CC BY
7
УДК 517.952
DOI 10.18413/2075-4639-2019-51-3-402-416
ДВУМЕРНОЕ НЕАВТОНОМНОЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ С КВАДРАТИЧНЫМ ПОЛИНОМОМ ОТ ПЕРВЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
TWO-DIMENSIONAL NON-AUTONOMOUS HYPERBOLIC EQUATION WITH QUADRATIC POLYNOMIAL ON FIRST DERIVATIVES
И.В. Рахмелевич
I.V. Rakhmelevich
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, пр. Гагарина, д.23, г. Нижний Новгород, Россия, 603950
Nizhny Novgorod State University, 23 Gagarin av., Nizhny Novgorod, 603950, Russia
E-mail: [email protected]
Аннотация
Исследовано двумерное неавтономное гиперболическое уравнение, правая часть которого содержит произвольную нелинейность от искомой функции pi квадратичный полипом от ее первых производных. Получены решения этого уравнения в явном виде для простейших пелиттей-ттостей с помощью методов мультипликативного pi функционального разделения переменных. Показано, что nppi определенных условиях па коэффициенты уравнения оно может быть сведено к квадратному уравнению относительно некоторой вспомогательной переменной. Найдено решение в виде квадратичной формы от функций одной переменной, а также решение в виде произведения степеней от независимых переменных для случая, когда коэффициенты уравнения представляют собой степенные функции. С помощью метода Кларксопа - Крускала показано, что исходное уравнение может быть сведено к уравнению Риккати с постоянными коэффициентами в случае, когда коэффициенты исходного уравнения выражаются через отношение функций одной переменной; найдены соответствующие точные решения в явном виде. Получено точное решение в неявном виде для случая произвольной нелинейности от неизвестной функции pi сформулировано условие его существования.
Abstract
There is investigated two-dimensional non-autonomous hyperbolic equation, the right side of which contains arbitrary non-linearity on unknown function and the quadratic polynomial on its first derivatives. The solutions of this equation are received in explicit form for the simplest non-linearities with the help of the methods of multiplicative and functional separation of variables. It is showed that under certain conditions the initial equation can be reduced to the quadratic equation with respect to some auxiliary variable. There is received the solution as a quadratic form on some functions of one variable, and also the solution in the form of the production of powers on independent variables for the case when the coefficients of initial equation are the power functions. It is showed by means of Clarkson - Kruskal method, that the initial equation can be reduced to the Riccat.i equation with constant coefficients in the case when the coefficients of initial equation are expressed through the relation of functions of one variable. The corresponding exact, solutions in explicit form are received. There is received the exact, solution in implicit, form for the case of arbitrary non-linearity on unknown function and the condition of its existence is formulated.
Ключевые слова: нелинейность, гиперболическое уравнение, мультипликативное разделение переменных, функциональное разделение переменных, решение типа бегущей волны, метод Кларксопа-Крускала, уравнение Риккати.
Key words: nonlinearity, hyperbolic equation, multiplicative separation of variables, functional separation of variables, solution of travelling wave type, Clarkson-Kruskal's method, Riccati's equa-
Введение
В современной математической физике существенное место занимает анализ нели-Н6ИНЫХ гиперболических уравнений и методов их точного интегрирования [Жибер. Соколов. 2001]. [Кудрятттов. 2010]. [Кузнецова. 2012]. [Полянин. Зайцев. 2002]. [Рахмелевич. 2015, 2017], [Grundland. Inf'eld. 1992]. [Zhdanov. 1994]. С точки зрения общности резуль-т&тов серьезный интерес представляют исследования классов нелинейных уравнении у содержащих произвольные функции [Полянин. Зайцев. 2002]. [Зайцев. Полянин. 2003], в том числе уравнений с переменными коэффициентами. Одними из наиболее эффективных методов исследования нелинейных уравнении остаются методы 5 основанные н<вь редукции исходного уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению или их системе (метод разделения переменных, метод Кларксона Крускала и др.). В работах [Полянин. Журов. 2002]. [Полянин и др.. 2005] подробно изложены основы метода разделения переменных и его современные варианты (обоб-щепное и функциональное разделение переменных). В настоящее время опубликовано достаточно много работ, посвященных исследованию нелинейных уравнений указанным методом. Так. методом разделения переменных исследованы некоторые многомерные уравнения, содержащие однородные и мультиоднородньте функции от частных произВ ОД Н Ы X [Рахмелевич. 2013, 2014]. получены точные решения ряд<вь нелинейных ур<вьвне~ ний. встречающихся в прикладных задачах [Полянин. Зайцев. 2002]. [Полянин и др.. 2005], [Miller. Rubel.1993], [Zhdanov. 1994]. [Polyanin. 2019]. Для нахождения точных решений более сложной структуры используется метод Кларксона Крускала [Полянин и др.. 2005], [Clarkson. Ivruskal. 1989]. В н £ьс тояще и работе метод разделения переменных и метод Кларксона Крускала применяются для построения решений двумерного гиперболического уравнения, содержащего квадратичный полином от первых производных и нелинейность произвольного вида от неизвестной функции.
1. Простейшие решения
Двумерное нелинейное гиперболическое уравнение второго порядка с квадратичным полиномом от первых производных имеет вид:
=g(u) (А(х-у)(Ю2 + B(x,y)ШЪ + C(x'y)(!)') • (L1)
Здесь A(x,y), B(x,y),C(x, y),g(u) - заданные функции.
Вначале рассмотрим случай g(u) = 1/u, для которого уравнение (1.1) можно переписать в виде:
=а(х-у>ш+в (x-y) ш+с (x-y) (!)'• (L2)
Найдем решения уравнения (1.2). которые могут быть получены методом разделения переменных.
Теорема 1.1. 1. Если коэффициенты уравнения (1.2) удовлетворяют условиям:
В(х,у) - 1 = р(х) 4А(х,у)С(х,у) = < 1 2А(х,у) д(уУ (В(х,у) - 1)2 ' 1 " ;
где р(х), д(у) - некоторые заданные функции, а - параметр, то уравнение (1.2) имеет решения следующего вида:
и(х,у) = Б ехр ^xJ р(х)в,х + лJ , (1.4)
где Б, А - произвольные постоянные, а А,^ связаны соотношением:
- = -1 ± (1 - а)1/2. (1.4а) ¡л
2. Если коэффициенты уравнения (1.2) удовлетворяют условиям:
П( \-л С (х,у) (Р(хЛ2
В{х'у)=1 миг -1 т • (1-5)
то уравнение (1.2) имеет решения следующего вида:
и(х,у) = Б ехр I А I / р(х)йх ± ц(у)Лу) ) . (1.6)
□ Будем искать решение уравнения (1.2) в виде:
и(х,у) = Ф(х)Ф(у), (1-7)
где ф(х),ф(у) - неизвестные функции, подлежащие определению. Подставив (1.7) в уравнение (1.2), получаем:
А(х, у) [ф'(х)ф(у)]2 + (В(х, у) - 1)ф'(х)ф'(у)ф(х)ф(у) + С(х, у) [ф)ф'(у)]2 = 0. (1.8)
Разделив уравнение (1.8) почленно на [ф(х)ф'(у)] , получаем квадратное уравнение:
Ап2 + В п + С = 0, (1.9)
где 13 = В - 1, величина п определяется выражением:
п = Ф^Ш 110)
Ф(х)ф' (у)
Корни квадратного уравнения (1.9):
"■>2 = -ГА ± (( и) - А' • (111)
Пусть выполнены условия первой части теоремы, т. е. коэффициенты уравнения (1.2) удовлетворяют условиям (1.3). Тогда выражение (1.11) можно переписать в виде:
т,2 = -2A И ± (! - «)1/2) • (1-12)
Разделим переменные в выражении (1.10), учитывая (1.3) и (1.12). откуда получаем уравнения для функций ф(х),ф(у) :
= Ых). = т(у), (1-13)
Ф(х) ф(у)
причем постоянные X, л должны удовлетворять соотношению (1.4а). Находя решения уравнений (1.13) и подставляя их в (1.7), получаем выражение (1.4). Пусть теперь выполнены условия второй части теоремы, т.е. коэффициенты уравнения (1.2) удовлетворяют условиям (1.5). Тогда из (1.11) получаем следующее выражение:
( С \V2
П1,2 = ±[~^ • (1-14)
Разделим переменные в выражении (1.10). учитывая (1.5) и (1.14). откуда получаем уравнения для функций ф(х), ф(у) в виде (1.13), причем постоянные Х,л должны удовлетворять соотношению:
X = ±1- (1.14а)
¡л
Тогда, рассуждая аналогично первой части теоремы и учитывая (1.14а). получаем решение (1.6). I
Теорема 1.2. Пусть ф(х),ф(у) - дифференцируемые функции своих аргументов, удовлетворяющие условию :
Л(х, у)+ В(х, у) + С(х, у)Щ = Ф {Ф(х) + ф(у)} , (1-15)
ф'(у) Ф'(х)
где Ф(г) - некоторая произвольная функция. Тогда уравнение (1.2) имеет решение вида:
и(х,у) = Uo ехрМ -- }, z = ф(х)+ ф(у)- (1-16)
0 D - 0(Ф(() - 2)d(
□ В соответствии с известным методом функционального разделения переменных [Полянин и др.. 2005], [Полянин. Журов. 2002] решение уравнения (1.2) ищем в виде:
и(х,у) = U (z). z = ф(х) + ф(у)- (1-17)
Подставляя (1.17) в уравнение (1.2). находим:
UUU)21 = Л(ху + В(ху - 1 + С(х.у)фМ - (1Л8)
[U'(z)\2 ф'(у) ф'(х)
Уравнение (1.18) удовлетворяется только в том случае, если выражение в правой части может быть представлено в виде некоторой функции от переменной г. Тогда, в силу условия (1.15), уравнение (1.18) можно записать в виде:
U(z)U"{z) - (Ф(г) - 1)[U'(г)]2 = 0. (1.19)
Уравнение (1.19) допускает понижение порядка с помощью замены переменной v(z) = U'(z)/U(z), в результате которой получаем уравнение первого порядка:
v'(z) - (<^(z) - 2)[v(z)]2 = 0. (1.20)
Решение уравнения (1.20) имеет вид:
v(z) =-^- , Фг(С) = Ф(() - 2, (1.21)
D -/ ФМ)d( о
где D - произвольная постоянная. Используя выражение (1.21) и возвращаясь к функции U(z), получаем решение в виде (1.16). I
Следствие. Если для некоторой функции Ф(z) и действительных постоянных k\, k2 коэффициенты уравнения (1.2) удовлетворяют условию
k\A(x, y) + kik2B(x, y) + k%C(x, y) = Ф (kix + k2y), (1.22)
то уравнение (1.2) имеет решение типа бегущей волны, определяемое формулой (1.16), где z = kix + k2y.
Данное утверждение является частным случаем теоремы 1.2 при tp(x) = kix, ф(у) =
k2y
Рассмотрим теперь решение уравнения (1.2) в виде квадратичной формы от неизвестных функций Lp(x),^(y)\
u(x, y) = an[p(x)]2 + ai2p(x)^(y) + a22[^(y)]2, (1.23)
где an,a\2,a22 - неизвестные коэффициенты.
Подставив функцию (1.23) в уравнение (1.2) и разделив уравнение почленно на ф(x)ф'(y), после элементарных преобразований получаем:
ai2 ЫФ)]2 + ai2<p(x)^(y) + a22[^(y)]2) = Рп[ф)]2 + P^(x^(y) + Р22ФУ]2, (1.24)
Ще" - ф' (x) 0
a2nC(x,y)^r , (1.24а)
ф' (x) ф' (у)
Pii = 4a2nA(x,y)—— + 2auai2B (x,y) + a2uC (x,y)—— ф (У) ф (x)
ф' (x) ф' (y)
Pi2 = 4aiiai2A(x, y)^~r + (4ana22 + a^B(x, y) + 4a22auC(x, y)-ri-T ф (У) ф (x)
P22 = a2i2A(x,y) ^^ + 2a22ai2B(x,y) + 4a2^C(x,y) . (1.24в)
Ф (y) ф (x)
Пусть функции A(x,y),B(x,y),C(x,y) имеют вид:
A(x,y) = Ao, B(x,y) = Bo, C(x,y) = Co^ , (1.25)
fi(x) ¡2(У)
где /1 (х), /2(у) - заданные функции , Ло,Во,Со - заданные константы. Пусть также функции ф(х),ф(у) удовлетворяют уравнениям:
ф (х) = /1(х), ф' (у) = /2 (у). (1.26)
Тогда выражения (1.24а.б.в) преобразуются так:
Р11 = 4Лда21 + 2Воапа12 + Соа22, (1.27а)
Р12 = 4Лоапа12 + Во(4аиа22 + а22) + 4Соа22а12, (1.276)
Р22 = Лоа12 + 2Воа22а12 + 4Соа22. (1.27в)
Далее, подставим выражения (1.27а.б.в) в (1.24). Приравнивая коэффициенты при [ф(х)]2, ф(х)ф(у), [ф(у)]2 в левой и правой частях полученного уравнения, получаем систему уравнений относительно неизвестных а1 = а11/а12, а2 = а22/а12:
4Лоа2 + (2Во - 1)а1 + Со = 0, (1.28а)
4(Лоа1 + Соа2 + Воа^) + Во - 1 = 0, (1.286)
4Соа2 + (2Во - 1)а2 + Ло = 0. (1.28в)
Решая квадратные уравнения (1.28а), (1.28в), находим:
1 - 2Во ±УР 1 - 2Во тУР п 2 тАп П00ч
а1 =-—:- , а2 =-—- , Р = (1 - 2Во) - 16ЛоСо . (1.29)
8Ло 8Со
Подставив найденные а1, а2 из (1.29) в (1.286), нетрудно убедиться, что при данном выборе знаков в (1.29) уравнение (1.286) удовлетворяется автоматически при произвольных Ло,Во,Со. Таким образом, в результате проведенных выше рассуждений доказана следующая теорема:
Теорема 1.3. Пусть коэффициенты уравнения (1.2) определяются выражениями (1.25), причем Р = (1 - 2Во)2 - 1бЛоСо > 0. Тогда это уравнение имеет решение вида:
и(х, у) = а (а1[ф(х)]2 + Ф(х)ф(у) + а2[ф(у)]2) , (1.30)
ф(х) = У /1(x)dx + С1, ф(у) = J /2(уУу + С2, (1.31)
причем а1,а2 определяются выражениями (1.29); а,с1,с2 - произвольные постоянные.
Рассмотрим теперь случай, когда уравнение (1.1) содержит степенную нелинейность по искомой функции с произвольным показателем.
Теорема 1.4. 1. Пусть д(и) = и1, 7 = -1, а коэффициенты уравнения (1.1) определяются выражениями:
Л(х, у) = Лох^+У"1, В (х,у) = Воха ув, С (х,у) = Соха-1ув+1, (1.32)
где Ло, Во, Со, а, в - заданные параметры. Тогда уравнение (1.1) имеет решение вида:
и(х, у) = иохху^, (1.33)
л а 3 гт а „„ ¿к . пп ,
А = -——, л = , ио = Ао— + Во + Со-) . 1-ЗЗа
1+7 1 + 7 \ в а)
2. Если д(и) = 1/и, а коэффициенты уравнения (1.1) определяются выражениями:
А(х,у) = АоВ (х,у) = Во, С (х,у) = Со(1.34) ух
Ао, Во, Со
(Во - 1)2 - 4АоСо > 0, (1.34)
ио
А, ¡
- ^ - В1±л/Бо , Б = (Во - 1)2 - 4АоСо . (1.35)
¡л 2Ао
□ Пусть в уравнении (1.1) д(и) = и1, а коэффициенты уравнения имеют вид:
А(х, у) = Аоха11 ув11, В(х, у) = Воха12ув12, С(х, у) = Соха22ув22. (1.36)
Подставляя (1.36) и (1.33) в (1.1), после элементарных преобразований приводим это уравнение к виду:
и-1- = -Аохр11 уа11 + Вохр12уа12 + ЛСохр12уа12, (1.37)
¡А
где показатели степеней определяются выражениями:
Ри = ап - 1 + А(1 + 7), р12 = а12 + А(1 + 7), Р22 = а22 + 1 + А(1 + 7), (1.37а)
= вп + 1+ л(1 + 7), 012 = в 12 + л(1+ 7), °22 = в22 - 1+ л(1 + 7). (1-376)
Очевидно, уравнение (1.37) можно удовлетворить только в том случае, если пока-х, у
Тогда из (1.37а,б) получаем две системы уравнений:
ап - 1 + А(1+ 7) = 0, а12 + А(1 + 7) = 0, а22 + 1 + А(1 + 7) = 0, (1.38а) вп + 1 + Л(1 + 7) = 0, в12 + Л(1 + 7) = 0, в22 - 1 + Л(1 + 7) = 0. (1.386)
Рассмотрим решение для каждого из случаев, перечисленных в условии теоремы. 1. Если 7 = -1, то из систем (1.38а,6) находим:
а
а^ = а + 1, а22 = а - 1, А = --- , (1.39а)
1 + 7
вп = в - 1, в22 = в + 1, Л = -т^ . (1-396)
1 + 7
а12 = а, в12 = в
лучаем выражение (1.33а) для. постоянной
Но■ Таким образом, из (1.39а,б) следует, что
в случае 7 = -1 решение вида (1.33) существует, если коэффициенты уравнения (1.1) определяются выражениями (1.32), при этом постоянные Х,л, ио, входящие в решение, определяются выражениями (1.33а).
2. Если 7 = -1, т. е. д(и) = 1/и, то из систем (1.38а,б) получаем:
ап = 1, а12 = 0, а22 = -1, ви = -1, £12 = 0, в22 = 1. (1.40)
Из уравнения (1.37) в этом случае следует:
Ло(^ + (Во - 1)Х + Со = 0. (1.41)
XV ; V
Решая (1.41) как квадратное уравнение относительно Х/у>, получаем соотношение (1.35). Таким образом, из (1-40) следует, что в случае 7 = -1 решение вида (1.33) существует, если коэффициенты уравнения (1.1) определяются выражениями (1.34). показатели степеней Х, V должны удовлетворять соотношению (1.35), а постоянная ио является произвольной, так как она не входит в уравнение (1.41). I
2. Метод Кларксона-Крускала. Случай произвольной нелинейности по искомой функции
Данный параграф посвящен нахождению более сложных решений уравнения (1.1) с помощью метода Кларксона Крускала [Полянин и др.. 2005], [СЛагквоп, Кшвкак 1989], в соответствии с которым решение этого уравнения ищем в виде:
и(х,у) = Р(х,у)и(г(х,у)) + С(х,у). (2.1)
При этом функции Р(х,у), г(х,у),С(х,у) должны быть подобраны так, чтобы исходное уравнение (1.2) сводилось к обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) относительно функции и (г). Будем предполагать, что функции Л(х,у),В (х,у),С (х,у) определяются выражениями (1.25). Далее для упрощения анализа рассмотрим некоторые частные случаи, в которых наложены дополнительные ограничения на функции Р (х,у),г(х,у),С(х,у). Случай 1. д(и) = 1.
Р(х,у) = 1, г(х,у) = ф(х) + ф(у), С(х, у) = ф1(х) + ф1(у). (2.2)
Подставляя в уравнение (1.1) функцию (2.1) с учетом условий (2.2). после некоторых преобразований получим:
и''(г) = Р2(х,у)[и'(г)]2 + Р1(х,у)и'(г) + Ро(х,у) . (2.3)
Здесь введены обозначения!
Р2(х,у) = Л(х,у)+ В(х,у) + С(х,у),
ф (у) Ф (х)
Я(х,„) = 2Л(х,у)фМ + В(х,у) (фМ + Ш) + 2С(х,у)ЩЩ
ф (у) \ф'(у) Ф (х) ) Ф (х)
(2.4а) (2.46)
Ро(х,у) = А(х,у)[ф[(х)}2 + В(х,у)ф[(х)ф[(у) + 2С(х,у)[ф[(у)]2. (2.4в)
Предположим, что функции ф(х),ф(у), фг(х),фг(у) выбраны так, что:
Ф1(х) = а■Ф(x), фг(у) = в■^Ф(У), ф'(х) = f■(x), ф' (у) = 12(у). (2.5)
Учитывая выражения (1.25) для коэффициентов А(х,у),В(х,у),С(х,у) и соотношения (2.5), получаем:
Р2(х,у)= Р2 = Ао + Во + Со, (2.6а)
Рг(х, у) = р^ = 2Аоа1 + Во(а1 + вг) + 2Совг, (2.66)
Ро(х, у) = ро = Аоа2 + Воагвг + Сов\ . (2.6в)
Вводя новую неизвестную функцию у(г) = и'(г), преобразуем уравнение (2.3) к уравнению Риккати с постоянными коэффициентами:
у'(г) = Р2[у(г)]2 + ргу(г) + ро , (2.7)
р2 = 0
у'(г)= ргу(г)+ ро . (2.8)
Решая уравнение (2.8) и возвращаясь к функции и (г), находим:
и (г) = Уо ехр(ргг) - - г + ио . (2.9)
р1
р2 = 0
и(х, у) = Уо ехр {рг (ф(х) + ф(у))} + - ^ ф(х) + (в - р^ Ф(у) + ио , (2.10)
Ф(х) = ! f■(x)dx, ф(у) = J f2(y)dy. (2.10а)
р2 = 0
и(х, у)
и (2.5), находим:
(Ф(х)+ Ф(У) - го^
и(х, у) = ио - — 1псЬ ( (ф(х) + Ф(у) - го) \ + Я(х,у), (2.11а)
р2 2
и(х, у) = ио--1п
р2
(Ф(х)+ Ф(у) - го))
сое —— (ф(х) + Ф(у) - го)
+ Я(х, у), (2.116)
и(х, у) = ио--1п \ф(х) + ф(у) - го\ + Я(х, у), (2.11в)
р2
Я(х,у) = - р-^) Ф(х) + - Ф(у).
Выражения (2.11а, б, в) справедливы для случаев Р > 0,Р < 0,Р = 0 соответственно, Р = £>2 - 4роР2-
д(и) = 1/и
Р(х,у) = ехр(ф2(х) + ф2(у)) , г(х,у) = Ф(х)+ ф(У), 0(х,у) = 0. (2.12)
Тогда уравнение (1.1) после некоторых преобразований приводится к виду:
ш = ^ (Ш + ^ Ш + Ро(х-у) ■ (2Л3)
Коэффициенты в правой части уравнения (2.13) определяются выражениями:
Р2(х,у) = Л(х,у)Ф(х) + В(х,у) + С(х,у), (2.14а)
ф (у) Ф (х)
Р^у) = 2Л(х, у)^ + (В(х, у) - 1) (Ш + Щ)+ 2С(х. у)^
ф (у) \ф' (у) Ф'(х) ) Ф
ф (у) ф (у) Ф (х) Ф (х)
(2.146)
Р (ху)= Л(х,у)[Ф2(х)]2 + (В(х,у) - 1)Ф2(х)ф2(у) + 2С(х,у)[ф2(у)]2 Ро(х у) = Ф'(х)ф'(у) . (2Л4в)
Предположим, что функции Ф(х),ф(у),Ф2(х),ф2(у) выбраны так, что:
Ф2(х) = а2ф(x), ф2(у) = в2ф(y), Ф (х) = /1(x), ф' (у) = /2 (у). (2.15)
Тогда, аналогично соотношениям (2.6а.б.в). находим:
Р2(х,у)= Р2 = Ло + Во - 1 + Со, (2.16а)
Р1(х,у) = Р1 = 2Лоа2 + (Во - 1)(а2 + £2) + 2Сов2, (2.166)
Ро(х, у) = Ро = Лоа2 + (Во - 1)а2в2 + Сов2 (2-16в)
Вводя новую неизвестную функцию у(г) = и'(г)/и(г), аналогично случаю 1, получаем уравнение Риккати в виде (2.7) с постоянными коэффициентами, которые определяются
Р2 = 0
и(г)
и (г) = ио ехр ^У ь(г )dг^ = ио ехр ^ Уо ехр(р1г) - — г^ . (2.17)
Р2 = 0
и(х,у) = ио ехР | И) ехР {Р1 (Ф(х) + ф(уШ + ^2 - Ф(х) + ^2 - ф(у) | ,
(2.18)
Ф(х) = /l(x)dx, ф(у) = Ь^^. (2.18а)
Для случая произвольного р2 = 0, решая (2.7) как уравнение с разделяющимися переменными, возвращаясь к функции и(х,у), с учетом (2.1), (2.12) и (2.15) находим:
и(х,у) = и0
и(х,у) = и0
(
у/й 4 -1/Р2
сЪ I -у (Ф(х) + ф(у) — %0)
Б (х,у), (2.19а)
/ Гй \] -1/р2
фу — «>))
—(Ф(х) + Ф(У) — %о)
Б (х,у), (2.196)
и(х, у) = ио ((ф(х) + ф(у) — %о))-1/р2 Б(х, у), (2.19в)
5(х,у) = ехр | (^1 - Ф(х) + (^1 — р-^) Ф(у^\ ■
Выражения (2.19а, б, в) справедливы для случаев й > 0,й < 0,й = 0 соответственно, й = р\ — 4р0р2] ф(х),ф(у) определяются выражениями (2.18а).
Таким образом, в результате проведенных выше рассуждений доказана следующая теорема:
Теорема 2.1. Пусть функции А(х,у), В(х,у),С(х,у) определяются выражениями (1.25).
1. Если д(и) = 1, то уравнение (1.1) имеет решения, определяемые следующими выражениями:
при А0 + В0 + С0 = 0 выражением (2.10);
при А0 + В0 + С0 = 0 - выражениями (2.11а, б, в) для случаев й > 0,й < 0,й = 0
соответственно.
2. Если д(и) = 1/и, то уравнение (1.1) имеет решения, определяемые следующими выражениями:
при А0 + В0 + С0 = 1 - выражением (2.18);
при А0 + В0 + С0 = 1 - выражениями (2.19а, б, в) дл я случаев й > 0,й < 0,й = 0
соответственно.
Далее рассмотрим точные решения уравнения (1.1) в случае произвольной нелиней-д(и)
Теорема 2.2. Пусть существуют дифференцируемые функции ф(х),ф(у), удовлетворяющие условию:
А(х, у) + В(х, у) + С(х, у) Щ = К = 00™ 1. (2.20)
ф (у) Ф'(х)
Тогда уравнение (1.1) имеет следующее решение:
ф(х) + Ф(у) — = У0 ! ехр (-КО(и)) ¿и , (2.21) где г0, У0 - произвольные постоянные, а С(и) определяется выражением:
С(и) = д(и)йи. (2.21а)
□ Используя метод функционального разделения переменных аналогично теореме 1.2. решение уравнения (1.1) будем искать в виде (1.17). Подставляя выражение (1.17) в уравнение (1.1), преобразуем это уравнение к виду:
и''(г) = д(и)[и'(г)]2 (Л(х, у)^ + В(х, у) + С(х, у) ФШ . (2.22)
V ф' (у) ф' (х)/
Учитывая далее условие (2.20). уравнение (2.22) сводится к ОДУ относительно функции и(г)
и''(г) = Кд(и)[и' (г)]2. (2.23)
и (г) d
— (1п и'(г) - КОШ)) = 0, (2.24)
dг
где С(и) определяется выражением (2.21а). Интегрируя уравнение (2.24). получаем:
1п и'(г) - КС(и) = - 1п Уо . (2.25)
Из (2.25) получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными отно-
и(г)
—и = Ио ехр(КО(и)). (2.26)
Интегрируя уравнение (2.26), находим решение в неявном виде:
г - го = Уо J ехр (-КС(и)) —и, (2.27)
г0г к переменной и, из (2.27) получаем решение уравнения (1.1) в виде (2.21). I
Следствие. Пусть коэффициенты уравнения (1.1) имеют вид (1.25). Тогда уравнение (1.1) имеет решение следующего вида:
J /1 (х)—х + У /2(у)—у = Уо J ехр (-КО(и)) —п, (2.28)
И0
К = Л0 + В0 + С0.
□
функции Ф(х),ф(у) выбрать в виде I
Ф(х) = /l(x)dx, ф(у) = /2(у)—у. ■
Заключение
Таким образом, в данной работе найдены точные решения двумерного неавтономного гиперболического уравнения, содержащего произвольную нелинейность от искомой функции и квадратичную форму от ее первых производных с переменными коэффициентами. В качестве методов исследования использованы метод разделения переменных и метод Кларксона-Крускала. Для простейших нелинейностей типа g(u) = 1, g(u) = 1/u, при определенных условиях на коэффициенты, исходное уравнение сведено к уравнению Риккати с постоянными коэффициентами, в результате чего получены решения в явном виде. Найдены решения в виде квадратичной формы от функций одной переменной, а также решение в виде произведения степеней независимых переменных. Для случая произвольной нелинейности от искомой функции получено решение в неявном виде. Результаты работы могут быть обобщены на нелинейные неавтономные гиперболические уравнения с правыми частями более общего вида.
Список литературы References
1. Жибер А.В., Соколов В.В. 2001. Точно интегрируемые гиперболические уравнения ли-увиллевского типа. Успехи математических паук. 56(1): 63-106.
Zhiber А.V., Sokolov V.V. 2001. Tochno integriruemye giperbolicheskie uravneniya liuvillev-skogo tipa [Exactly integrated hyperbolic equations of Liouville's type] Uspekhi inateinati-cheskih nauk. 56(1): 63-106.
2. Зайцев В.Ф., Поляттип А.Д. 2003. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 416 с.
Zaytsev V. F., Polyanin A. D. 2003. Spravochnik ро differentsialnyiri uravneniyam s chastnyini proizvodnymi pervogo poryadka [Handbook on the partial differential equations of the first order] M: Fizinatlit, 416 p.
3. Кудряптов H.A. 2010. Методы нелинейной математической физики. Долгопрудный: Изд-во «Интеллект», 368 с.
Kudryashov N.A. 2010. Met.ody nelineynoy inateinaticheskoy fiziki [Methods of nonlinear mathematical physics]. Dolgoprudny: Publishing house "Intellect", 368 p.
4. Кузнецова M.H. 2012. О нелинейных гиперболических уравнениях, связанных дифференциальными подстановками с уравнением Клейна-Гордона. Уфимский математический журнал. 4(3): 86-103.
Kuznetsova M.N. 2012. О nelineynykh giperbolicheskikh uravneniyakh, svyazannykh differen-tsialnyini podstanovkairii s uravneniem Kleina-Gordona [On nonlinear hyperbolic equations connected with Klein - Gordon equation by differential substitutes]. Ufimskiy inatematicheskiy zhurnal. 4(3): 86-103.
5. Полятпттт А.Д., Зайцев В.Ф. 2002. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 432 с.
Polyanin A.D., Zaytsev V. F. 2002. Spravochnik po nelineynym uravneniyam inateinaticheskoy fiziki: tochnye resheniya [Handbook on the nonlinear equations of mathematical physics: exact, solutions]. M: Fizinatlit, 432 p.
6. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. 2005. Методы решения нелинейных уравнений математической физики pi механики. М.: Физматлит, 256 с.
Polyanin A.D., Zaytsev V.F., Zhurov A.I. 2005. Metody resheniya nelineynykh uravneniy iriatematicheskoy fiziki i iriekhaniki [Methods of solving of nonlinear equations of mathematical physics and mechanics] M: Fiziriatlit, 256 p.
7. Полянин А.Д., Журов А.И. 2002. Обобщенное pi функциональное разделение переменных в математической физике pi механике. Доклады РАН, 382(5): 606-611.
Polyanin A.D., Zhurov A.I. 2002. Obobshennoe i funktsionalnoe razdelenie peremennykh v iriatematicheskoy fizike i iriekhanike [Generalized and functional separation of variables in mathematical physics and mechanics]. Doklady RAN, 382(5): 606-611.
8. Рахмелевртч И.В. 2013. О применении метода разделения переменных к уравнениям математической физики, содержанщм однородные функции от производных. Вестник Томского государственного университета. Математика pi механика. 3(23): 37-44. Rakhirielevich I.V. 2013. О prirrienenii rrietoda razdeleniya peremennykh k uravneniyam iriatematicheskoy fiziki, soderzhashiiri odnorodnye funktsii ot proizvodnykh [On application of variable separation method to mathematical physics equations containing homogeneous functions of derivatives] Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Materriatika i irie-khanika. 3(23): 37-44.
9. Рахмелевртч И.В. 2014. Об уравнениях математической физики, содержащих мультиод-нородные футтктцтрт от производных. Весттшк Томского государственного университета. Математика pi механика. 1(27): 42-50.
Rakhirielevich I.V. 2014. Ob uravneniyakh iriatematicheskoy fiziki, soderzhashikh multiod-norodnye funktsii ot proizvodnykh [On equations of mathematical physics containing multi-homogeneous functions of derivatives]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Ma-tematika i mekhanika. 1(27): 42-50.
10. Рахмелевртч И.В. 2015. О двумерных гиперболических уравнениях со степенной нелинейностью по производным. Весттшк Томского государственного университета. Математика pi механика. 1(33): 12-19.
Rakhirielevich I.V. 2015. О dvumernykh giperbolicheskikh uravneniyakh so stepennoy neliney-nostiyu po proizvodnym [On two-dimensional hyperbolic equation with power non-linearity on the derivatives]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika. 1(33): 12-19.
11. Рахмелевртч И.В. 2017. Двумерное неавтономное гиперболическое уравнение второго порядка со степенными пелипейпостями. Весттшк Томского государственного университета. Математика pi механика. 49: 52-60.
Rakhirielevich I.V. 2017. Dvumernoe neavtonomnoe giperbolicheskoe uravnenie vt.orogo po-ryadka so stepennymi nelineynostyami [Two-dimensional non-autonomous hyperbolic equation of the second order with power non-linearities]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Materriatika i mekhanika. 49: 52-60.
12. Clarkson P. A., Kruskal M. D. 1989. New similarity reductions of the Boussinesq equation. Journal of Mathematical Physics, V. 30, No 10: 2201-2213.
13. Grundland A.M., Infeld E. 1992. A family of non-linear Klein - Gordon equations and their solutions. Journal of Mathematical Physics, V. 33, No 7: 2498-2503.
14. Miller J. (Jr.), Rubel L.A. 1993. Functional separation of variables for Laplace equations in two dimensions. Journal of Physics A, V. 26: 1901-1913.
15. Polyanin A.D. 2019. Construction of exact solutions in implicit form for PDEs: New functional separable solutions of non-linear reaction-diffusion equations with variable coefficients. International Journal of Non-Linear Mechanics, V. Ill: 95-105.
16. Zhdanov R.Z. 1994. Separation of variables in the non-linear wave equation. Journal of Physics A, V. 27: L291-L297.
Ссылка для цитирования статьи Reference to article
Рахмелевич И.В. 2019. Двумерное неавтономное гиперболическое уравнение с квадратичным полиномом от первых производных. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. 51 (3): 402-416. Doi: 10.18413/2075-4639-2019-51-3402-416.
Rakhmelevich I.V. 2019. Two-dimensional non-autonomous hyperbolic equation with quadratic polynomial on first derivatives. Belgorod State LTiiversity Scientific Bulletin. Mathematics. Physics. 51 (3): 402-416 (in Russian). Doi: 10.18413/2075-4639-2019-51-3-402-416.
