CC BY
5Математика. Прикладная математика
УДК 514.13
Юрьева Татьяна Александровна
Амурский государственный университет г. Благовещенск, Россия E-mail: Yuryevat@mail. ru Yuryeva Tatyana Aleksandrovna Amur State University Blagoveschensk, Russia E-mail: Yuryevat@mail. ru
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА МОНЖА - АМПЕРА
UNIQUENESS OF SOLUTIONS TO A ONE-PARAMETER FAMILY OF MONGE - AMPERE TYPE DIFFERENTIAL EQUATIONS
Аннотация. В статье решается задача, связанная с доказательством единственности замкнутых выпуклых поверхностей, уравнения которых являются решениями однопараметри-ческого семейства дифференциальных уравнений типа Монжа - Ампера.
Abstract. The article solves a problem related to the proof of the uniqueness of closed convex surfaces whose equations are solutions of a one-parameter family of differential equations of the Monge -Ampere type.
Ключевые слова: уравнения типа Монжа - Ампера, однопараметрическое семейство уравнений, пространство Лобачевского.
Key words: equations of Monge - Ampere type, one-parameter family of equations, method of continuation by parameter, Lobachevsky space.
DOI: 10.22250/20730268_2022_97_3
Пусть О - некоторая точка в трехмерном пространстве постоянной кривизны H3 (пространстве Лобачевского), а S^ - сфера единичного радиуса с центром в этой точке.
Пусть далее Sp и S2 (р1 < р2) - две концентрические с S1 сферы, радиусы которых соответственно р1 и р2, а число р0 е (р1, р ) .
Рассмотрим семейство ФТ = 0 уравнений вида Монжа - Ампера, где параметр т принадлежит сегменту [0,l]. Данное семейство уравнений было введено в работе [1], а именно Фт = 0 : Р1Р22 -р22 -Pi (2cthppp + shp-chp) + 2р2р pvcthp - Р22 (2cthp ■ pp + shp-chpcoi-,2 v) -
2
- (ppp cos2 v + 2 + 2p2 + 2p2 cos2 v + sh2pcos2 v = cos v
TKi (u, v, p) + (1 - т)
f „ „u^ Л -1
poch p psh2 pch2 p
(pU2 + pp cos2 v + sh2p ■ cos2 v)2 cos2 v
4
Вестник АмГУ
Выпуск 97, 2022
При т = 1 мы имеем уравнение:
Р11Р22 -А22-р11 (2сйр-р2 + shp-chp) + 2 р 12 ри pvcthp - p22(2cthp ■ р2и + shp-chpcos2 v) -
2
- (pv2cos2 v + 2 + 2pu2 + 2pv2 cos2 v + sh2pcos2 v = cos v
= Кг (u, v, p)
(pu2 + pv2 cos2 v + sh2p ■ cos2 v)2
cos v
К этому уравнению приводит геометрическая задача восстановления поверхности F: p = p(u, v) с заданной внутренней (гауссовой) кривизной, причем значение функции
Кmt(u, v, p) в каждой точке пространства H3 совпадает со значением гауссовой кривизны F в той же точке [1].
Напомним, что pij (i, j e {1,2}) есть вторые ковариантные производные функции p = p(u, v) относительно метрики единичной сферы S^; u , v - локальные географические координаты на S12. Конечный атлас на двумерном многообразии S12 выбран так, что в каждой карте этого атласа cos v >а > 0.
В работе [2] изложены достаточные условия единственности решения p = p(u, v) последнего приведенного уравнения. Имеет место следующее утверждение.
Пусть в H3 \ {О} задана функция Кi (u, v, p) e C (S1 x R + ), удовлетворяющая условиям: 1)
Ki (u, v, p) = Ki > -1; 2) [(Кг. + 1)sh2pch2p]p < 0. Тогда существует не более одной поверхности
F : p = p(u, v), в каждой точке которой гауссова кривизна совпадала бы со значением функции К. в этой точке.
Покажем теперь, что если функция К. (u, v, p) удовлетворяет условиям, сформулированным в приведенном выше утверждении, то аналогичным условиям удовлетворяет и функция
(
(К. )т (u, v, p) = К (u, v, p) + (1 -т)
po ch Vo
Л
-1
где тe[o,l], а po e (Pl,p2).
psh2 рек2 р Имеет место следующий результат.
Если функция К (и, V, р) удовлетворяет условиям, приведенным в предыдущем утверждении, то существует не более одной замкнутой выпуклой поверхности Ет , имеющей данную гауссову кривизну (Ki)т при любом значении параметра ге[0,1]. Гт - поверхности рт = рт(и,V), где рт (и, V) - решения семейства Фт= 0.
Для доказательства справедливости сформулированного утверждения достаточно проверить,
что выполняется неравенство: [(К +1)sh2рек2р]р < 0.
В нашем случае данное неравенство выглядит следующим образом:
тКг + (1 -т)
po ch Vo psh2 pch2 p
-1
\ Л +1
J )
sh2 pch 2p
< o.
Левую часть этого неравенства можно преобразовать к виду:
т[Кxsh2 pch 2p] + (1 -т)
po ch 4 poo psh2 pch2 p
\
-1
sh2 pch2 p
+
\sh 2 pch 2p\ .
p
p
В силу того, что функция Кг (и, V, р) = Кг удовлетворяет условиям, обеспечивающим един-
ственность
сле-
замкнутой выпуклой поверхности Р = р (т = 1), [(Кг +1)^к2 рек 2р]р < 0 . Отсюда дует неравенство: 2рек2р]р < -\рк2рек2р]р . Далее имеем, что выражение
( роекУ Л
-1
рsк2 рек2 р
В самом деле
ро ек 4р
sк рек р
также не
превышает - \к2 рек 2р]р .
ро ек Уо
-2-2--1
рsк рек р
sк2 рек2 р
^р0- -[рк2 рек 2р]р < —\>к2 рек 2р]р
так как —
4
О— < о .
р
Следовательно, выпуклая комбинация левых частей данных неравенств обладает тем же свой-
ством:
: т[к^к2 рек 2р]р + (1 -т)
С
ро ек Уо
Л
го, что \к2 рек2 р]р > о, и получаем
оо -2-2--1
рsк рек р
(
sк2 рек2 р
<-
\рк2 рек 2р]р . Отсюда
что
тКг + (1 -т)
ро ек Уо
'о"' го _ 1
р^к рек р
\ \
+1
У У
sк2 рек2р
в силу то-
< о.
Условие [((Кг )т + 1)^к2рекУ], < о обеспечивает единственность всякой замкнутой выпуклой поверхности Рт : рт = рт(и, V) однопараметрического семейства отрицательно эллиптических уравнений Фт = о , те [о,1].
Таким образом, так как функция (Кг )т(и, V, р) удовлетворяет всем условиям единственности поверхности Рт при любом т е [о,1], то существует не более одной выпуклой гомеоморфной сфере
поверхности , звездной относительно точки О пространства н , имеющей заданную гауссову кривизну (Кг )т (и, V, р) при любом значении параметра т из отрезка [о,1].
Утверждение, сформулированное в статье, доказано.
1. Филимонова, А.П., Юрьева, Т.А. Равномерные по параметру оценки решений семейства дифференциальных уравнений типа Монжа - Ампера в метрике С0^12) // Вестник Амурского государственного университета. Серия «Естественные и экономические науки».- 2020. - № 89. - С. 3-6.
2. Филимонова, А.П., Юрьева, Т.А. Единственность решения уравнения Монжа - Ампера некоторого класса на сфере как двумерном многообразии // Международный научно-исследовательский журнал. - 2016.- № 6-5 (48). — С. 107-110.
р
р
р
р
