CC BY
5
Прикладная математика & Физика, 2023, том 55, № 3. С. 273-284. Applied Mathematics & Physics, 2023, Volume 55, No 3. P. 273-284.
УДК 517.946 DOI 10.52575/2687-0959-2023-55-3-273-284
MSC 35K59
оригинальное исследование
Двусторонние оценки решений с обострением режима нелинейного уравнения теплопроводности с квадратичным источником
1 Вирченко Ю. П. , 2 Ченцова В. В.
1 Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова,
Россия, 308012, Белгород, ул. Костюкова, 46 [email protected]
2 Белгородский государственный национальный исследовательский университет,
Россия, 308015, Белгород, ул. Победы, 85 [email protected]
Аннотация. Изучаются решения и(х, t) > 0, х е R, t > 0 с компактным носителем одномерного нелинейного уравнения теплопроводности с вырождающимися при и(х, t) = 0: линейным по и транспортным коэффициентом и самосогласованным источником аи + fiи2 общего вида. Устанавливаются двусторонние оценки времени обострения для решений с компактным носителем, функционально зависящие от начальных условий и(х, 0).
Ключевые слова: аппроксимация решений, компактный носитель, нелинейное уравнение теплопроводности, обострение режима, эталонное решение
Для цитирования: Вирченко Ю. П., Ченцова В. В. 2023. Двусторонние оценки решений с обострением режима нелинейного уравнения теплопроводности с квадратичным источником. Прикладная математика & Физика, 55(3): 273-284. D0I 10.52575/2687-0959-2023-55-3-273-284
Original Research
Bilateral Estimates of Solutions with Blow up Regime of the Nonlinear Heat Equation
with a Quadratic Source
1 Yuri P. Virchenko , 2 Victoria V. Chentsova
1 Belgorod State Technological University named after V. G. Shukhov, 46 Kostyukova st., Belgorod, 308012, Russia [email protected] 2 Belgorod National Research University, 85, Pobeda st., Belgorod, 308015, Russia [email protected]
Abstract. Solutions u(x, t) > 0, x e R, t > 0 with compact support of one-dimensional quasilinear heat transfer equation degenerated at u (x, t) = 0 is studied. The equation has the linear on u transport coefficient and self-consistent source au + Pu2 of general type. Bulateral estimates of the blow-up time for solutions with a compact support are established, functionally depended on the initial conditions u(x, 0).
Keywords: Approximation of Solutions, Compact Support, Nonlinear Equation of Heat Transfer, Blow-up Regime, Etalon Solution
For citation: Virchenko Yu. P., Chentsova V. V. 2023. Bilateral Estimates of Solutions with Blow up Regime of the Nonlinear Heat Equation with a Quadratic Source. Applied Mathematics &Physics, 55(3): 273-284. (in Russian) DOI 10.52575/2687-0959-2023-55-3-273-284
1. Введение. Квазилинейное параболическое уравнение общего вида
й = (к(и)их)х + /(их, и), (1)
относительно функций и(х, 0, х е К, I > 0, в котором их = ди/дх, и = дис транспортным коэффициентом к (и) > 0 и измеримой функцией / (их, и) от текущих значений и (х, £), их (х, £) является основой для различных моделей, исследуемых в математичкой физике (см., например, [1]). При этом, как правило, интересуются неотрицательными решениями и(х, f) > 0 этого уравнения, удовлетворяющими нулевым краевым условиям. Особым случаем такого уравнения является такой, у которого к(0) = 0. В этом случае возможно возникновение решений со слабым разрывом, у которого с одной стороны от разрыва решение и(х, £) = 0 [1]. Это явление было предсказано в [2] и, в дальнейшем, исследовалось в различных работах
(см., например, [3]), в частности, изучались условия остановки фронта [4]. Если функция f (их,и) в уравнении представима в виде / (их, и) = (Г (и))х + д (и), где Б (и) дифференцируема по и, а функция д (и) измерима. Если Р(и) отлична от линейной и стремится к бесконечности при и ^ <х>, то, как известно, такое уравнение уже не имеет глобальных решений по причине образования за конечное время разрывов у решения и(х,1). Слабые же решения задачи Коши при этом уже не определяются единственным образом. Слагаемое (Р(и))х в этом случае описывает явление переноса. Для обеспечения единственности вводится понятие об энтропийном решении [5]. Изучению таких решений посвящено уже значительное число работ (см., например, []-[]). В зависимости от свойств функции д(и), решения уравнения (1) могут иметь различное качественное поведение [1]. Особый интерес представляет исследование решений и(х, f) уравнения (1) при /(их, и) = (Г(и))х + д(и) с д(и) > 0. В этом случае его решения могут переходить в т. н. режим с обострением. Такие решения и(х, f) существуют только лишь на конечном интервале времени f € [0, tt.) так, что и(х, f) ^ ж в какой-то точке х е К при f ^ и, где называется временем обострения. Такой режим реализуется при определенном асимптотическом поведении этой функции д(и) ~ иг, у > 1. Основное направление таких работ связано с изучением условий, при которых режим с обострением возникает, и определением глобальных характеристик соответствующих решений. Мы будем, далее, интересоваться частным случаем уравнения (1), у которого Г = 0. Функцию д(и) в этом случае мы будем называть самосогласованным источником. Изучение режимов с обострением для такого уравнения имеет давнюю историю [10] - [ ]. Их исследование суммировано в монографии [ ]. Из более поздних достижений в исследовании режимов с обострением отметим работы [18], [19], где изучались: определение критического показателя нелинейности, вызывающей обострение, оценки времени обострения и размера компактной области, в которой такое обострение происходит.
В настоящей работе рассматривается вырождающееся уравнение (1) с Р = 0, в котором учитываются слагаемые не более чем квадратичные по функции и, а именно
и = (иих)х + аи + @и2, (2)
в котором а, Р е К. Мы будем изучать решения на компактном носителе [сс+] с К. Они обладают обострением режима при р > 0, а также «исчезают» за конечное время при р < 0. Мы предлагаем, по нашему мнению, альтернативный метод двустороннего оценивания времени обострения, впервые использованный одним из авторов в работах [20], [21] без его достаточного математического обоснования. Здесь мы ликвидируем этот пробел и надеемся, что этот метод получит в дальнейшем развитие.
2. Принцип максимума. В этом разделе мы докажем принцип максимума для квазилинейных параболических уравнений в той форме, которая представлена в монографии [17], в которой, однако, не дано его доказательство, а затем представим обобщение этого принципа для слабых решений с компактным носителем для вырождающихся уравнений такого типа.
Пусть Т > 0, К > 0 - произвольные постоянные. Рассмотрим банахово пространство С2д ([-К, К ], [0,Т ]) функций и(х, f) двух переменных (х, f), дважды непрерывно дифференцируемых по х € [-К, К] и непре-
г т ,, ,, +ки(х, f)
рывно дифференцируемых по I е [0,Т] с нормой \\иУ = шах;е{0,1},к€{0,1,2} шаххе[-к,ке[0,г] дрдхк ■
Лемма 2.1. Пусть функция к' (и) удовлетворяет условию Липшица по и е К, а функция /(их, и) удовлетворяет такому же условию по каждой из переменных (их, и) е К2. Тогда множества функций и 52:
{и е С2,1 ([-К,К], [0,Т]) : и(х^) < I. [и](х,^}, (3)
{и е С2,1 ([-К,К], [0,Т]) : й(х^) > I. [и](х^)}, (4)
где
Ци ](х^) = [(к (и )их )х + / (их ,и ) (5)
открыты в пространстве С21 ([-К, К], [0, Т ]), а их замыканиями являются, соответственно, множества {и е С2,1 ([-К, К], [0,Т ]) : й(х,г) < Ци](х,Г)} и {и е С2,1 ([-К, К], [0,Т ]) : й(х,г) > Ци ](х^). Доказательство. Достаточно доказать первую часть утверждения. Положим, что функция и(х, f) удовлетворяет неравенству й(х, f) < [Ь[и] (х, f). Ввиду непрерывности функции й(х, f) - Ь[и] (х, f) по паре переменных на прямоугольнике [-К,К] X [0, Т], должно выполняться
е = max \(ii-L[u])(x,tН < 0 .
x£\-K,K\,t£ [0,л I I
x £[-K,K ],t £[0,Т ]
Добавив к функции и(х, t) произвольную функцию S(х, t) с достаточно малой нормой такой, чтобы выполнялось неравенство
8(x,t) + iL[u]-L[u + S]^j(x,t) < £, (6)
получим, что все функции (и + 8)(х, £) из С2д ([-К, К], [0, Т]) составляют окрестность функции и(х, f), содержащуюся в множестве типа (3). Возможность же выбора такой функции 8(х, f) вытекает из следующих оценок
\8(х, г) + (ь[и] -Ци + 5])(х,Г)\ < у5у + \\Ци]-Ци + й] ||„ <
< \\8\\ + \\ихх\\ ■ \\к (и) - к (и + 8 )\\0 + \\8\\ ■ \\к (и + 5)Ус + \\их\\2 ■ \\к '(и) - к'(и + 5)\\п + +\\8\\(2\\и\\ + \\8\\)\\к'(и + 5)\\0 + \\/ (их + 8Х ,и + 8)- / (их,и)\\0, где посредством \\ ■ \\0 обозначена норма в пространстве С( [-К, К] X [0, Т]) непрерывных функций и(х, £)
\ \ и\\0 = тах \и (х^)\.
X е[-К,К е[0,Г ]
Норма \\5 \ \, также как и нормы разностей \ \ к (и)-к (и + 5)\\0 < \ \ к'(и)\\0\\8 \\0, \ \ к'(и)-к'(и + 5)\\0 < К(и)\\8 \\0, \\/(их + 8х,и + 8) - /(их,и)\\0 < Ь(их,и)\\8\\0 при \\8\\0 < £, могут быть сделаны сколь угодно малыми, вследствие выполнимости условий Липшица для функций к '(и) и f (их ,и) с зависящими от их и и коэффициентами К (и), Ь (их, и).
Точно так же доказывается утверждение об открытости множества (4). При этом нужно выбрать
min \(ii-L[u])(x,tН = е > 0 КЖ1,(е Г0,Г1 I I
й(2)
х е[-К,К ],t е[0,Т ]
и точно так же выбрать функцию 8(х, t), чтобы выполнялось неравенство (6). ■
Теорема 2.1. Пусть и (1)(x,t) и u (2)(x,t) — дважды непрерывно дифференцируемые по х е R функции такие, что при t > t0 е R+ они удовлетворяют неравенствам
ti(14x,t) < [(к (и (Г))и'х1) )х + f (uix) ,и(1)) ] (x,t), (7)
(x,t) > [(к (и (2))42} )х + f (и(х] ,и(2)) ] (x,t), (8)
соответственно. Если имеет место неравенство u(1) (х, t0) < и(2) (х, t0), х е R, то для любого t > t0 также имеет место неравенство u(1) (х, t) < и(2) (х, t) при всех х е R.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда функция u(1) (х, t) такова, что в (7) реализуется точное неравенство. Допустим противное, что для некоторого t' > t0 существует точка х', в которой реализуется касание графиков и(1) (х, t') и и(2) (х, t'), то есть выполняются равенства и(1) (х', t') = и(2) (х', t') и и'(Х ^(х',t') = и~х \х',t'). Кроме того, в этом случае должно выполняться неравенство uix (х',t') < ихх (х', t'). Не ограничивая общности, будем считать, что точка t' является первой из всех возможных точек такого типа. Следовательно, на основании (7) и (8) имеет место неравенство и(2) (х', t') > й(1) (х', t'), и поэтому, при достаточно малых е > 0, и(2) (х', t' + е) > и(1) (х', t' + е), то есть в точке х' не происходит пересечение графиков и(1) (х, t') и и(2) (х, t') при t' + £.
Точно также, доказывается, что не происходит пересечение графиков и(1) (х, t') и и(2) (х, t') ни в одной точке t' > t0, если функция и(2) (х, t) такова, что точное неравенство реализуется в (8).
Распространим теперь доказательство на общий случай. Рассмотрим пары функций {и(1)(x,t), и (2)(х, t)) из пространства C2j1 ([-К, К], [0, Т ]) X C2j1 ([-К, К], [0, Т ]), принадлежащие конусу S, в котором выполняется неравенство и (1)(x,t) < и (2)(x,t). В этом пространстве множества S1XС2Д([-^,К], [0, Т]) и C2j1 ([-if,К], [0, Т])XS2 открыты, сог"ласно Лемме 2.1. Из первой части доказательства следует, что множество S П (S1 X С2>1 ([-^, К], [0,ТП (С2>1 ([-^, К], [0,Т]) X S2) не пусто и открыто. Тогда на замыкании этого множества справедливо утверждение теоремы для точек {х, t) е [-К, К] X [0, Т]. Переходом к пределу, сначала К ^ то, а затем Т ^ <х> получаем, что утверждение теоремы справедливо для всех пар {и(1) (х, t), и(2) (х, t)) функций с указанными в условии теоремы свойствами. ■
Замечание. Представленное доказательство принципа максимума не предполагает единственность решения задачи Коши уравнения (1), что важно в рассматриваемом нами случае вырождающегося уравнения при и = 0, когда единственность решения такой задачи может не иметь места.
Далее, будем изучать решения вырождающихся гиперболических уравнений (1), у которых функции g(и) = f (их,и), к' (и) удовлетворят условию Липшица и при этом к(0) = 0, к' (0) > 0. Класс таких уравнений обзначим посредстом S. Рассмотрим слабые решения и(х, t) специального типа для таких уравнений, обладающие компактным носителем. Они конструируются следующим образом. Пусть w(х, t) - «точное» решение уравнения (классическое решение), то есть имеет место w(x, t) = (к(w)wx)х + g(w). Допустим, что w(х-(t), t) = w(x+(t), t) = 0. Определим
(w(x,t), x е[х-(1 ),x+(t)]; u(x, t) = <
(0, R \(x-(t),x+(t)).
ЕЕсли и(х, ^ не является точным решением, то, по крайней мере, в одной из точек х' = х±^) производная ( йи/ с1х)^х+ (() (^ не равна нулю.
Очевидно, что функции и(х, 0 являются слабыми решениями в случае, если Кшх^х+ ^) \мх(х, О! < т, так как имеет место
J (w-( k( w) "wx )x - g( w) j (x, t) dx = 0 .
Класс всех таких слабых решений обозначим посредством Я. Тогда справедлива
Теорема 2.2. Пусть и(1) (х, t) и и(2) (х, t) — принадлежащие классу Я слабые решения уравнения класса которые при t > t0 € R+ удовлетворяют неравенствам
й(1)(х, t) < [{k(u^W^)х + g(u(1))] (х, t), (9)
u(2)(x, t) > [{k(u(2))u(2))x + g(u(2))] (x, t), (10)
соответственно. Если имеет место неравенство u(1) (х, t0) < и(2) (х, t0), х € R, то для любого t > t0 также имеет место неравенство u(1) (х, t) < и(2) (х, t) при всехх € R.
Доказательство. Пусть функции м(1) (х, t) им (2)(х, t) класса Я сносителями [x-J^ (t), x+j\t)],j € {1, 2} удовлетворяют неравенству u(1)( х, t0) <u (2)( x, t0) так, что [x-1^ t0), f0)] с [x-2)( t0), x+2\t0)] .Допустим, что в какой-то момент t' > t0 найдется точка х', в которой выполняется u(1) (х', t') = и(2) (х', t') и при достаточно малом е > 0 имеет место и(1) (х', t' +е) > и(2) (х', t' +е). Причем t' — первая точка среди всех возможных точек такого типа, и поэтому в точке t' имеет место включение [х(1)( t'),х^1^ t')] с [х(2^(t'),х+\t')].
Если х' содержится внутри отрезка [х-1^ t'),х^Ч t')], то неравенство и(1)(х', t' + е) > и(2)(х', t' + е) невозможно при любом достаточно малом е > 0, согласно доказательству Теоремы 2.1. Рассмотрим случай, когда х' € {х-1-^ t'),л^Ч t')}. Положим, для определенности, х' = л^Ч t). Если значения обеих функции и(1^(х, t) и и(2) (х, t) в окрестности точки х+1) (t) представляются точными решениями уравнения, то есть эта точка является крайней точкой носителя точных решений, то для нее опять справедливы рассуждения, приведенные в доказательстве утверждения Теоремы 2.1. Поэтому положим, что, по крайней мере, для одной из функций, точка х(1) (t) не является крайней точкой носителя точного решения. По этой причине, { dи('Vdx). (1), г .,, Ф 0, j € {1, 2}. Тогда имеют место и(1)(х(1)( t'), t') = и(2) (xj1) (t'), t') = 0
и 0 < { du(1) /dx)2^^ t'), t') < { du(2) /dx)2(л^1^ t'), t'). Следовательно, ввиду свойств функции k(и), в этой точке выполняется неравенство
[и(1)(х, О] (1) = Г(0) [(^)2 - (^)2 ] < 0 .
L Лх=х+' dx )(x+(t'),t') V dx ){x+(t'),t')\
Поэтому неравенство u(1) (x(1) (t'), t) > u(2) (x(1) (t'), t), 0 < t - t' < e также невозможно в этой точке, так как изменение со временем t каждой из функций и(1) (х, t), и(2) (х, t) в точке х = х(1) (t') определяется на основе точного решения уравнения (1). ■
Теоремы 1 и 2 допускают очевидные обобщения. Условия Липшивости функций к' (и), f(их, и), д(и) могут быть, без изменения стратегии доказательств теорем, ослаблены заменой на условия Гельдеровости этих функций по своим аргументам с произвольным сколь угодно малым показателем Гельдера и, более того, допустимо дальнейшее ослабление требований, предъявляемым к этим функциям.
3. Асимптотика решений с обострением. В этом разделе мы определим возможный тип асимптотического поведения при t ^ tr. решения и (х, t) уравнения (2), если оно сосредоточено на компактном носителе, расположенном в некотором отрезке [с-, с+] и в какой-то точке х € [с-, с+] это решение стремится к бесконечности. При этом значение tt может быть как конечным, так и бесконечным.
Прежде всего, докажем утверждение, связанное с теоремой о дифференцировании функциональных последовательностей.
Лемма 3.1. Пусть {yn (х); n € N) — последовательность непрерывно дифференцируемых функций на [с-, с+] с R такая, что последовательность соответствующих производных {y'n(х); п € N) равномерно ограничена maxx€[с-,с+]
|y'n(х)| < М и сходится в каждой точке х € [с-, с+] к ограниченной измеримой функции v(x), х € [с-, с+]. Пусть, кроме того, существует точка с € [с-, с+], в которой существует предел
lim yn(с) = у (с). (11)
Тогда последовательность {уп(х); п € N) равномерно сходится в каждой точке х € [с-, с+] к дифференцируемой функции
lim Уп (х)=у(х) (12)
п^ж
такой, что у'(х) = V (х).
Доказательство. Запишем выражение для функций уп(х), п е N в виде
X X
уп(х) = уп(с)+У V(№ +1 [у'„ф_ VфЩ.
с с
Для любого е > 0, согласно теореме Егорова (см., например, [23]), найдется такое множество Е£, для которого выполняется шез([с_,с+] \ Е£) < е и последовательность функций (у'п(х); п е N сходится к функции V(х) равномерно при х е Е£. Можно считать, что множество Е£ замкнуто. Из оценки интеграла
X
J [у'п($- Vф№
<( max lv (х)| + М) mes([c_,c+]\Е£) + mes(Ee) max ly'n (х) - и (х)|,
х е[с _,с+] х еЕ£
ввиду (12), после перехода к пределу по п ^ <х, находим, что в каждой точке х е [с_, с+] имеет место неравенство
lim sup
X
уп(х)_ у(c)_J v
< £\ max lv(х)| + Ml.
\х е[с _,с+] '
Ввиду произвольности числа е > 0, отсюда следует, что последовательность {уп(х); п е N) равномерно сходится в каждой точке х е [а, Ъ] к функции
х
У (X) = у (С) + J v (№. (13)
о
Так как при этом последовательность (у'п (х); п е N) сходится равномерно на Е£, то, применяя теорему о дифференцировании функциональных последовательностей, находим, что у'(х) = v(х) при х е Ее. Ввиду произвольности е > 0, получаем, что это равенство выполняется везде в [с_, с+]. ■
Пусть решение и(x,t) уравнения (2) с носителем, расположенным внутри [с_,с+], таково, что в некоторых точках этого отрезка оно стремится к бесконечности при t ^ t. так, что при t > t. решение и(х, t) уже не имеет смысла. Допустим также, что при t ^ t. решение и(х, t) имеет асимптотическое поведение равномерное по х е [с_,с+]. Это означает, что найдется такая функция <р(t) ^ ж при t ^ t., для которой существует конечный предел limt^^ и(х, t)/<р(t), представляющий ограниченную измеримую по х е [сс+] функцию
/Л , и (x,t) и (х) = lim sup ——— > 0, t ^t. <Р (t)
тождественно не равную нулю. Из определяющих формул (12), (13) следует, что, в случае равномерности асимптотики, имеет место и(x,t) = и(х)<р (t)(1 + о(1)), где функция о(t) равномерно по х е [с_,с+] стремится к нулю при t ^ t.. Справедлива
Теорема 3.1. Если решение и(х, t) уравнения (2) расположено на компактном носителе в отрезке [с_, с+] и обладает равномерным по х е [с_, с+] асимптотическим поведением и(x,t) = и(х) <р(t)(1 + о(1)) ^ ж при t ^ t., то неотрицательная функция и(х) дважды дифференцируема и удовлетворяет дифференциальному уравнению
(иих)х + ßu2 = А2и, А = const (14)
так, что <р (t) = <р(0)(1 _ А2 (р(0)f)_1 и t. = [А2у(0)]_1.
Доказательство. Из уравнения (2), ввиду допустимости дифференцирования по t асимптотической формулы, следует, что
[(w I ш- 1,). _' _2 с**) +1 (1+°(1)) = * )■
Откуда, переходя к пределу t ^ t., учитывая и(х) i 0 и независимость правой части равенства от t, а также стремление (р(t) к бесконечности, находим, что должны существовать предельные значения
lim (U(X,t) [U(X,t) ] ) = ü(х), lim ю_2(t)<p(t) = С = const,
<р (t) У <Р (t) ix)x t ^tj
для которых должно выполняться равенство ü(x) = Си(х) _ ßи2(х), а функция ф(t) должна удовлетворять уравнению tp(t) = С<р2(t). Из последнего уравнения следует, что q>(t) = q>(0)(1 _ С<р(0)t)_1. Так как, по
n—>o0
построению, (р(t) > 0, то р(0) > 0 и для того, чтобы (р(t) стремилась к бесконечности необходимо, чтобы С = А2 > 0. При этом t. = [А2(р(0)]-1.
Ввиду того, что функция и(х), по предположению, ограничена и измерима на [а, Ь], то таким же свойством должна обладать функция v(x). По этой же причине, применение для любой стремящейся монотонно к tt последовательности {tn; п € N) при п ^ ж и соответствующей ей последовательности функций (yn (х) = [ и(х, tn)/(р (tn )][их (х, tn)/(р (tn)] ;п € N) утверждение Леммы 2.1, заключаем, что к предельной функции у(х) = и(х) Кт^ж [их(х, tn)/(р(tn)] эта последовательность сходится равномерно и у'(х) = v(x). При этом в качестве точки с в формулировке Леммы 2.1 для функций yn(х), п € N полагаем с = с-, так как, по предположению, и(с-, tn) = 0.
Так как функция у (х) ограничена и измерима, то таким же свойством обладает функция у(х)/и(х) в точках, где и(х) Ф 0. Рассмотрим последовательность функций {[их(х, tn)/(р(tn)]х; п € N), стремящуюся к у(х)/и(х) при п ^ ж, и при этом и(с-, tn) = 0. Так как Кт^ж их(х, tn)/(р(tn) = и'(х), то, снова применив утверждение Леммы 2.1 для этой последовательности, находим, что и'(х) = у(х)/и(х).
Из рассуждений последних двух абзацев следует, что [и(х)и'(х)]' = v(x). Воспользовавшись равенством v(x) = Си(х) - ¡Ии2(х), получаем формулу (14). ■
Применяя стандартный прием сведения к квадратурам автономного уравнения (14) второго порядка получаем
Следствие. Класс всех допустимых функций равномерно асимптотически точно приближающих неотрицательные решения и(х, t) ^ ж при t ^ и уравнения (2), сосредоточенные на компактном носителе supp и (х, t) с [с_, с+] не пуст, только если § > 0 и с+ - с- > и он описывается формулой
2 А 2 ( %
U(X, t) = — (1 - А2(р(0)f)-1(1 + cos(L + (f}/2)1/2x)) , (15)
где tt = [А2(р (0)]-1 и крайние точки х± носителя решения должны удовлетворять условиям х- > с-, х+ < с+, где
С-05/2)1'2 +L <ж(2п- + 1), с+(Р/2)1/2 +L >ж(2п++ 1), (16)
п+ > п-. При этом необходимо, чтобы с+ - с- > л(2/3)1/2.
□ Формула (15) получается непосредственным вычислением общего решения уравнения. Крайние точки х± должны удовлетворять условиям L + x±(f!/2)1/2 = (2п± + 1)л. Откуда следуют ограничения (16). При п- = 0, п+ = 1 получаем с+ - с- > . ■
4. Слабые эталонные решения. Целью этого раздела является построение эталонных слабых решений u±(х, t) уравнения (2), на основе которых будут найдены двусторонние оценки времени обострения tr. решений, сосредоточенных на компактном носителе, удовлетворяющем условию с+ - с- > лл/2Д с (J > 0. При этом функции u+(х, t) и u-(х, t) дают, соответственно верхнюю и нижнюю оценки локализованных решений и (х, t).
Определим решения w(х, t) уравнения (2), имеющих вид
w(х, t) = a(t) + b(t) cos лЬ-1 (x + x0), (17)
с неопределенными функциями a(t) и b(t) и параметром L„. Подстановка этого выражения в уравнение (2) даёт нам следующее тождество
а( t) + Ъ(t) cos лЬ„1 (х + xq) = оса(t) + ¡3a2(t) + л2Ь„ 2Ъ2(f)+
+(аЪ(t) + 2fia(t)b(t) - кл2Ь-2 a(t)b(t)) cos л!-1 (x + x0) + (P - 2л2L-2)b2(t) cos2 лЬ„-1 (x + x0).
Гармонический баланс относительно переменной х, с необходимостью, приводит к равенству Lr. = л (2/р)1/2 и консервативной системе обыкновенных дифференциальных уравнений для функций a(t), b( t),
а = аа + р | а2 + yj , b = аЪ + 3Р ab. (18)
Таким образом, семейство эталонных решений w(х, t) полностью описывается: а(0), Ь(0) — начальными данными решений системы (18) и координатой х0. Общий вид фазовой плоскости системы в зависимости от знака представлен на рис. 1.
Эталонные решения для оценки точных неотрицательных решений и(х, t) с компактным носителем уравнения (2) строятся на основе Теоремы 2.2. Прежде всего, заметим, что производная wx (х, t) ограничена, что позволяет использовать функцию w(х, t) для построения слабых решений класса Я. Введем эталонные решения и(J) (х, t) = aj(t) + bj(t) cos nL-1 (x + x0J)), j e {1, 2} с компактным носителем, согласно формуле (9), которые являются непрерывными неотрицательными функциями с носителями [x(J^ ( t), х^\f)]. На пары коэффициентов накладываются дополнительные условия |aj(f)| < bj(t), bj(t) > 0, j e {1, 2} для того чтобы существовала область значений координаты х, где, согласно построению, эталонные решения положительны и можно обеспечить их непрерывность. При выполнении указанных неравенств, и(i)(х, t) > 0 в точке -х0J), и(1'2) (-х0(J)) = aj(t) + bj(t) > 0, и для графиков функций w(х, t), с парами коэффициентов {aj( t), bj( t)), имеются точки пересечения с уровнем и = 0, т. е. имеются решения уравнения aj( t) + bj( t) cos nL-1 (x + x(J)) = 0, в частности, при t = 0. В этом случае границы носителей определяются как решения уравнения aj(t) + bj(t) cos nL-1 (x±±) + x0(J)) = 0, j e {1, 2} на части фазовой плоскости {a, b), ограниченной неравенством b > | а|.
Будем считать, что решение и(х, t) обладает компактным носителем, начальный размер которого г меньше L„. Тогда найдутся такие: точка х0(1) и значения параметров а1 (0), Ь1 > 0, |а11 < Ь1, для которых имеет место неравенство и(1) (х, 0) < и(х, 0). Выбором параметров х0(1), а1 (0), Ь1 (0) среди совокупности всех допустимых для них значений можно добиться, чтобы функция и(1) (х, 0) аппроксимировала функцию и(х, 0) снизу наиболее оптимальным образом.
Точно также построим эталонное решение и(2)(х, t) с набором параметров а2(0), Ь2(0), х02) таким образом, чтобы выполнялось неравенство и(2) (х, 0) > и(х, 0), но его носитель не превосходил L„. Выбрав параметры aj (0), bj (0), х(J), мы, тем самым, зафиксировали решения {aj( t), bj ( t)), j e {1, 2} динамической системы {a(t), b(t)), для которых выбранные значения являются начальными данными. В результате, аппроксимируемое точное решение уравнения (2) подчинено, в силу Теоремы 2.2, неравенствам и(1)(X, t) < и(X, t) < и(2)(X, t).
Пусть это решение обладает обострением режима с временем обострения tt < ж. Заметим, что при а > 0 любое эталонное решение обладает обострением режима. Если же а < 0, и, в этом случае, параметры {а-(0), Ь-(0)) могут быть выбраны так, что эталонное решение и(1)(х, t) также обладает обострением режима с некоторым временем обострения ti1, то, в силу указанного неравенства, i!,1 > t„. Кроме
того, обострением режима обладает эталонное решение и2(х, t) с временем обострения t! ), которое
2!
удовлетворяет неравенству t( ) < t*.
В силу неравенства и(1)(х, t) < и(х, t) < и(2) (х, t), зависящий от времени размер носителя r(t) решения и(х, t) также подчинен неравенствам ^(t) < r(t) < r+(t) < L*, где rj(t) — размеры носителей эталонных решений j e {1, 2}. Поэтому имеет место r(t*) < L*. Принимая во внимание Теорему 3.1, можно утверждать, что предельные значения всех носителей совпадают и равны L*.
Таким образом, мы получаем возможность оценивать время обострения и размер области локализации произвольного решения уравнения (2) с компактным носителем, не превосходящим L*.
5. Оценки времени обострения режима. Проанализируем поведение траекторий системы на фазовой плоскости {а, Ь). Система имеет особые точки, координаты {а, Ь) которых являются решениями
системы уравнений аа + ¡31а2 + Ъ2/2j = 0, (а + 3j3а/2)b = 0.
Точка пересечения {ас, 0), ас = -2а/3/? прямых b = 0, а = ас лежит внутри эллипса, определяемого первым уравнением, так как эллипс пересекает ось а в точках 0 и - а/¡3, и поэтому система имеет
четыре особые точки О = (0,0), О' = (-а/fi, 0), О± = (ас, ±ас). Матрица системы, линеаризованной в произвольной точке (а, Ъ), имеет вид
/ а + 2j3a fib \ \ърЬ/2 а + ъра/2) '
Она диагональна в точках О, О', где Ъ = 0, и, следовательно, имеет пары собственных значений (а + 2fiа, а + а/2). В точке О они равны (а, а), а в точке О' — (-а, -а/2). Таким образом, точки О, О' являются узлами, устойчивость которых регулируется знаком а. В точках же О± матрица недиагональна -
-а/3 2а/3 а 0
Собственные значения матрицы в этих точках равны ( а, -2 /3). Так как они имеют разные знаки, то точки О± являются седловыми, в которых ориентация седла (набор направлений на дугах сепаратрисы, выходящих из этих точек) также определяется знаком а. Она изображена на рис. 1а, 1б. Точки поворота траектории системы на фазовой плоскости в направлении оси Ъ могут лежать только на прямой а = ас, а прямая = 0 может быть только асимптотой траекторий. Точки поворота в направлении оси лежат на эллипсе. Система обладает решениями с траекториями = ± , так как при подстановках = ± оба уравнения системы (18) совпадают. Тогда траектории, проходящие через какую-либо точку (а, Ь) с Ъ > |а|, полностью содержатся в квадранте, ограниченном этим неравенством. Лучи а = Ъ,а > 0 и а = -b, а < 0, являющиеся траекториями системы. Они содержат особую точку О с а = 0, которая является неустойчивым узлом при а > 0. Наоборот, при а < 0, эта особая точка является устойчивым узлом с а = 0. Кроме того, при а < 0, луч а = b содержит седловую точку О+ с а = 2|а|/3fi = -ас, а, при а > 0, седловую точку О+ содержит луч а = -Ь. Этот анализ показывает, что векторное поле системы на плоскости (а, Ь) имеет вид, изображенный на рис. 1а при а < 0 и на рис. 1б при а > 0.
В общем случае система (18) интегрируется подстановкой а(t) = eatA(t), b(t) = eatB(t), посредством которой она сводится к системе
а! = eat |а2 + 1b2J , B = eat AB, (19)
имеющей масштабно инвариантные траектории. Последнее свойство позволяет определить траектории системы (18) сведением к однородному уравнению
dA 2А2 +B2 , s
— = -. (20)
dB 3AB
Для построения эталонных решений Uj(х, t), j € {1, 2} необходимо определить решения (а(t), Ъ(t)) системы (18), которые подчинены условию b(t) > |а(f)|. Тогда соответствующие им пары функций (А(t),B(t)) также должны быть подчинены условию B(t) > A(f)|. Траектории, определяемые уравнением (20), не зависят от постоянных а, . При А > 0 из (20) следует, что А возрастает с увеличением B, т. е. траектория, начинаясь в правой полуплоскости, остается в ней. Если же А < 0, то из (20) следует, что функция B от А является убывающей. Если траектория находится в квадранте {(A, B) : B > |А|}, то она не может пересечь прямую B = 0. Она может только попасть в точку (0,0), либо пересечь прямую А = 0 под прямым углом (т. к. B/ А = 0) и перейти в правую полуплоскость. Покажем, что реализуется второй случай.
Уравнение (20) интегрируется стандартной подстановкой w(B) = A/B так, что для функции w(B) получается следующее уравнение, B(dw/dB) = (1 -w2)/3w. Посредством разделения переменных, получаем семейство его решений
|1 -w2| = (Ъ о/В)2/3 (21)
с произвольной постоянной 0 > 0.
Точка (0, 0), в которой выполняется w( B) = 0, является точкой пересечения траекторией прямой А = 0. Значение Ь0 = 0 соответствует вырожденному случаю - траектории, состоящей из полупрямых B = - А при А < 0 и B = А при А > 0. При w( B) < 1 имеем следующую формулу для траекторий на плоскости (А, В), лежащих в квадранте {(А, В) : В > А|},
А = ±В (1 -(Ьо/В)2'3)1/2 , (22)
где знаки (+) и (-) соответствуют частям траектории, лежащим, соответственно, в правой и левой полуплоскостях. Из (22) следует, что имеет место асимптотическая эквивалентность В ~ ±А при В ^ ж.
Наряду с траекториями (22), существуют траектории, которые описываются формулой (21) при 2 > 1,
. 1/2
А = ±В (l + (b0/В)2'3)
Однако для таких траекторий |А| > В, В > 0 и, следовательно, они расположены вне области {(А, В) : В > 1А|}, которая представляет интерес при конструировании эталонных функций и(7\х, £).
Зависимость от времени для интересующих нас решений системы находится подстановкой формулы (22) во второе из уравнений системы (19)
В = ±3г - -W. „ \1/2
2h
еа* • В2 -(Ьо/В)2/3) / .
В результате получаем уравнение для определения неявным образом функции В (О
Ьо/Ъ (0)
±Ъ-1 [ = М (^ - 1).
0 У 2а( )
Ъо/В У Ь 1/3
(агез1п (Ьо/Ь(0))1/3 - штат (Ьо/В)1/^ +
+ (( Ь0/Ь(0))1/^1 -(Ь0/Ь(0))2/3 - ( Ь0/В)1/^1 -(Ь0/В)2/3) = ±(а)( е- 1). (23)
Выражая в этом уравнении параметр Ь0 через начальные данные а(0), Ь(0), (Ъ0/Ь(0)) = [1 -(а (0)/ Ь(0)) | , находим уравнение для неявной функции В (О
Г . Г (а(0))2]1/2 . (Ь(0)) 1/3 г (а(0))2]1/21
ИЧ1 -(щЛ -аге81п(т) I1 -\ +
[1 - ©Ч1/2 - ЙГ [(1 - (^)2)(1 - ЙГ(1 - (^)2))]1/2 = (24)
-- М- ()2)3/2.
Р
е IV V Ъ(0)> /
Пусть а(0) > 0. Тогда А(0) > 0 и из первого уравнения (19) следует, что А(0 > 0, т. е. А(^ > 0 в последующие моменты времени - движение происходит по части траектории на плоскости (А, В), расположенной в правой полуплоскости. Тогда в (24) нужно выбрать знак (+). Устремляя в этом случае В ^ <х> в левой части формулы и полагая I = и - в правой, находим формулу для времени обострения
■I, ( а ( (а(0) \2 \-3/2 [ [ (а(0) \2 ] 1/2 а(0) [ (а(0) \2 ] 1/2 ]) , ч
f* = а Ч1 + Щ)t1 -(ш)) [arcsin[1 -(ш)! + шI1 -(ш)! ])' (25)
выражающее его через начальные данные. Выражения для ^7),) е {1, 2} в этой и последующих формулах получаются посредством подстановок а(0) ^ а](0) и Ь(0) ^ Ь](0).
При а > 0 выражение под знаком логарифма, заведомо, положительно, и время обострения определено для всех начальных данных. При а < 0, для существования времени обострения, из требования положительности выражения под знаком логарифма, возникает ограничение, которое выражается следующим неравенством
г (а(0))2]1/2 а(0) г (а(0))2]1/2 $Ъ(0)( (а(0))2)3/2
аге81п11 -(щЛ +щI1 -(щЛ <1^ГI1 -(щЛ .
Равенство нулю указанного выражения дает нам уравнение сепаратрисы на рис. 1б, разделяющей на плоскости (а, Ъ), области с начальными данными, которые приводят к обострению режима с областью, в которой движение системы (18) ограничено. Это уравнение при а(0) > 0 имеет вид
arcsin [1 - (^) 2] [1 - () 2] = Ш (1 - (аЖ) 2) 3/2.
У Ш0У J Ь 0)У Ш0У J а V ШОУ/
Введем функцию С + от начальных данных,
С+ = (1 - (Ш)2)-"2H-fCT + ШfCT]
Тогда формула (25) принимает вид
=^ (1+тс+) •
В частности, при а ^ 0, и = С+//ЗЬ(0).
Пусть, теперь, а(0) < 0, когда каждая траектория системы (18) состоит из двух частей, лежащих в левой и правой полуплоскостях на фазовой плоскости (а, Ъ). Рассмотрим фиксированную траекторию при значениях t настолько больших, когда можно считать, что пересечение прямой а = 0 уже произошло. Если положить В = Ъ0 в формуле (23) со знаком (-), то для левой части траектории найдем
ви*т (Ъ0/Ь(0))1/3 - ж/2 + (Ь/Ь(0))1/^1 -(Ь/Ь(0))2/3 = -(¡3^/а) ( еа'« - 1), (26)
где Ц - момент времени пересечения прямой а = 0. Наоборот, заменив в (23) со знаком (+) начальное условие (0) на 0,
(ж/2 - arcsin ( Ь0/В)1/3) - (Ь0/В)1/^1 -(К/В)2/3 = (0ЪО/а)( еа{ - еа'») • (27)
После перехода к пределу в этой формуле В ^ со и I ^ 1*, получим уравнение для определения времени обострения режима, к/2 = (¡3Ъ0/а){еаи - еа^. Из формул (26), (27) находим, выразив параметр Ъ0 в терминах начальных данных с учетом а(0) < 0,
®('* -1)(1 - (Ц)2)3/2=- - —^Щг+ш• (28)
Введя функцию
представим формулу для времени обострения в следующем виде
Ь =а-11П (1 + ШСс) • (27)
Эта функция положительна, так как последнее слагаемое в квадратных скобках не превосходит по модулю единицу. Поэтому при а > 0 конечное время обострения всегда существует. Если же а < 0, то для существования времени ^ необходимо, чтобы выражение под знаком логарифма было положительно, т. е. выполнялось условие С- < ¡3Ь0/|а|. При переходе к пределу а ^ 0 получается аналогичная формула и = С-/¡ЗЬ(0). Уравнение для сепаратрисы в области а(0) < 0 имеет вид
РЪ(0)( (а(0))2)3/2 . г (а(0))2]1/2 а(0) г (а(0))2]1/2
6. Заключение. Как уже было сказано во Введении, основная направленность работ по изучению дифференциальных уравнений, решения которых могут испытывать обострение режима, связана с определением условий его возникновения. Тем не менее желательным является получение более детальной информации о решениях начально-краевых задач для таких уравнений. При этом следует заметить, что в приложениях в тех областях, где эти уравнения применяются для описания эволюционных неустойчивостей с обострением режима, а именно, в физике плазмы [4], а также в физике полупроводниковых материалов [20], [21], подробная информация о начальных состояниях, как правило, отсутствует. Используются данные о значениях по порядку величины для грубых характеристик начальных условий и(х, 0). В такой ситуации важно уметь решать начально-краевые задачи, хотя бы в виде асимптотических разложений, со случайными начальными условиями, принимающими значения в достаточно обширном множестве возможных случайных реализаций. При этом, конечно же, нельзя ограничиваться решениями с компактным носителем ограниченного размера. Необходимо проведение исследований решений среди множества функций, достаточно быстро стремящихся к некоторым положительным постоянным на границах разрешенной области. Наконец, естественно обобщать результаты анализа решений эволюционных уравнений, аналогичных (2), в многомерном случае, в особенности для размерностей 2 и 3, что связано с постановками задач математической физики, связанных с конкретными приложениями.
В настоящей работе найдены двусторонние оценки, функционально зависящие от начальных данных, времени обострения режима для решений с компактным носителем, имеющим размер так называемой
фундаментальной длины [17]. Предположение о компактности носителя решения позволило исключить из рассмотрения влияние граничных условий и сосредоточиться на установлении зависимости времени обострения от начальных данных. Полученные результаты можно рассматривать как важный шаг при решении сформулированных общих проблем теории уравнений с обострением режима.
В заключение заметим, что в работе анализировался случай ¡3 > 0. Однако противоположный случай также может представлять интерес. В этом случае проявляется не обострение режима, а такая эволюция, при которой за конечное время решения превращаются в нулевое решение. Предлагаемый нами метод оценивая времени исчезновения решений остается без изменений.
References
1. Andreucci D., Tedeev A. F. 2005. Universal bounds at the blow-up time for nonlinear parabolic equations. Advances in Differential Equations. 10(1): 89-120.
2. Barenblatt G. I. 1956. Automodel solutions of Cauchy problem of nonlinear parabolic equation of the gas nonstationary filtration in porous medium. Applied mathematics and Mechanics. 20(6): 761-763.
3. Carrillo J. 1999. Entropy solutions for nonlinear degenerate problems. Archive for Rational Mechanics and Analysis 147: 269—361.
4. Danilov V. G., Maslov V. P., Volosov K. A. 1995. Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes. Mathematics and Its Applications (MAIA, volume 348), 324.
5. Galaktionov V. A., Samarskii A. A. 1983. Methods of constructing approximate self-similar solutions of nonlinear heat equations. I. Mathematics of the USSR-Sbornik, 46(3): 291-321.
6. Galaktionov V.A., Samarskii A.A. 1983. Methods of constructing approximate self-similar solutions of nonlinear heat equations. II. Mathematics of the USSR-Sbornik, 46(4): 439-458.
7. Kalashnikov A. S. 1986. On the dependence of properties of solutions of parabolic equations in unbounded domains on the behavior of the coefficients at infinity. Mathematics of the USSR-Sbornik, 53(2): 399-410.
8. Kolmogorov A. N., Fomin S. V. 1961. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis II. New York, Graylock Press, 486.
9. Kruzkov S. N. 1969. Generalized solutions of the Cauchy problem in the large for first order nonlinear equations. Doklady Akademii nauk SSSR, 187: 29-32.
10. Leibenzon L. S. 1930. The Motion of a Gas in a Porous Medium. M., Russian Academy of Sciences, 348.
11. Mikhailov A. P. 2002. Classification of unbounded solutions to a quasilinear transport equation. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 42(6): 802-813.
12. PanovE. Yu. 2019. To the theory of entropy sub-solutions of degenerate nonlinear parabolic equations. arXiv:1910.08739v1 [math.AP] 19 Oct 2019.
13. Panov E. Yu. 2020. To the theory of entropy sub-solutions of degenerate nonlinear parabolic equations. Journal of Mathematical Sciences, 66(2): 292-313.
14. Panov E. Yu. 2020. To the theory of entropy sub-solutions of degenerate nonlinear parabolic equations. Mathematical Methods in the Applied Sciences. DOI: 10.1002/mma.6262.
15. Potemkina E.V. 1996. Peaking modes in the Cauchy problem for the inhomogeneous heat equation. Russian Mathematical Surveys, 51(6): 1223-1224.
16. Samarskii A. A., Galaktionov V. A., Kurdyumov S. P., Mikhailov A. P. 1979. Localization of the diffusion processes in media with constant properties. Proceedings of the Academy of Sciences, 247(2): 349-353.
17. Samarskii A. A., Zmitrenko N. V., Kurdyumov S. P., Mikhailov A. P. 1975. Effect of the met as table localization of heat in a medium with nonlinear heat conduction. Doklady Akademii nauk SSSR, 223(6): 1344-1347.
18. Samarskii A. A., Sobol' I. M. 1963. Examples of the numerical calculation of temperature waves. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 3(4): 945-970.
19. Samarskii A. A., Galaktionov V. A., Kurdyumov S. P., Mikhailov A. P. 2011. Blow-Up in Quasilinear Parabolic Equations. Berlin, Walter de Gruyter, 554.
20. Tedeev A. F. 2004. Conditions for the time-global existence and nonexistence of a compact support of solutions of the Cauchy problem for quasilinear degenerate parabolic equations. Siberian Mathematical Journal, 45(1): 155-164.
21. Virchenko Yu. P., Vodyanitskii A. A. 1996. Semiconductors materials heat breakdown under action of the penetrating electromagnetic radiation. II. One-dimensional model analysis. Functional Materials, 3(3): 312-319.
22. Virchenko Yu. P., Vodyanitskii A. A. 2002. Heat localization and formation of secondary breakdown structure in semiconductor materials. II. Mathematical analysis of the model. Functional Materials, 9(4): 601-607.
23. Volosov K. A., Danilov V. G., Maslov V. P. 1988. Structure of a weak discontinuity of solutions of quasilinear degenerate parabolic equations. Mathematical Notes, 43(6): 479-485.
Конфликт интересов: о потенциальном конфликте интересов не сообщалось. Conflict of interest: no potential conflict of interest related to this article was reported.
Поступила в редакцию 30.06.2023 Поступила после рецензирования 11.08.2023 Принята к публикации 17.08.2023
Received June 30, 2023 Revised August 11, 2023 Accepted August 17, 2023
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Вирченко Юрий Петрович - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры программного обеспечения, Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова, г. Белгород, Россия
Ченцова Виктория Викторовна - аспирант, Белгородский государственный национальный исследовательский университет, г. Белгород, Россия
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS Yuri P. Virchenko - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor of the Software Department, Belgorod State Technological University named after V. G. Shukhov, Belgorod, Russia
Victoria V. Chentsova - Graduate student, Belgorod National Research University, Belgorod, Russia
ISSN 2687-0959
