CC BY
16
ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ РОТОРА С ГИРОСКОПИЧЕСКИМ ГАСИТЕЛЕМ
Сафина Гульнара Фриловна
канд. физ.-мат. наук, доцент Нефтекамского филиала БашГУ, РФ,
г. Нефтекамск Е-mail: safinagf@mail. ru
PROBLEM OF DETERMINATION OF FREQUENCIES OF FREE FLUCTUATIONS OF THE ROTOR WITH THE GYROSCOPIC QUENCHER
Gulnara Safina
candidate of physical.-a mat. sciences, associate professor of Neftekamsk branch
of BashGU, Russia, Neftekamsk
АННОТАЦИЯ
В работе исследована прямая задача определения частот свободных колебаний ротора с гироскопическим гасителем. Получено частотное уравнение свободных колебаний ротора с гасителем. Показан пример определения частот четырех нормальных форм колебаний ротора.
ABSTRACT
In work the direct problem of determination of frequencies of free fluctuations of a rotor with a gyroscopic quencher is investigated. The frequency equation of free fluctuations of a rotor with a quencher is received. The example of determination of frequencies of four normal forms of fluctuations of a rotor is shown.
Ключевые слова: прямая задача; ротор с гироскопическим гасителем; частоты свободных колебаний; частотное уравнение.
Keywords: direct task; a rotor with a gyroscopic quencher; frequencies of free fluctuations; frequency equation.
Рассмотренная задача определения частот свободных колебаний ротора с гироскопическим гасителем относится к исследованиям спектральных задач свободных колебаний механических систем и их составляющих. Подобные исследования с валами с дисками, валами на опорах, жестким ротором на податливых подшипниках, лопатками турбины с бандажом проведены,
Created by DocuFreezer | www.DocuFreezer.com |
например, в работах [2]—[4]. В данной же работе рассматриваются свободные колебания ротора с гироскопическим виброгасителем.
Известно, что колебания могут непосредственно угрожать прочности механической системы, постепенно подготавливая ее усталостное разрушение. В таких случаях исследования в спектральных задачах свободных колебаний механических систем могут указать пути для уменьшения вредных колебаний.
Рассмотрим свободные колебания, возникающие при вращении вала [1] с инструментальной оправкой и гироскопическим виброгасителем (рисунок 1). Действие виброгасителя основано на гироскопическом эффекте, возникающем при перемещении оси вращения г0 вала оправки 1 вследствие ее свободных или вынужденных колебаний в положение 2 .
За обобщенные координаты примем координаты точки С (хс = х, ус = у) и угловые координаты — углы Эйлера-Крылова: а — угол между осью вала 2 и проекцией на плоскость у^; / — угол между осью вала 2 и проекцией на плоскость .
Уравнения колебательного процесса такой механической системы получим энергетическим методом с помощью уравнений Лагранжа, которые примут вид:
-V,
•V,
Рисунок 1. Схема упругого подвеса оправки с виброгасителем; 1 — вал оправки (ротор), 2 — маховик с приводом
I дТ дТ дП_ ------— 0;
II дх дх дх
1 дТ дТ дП
11 дек да да
— 0;
1 дТ дТ дП
----— 0;
11 ду ду ду
1 дТ дТ дП
■---— 0
И д к д/З д/З
Здесь Т и П — функции кинетической и потенциальной энергии ротора. Абсолютную угловую скорость ротора и ее проекции на оси х, у, г представим в виде:
ох — асов/З сову + /З у; о у—-асов// у + /З сову; к (2)
о2 — у + аып/З , о — ох+о2+оъ—а + / + у
где: ох — а; о2 — о3 — у — со; а, /З, у — углы Эйлера-Крылова,
характеризующие повороты ротора соответственно вокруг сх, С и Сг,
связанные с вращающимся ротором.
На основании теоремы Кенинга и с учетом (2) функции кинетической и потенциальной энергии ротора примут вид:
Т — 1 [м(хС + у С ) + -1хо2х + Jyо2y + ] — 1 ш(х2с + у С )+
+1 Jzu2 (о2 + 2о//а)+1 Je (а2 + 32),
2
С(х А + уА) + — | [(х- ц /З )2 +(у + ц а)2 ]+
П
+ у [(х + ¿2 /)2 +(у - 12а)2 ].
(3)
В последних равенствах (3): т, Je — Jx — Jy, Jz — масса и главные центральные моменты инерции ротора; с и с2 — коэффициенты жесткости упругих опор А0 и в ротора; ц — расстояние между опорами А и в0, ц — расстояние от центра масс с0 до опоры А0, ц — расстояние от центра масс с0
до опоры в; У = ® — угловая скорость собственного вращения ротора вокруг оси г .
Подставляя выражения функций кинетической и потенциальной энергии ротора и их производных в систему уравнений (1) получим следующую систему дифференциальных уравнений:
mx + (c + c2 )x - (cL — c2L2 )0 = 0;
my + (c + c2 )y + (cL — c2L2 )a = 0; Je a + Jzu 2rn0 + (cL + c2L22 )a + (cxL\ — c2L2 )y = 0; Je 0 — Jzu 2®a + (cL + c2L22 0 — (cxL\ — c2L2 )x = 0
(4)
Уравнения системы (4) полностью описывают свободные колебания ротора с гироскопическим виброгасителем.
Учтем теперь, что ротор с виброгасителем совершает свободные гармонические колебания и примем решения системы (4) в виде:
x = M sin (pt + (), У = M2 cos(pt + р) , a= M3 cos(pt + р), 0 = M4 sin (pt + р),
где: p — частота,
M, M2, M3, M4 — амплитуды свободных колебаний ротора. Подставляя решения и их производные в систему уравнений (4) получим следующую систему алгебраических уравнений относительно амплитуд:
(ci + c2 — mp 2 )A — (ciL1 — c2 L2 )d =0; (ci + c2 — mp 2 )b + (ciL1 — c2L2 c =0;
(cL2 + c2L\ — Jep2 )c + (cL — c2L2 )b + Jzu 2apD = 0;
(cil2 + c2Ll — Jep2 )d — (ciL1 — c2L2 )a + Jzu 2apC =
Система уравнений (5) будет иметь ненулевое решение относительно Mx, M2,M3,M4 в случае нулевого определителя этой системы. Приравнивая определитель системы (5) к нулю, получим частотное уравнение:
>
Ар8 + Вр6 + Ср4 + Бр2 + Е — 0
(6)
в котором коэффициенты А, В, С, Б, Е выражаются через физические параметры системы:
А = /2 т2 • £ ?
т~) /л т 2 2 т 2 2 4 ^ т 2 ^ 2 т2 т л 2 т2 т
В = -2c2mJе -т J2а и -2с1тУе -2т / -2т с2Ь2/;
С — 2схт/ >2и4 + 2с2т/ 2а2и4 + 4с1тс2Х Л + с2 J2e + 2^/] + т2с22 Ь\ +
+ 4тс1Ь1с2Ь2/е + с\/2 + 2тс2Ь / + 2тс \ Ь22 / + 2т2^1Ь1^1Ь2 + 4с2тс1Ь2/е + т2с2 Ь\;
Б — -2с с?Ь2/ - 2с,2сХ / - 2с,тс2¿4 - 2с,с,2Х/ - с2/ 2а2и4 - 2тс,2Хс¿2 - 4с,2Ь.с.Ь/ -
122 г 122 г 2 11 211 г 2 2 1122 1122 г
-2с1 сХ},/ -2стс2Х -2тс,Ь2с\Ь\ -с2Л2а2и4 -2с,с,,/2а2и4 -4с,Ь,с,2Ь/ -4тс,Ь,с2Х -4тс2Х;
211 г 122 1122 1 2 12 2 1122 г 1122 112 2'
Е — 4сх Ь с2 Ьз I с2 с 1 Ь| I 4с^ Ь, с2 I с 1 с2 Ь4 I 6с Ь| с2 Ь^.
Из частотного уравнения (6) при известных физических параметрах ротора с виброгасителем можно определить частоты четырех нормальных форм колебаний ротора.
Решение прямой задачи рассмотрим на примере. Определим собственные частоты колебаний ротора виброгасителем, для которого известны следующие физические параметры [1]:
й н
т — 7,5 кг; Ьг — 0,48 м; Ь2 — 0,02 м; с — с2 — 5-106—;
м
/ —1,5 кг - м2; / — 0,031 кг - м2; и —1...10; а —10000 с"1.
Частотное уравнение (7) после подстановки в него заданных физических параметров принимает вид:
126,56 - р8 - 3,911 -109 - р6 + 9,7095 -1015 - р4 - 6,3019 -1021 - р2 + 3,906 -1025 — 0.
Решение последнего уравнения, найденное с помощью ЭВМ, следующее:
± 79,112, ± 1115,535, ± 1184,466, ± 5314,709.
Следовательно, частоты колебаний ротора:
рх = 79,112 с Л р2 = 1115,535 с_1, р3 = 1184,466 с_1, р4 = 5314,709 с _1.
Список литературы:
1. Лапин А.Д. Резонансный поглотитель изгибных волн в стержнях и пластинах // Акустический журнал. — 2002. — № 2. — С. 277—280.
2. Сафина Г.Ф., Иванова Е.А. Диагностирование жесткостей опор ротора по частотам его свободных колебаний. // Физическое образование в вузах. — Т. 20. — № 1С. — 2014. — С. 33.
3. Сафина Г.Ф. Акустическое диагностирование характеристик лопаток турбины, связанных бандажом // Контроль. Диагностика — 2014. — №2 7. — С. 64—72.
4. Сафина Г.Ф. Акустическое диагностирование механических систем. Ч. 1. Уфа: РИЦ БашГУ, 2013. — 109 с.
5. Сафина Г.Ф. Акустическое диагностирование механических систем: монография. В 2 ч. Ч. 2 Уфа: РИЦ БашГУ, 2014. — 110 с.
