CC BY
112
Двумерное моделирование пластической деформации в матрице металлокерамического композита на мезоуровне: оценка напряженных состояний и численных методов
И.Ю. Смолин, Э. Соппа1, 3. Шмаудер1, П.В. Макаров
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия Государственный институт испытания материалов при Штутгартском университете, Штутгарт, D-70569, Германия
Статья посвящена численному моделированию развития пластической деформации в пластичной матрице металлокерамического композита. Для двумерных численных исследований была выбрана искусственная мезоструктура, состоящая из керамического включения в окружающей поликристаллической матрице. Особый интерес представляло сравнение результатов расчетов, полученных разными компьютерными программами с применением разных расчетных сеток, а также для различных условий: плоского деформированного и плоского напряженного состояний. Результаты расчетов анализируются и обсуждаются, используя различное представление выходных данных.
1. Введение
Интерес к изучению композитов с металлической матрицей в последние годы очень высок. Это вызвано как особенностями механических свойств этих материалов, так и расширением сферы их применения в промышленности. Интерес к моделированию поведения этих материалов вызван также углубленным пониманием процессов деформации и разрушения материалов и современным прогрессом в компьютерной технике.
Обычно при численном изучении металлокерамических композитов предметом исследований является влияние расположения и формы упрочняющих включений на напряженно-деформированное состояние и поведение материала. Ранее методом конечных элементов было промоделировано поведение идеализированных и реальных микроструктур [1-6]. Для более полного понимания механизмов деформации и разрушения этих материалов, исследования проводятся на разных масштабных уровнях [5, 6]. Особый интерес вызывают исследования на мезоуровне, где учитываются несколько включений и рассматриваются отдельные кристаллиты в матрице. Неоднородность структуры, связанная не только с присутствием разных фаз, но и неоднородность внутренней структуры внутри одной фазы играют важную роль в таких исследованиях.
Особенности структуры металлокерамических композитов обуславливают интерес к описанию пластической деформации внутри матрицы, накопления повреждений и растрескивания в упрочняющей фазе и на границах раздела “матрица - включение”. В данной работе основное внимание обращено на распределение пластических деформаций в матрице.
Для моделирования пластических деформаций в моно- и поликристаллах кроме широко используемых определяющих соотношений, основанных на феноменологических моделях теории пластического течения и деформационной теории пластичности с критерием текучести Мизеса, в последние годы появились новые микромеханические модели пластичности кристаллов, основанные на континуальном описании скольжения в кристаллах [7-9]. Несмотря на большой успех в моделировании локализации деформации (благодаря так называемому “геометрическому” и “вершинному” разупрочнению), эти модели, к сожалению, не лишены недостатков. С одной стороны, в этих моделях предполагается однородная деформация зерна и теория не содержит масштабных параметров. С другой стороны, в них не принимается во внимание формирование дислокационных субструктур при умеренных и больших пластических деформациях. Наконец, эти модели довольно слож-
© Смолин И.Ю., Соппа Э., Шмаудер 3., Макаров П.В., 2000
ны для вычислительных приложений и требуют большей мощности компьютеров для их использования.
В работе [8] проведено сравнение результатов расчетов по теории пластичности кристаллов и теории течения с изотропным степенным упрочнением для металлокерамических композитов. Отмечено, что отличие в макроскопическом поведении (а-е-диаграммы) довольно мало и растет с ростом удельной доли упрочняющей фазы. Сравнение картин распределения локальных деформации также показало их хорошее соответствие, хотя при применении моделей пластичности кристаллов локализация выражена более сильно.
Поэтому в данной работе применена теория течения с критерием текучести Мизеса. Упор сделан не на изучение конкретной мезоструктуры какого-либо материала, а на общие черты моделирования подобных материалов. Цель работы — оценить влияние следующих факторов: а) описание пластических свойств окружающей матрицы (изотропная однородная матрица и с учетом разных факторов Шмида для разных зерен); б) вид двумерного напряженного состояния (условия плоской деформации и плоского напряженного состояния); в) применение различных численных методов (моделирование квази-статического процесса методом конечных элементов и динамического процесса конечно-разностным методом).
2. Мезообъем материала для моделирования
Входные данные для расчетов, относящиеся к свойствам материала и его мезоструктуре, включают: 1) фотографию (файл с растровым изображением) мезообъе-ма; 2) упругие изотропные модули для поликристалли-ческого материала; 3) а-е-диаграмму для поликристал-лического материала; 4) факторы Шмида для различных зерен в поликристаллическом агрегате.
Для моделирования был выбран мезообъем, представленный на рис. 1, мезоструктура которого соответст-
2 \ 3 / 4
1 5 о \ / 7
8 ^ 9 / 12 ' 11
X
Рис. 1. Идеализированная мезоструктура металлокерамического
композита
Таблица 1
Факторы Шмида для зерен мезообъема, представленного на рис. 1
Номер зерна Фактор Шмида
5; 9 0.5
1; 3 0.4726
2 0.4705
4 0.4593
11 0.4058
7; 8 0.4054
10 0.4029
12 0.2722
вует структуре поликристаллического сплава Си 5 % А1, приведенного в работе [9]. Области с разными номерами на рис. 1 представляют собой зерна с разной ориентацией. Предполагалось, что зерно с номером 6 представляет собой упрочняющее керамическое включение с чисто упругим поведением. Размер области составляет 0.7x1 см2.
Предполагается, что упругие свойства и а-е-диаг-рамма для поликристаллического материала матрицы известны. Для аппроксимации а-е-диаграммы использовалось уравнение вида а = а0 (е/е0 ). Ориентация всех зерен в мезообъеме также полагается известной, факторы Шмида для соответствующих зерен приведены в таблице 1. Предполагается также, что керамическое включение претерпевает только упругие деформации и его упругие свойства известны.
Для описания пластического поведения отдельных зерен в поликристаллическом агрегате применялась теория течения с критерием текучести Мизеса и с изотропным упрочнением. При необходимости, для задания напряжения течения в отдельных зернах использовалась модель Шмида-Закса. В этом случае, критическое напряжение при одноосном нагружении для зерна і может быть вычислено по формуле ас і = ас/(т • si), где т = 2.24 — фактор Закса (обратный фактор Шмида, осредненный по всем возможным ориентациям зерен в предположении, что только одна система скольжения с наиболее благоприятной ориентацией является активной в каждом зерне) для ГЦК-кристаллов; si — фактор Шмида для зерна і и ас — среднее напряжение течения для поликристаллического изотропного материала.
Поскольку предполагается исследовать поведение мезообъема внутри массивного образца, исследуемый объем помещался в “окружение” со свойствами однородного поликристаллического материала и размерами в два раза большими, чем изучаемый объем, в каждом направлении. Это позволяет при проведении расчетов уменьшить влияние свободных поверхностей на получаемое решение.
Рассмотренная модель подвергалась растяжению в направлении оси х до 2 % общей деформации.
3. Численные методы
3.1. Метод конечных элементов
Моделирование методом конечных элементов (МКЭ) проводилось с помощью программы LARSTRAN [10]. При моделировании использовалась регулярная расчетная сетка, состоящая из шестиузловых треугольных элементов для расчета плоского деформированного состояния, с использованием методики “мультифазных элементов” [11] для учета неоднородности материала. Конечно-элементная сетка для исследуемого мезообъе-ма состояла из 1260 элементов. Результаты расчета представлялись в виде распределения эффективной эквивалентной пластической деформации ееч =
1 12
=-----.1— е?-е?-, где е?- — пластическая часть тензора
1 + у V3 1 деформации.
3.2. Конечно-разностный метод
Моделирование конечно-разностным методом (КРМ) осуществлялось с использованием программы, основанной на конечно-разностной схеме, описанной в работе [12]. Свойства материала приписывались ячейкам расчетной сетки, используя процедуру наложения регулярной квадратной сетки на растровое изображение ме-зоструктуры. Считалось, что каждая ячейка конечноразностной сетки состоит из того материала, которому соответствует центральная точка ячейки. Для уменьшения влияния распространяющихся упругих волн и их взаимодействия на напряженно-деформированое состояние, использовалось медленное увеличение значений скоростей в расчетных узлах при задании нагрузки. Расчеты были проведены на двух сетках: крупной, состоящей из 3 312 ячеек, и мелкой сетке, состоящей из 25594 ячеек.
Эффективная эквивалентная пластическая деформация для каждой ячейки вычислялась по формуле ееч =
1 Г 12 • •
=----- л —е-еiidt, где е?- — пластическая часть тен-
1 + ^ V 3 1 1 1
о
зора скорости деформации.
3.3. Общие черты
В расчетах ставились следующие граничные условия: на правой грани расчетной области в узлах расчетной сетки для квазистатического моделирования МКЭ задавались х-компоненты векторов перемещений, а для динамического моделирования КРМ — векторов скоростей; левая грань была зафиксирована относительно перемещений в направлении оси х, а верхняя и нижняя грани считались свободными от напряжений.
Касаясь внутренних граничных условий на границах зерен, следует отметить, что континуальный подход механики позволяет рассматривать поликристаллический агрегат как континуум с требованием равновесия векторов напряжений и непрерывности перемещений на границах зерен. Это, конечно, упрощенное описание, и оно не отражает реальное влияние границ зерен на развитие пластических деформаций в поликристаллах, особенно при повышенных температурах. Однако проблема влияния внутренних границ раздела (границ зерен) очень специфическая, сложная и должна быть рассмотрена отдельно.
Для настоящего анализа, распределения эффективных пластических деформаций были построены с помощью программы обработки результатов конечно-элементных расчетов PATRAN [13]. Использование одной программы для обработки результатов расчетов позволяет уменьшить различие в построенных картинах деформации, полученных разными программами.
4. Результаты и их обсуждение
4.1. Условия плоской деформации
Прежде всего, были проведены расчеты для изотропной однородной матрицы. В этом случае предполагалось, что все зерна имеют одни и те же упругие и пластические свойства. Распределения эффективных эквивалентных пластических деформаций как для расчетов МКЭ, так и КРМ представлены на рис. 2. Сравнение этих данных показывает, что согласие результатов КРМ для крупной сетки с расчетами МКЭ гораздо лучше по сравнению с результатами КРМ для мелкой сетки. Некоторые количественные отличия между ними можно объяснить различием использованных расчетных сеток (как по размерности, так и по геометрии элементов), и как следствие, разным описанием формы включения, а также очевидным различием в вычислительных методах. Качественные отличия в распределениях пластических деформаций для моделирования КРМ с мелкой сеткой, по сравнению как с моделированием КРМ на крупной сетке, так и с расчетами МКЭ, свидетельствуют о важности точности описания формы включения. Хотя его влияние существенно сказывается только вблизи границы раздела “включение - матрица”, оно может значительно изменить расположение областей с максимальными напряжениями и полос локализованной деформации, а это может привести к значительному изменению общего напряженно-деформированного состояния и его эволюции.
Следующие расчеты были проведены с учетом разных факторов Шмида для разных зерен в матрице. Учет пластической анизотропии (или, точнее, пластической неоднородности) пластичной матрицы приводит к перераспределению пластической деформации. Результаты расчетов, представленные на рис. 3, показывают, что
0.0513
0.0479
Рис. 2. Распределение эффективных эквивалентных пластических деформаций в случае изотропной матрицы и плоского деформированного состояния: моделирование методом конечных элементов (а); моделирование конечно-разностным методом на крупной сетке(б); моделирование конечно-разностным методом на мелкой сетке (в)
полосы сдвига отмечаются не только вблизи упрочняющей частицы, но также и внутри более мягких зерен, расположение полос при этом согласуется с направлением максимальных касательных напряжений. В то же время, ввиду того, что различие в свойствах между двумя фазами гораздо больше, чем между зернами, влияние включения является определяющим для всей картины деформации. Самое большое отличие наблюдается в области большего градиента (перепада) прочностных свойств. Именно в мягких зернах 9, 10, 11, окружающих самое прочное зерно 12 и отмечается образование дополнительных полос сдвига. Между остальными зернами различие факторов Шмида меньше и распределение деформаций не сильно отличается от варианта с однородной матрицей. Распределения, полученные моделированием МКЭ и КРМ на крупной сетке, снова похожи.
Распределение скоростей поворотов и сдвигов на рис. 4, полученное при моделировании КРМ, показывает, что экстремальные значения скоростей поворотов соответствуют большей локализации пластической деформации. Как отмечалось ранее в работе [14], анализ распределения скоростей поворотов позволяет выявить области локализации еще до того, как они проявляются
0.0644
0.0601
0.0558
0.0515
0.0472
0.0429
0.0386
0.0344
0.0301
0.0258
0.0215
0.0172
0.0129
0.0086
0.0043
0.0000
Рис. 3. Распределение эффективных эквивалентных пластических деформаций в случае различных факторов Шмида для разных зерен в матрице и плоского деформированного состояния: моделирование методом конечных элементов (а); моделирование конечно-разностным методом на крупной сетке (б)
в картинах пластический деформаций. Наклон полос сдвига вправо соответствует положительным поворотам и наоборот.
4.2. Плоское напряженное состояние
Для плоского напряженного состояния было выполнено моделирование только конечно-разностным методом. Расчеты показали, что картины деформаций изменяются как для случая изотропной матрицы, так и в случае разных факторов Шмида для разных зерен в матрице. Результаты расчетов представлены на рис. 5. Видно, что локализация деформации имеет место в основном около угловых точек включения, расположенных вдоль оси нагружения. Для случая анизотропной матрицы в более мягком зерне, близко расположенном к левому углу упрочняющего включения, наблюдается большая локализация деформаций. Полосы локализованной деформации в области сильного градиента прочностных свойств и нижней угловой точки включения выражены гораздо слабее.
В случае плоского напряженного состояния возможно проанализировать изменение толщины образца, рас-
п
считанной по формуле h = ^ ехр
где Н0 —
начальная толщина образца. Это распределение в форме трехмерной поверхности показано на рис. 6. Ясно видно, что пластические деформации сконцентрированы в мягких зернах и достигают максимальных значений вблизи одной из угловых точек включения.
toz Х104 8xy Х104
Рис. 4. Изолинии скоростей поворотов (а) и скоростей сдвигов (б) при моделировании конечно-разностным методом
5. Выводы
Проведен численный анализ распределений пластических деформаций в пластичной матрице металлокерамического композита, основанный на двух численных методах. Показано, что описание формы включений расчетной сеткой играет критическую роль в распределении пластических деформаций вблизи включения.
Рис. 6. Распределение толщины образца для плоского напряженного состояния и с учетом различных факторов Шмида для разных зерен в матрице
Для одинаковых (геометрически схожих) сеток моделирования метод конечных элементов и конечно-разностный метод дают похожие результаты. Учет поликристал-лической структуры матрицы в простой форме различных факторов Шмида для разных зерен и изотропного упрочнения приводит к перераспределению пластических деформаций в полосы локализованной деформации в мягких зернах, соседствующих с наиболее прочным зерном. Анализ разных представлений выходных данных в виде скоростей поворотов и сдвигов, а также толщины образца для случая плоской деформации позволяет выявить тонкие особенности развития напряженно-деформированного состояния.
0.0461 0.0613
0.0430 0.0572
0.0399 0.0531
0.0369 55555: 0.0490
0.0338 0.0450
0.0307 i 0.0409
0.0276 » 0.0368
0.0246 81 0.0327
0.0215 III 0.0286
0.0184 ■ 0.0245
0.0154 — 0.0204
0.0123 0.0163
0.0092 0.0123
0.0061 0.0082
0.0031 0.0041
0.0000 ШШ 0.0000
Рис. 5. Изолинии эффективной пластической деформации для плоского напряженного состояния в случае изотропной матрицы (а) и с учетом разных факторов Шмида для разных зерен в матрице (б)
Благодарности
Первый автор выражает благодарность Немецкой службе академических обменов (БААБ) за финансовую поддержку его пребывания и проведения исследований в течение 3 месяцев в г. Штутгарте, Германия.
Литература
1. Soppa E., Schmauder S., Fischer G. Numerical and experimental investigations of the influence of particle alignment on shear band formation in Al/SiC // Proc. of the 19th Risrn Int. Symp. on Materials Science “Modelling of structure and mechanics of materials from microscale to product” / Ed. by J.V. Carstensen, T. Leffers, T. Lorentzen, O.B. Pedersen, B.F. Srnrensen, G. Winther. - Risrn National Laboratory, Roskilde, Denmark, 1998. - P. 499-504.
2. Fischer G., Soppa E., Schmauder S., Liu Y.-L. Modelling of strain localization in real microstructural areas of the particle reinforced me-tal-matrix composite Al6061-10%Al2O3 // Proc. of the 19th Risrn Int. Symp. on Materials Science “Modelling of structure and mechanics of materials from microscale to product” / Ed. by J.V. Carstensen, T. Leffers, T. Lorentzen, O.B. Pedersemn, B.F. Srnrensen, G. Winther. -Risrn National Laboratory, Roskilde, Denmark, 1998. - P. 499-5 04.
3. Xu D., Schmauder S., Soppa E. Influence of geometry factors on the mechanical behavior of particle- and fiber-reinforced composites // Computational Materials Science. - 1999. - V. 15. - P. 295-301.
4. Fundamentals of metal-matrix composites / Ed. by Subra Suresh. -Boston: Butterworth-Heinemann, 1993. - 342 p.
5. Mechanics of materials with intrinsic length scale: physics, experiments, modelling and applications // Proc. of the 2nd European conference EUROMECH - MECAMAT’97, 23-26 February 1998, Magdeburg, Germany / Ed. by A. Bertram, S. Forest, F. Sidoroff. - Les Ulis: Editions de Physique, 1998. - 420 p.
6. Computer simulation in materials science: nano/meso/macroscopic space & time scales / Ed. by O. Helmut. - Kirchner-Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1996. - 603 p.
7. Asaro R.J. Micromechanics of crystals and polycrystals // Advances in
Appl. Mech. / Ed. by J.W. Hutchinson. - New York: Academic Press. -1983. - V. 23. - P. 1-115.
8. McHugh P.E., Asaro R.J., Shih C.F. Crystal plasticity models // Fundamentals of Metal Matrix Composites / Ed. by S. Suresh. - Boston: Butherworth-Heinman, 1993. - P. 139-157.
9. Harder J. Simulation lokaler Fliepvorgange in Polykristallen // Braun-
schweiger Schriften zur Mechanik. - Mechanik-Zentrum, Technische Universitat Braunschweig. - 1997. - V. 28. - 181 p.
10. LARSTRAN User’s Manual. - Leinfelden-Echterdingen: LASSO Ingenieurgesellschaft, 1994.
11. Steinkopff Th., Sautter M. Simulating the elasto-plastic behavior of multiphase materials by advanced finite element technique // Computational Materials Science. - 1995. - V. 4. - P. 10-14.
12. Уилкинс М.Л. Расчет упруго-пластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике / Под ред. Б.Олдера, С. Фернба-ха, М. Ротенберга. - М.: Мир, 1967. - С. 212-263.
13. PATRAN Exercise Workbook. - Costa Mesa, PDA Engineering, Software Products Division,1994.
14. Makarov P.V., Smolin I.Y., Prokopinsky I.P. Localized plastic strain in polycrystalline materials with hole and notches // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. - 1998. - V. 29. - P. 11-20.
