CC BY
47
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 4
В. Н. Усков, М. В. Чернышов ПАРАМЕТРЫ ТЕЧЕНИЯ
ДВУМЕРНОЙ ПЕРЕРАСШИРЕННОЙ СТРУИ В ОКРЕСТНОСТИ КРОМКИ СОПЛА ЛАВАЛЯ 1
1. Введение
В данной работе на основе полученных ранее [1, 2] соотношений исследуется сверхзвуковое струйное течение в окрестности кромки сопла (в устье струи). Дифференциальные условия динамической совместности [1] связывают газодинамические переменные и их пространственные производные на сторонах косого скачка уплотнения, сходящего с кромки двумерной (плоской или осесимметричной) перерасширенной струи, истекающей в затопленное пространство. Условие изобаричности, выполняемое на границе струи невязкого газа, позволяет исследовать изменение собственной кривизны скачка и границы струйного течения, выявить особые и экстремальные случаи истечения. Ключевой дифференциальной характеристикой, позволяющей установить все основные неравномерности течения в окрестности кромки, при этом является собственная геометрическая кривизна косого скачка, анализ изменения которой в двумерной струе невязкого совершенного газа в зависимости от условий истечения проведен в данной работе.
Особенности дифференциальных характеристик поля течения сверхзвуковой струи в окрестности кромки сопла представляют интерес, поскольку нередко связаны с такими физическими эффектами, как развитие неустойчивости Тейлора—Гертлера, проблема существования взаимного перехода регулярного и нерегулярного отражения при малых числах Маха, возникновение автоколебательных явлений в свободных и импакт- ных струях (см., например, [3-6]).
2. Основные соотношения
Скачок уплотнения AT (рис. 1), сходящий с кромки A сверхзвукового сопла с полууглом раствора 9, обладает интенсивностью J = 1/n, где n = pa/pn — нерасчетность струи, определяемая путем сравнения статических давлений pa (истекающего потока в окрестности кромки сопла) и pn (в затопленном окружающем пространстве).
Интенсивность J (отношение давлений за скачком и перед ним) находится в пределах 1 < J < Jm, где
Jm = (1 + Є)М2 — £
— интенсивность прямого скачка, возникающего в потоке с числом Маха M перед ним, £ = (у — 1)/(Y + 1), Y — показатель адиабаты газа (в дальнейшем в примерах расчетов предполагается Y = 1.4), M — число Маха истечения в окрестности точки A.
Угол поворота потока на скачке уплотнения в связан с его интенсивностью и числом Маха перед ним соотношением
t Ш1 Mn-J (l-g)(J-l) m
tm = Л J + e Jm + e-(1-£ )(J-iy (!)
1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07-08-00529). © В. Н. Усков, М. В. Чернышов, 2007
Рис. 1. Схема истечения перерасширенной струи в затопленное пространство.
Производные различных параметров течения в общем случае претерпевают разрыв на скачке
Угол наклона скачка к вектору скорости потока перед ним а и число Маха течения за уплотнения. Их изменение скачком М2 связаны со значениями М и J соотношениями на сторонах скачка
описывается дифференциальными условиями динамической совместности [1] в форме 5
М2 = CiYj Aij М, і = 1 ...3, (4)
где Ni2, Nj —неравномерности потока за скачком и перед ним, а коэффициенты Ci и Aj зависят от значений М, J и в. Неравномерности N1 = д lnp/ds, N2 = d9/ds и N3 = д 1про/дп характеризуют, соответственно,
неизобаричность течения, кривизну линий тока и градиент полного давления изоэнергетического течения, величина N4 = S/y — вид симметрии (в = 0 в плоском и S = 1 в осесимметричном течении); N5 = Ka — собственная геометрическая кривизна скачка. Условия (4) определяют неравномерности потока в сжатом слое непосредственно за скачком найденной кривизны, если известно поле течения перед ним.
Условие изобаричности (N12 = 0) течения вдоль свободной поверхности (границы струи) AB (рис. 1) определяет искомую кривизну скачка
КСг - ^ ' А \ ^ :Уу / А 15 ■
3=1
от которой зависит, в частности, кривизна N22 = Кт границы струи в точке А
4
Кт = С2 ^2, (^2^15 — АЦ.А25) ^/А15,
3=1
(5)
определяющая, согласно [3-6], возникновение и развитие продольной неустойчивости Тейлора—Гертлера. Зависимость (3), уравнения движения двумерного потока газа перед скачком и за ним в «естественной» системе координат
(в, п)
и соотношения (1)-(3) между формой скачка, его интенсивностью и значениями числа Маха на его сторонах после преобразований определяют, в частности, локальные изменения интенсивности и числа Маха за скачком по направлению т:
Коэффициент сохранения полного давления на скачке уплотнения
I = р02/р0 = ^Е¥ )(1-У2
(ро и ро2 —давления торможения потока перед скачком и за ним, Е = р0/р02 = (1 + в*])/(] + е) —обратное отношение плотностей газа на сторонах скачка), а также изменение энтропии
Д5 = сV !п(иБ7)
(сю — теплоемкость газа при постоянном объеме) монотонно зависят от его интенсивности. Таким образом, знак неравномерности N32 (см. (4)), а также, согласно формуле Крокко, направление вектора вихря скорости изоэнергетического потока, определяются знаком производной ё,]/ё,Т интенсивности скачка по направлению его падения, которая, в свою очередь, согласно (4) зависит от геометрической кривизны скачка.
Условие Лъ5 = 0, при котором, как видно из (3), собственная кривизна скачка и связанные с ней параметры течения становятся неограниченными, выполняется при его интенсивности
соответствующей так называемой точке постоянного давления. При каждом числе Маха, большем единицы, и фиксированном значении показателя адиабаты выполняется
неравенство 1 < ^Р(М) < ^т(М). Течение за скачком уплотнения интенсивности — дозвуковое.
Таким образом, геометрическая кривизна скачка уплотнения, сходящего с кромки сопла, является основным параметром для определения всех дифференциальных характеристик течения в сжатом слое за ним.
3. Изменение геометрической кривизны скачка в плоской и осесимметричной
В качестве примера потока перед скачком уплотнения здесь и в дальнейшем рассматривается изоэнтропное течение от цилиндрического или сферического источника с основными неравномерностями
Для определения кривизны Ка падающего скачка, согласно (3), необходимо задать условия истечения (значения М, в, нерасчетность струи Па = 1/J, показатель адиабаты газа У, а также вид симметрии). Из четырех перечисленных параметров нерасчетность струи и обратная ей величина интенсивности скачка изменяются наиболее легко, в то время как для изменения других параметров истечения необходима смена вида газа или формы сопла. Поэтому в дальнейшем рассматривается зависимость гКа(Л) кривизны скачка от его интенсивности, порожденной нерасчетностью струи, при различных значениях числа Маха истечения и полуугла раствора сопла с радиусом г.
В плоском струйном течении кривизна скачка монотонно зависит от угла полураствора (пропорциональна величине бшв). Поэтому далее в примерах расчета плоского течения рассматривается безразмерная кривизна К-= гКа/вІП в [2].
При малых числах Маха плоского течения величина К- положительна (скачок АТ на рис. 1 является выпуклым вниз в окрестности кромки) и возрастает как функция интенсивности скачка на участке (1; ^), стремясь при J А Jp к бесконечности (рис. 2,а). При J > Jp кривизна отрицательна. При всех особых значениях интенсивности, не равных гір, кривизна скачка конечна. В частности, при J А 1 (вырождение в слабый разрыв) и при J А Jm (прямой скачок) она выражается формулами, общими для плоского и осесимметричного случаев:
где ЬI {М) = 1 + е(М2 — 1). Рост числа Маха плоского течения до значения Ма = А/(2 — е)/(1 — е) = 1.483 приводит к возникновению минимума кривизны (рис. 2,6) сначала в точке ] = 1. Значение кривизны скачка в точке минимума падает до нуля при числе Маха Мь = 1.571 и интенсивности ]Ь = 1.242, а в дальнейшем становится отрицательным (рис. 2,в). При произвольном показателе адиабаты значения Мь и ]Ь — наибольшие вещественные корни уравнений
струе
Ж і = -(1 + Л м 2 81 п л N 2 = N = О, N4 = 8£у.
у(М — 1) - -
М2 + вл(М)
а) б) в) г)
Рис. 2. Изменение геометрической кривизны скачка уплотнения, сходящего с кромки сопла, в зависимости от условий истечения
а4 = (1 — е)(3 - 4є)(3 + 5е), оз = -4(1 - е)(6 + е - Зє2 + 16є3),
а2 = -2(7 + Зб£ - 45е2 - 94є3 + 32є4 - 32е5, аг = 4(4 + 11є + 6є2 + З9є3 + 52є4 - 16ss, ао - 13 + 62є + 85е2 - 1б£4 + 48г5.
При числе Maxa Mc = yA2(l — e)/(l — 2e) = 1.581 впервые становится отрицательной кривизна скачка, вырождающегося в слабый разрыв (рис. 2,г). Другое значение интенсивности скачка, обладающего нулевой кривизной, при том же числе Маха: J = MA — 1 = 1/(1 — 2e) = 1.5. При M > Mc интенсивность скачка нулевой кривизны быстро растет, а течение за ним становится дозвуковым при M = 1.787 и J = 2.699. При больших числах Маха точка нулевой кривизны соответствует сильному скачку с дозвуковым течением за ним, а интенсивность Jmin скачка минимальной кривизны, напротив, соответствует сверхзвуковому течению в сжатом слое.
В отличие от плоского случая, в осесимметричном течении изменение кривизны Ka (или безразмерной кривизны rKa)
скачка AT немонотонно зависит от значения угла 9, что делает необходимым исследование на плоскости (M, 9),
представленной на рис. 2,д. Аналитически определяемые кривые 1-4 являются границами областей I-VI с различной зависимостью геометрической кривизны скачка от нерасчетности струи. В частности, кривая 1, на которой (подобно как в плоской струе при M = Ma) возникает минимум зависимости rKa (J) в точке J = 1, описывается уравнением
3(1 — e)M4 — 2(3 — e)M2 — (1 — e) Ctg ~ (1_£)(М2-
1 )3/2 '
и заканчивается при 9 = 90° и числе Маха
3-e + 2V3-3e + e2 Md =------*f--------гЛ— = 1.551
3(1 — ?)
(вопрос о практической реализуемости «течения от источника» при большом растворе сопла здесь не рассматривается). Кривая 2 появления скачков уплотнения с умеренной интенсивностью и отрицательной кривизной заканчивается при числе Маха Me = 1.925, определяемом как корень уравнения
4
Y,bkMf =0, k = 0
be = —24?(2 - 3?)2, Ъв = —80 + 672e - 1036?2 + 384?3 + 252?4,
b4 = 296 - 930e + 412?2 + 886?3 - 1096e4 + 48eв,
Ъз = — (1 - e)(101 + 609e - 1365e2 + 1775?3 - 192e4),
b2 = —3(107 — 208e + 423e2 — 96e3)(1 — e)2,
bi = (61 — 337e + 192e2)(1 - ef, bo = (1 + 48e)(1 — e)4.
Вертикальная линия 3 смены направления кривизны скачка уплотнения, вырождающегося в слабый разрыв, соответствует числу Маха Ms = 3(1 — £)/(1 — 3e) = 2.236 (в плоском случае аналогичное явление имеет место при M = Me).
Смена направления бесконечного разрыва кривизны скачка на графике rKa(J) при J = Jp(M, Y) показана на кривой 4, описываемой уравнением
в_ y/JpTI Г(3 + e)(9e - l)J3 + (28 + 34e + 82e2 + 16e3)J2 + cJp + d] Ctg ~ (1 - e)((3 + e)Jp + 2 + 4e)(Jp -
1)3/2Л+ eJp){3Jp + f + ieJ '
c = 33 + 94£ + 49?2 + 48?3, d = 2(1 + 2?)(3 + 13?), И имеющей при M л ж горизонтальную асимптоту
* (l-e)V3e ,ncQ,0 е = arcta ---- ' '— = 49.684°.
а 9? - 1 ------
Характер поведения кривизны скачка уплотнения в зонах I-IV такой же, как и в плоском случае при числах Маха, соответствующих рис. 2,а-г. Однако в осесимметрич- ном течении зоны I-IV соответствуют только достаточно большим значениям полуугла раствора сопла. При небольших углах в (зоны V—VI) фактор осесимметричности является превалирующим, и характер изменения кривизны скачка не имеет аналогов в плоском течении. При истечении из так называемого профилированного сопла (в = 0) отличие от смежных областей V и VI состоит только в нулевых значениях кривизны скачка при J Л 1 и J = Jm.
Факт существования скачков положительной выпуклости, сходящих с кромки сопла как в перерасширенных, так и в недорасширенных струях при малых числах Маха истечения, был экспериментально подтвержден В.И.Запрягаевым.
4. Заключение
Проведенные расчеты и аналитические исследования показывают, что в зависимости от условий истечения плоской или осесимметричной струи из сверхзвукового сопла, скачок уплотнения, сходящий с кромки, может иметь различное направление выпуклости, причем зависимость его геометрической кривизны от нерасчетности границы струи немонотонна и разнообразна. Скачок уплотнения, непривычно выпуклый в направлении оси или плоскости симметрии течения, реализуется обычно в области малых чисел Маха, что, возможно, связано с проблемой взаимного перехода регулярного и нерегулярного отражения и возбуждения автоколебательных режимов истечения струи. При этом поведение кривизны скачка уплотнения в осесимметричной и плоской струе существенно зависит от вида симметрии течения.
Summary
V. N. Uskov, M. V. Chernyshov. Parameters of two-dimensional overexpanded jet flow near the Laval nozzle edge.
The mathematical model for the investigation of two-dimensional overexpanded jet flow parameters in the vicinity of supersonic nozzle edge is formulated. The variation of the key parameter of this problem (i.e., the geometrical curvature of the shock emanating from the nozzle edge) is studied depending on flow conditions.
Литература
1. Адрианов А. Л., Старых А. Л., Усков В. Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов. Новосибирск: ВО «Наука», 1995. 180 с.
2. Усков В. Н., Чернышов М. В. Дифференциальные характеристики поля течения плоской перерасширенной струи в окрестности кромки сопла // Прикладная механика и техническая физика. 2006. Т. 47. № 3. C. 72-83.
3. Глазнев В. Н., Запрягаев В. И., Усков В. Н. и др. Струйные и нестационарные течения в газовой динамике. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.
4. Терехова Н. М. Продольные вихри в осесимметричных струях // Доклады РАН. 1996. Т. 347. №6. С. 759-762.
5. Запрягаев В. И., Солотчин А. В., Киселев Н. П. Влияние кривизны линий тока на интенсивность продольных вихрей в слое смешения сверхзвуковых струй // Прикладная механика и техническая физика. 2002. Т. 43. №4. С. 58-64.
6. Запрягаев В.И., Киселев Н.П., Павлов А.А. Исследование структуры сверхзвуковой струи при изменении геометрии входного участка сопла // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45. №3. С. 32-43.
Статья поступила в редакцию 17 мая 2007 г.
