CC BY
29
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 15 Выпуск 3 (2014)
УДК 511.6
ЕДИНИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Э. Т. Аванесов, В. А. Гусев (г. Иваново)
Аннотация
Известные последовательности чисел Фибоначчи рассматриваются как линейные рекуррентные последовательности, что позволяет дать описание единиц кубических полей отрицательного дискриминанта. Распространение указанной процедуры приводит к описанию аналогичной задачи для произвольных алгебраических полей и интерпретируется применительно к диофантовым уравнениям.
Ключевые слова: поле, последовательность, единица, рекурсия, Фибоначчи, уравнение, Диофант.
Библиография: 2 названия.
UNITS AND LINEAR RECURRENT SEQUENCES
E. T. Avanesov, V. A. Gusev (Ivanovo)
Abstract
The author suggests the famous description of cubic field units of negative discriminant with recurrent sequences which are analogous to Fibonacci numbers. It runs to derived algebraic field and it is interpreted as applied to Diophantine equations.
Keywords: field, sequence, unit, recursion, Fibonacci, equation, Diophan-tine.
Bibliography: 2 titles.
1. Введение
В работе [1] в качестве обобщения известных последовательности чисел Фибоначчи Кп рассмотрены линейные рекуррентные последовательности к-го порядка 1т, Ут Е 2, определенные с помощью начальных значений У0, 11,..., 1к_1 и соотношения
Ут = А1Ут-1 +А2Ут-2 + . . . + АкУт-к, А, Е = 1 ,...,к), Ак = 0, т ^ к. (1)
Исходя из них, там же получено описание единиц кубических полей отрицательного дискриминанта.
В предлагаемом исследовании указанная конструкция распространяется на
1) полное решение соответствующей задачи для биквадратных полей сигнатуры 2 и
2) на описание всех единиц алгебраических полей степени п ^ 3, являющихся степенями какой-либо одной из основных единиц поля.
Кроме того, излагается интерпретация установленных теорем применительно к диофантовым уравнениям.
2. Необходимые сведения
Пусть К —- биквадратичное поле, порожденное произвольным корнем уравнения, имеющего две пары комплексно сопряженных корней, а элемент А Е К определяет собственный (минимальный многочлен)
#(А) = А4 - А1А3 - А2А2 - А3А - А4, для корней которого А* (г = 1, 2, 3, 4) определитель Вандермонда равен
(2)
W
1111 А1 А2 А3 А4 А12 А22 А32 А24 А13 А23 А33 А34
П (А*- А,) = 0.
Введем переменные жо,ж1,ж2,ж3 и соответствующие определители М* (г 1, 2, 3,4), где
Хо 1 1 1 Хо 1 1 1
М1 = Х1 Х2 А2 А22 А3 А23 А4 А24 , М2 = Х1 Х2 А1 А21 А3 А23 А4 А24
Хз А232 А333 А434 Хз А131 А333 А434
Хо 1 1 1 Хо 1 1 1
М3 = Х1 Х2 А1 А21 А2 А22 А4 А24 , М4 = Х1 Х2 А1 А21 А2 А22 А3 А23
Хз А131 А232 А434 Хз А131 А232 А333
Определим многочлен f (х0,х1,х2,х3) по формуле
1 4
/(Хо,Х1,Х2,Хз) = '
г=1
Справедливы следующие предложения (см. [1], К = 4).
Теорема А. Многочлен f (х0,х1,х2,х3) имеет целые рациональные коэффициенты, а коэффициент при х3 равен 1, далее
f (Уm, Уm+1,Уm+2, Ут+3) = (—1)т ■ f (У0, У1, У2, ^з) ' АТ-
Теорема В. Если £ = а0 + а1а + а2а2 + а3а3 — целое алгебраическое чис-
3-1
ло поля K и a1 = Ут+3— — ^ ЛэУт+3-г-г, (г = 0,1, 2, 3), то для элемента £
3 = 1
справедливо норменное уравнение
Нотт£ = (—1)т ■ Нотш£о ■ Лт?, где £0 определяет компоненты а^ компонента £ при т = 0.
3. Случай биквадратичного поля
Здесь устанавливается следующая
Теорема 1. Пусть К —- алгебраическое числовое поле 4 степени сигнатуры 2. 5 — основная единица К с собственным многочленом
д(х) = х4 — Лх3 — Вх2 — Сх — Б, \Б\ = 1.
Если У — линейная рекуррентная последовательность 4-го порядка с начальными значениями У0 = У1 = У2 = 0, У3 = 1 и соотношениями
Ут = ЛУт 1 + ВУт -2 + СУт—3 + БУт-4, определенная и для отрицательных значений индекса т по формуле
Ут = Б (Ут+4 + ЛУт+1 + ВУт+2 + СУт+
задающей целочисленные значения Ут ввиду условия \Б\ = 1, то все единицы поля К представляются формулой
£ = ± (Утб3 + (Ут+1 — ЛУт) 52 + (Ут+2 — ЛУт+1 — ВУт) 5+
+ (Ут+3 — ЛУт+2 — ВУт+1 — СУт)) ,
где т — пробегает целые значения.
Доказательство. Пусть А1 = 6 = ¿1 - А2 = 62, А3 = 63, А4 = 64, А = В = А2, С = А3, Б = А4, где 6, (г = 1, 2, 3, 4) — корни
Непосредственно усматривается, что ^1т) = Б1 £т. Здесь ^1т) получается из заменой первого столбца соответствующими числами 1т, 1т+ъ 1т+2, 1т+3, так то
м{т) =
1т 1 1 1т+1 62 63 1т+2
62 62
1
64
642
6443
1 1 1
62 63 64
622 632 642
1т+3 62 63
1т63 + (1т+1 - АУт) 62 + (1т+2 - АУт+1 - ВУт) 6+
+ (1т+3 - А1т+2 - В1т+1 - С1т) .
Си (т) 10)
другой стороны, = 6 \ Но = Б1 и таким образом £т = 6т, что и требовалось доказать. □
£
т
4. Случай произвольного поля
Для произвольного п ^ 3 аналогично доказывается
Теорема 2. Пусть к —- алгебраическое числовое поле степени п ^ 3 , где п = п1 + 2п2, п1 — число действительных корней, п2 — число пар комплексных корней уравнения, порождающего поле К.
Пусть 61, 62,...,6Г (г = п1 + п2 - 1) — единицы, составляющие систему основных единиц поля К, а их собственные многочлены соответственно
п
аг(ж) = жп А(')хп-3, где \ А« \ = 1,г = 1, 2, 3,...г.
3 = 1
Пусть далее — линейная рекуррентная последовательность по-
рядка к с начальными значениями У0 = У1 = ... = Ук-2 = 0, Ук-1 = 1 и соотношением
V = + + +
1 т — А1 1т-1 + А2 1т-2 + . . . + Ак 1 т-к,
причем эта последовательность определена и для отрицательных значений
индекса т, так как ввиду условия
Ак°
1 каждый член
V = 1 /V _ _ _ _ V ^
1т— (,) Мт+к А1 2т+к-1 А2 1 т+к-2 ... Ак-11т+11
Ак
т \ т+к ^ 1 1 т+к-1 ^2 т+к-2 ••• к-
целое число.
Тогда все единицы поля К, являющиеся степенями какой-либо из основных единиц поля, задаются формулой
£ = ± ^гт6п-1 + ^ (ут+— — ^ Л{?Ут+1-1 ^ | = , 1 = 1, 2, 3, ...г.
В качестве приложений теоремы 3 из [1], а также только что доказанных теорем 1 и 2 устанавливаются следующие предложения, представляющие определенный интерес в диофантовом анализе.
КРИТЕРИЙ 1. Если основная единица 6 кубического поля К(р) отрицательного дискриминанта имеет вид:
6 = р, где р3 — Ар2 — Вр — С = 0, |С| = 11; то все целые решения (и, у) диофантова уравнения
и3 — Аи2 у — Виу2 — Су3 = 1 определяются по формулам
и = Ут+2 — AУm+1,
у = Ут+1;
здесь У0 = У1 = 0, У2 = 1, Ут = АУт-1 + ВУт-2 + СУт-3, для таких значений индекса т, при которых Ут = 0.
КРИТЕРИЙ 2. Если основная единица 6 кубического поля К(р), р3 — —р1р2 — р2р — р3 = 0, отрицательного дискриминанта имеет вид: 6 = ар + Ь1, а = 0, а собственный многочлен для 6 равен д(х) = х3 — Ах2 — Вх — С, |С| = 1, то все целые решения диофантова уравнения
и3 — р1и2 у — р2иу 2 — р3у 3 = 1
определяются из формул
и = Ут+2 + (Ь — А)Ут+1, у = аУт+1;
У0 = У1 = 0, У2 = 1, Ут = АУт-1 + ВУт-2 + СУт-3, для таких значений индекса т, при которых Ут = 0.
Замечание 1. Для чисто кубического поля К (—п) в случае двучленной основной единицы 6 = а—п + Ь находим с помощью преобразования Чирнгаузена собственный многочлен
63 — 3Ь62 + 3Ь26 — 1 = 0,
тогда У0 = У1 = 0, У2 = 1, Ут = 3ЬУт-1 — 3Ь2Ут-2 + Ут-3, и все возможные целые решения (и, у) уравнения Делоне — Нагелла
и3 + цу3 = 1
определяются из формул
и = Ут+2 — 2ЬУт+1,
у = аУт + 1,
для тех значений индекса т, при которых Ут = 0. Если т = 0, то находим: и = Ь,у = а.
Учитывая, что индуктивный подход легко обнаруживает представление
[ т-2]
Ут = ^ /гЬт-2-3г, /г е ^ г=0
по-видимому, на этом пути можно показать единственность нетривиального решения уравнения Делоне — Нагелла.
КРИТЕРИЙ 3. Пусть 8 = ар2 + Ьр + с — основная единица кубического поля К(р) отрицательного дискриминанта, р — корень уравнения
р3 — ргр2 — р2р — Рз = 0, а собственный многочлен 8 равен
д(х) = х3 — Ах2 — Бх — С, \С \ = 1. Тогда все целые решения (и, у) диофантова уравнения
и3 + 'р\и2 у — р2 иу2 + р3у3 = 1
определяются из формул
и = Ут+2 + (С — А)Ут+1 + (а2ргр;3 + 2аЬр3 + С2 — АС — В)Ут} у = ЬУт+1 + (а2(ргр2 + р3) + 2аЬр2 + 2Ьс — АЬ) Ут,
где У0 = У1 = 0, У2 = 1, Ут = ГУт-1 — ВУт-2 + СУт-3, для таких значений индекса т, при которых
аУт+1 + (а2 (р2 + р2) + 2аЬр1 + 2ас + Ь2 — Аа) Ут = 0.
КРИТЕРИЙ 4. Если основная единица 8 биквадратичного поля К(р) сигнатуры 2 имеет вид: 8 = р, р4 — Ар3 — Вр2 — Ср — Б, \Б\ = 1, то все целые решения (и, у) диофантова уравнения
и4 + Аи3у - Ви2у2 + Сиу3 - Бу4 = 1
определяется из формул
( и = ^т+3 - А1т+2, \ V = 1т+2,
для таких значений индекса т, при которых 1т = 1т+1 = 0.
КРИТЕРИЙ 5. Если система основных единиц поля К (р) степени п = = п1 + 2п2 ^ 3, рп - р1рп-1 - ... - рп = 0, имеет вид: 6, = а,р + Ь (г = = 1, 2,... , г; г = п1 + п2 — 1), а их собственные многочлены соответственно
п
£г(х) = хп-^А«хп-3, |А«| = 1, 3=1
к (.)
последовательность 1т = ^ А( ; V = 11 = ... = Ук-2, Ук-1 = 1, тогда все
3=1
целые решения (и^) уравнения
ип +Р1ип-1 v + (-1)n-1pnVn = 1,
для которых соответствующие двучленные единицы поля К(р) являются степенями какой-либо из основных единиц 6,, определяется из формул:
[ и = ^т+к-1 + - А1 )1т+к-2,
I v = ^г-^т+к-2,
для таких значений индекса т, при которых одновременно 1 т = 0, 1 т+1 = 0, . . . , 1 т+к-3 = 0.
Аналогично формулируются критерии и при прочих возможных представлениях основных единиц.
5. Заключение
Множество (1т = 0} принято называть множеством нулей линейной рекуррентной последовательности.
Как анонсировано в [2], существует алгоритм, определяющий по данной линейной рекуррентной последовательности порядка ^ 3 пусто ли множество нулей.
В случае к > 3 там же установлены в некотором смысле грубые оценки числа элементов множества нулей в терминах модулей коэффициентов собственного многочлена.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kiss P. On some properties of linear recurrents // Publ. math. — 1983. — T/30. — C. 273-281.
2. Верещагин Н.К. О нулях линейных рекуррентных последовательностей // ДАН СССР. 1984. № 5. С. 1036-1039.
Ивановский государственный энергетический университет имени В. И. Ленина Поступило 4.02.2014
