных значений.

Для однозначной идентификации сосредоточенных масс лучше использовать первые собственные значения. Использование в качестве данных восстановления собственных значений с большими номерами еще не гарантирует высокой точности восстановления сосредоточенных масс на концах тупиковых вершин струнного графа, ввиду того, что соответствующая матрица системы уравнений может оказаться плохо обусловленной.

Отметим, что единственность решения можно пояснить из физических соображений, связанных с несимметричностью механической системы - коэффициенты жесткости пружины на концах закрепления струн, а так же длины струн - различны.

Полученные результаты позволяют получать механические системы с заданным спектром колебаний, проектировать виброзащитные системы, сохраняющие приборы от ударного воздействия, а также проводить диагностику таких систем.

Работа выполнена при финансовой поддержке Президента РФ, РФФИ, АН Республики Башкортостан, Министерства образования и науки Республики Казахстан (проекты НШ 1096.2014.1, 14-01-97010-р_поволжье_а, 14-01-97013 -р_поволжье_а, 2989/ГФ3 МОН РН, 2217/ГФЗ МОН РН).

ЛИТЕРАТУРА

1. Марченко В. А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977.

2. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма - Лиувилля. М.: Наука, 1984. 240 с.

3. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л., Боровских А. В., Лазарев К. П., Шабров С. А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит, 2004. 272 с.

4. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007. 384 с.

5. Ахтямов А. М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. М.: Физматлит, 2009. 272 с.

6. Ахтямов А. М., Ахтямова А. А. Об однозначности идентификации сосредоточенного инерционного элемента на одном из концов стержня //Вестник Башкирского университета, 2013. Т. 18. №1. С. 7-10.

7. Ахтямов А. М., Аксенова З. Ф. Восстановление сосредоточенных масс на тупиковых вершинах струнного графа // В мире научных открытий, 2013. № 2.1 (38). С. 56-67.

8. Мартынова Ю. В. Модельная обратная спектральная задача для оператора Штурма-Лиувилля на геометрическом графе // Вестник Башкирского университета, 2011. Т. 16. №1. С. 4-10.

Поступила в редакцию 19.02.2014 г. После доработки - 05.03.2014 г.

ACOUSTIC DIAGNOSTIC OF CONCENTRATED MASS AT END OF A STRING GRAPH WITH ELASTIC FASTENING AT THE ENDS

© Z. F. Aksenova1*, ^ M. Akhtyamov2

1Financial University of the Government of Russian Federation 69/1 Mustay Karim St., Ufa 450000, Russia. 2Institute of Mechanics of Ufa Scientific Center of Russian Academy of Sciences 71 Oktyabrya Ave., Ufa 450054, Russia

Phone: +7 (347) 251 08 23. E-mail: [email protected]

The star-shaped graph G of n string edges with one common end in zero is studied. The length of i-string is equal to lj. Stub ends of strings elastically attached and each of the strings can be attached by springs of unequal stiffness. Focused masses mj. are suspended at the places of attachment. The task is to determine these masses m; by the frequencies of the graph natural vibrations and by the known stiffness coefficients of the set of graph springs. We have suggested in this work a method of introducing additional unknowns, which is formulated on the basis of the theorem on the uniqueness of recovery of three masses concentrated on the ends of the string stub ends of a graph with elastic attachment on 7 natural frequencies. The obtained results allow producing of mechanical systems with a given spectrum of vibrations, vibration-proof systems protecting devices from shock impact and allow providing diagnostics of such systems.

Keywords: vibration protection systems, natural frequencies, free oscillations, inverse spectral problem, star-shaped graph. Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Marchenko V. A. Operatory Shturma-Liuvillya i ikh prilozheniya [Sturm-Liouville Operators and Their Applications]. Kiev: Naukova dumka, 1977.

2. Levitan B. M. Obratnye zadachi Shturma-Liuvillya [Inverse Sturm-Liouville Problems]. Moscow: Nauka, 1984.

3. Pokornyi Yu. V., Penkin O. Moscow, Pryadiev V. Leningrad, Borovskikh A. V., Lazarev K. P., Shabrov S. A. Differentsial'nye urav-neniya na geometricheskikh grafakh [Differential Equation on Geometric Graphs]. Moscow: Fizmatlit, 2004.

4. Yurko V. A. Vvedenie v teoriyu obratnykh spektral'nykh zadach [Introduction to the Theory of Inverse Spectral Problems]. Moscow: Fizmatlit, 2007.

5. Akhtyamov A. M. Teoriya identifikatsii kraevykh uslovii i ee prilozheniya [Theory of Identification of Boundary Conditions and Its Applications]. Moscow: Fizmatlit, 2009.

6. Akhtyamov A. Vestnik Bashkirskogo universiteta, 2013. Vol. 18. No. 1. Pp. 7-10.

7. Akhtyamov A. V mire nauchnykh otkrytii, 2013. No. 2.1 (38). Pp. 56-67.

8. Martynova Yu. V. Vestnik Bashkirskogo universiteta, 2011. Vol. 16. No. 1. Pp. 4-10.

Received 19.02.2014.