О решениях многомерного параболического уравнения второго порядка со степенными нелинейностями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517-952

О РЕШЕНИЯХ МНОГОМЕРНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СО СТЕПЕННЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

ON THE SOLUTIONS OF MULTI-DIMENSIONAL PARABOLIC EQUATION OF SECOND ORDER WITH POWER-LAW NON-LINEARITIES

И.В. Рахмелевич I.V. Rakhmelevich

Нижегородский национальный исследовательский университет, Россия, 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23

Nizhny Novgorod National Research University, 23 Gagarin Ave, Nizhny Novgorod, 603950, Russia

E-mail: [email protected]

Аннотация. Исследовано многомерное параболическое уравнение второго порядка со степенными не-линейностями по первым производным и нелинейностью произвольного вида по искомой функции. С помощью метода функционального разделения переменных найден ряд точных решений этого уравнения. Отдельно исследованы решения уравнения со степенной и экспоненциальной нелинейностями по неизвестной функции, а также решения, существующие при некоторых условиях на параметры уравнения.

Resume. There is investigated multi-dimensional parabolic equation of second order with power-law non-linearities on the first derivatives and with arbitrary type non-linearity on unknown function. The series of exact solutions of this equation have been founded with the help of method of functional separation of variables. There are separately investigated the solutions of equation with power-law and exponential non-linearities on unknown function, and also the solutions which exist under some conditions on the parameters of the equation.

Ключевые слова: уравнение в частных производных, разделение переменных, степенная нелинейность.

Key words: partial differential equation, separation of variables, power-law non-linearity.

Введение

Дифференциальные уравнения в частных производных со степенными нелинейностями составляют важный класс уравнений, исследуемых в современной математической физике. Исследованию таких уравнений посвящено большое число работ [1-6] ввиду их важности как с точки зрения теории, так и практических приложений. Кроме того, уравнения с однородными и мультиоднород-ными функциями от производных для определенных классов решений [7-9] также сводятся к уравнениям со степенными нелинейностями. Данная работа посвящена исследованию решений многомерного параболического уравнения со степенными нелинейностями по первым производным и нелинейностью произвольного вида от искомой функции. Отдельно рассматриваются случаи, когда уравнение содержит нелинейности степенного и экспоненциального типов по искомой функции.

Постановка задачи. Решения, зависящие от линейной комбинации пространственных переменных

Рассмотрим уравнение в частных производных второго порядка относительно неизвестной функции и(X, Т) :

8 2и

Е а ~8хии = ^ (и)П

М Г я. ^ 8и

г=1 г

1=1

V 1 /

(1.1)

где g(и) - некоторая заданная функция, X = {х1,..., хм }, Т = {г1,..., гМ }.

Данный параграф посвящен нахождению решений уравнения (1.1), зависящих от линейной комбинации пространственных переменных х,. • •,хы. Эти решения определяются следующими ниже теоремами 1.1, 1.2. Теорема 1.1

Решения уравнения (1.1) в неявной форме, аддитивно зависящие от линейной комбинации

Е спхп , имеют вид:

П=1

2 - 2П = А

| Я(и) dU,

щи) = На(и) + ВЬ-2 Р^ 2

^ехр{-Ф0 0(и)} р2= 2

(1.2) (1.3)

где 20, А, В, Ф0 - произвольные постоянные; 2 определяется выражением:

2 = Е спхп + Г (Т)

п=

причем V(Т) - любое решение уравнения

М

п

(1.4)

п=1

м (8Г ^

1=1

8г

V 1 /

= ц»

где

ц = СФо, С = Е

а с2 .

п п

(1.5)

(1.5а)

Доказательство.

Решение уравнения (1.1) ищем в виде

и = и(г), (1.6)

где г определяется выражением (1.4). Подставляя решение (1.6) в уравнение (1.1) с учетом (1.4), после элементарных преобразований находим:

СФ( 2) = П

1=1

м г 8Г ^

8г

V 1 /

где С выражается с помощью (1.5а);

Ф( 2) =-

и "( 2)

g (и(2)) [и"(2)]^

(1.7)

(1.8)

п=1

Продифференцируем соотношение (1.7) по хг при произвольно выбранном i, тогда с учетом (1.4) получаем Ф' (z) = 0, т.е. Ф^) = Ф0 = const. Отсюда, с учетом (1.8) следует, что функция U (z) удовлетворяет следующему обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ):

U'(z) = Фоg (U(z)) U'(z)f (1.9)

Уравнение (1.9) можно переписать в виде:

U(z)P U'(z) = Ф0 dG(U(z)) , (1.10)

dz

где G(U) = J g(U) dU. Рассмотрим уравнение (1.10) для двух возможных случаев.

1) Pz Ф 2 . Тогда, в результате интегрирования (1.10) сводится к уравнению первого порядка:

U ' (z)]

U^i--Фо G(U (z)) = Во (1.11)

2 -Pz

где В - произвольная постоянная. Нетрудно получить решение уравнения (1.11) в неявном виде:

1

z - z0 = aJ(G(U) + Bf^2 dU (1.12)

где А = [(2 — )Ф0]рЕ-2, В = В0/Ф0 - новые произвольные постоянные. 2) = 2 . Тогда уравнение (1.10) сводится к следующему:

1п и'(г) — Фо 0(и(г)) = Во (1.13)

Решение уравнения (1.13) в неявном виде запишется так:

г — г0 = а| ехр {— Ф0 0(и )}йи (1.14)

где А = ехр(—В0 ) - новая произвольная постоянная.

Далее, в силу рассуждений, приведенных после уравнения (1.8), обе части уравнения (1.7) должны быть равны постоянной, поэтому функция V(Т) должна удовлетворять уравнению (1.5). Теорема доказана.

Уравнения вида (1.5), содержащие произведение степеней первых производных, рассматривались в [6]. Приведем решения этого уравнения, которые могут быть получены методом разделения переменных в предположении Р2 Ф 0 :

м

1) Аддитивное разделение переменных: V(Т) = ^ Vj ).

;=1

Тогда решением уравнения (1.3) является линейная функция:

м

V (Т) = ^ , (1.15)

,=1

где коэффициенты ё, должны удовлетворять условию:

п ^ =п

1=1

Из (1.4) и (1.15) следует, что в данном случае имеет место решение типа бегущей волны.

м

2) Мультипликативное разделение переменных: V(Т) = П^1 (^1) • Тогда решение уравнения (1.5) имеет вид:

(1.15а)

1=1

V (Т) =

^ РП

1=1

Ь (о - о«)

/Рх

V0exp

м

\

Е 1

Ре* 0 Ре = 0

(1.16)

V 1=1 У

3) Комбинированное разделение переменных:

к

V (Т) = ЕП» С» )

к=1

(1.17)

При записи выражения (1.17) предполагается, что множество J = {1,...,М} значений индекса, нумерующего переменные ^,...,¿м, представлено в виде объединения К непересекающихся подмножеств ^ (к = 1,...,К) . Подставляя (1.17) в уравнение (1.3), приводим это уравнение к виду:

П ПИе> 1 «1)]

$Ек -Р1

где

к=1 и

Рхк = •

^к

Разделяя переменные в уравнении (1.18), находим:

" ПРу/РЕк

(1.18)

(1.18а)

V (1 Ч

С, -О

Р/

^о етр^/Д

, рЕ, * 0 ре, = 0

(1.19)

где постоянные dj должны удовлетворять условию (1.15а). Подставляя (1.19) в (1.17), получаем:

V (Т) = Е Vk 0 П

^Ек. (г - г )

Р, ^ ^

Р1 /Ре, / ^

+ Е ^к0 ехР Е d.

11

(1.20)

ке=0 V/eJk У

где , Н0 - множества значений к, для которых РЕк Ф 0, РЕк = 0 соответственно; V,0 - новые произвольные постоянные.

Приведенные выше выражения (1.15), (1.16), (1.20) определяют конкретный вид левой части формулы (1.2) для разных семейств решений уравнения (1.1), описываемых теоремой 1.1.

Теорема 1.2.

Уравнение (1.1) имеет решение и = и(г), мультипликативно зависящее от линейной ком-

N

бинации ^ спхп, причем z определяется выражением:

П=1

N

= V (T )£ С

n=1

а функции U(z), V(T) являются решениями следующих уравнений:

U"(z) = Y0g (U(z)) [zU'(z)]p*

(1.21)

(1.22)

M fdvЛР

П

j=1

Vdt, J

V j J

= ^V Р*+2

(1.23)

где

Ц = С¥0. (1.24)

Доказательство.

Решение уравнения (1.1) ищем в виде (1.4), где г определяется выражением (1.21). Подставляя решение (1.4) в уравнение (1.1) с учетом (1.21), после элементарных преобразований находим:

( N

Y* M

СФ( z) = [v (T)]-2 ^ CnXnl П

V 5t, J V j J

(1.25)

V и=1 У j=l

где С, Ф(г), как и выше, определяются выражениями (1.5а), (1.8) соответственно. Поскольку из (1.21) следует, что

N

\Р*

= [V (T )]-(Р*+2) zp*

[V(т)]-21 2

V n=1

поэтому уравнение (1.25) может быть переписано в виде:

м

z) = [V (T )]-(Р*+2) П

м fdV^

j=i

ydt, J V j J

где

z) = -

U"( z)

(1.26)

(1.26а)

g (U(z)) [zU'(z)]P*

Аналогично доказательству теоремы 1.1, продифференцируем соотношение (1.26) по х при произвольно выбранном i, тогда с учетом (1.21) получаем Y'(z) = 0, т.е. ^(z) = = const. Отсюда, с учетом (1.26а) следует, что функция U (z) удовлетворяет уравнению (1.22). Далее, поскольку обе части уравнения (1.26) равны постоянной CY0 , то функция V(T) должна удовлетворять уравнению (1.23), где ц определяется выражением (1.24). Теорема доказана.

Для простейшего случая g(u) = g0 = const, когда уравнение (1.1) явно не содержит искомую функцию, решение уравнения (1.22) можно записать в виде:

и (2) Ч

/А^ + в0)/(1-Рг)& 1

В0|ехр

Ч % г

ёг РЕ = 1

2

Решения, зависящие от квадратичных и экспоненциальных функций пространственных переменных

В данном параграфе рассматриваются решения уравнения (1.1), зависящие от квадратичных и экспоненциальных функций переменных х1,..., хы. Теорема 2.1.

Уравнение (1.1) имеет решение и = и(г), зависящее от квадратичной функции переменных X,...,%, причем г определяется выражением:

г = V (Т) £ Хп-

п=1 ап

а функции и(г), V(Т) являются решениями следующих уравнений:

2ги"(г) + Ми'(г) - ^ я (и(г)) [ги'(г)]р^ = 0 ,

м ^

п

1=1

V 1 у

= цV

Ре+1

(2.1)

(2.2) (2.3)

Доказательство.

Решение уравнения (1.1) ищем в виде (1.6), где г определяется выражением:

N

= V (Т) Е

СПХ2

(2.4)

где сп - некоторые пока неизвестные коэффициенты. Подставив (2.4) в уравнение (1.1), получаем:

( N

ь м íдv^Р

2V(Т) Мг)£ ас + 2U"(z)V(T)Е агсг2хг21 = я(и(г))[и'(г)]р^ £ ^ I П ^ (2.5)

I '=1 '=1 } V '=1 ) 1=1 V 1)

Нетрудно видеть, что из уравнения (2.5) могут быть получены ОДУ относительно функций и(г), V(Т) , если положить = 1/а^ для всех ' = 1,..., N. Тогда это уравнение приводится к виду:

„(ти^ (N ^ 1 м (^^p

к N I 1 м

NU"(г) + 2ги"(г) = ^^ [и"(г)]Р^ [ £ с,х? | ^ П

V '=1 )

V 1)

(2.6)

Из (2.4) следует, что

( N ^

2

" V 1

£ С'х') Vcr>(Т

Используя (2.7), уравнение (2.6) приводим к виду:

|-(Ре+1) 2Ре

(2.7)

п=1

'( 2)]~Ре {ли'( 2) + 2 zи"( 2)} = [V (Г )]-(Р^+1) П g (и ( 2)) ,=1

м ^

V ■> У

(2.8)

Продифференцировав (2.8) по произвольно выбранному х1 , используя (2.4), и проводя рассуждения, аналогичные выполненным при анализе уравнений (1.7) и (1.26), получаем, что функции и(2), V(Г) должны удовлетворять уравнениям (2.2), (2.3). Теорема доказана.

Замечание. С помощью метода разделения переменных нетрудно найти частные решения

( м ур£ 1 м ( 1 уР™

уравнения (2.3): V(Г) = £^ , V(Г) = -Пг^^ ",

V т=1 У ^ т=1 I Рт J

откуда находим соответствующие частные решения уравнения (1.1):

м

и = и£dтtт

\ т=1 У

ГРе ^ N 2 \

,п=1 ап У

м

к и = Ш-Д

т=1

Г, ^т tт0) Рт

Рт ( N х2 \

п=1 ап У

где функция и (2) должна удовлетворять уравнению (2.2). Теорема 2.2.

Уравнение (1.1) имеет решение и = и(2), зависящее от экспоненциальной функции переменных х1,...,xN, причем 2 определяется выражением:

Г N Л

2 = V (Г) ехр

V

а функции и(2), V(Г) являются решениями следующих уравнений:

£ СгХг

V '=1 У

фи'(2) + и"(2))-И£ (и(2))2Р-1 [и"(2)р = 0

м íдVЛР

П

,=1

V дt, ,

V ■> У

= уУре ,

(2.9)

(2.10) (2.11)

причем С определяется выражением (1.5а). Доказательство.

Решение уравнения (1.1) ищем в виде (1.6), где 2 определяется выражением

2 = Ж (X ^ (Г), Подставив (2.12) в уравнение (1.1), преобразуем его к виду:

Nмi д 2Ж

Ф1( 2)£ а,

N Г 1 д^2

V Ж дх, у

+ Ф 2 (2)£ ^

2

ж дх,2

.[V (Г )^П

м íдV^

где

22 и"(2)

Ф1(2)=

;=1

-Ре

Vдt, , V ■> У

g (и ( 2))[2и'( 2)]Ре

Ф2(2)=

_[2и'( 2)]1-

g (и ( 2))

(2.12)

(2.13)

(2.13а)

В соответствии с условием теоремы положим Ж (X) = ехр

( N ^ £ С,х,

V ,=1 У

тогда:

п

'=1

'=1

N

Xо I

1 дЖ

V

1=1

Ж дх.

1 у

¿О дЖ = с

Х Ж дхг2

(2.14)

С учетом (2.14) уравнение (2.13) приводится к виду:

м

С (Ф1( 2) + Ф 2( 2)) =[¥ (Т

1=1

V 1 у

(2.15)

Продифференцировав (2.15) по произвольно выбранному , используя (2.9) и (2.13а), и проводя рассуждения, аналогичные выполненным при анализе уравнений (1.7) и (1.26), получаем, что функции и(2), V(Т) должны удовлетворять уравнениям (2.10), (2.11). Теорема доказана.

Анализ специальных случаев

Данный параграф посвящен анализу решений уравнения (1.1) для случаев степенной и экспоненциальной нелинейностей по неизвестной функции, а также случая, когда уравнение явно не содержит неизвестную функцию. Теорема 3.1.

Пусть в уравнении (1.1) имеет место степенная зависимость от искомой функции, т.е. g(u) = g0u1. Тогда уравнение (1.1) имеет решение вида:

и(Х, Т) = Ж (X) V (Т), (3.1)

причем функции Ж(X), V(Т) удовлетворяют следующим уравнениям:

—=* ж^ ■ П

1 дх2

1=1 дх1 ./=1

дV

V 1 у

= цV11 , (3.2)

где ц - некоторая постоянная, * = . Доказательство.

Подставляя решение, определяемое выражением (3.1), в уравнение (1.1), приводим это уравнение к виду:

N д 2Ж М

V(Т)Х О --г = go [W(X)V(T)]1[W(X)]PíП

1=1 дх1 1=1

V ■> у

или

1 N М

1 [Ж (X )1-(Р^ Ха1 -ж (Т )ГП

go 1=1 дх1 ,=1

V ■> у

(3.3)

Левая часть уравнения (3.3) зависит только от множества переменных X, а правая часть -только от множества переменных Т . Поэтому обе части этого уравнения должны быть равны некоторой постоянной ц, откуда следуют уравнения (3.2). Теорема доказана.

Теорема 3.2.

Пусть в уравнении (1.1) имеет место экспоненциальная зависимость от искомой функции, т.е. g(u) = g0 ехр(уи). Тогда уравнение (1.1) имеет решение вида:

и(X,Г) = Ж(X) + V(Г) , причем функции Ж(X), V(Г) удовлетворяют следующим уравнениям:

N д2Ж

£ а, = Аехр(уЖ), П

м Гдv^

>=1

V дt, У

V > У

= цexp(-yV) ,

(3.4)

(3.5)

где ц - некоторая постоянная, А = Ц&о. Доказательство.

Подставляя решение, определяемое выражением (3.4), в уравнение (1.1) и проводя рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 3.1, приходим к уравнениям (3.5). Теорема доказана.

Теорема 3.3.

Пусть уравнение (1.1) явно не содержит неизвестную функцию, т.е. g(и) = g0. Пусть

также множества I = {1,..., J = {1,...,м} значений индексов >, нумерующих независимые

к

переменные х{, представлены в виде объединения непересекающихся подмножеств I = ^ 1к,

к=0

К

J = ^ Jk , причем при всех к > 1, к Ф к1 выполнены дополнительные условия РЕк = 0. Тогда урав-

к=0

нение (1.1) имеет следующее семейство решений:

(X ,Г) = Ж0( X0) + Vo(Гo) + £Жк (^к V (Гк ),

к=1

где функции Жк (Xk), Vk(Гк) удовлетворяют уравнениям:

£ а,

д Ж

к1

/еА

-х2

£ а,

=.~~0 к(xk1)]3skl, п

■ т дт, V ->1 У

д 2Жк

дх2

0, П

(яг ^ дV

V > У

= Цк (к Ф К)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

Здесь к1 > 1 - некоторое произвольно выбранное значение к ; цк -некоторые произвольные постоянные; = ^ П Цк ; Xk = {х, }ге/ , Гк = } - подмножества независимых переменных.

-А к к

к=0

Доказательство.

Подставим функцию (3.6) в уравнение (1.1) , которое в этом случае принимает вид:

£ а, ^ + £ Vk (Гк )£ а,

ге/0 дхг к=1

геЛ.

д 2Жк

дх ,2

П

к=1

V > У

[Жк (Xk )]Рек П

Г ж ^ дV

V > У

(3.9)

Так как правая часть (3.9) не зависит от переменных X0, а левая часть не зависит от переменных Г0, то функции Ж0 (X,)), V (Г0 ) должны удовлетворять уравнениям:

,=1

и

к

E

a W

dx:

2 = V0

п

dV

vj

V dt, ,

V J У

= >

(3-10)

где у0 , ц0 - некоторые постоянные.

Учитывая (3.10), уравнение (3.9) перепишем в виде:

Ev (T a,

д 2Wfr

k=1

дх,

2 +V 0 =

&0W0 п

k=1

[Wk (xk )]р" п

JeJk

dV

vj

v dt, ,

v J У

(3.11)

Пусть выбраны некоторые значения j, k1 индексов J, k, причем J1 e Jk . Продифференци-

руем уравнение (3.11) по t, , тогда получим следующее:

dV

dt

d 2Wk, 2

к

-e=» п

Ji ieih

k=1,k *k1

[Wk (Xk)fa п

JeJk

dV

ЛР J

dt, V J У

[Wki( Хц)?*

dt,.

п

JeJ/q

dt, V Ji У

(3-12)

Левая часть уравнения (3.12) не зависит от переменных Xk (k Ф kx), поэтому правая часть также не должна зависеть от этих переменных. Это возможно только в том случае, если при всех k Ф k1 выполняется хотя бы одно из условий Wk (Xk ) = const либо Psk = 0. Предполагаем, что ищутся решения, существенно зависящие от всех переменных, т.е. для всех k Wk (Xk ) Ф const, поэтому для того чтобы удовлетворить уравнение (3.12), должно выполняться условие Psk = 0. Также левая часть (3.12) не зависит от переменных Tk (k Ф k1), поэтому функции Vk (Tk ) должны удовлетворять уравнению (3.8). Из приведенных рассуждений следует, что уравнение (3.11) запишется в виде:

Ev (Tk) E a

d2Wk dx2

+ V0 = 80

11 ^ •kk1( x^b п

'dV^ p j

JeJk\ V dtJ1 У

(3-13)

к=1 ге/4 к=0,кф к1

Так как правая часть (3.13) не зависит от переменных Хк , Тк (к Ф кх), то при всех к Ф к функции Щ (Хк ) должны удовлетворять уравнению (3.8). Поэтому дальнейшее упрощение уравнения (3.13) дает:

d2W K Г v

yki (Tki) Ea,—^ + V0 = g n^k • Wk! (Xk! )р П

ieIh

k=0,k ф k1

JeJk1

лр j

dt, V J1 У

(3-14)

Уравнение (3.14) допускает разделение переменных только при выполнении условия у0 = 0, тогда из этого уравнения находим, что функции Щ (Xк ), V (Т ) должны удовлетворять уравнениям (3.7). Теорема доказана.

Заключение

Таким образом, в данной работе получены частные решения многомерного параболического уравнения второго порядка, содержащего степенные нелинейности по первым производным и нелинейность произвольного вида от неизвестной функции. С помощью метода разделения перемен-

k

d

<

<

>

ных найдены решения, зависящие от линейной, квадратичной и экспоненциальной функции пространственных переменных. Отдельно рассмотрены решения, существующие для конкретных типов нелинейности по искомой функции, в том числе для степенной и экспоненциальной нелинейностей. Также найдены решения, существующие при выполнении некоторых дополнительных условий для параметров уравнения. Результаты, полученные в работе, могут быть обобщены для уравнений с более сложными нелинейными операторами.

Список литературы

1. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. 2002. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М., Физматлит: 432 .

Polyanin A. D. and Zaitsev V. F. 2012. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, 2nd Edition, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton.

2. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. 2005. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М., Физматлит: 256.

Polyanin, A. D., Zaitsev, V. F., Zhurov A. I. 2005. Metody resheniya nelineynyh uravneniy matematicheskoy fiziki i mehaniki. M., Fizmatlit (In Russian).

3. Галактионов В.А., Посашков С.А., Свирщевский С.Р. 1995. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями. Дифференциальные уравнения, № 2 (31): 253-261.

Galaktionov V.A., Posashkov S.A., Svirshevskiy S.R. 1995. Obobshennoe razdelenie peremennyh dlya different-sialnyh uravneniy s polinomialnymi pravymi chastyami. Differentsialnye uravneniya, No 2 (31): 253-261. (In Russian).

4. Matsuno Y. 1987. Exact solutions for the non-linear Klein - Gordon and Liouville equations in four dimensional Euclidean space. Journal of Mathematical Physics, No 10 (28): 2317-2322.

5. Рахмелевич И.В. 2015. О двумерных гиперболических уравнениях со степенной нелинейностью по производным. Вестник Томского государственного университета. Математика и механика, № 1(33): 12-19.

Rakhmelevich I.V. 2015. O dvumernyh hyperbolicheskih uravneniyah so stepennoy nelineynostiu po proizvod-nym. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika, No 1(33): 12-19. (In Russian).

6. Рахмелевич И.В. 2015. О некоторых новых решениях многомерного уравнения в частных производных первого порядка со степенными нелинейностями // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. № 3. С. 18-25.

Rakhmelevich I.V. 2015. O nekotorykh novykh resheniyakh mnogomernogo uravneniya v chastnykh proizvod-nykh pervogo poryadka so stepennymi nelineynost'yami. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Ma-tematika i mekhanika, No 3(35): 18-25 (in Russian).

7. Рахмелевич И.В. 2013. О применении метода разделения переменных к уравнениям математической физики, содержащим однородные функции от производных. // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика, № 3: 37-44.

Rakhmelevich I.V. 2013. O primenenii metoda razdeleniya peremennykh k uravneniyam matematicheskoy fiziki, soderzhashchim odnorodnye funktsii ot proizvodnykh . Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Ma-tematika i mekhanika, № 3(23): 37-44 (in Russian).

8. Рахмелевич И.В. 2014. Об уравнениях математической физики, содержащих мультиоднородные функции от производных. // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. № 1: 4250.

Rakhmelevich I.V. 2014. Ob uravneniyakh matematicheskoy fiziki, soderzhashchikh mul'tiodnorodnye funktsii ot proizvodnykh. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika. No 1(27): 42-50 (in Russian).

9. Рахмелевич И.В. 2016. О редукции многомерных уравнений первого порядка с мультиоднородной функцией от производных. Известия вузов. Математика, № 4: 57-67.

Rakhmelevich I.V. 2016. Reduction of multidimensional first order equations with multi-homogeneous function of derivatives. Russian Mathematics, № 4(60) : 47-55.