CC BY
49
УДК 539.3, 539.214
Численное исследование деформационных процессов на поверхности и в объеме трехмерных поликристаллов
В.А. Романова, P.P. Балохонов
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
В работе численно анализируются деформационные процессы на мезоуровне в трехмерных поликристаллах в условиях растяжения. Трехмерные модели поликристаллических структур сгенерированы методом пошагового заполнения. Упругопластический отклик зерен описывается с учетом соотношения Холла-Петча, деформационного упрочнения и упругой анизотропии на мезоуровне. Методом численного эксперимента исследованы процессы зарождения и развития пластических сдвигов на поверхности и в объеме поликристаллических образцов. Анализируется роль свободной поверхности и межзеренных границ в развитии деформационных процессов на мезоуровне.
Ключевые слова: численное моделирование, поликристаллическая структура, трехмерная модель, пластическая деформация
Numerical investigation of deformation processes on the surface and in the bulk of 3D polycrystals
V.A. Romanova and R.R. Balokhonov
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
The paper is concerned with the numerical analysis of deformation processes at the mesolevel in 3D polycrystals in tension. Threedimensional models of polycrystalline structures are generated by a step-by-step packing method. The elastoplastic response of grains is described with regard to the Hall-Petch relation, strain hardening and elastic anisotropy at the mesolevel. Based on numerical experiments the generation and propagation of plastic shear on the surface and in the bulk is examined. The role of the free surface and grain boundaries in the deformation development at the mesolevel is analyzed.
Keywords: numerical simulation, polycrystalline structure, 3D model, plastic deformation
1. Введение
Последние десятилетия в механике и физике твердого тела большое внимание уделяется изучению неоднородного развития деформационных процессов на разных масштабных уровнях. Экспериментальные и теоретические исследования [1-7] показывают, что для адекватного описания деформации сложноорганизованных сред необходимо разрабатывать иерархические модели, позволяющие учесть взаимосвязь физических процессов на разных масштабных уровнях.
Одним из возможных подходов к многоуровневому моделированию является учет в моделях внутренней структуры материала в явном виде через зависимость
физико-механических свойств (плотности, предела текучести, модулей упругости и др.) от координат. На уровне численной реализации в точках дискретизированной расчетной области, принадлежащих различным структурным элементам, задаются соответствующие физико-механические свойства. Дискретизация расчетной сеткой осуществляется таким образом, чтобы поверхности раздела совпадали с узлами расчетной сетки. Тогда уравнения континуальной механики могут применяться таким же образом, как и для однородной среды, но определяющие соотношения и/или механические свойства по разные стороны от границы раздела будут различными. В качестве структурных элементов могут
© Романова В.А., Балохонов P.P., 2009
выступать зерна поликристалла и межзеренные границы, армирующие включения и матрица в композитах, поры, покрытия и т.д.
Первоначально подобный подход был применен к задачам двумерного моделирования, где процедура введения в расчеты структуры достаточно проста. Для этого двумерное металлографическое изображение реального материала графически обрабатывается с тем, чтобы выделить значимые элементы структуры. Полученная карта дискретизируется расчетной сеткой с заданной степенью подробности, и каждому элементу структуры, состоящему из совокупности ячеек одного типа, ставятся в соответствие определенные физикомеханические свойства. Для полученной расчетной области решается задача в постановке плоской деформации или плоского напряженного состояния. В работах [7-9] проведены расчеты механического поведения различных структурно-неоднородных материалов (поли-кристаллические сплавы, металлокерамические композиты, материалы с покрытиями и др.), исследованы процессы деформации и разрушения на мезоуровне, включая локализацию пластической деформации, возникновение концентрации напряжений, развитие вихревых движений и поворотных мод деформации, зарождение и развитие трещин.
В работах [10-15] подход к моделированию поведения структурно-неоднородных материалов с явным учетом внутренней структуры был распространен на трехмерный случай. В трехмерном случае процедура явного учета неоднородностей предполагает наличие информации о структурном строении каждого слоя образца. Экспериментальные методы, позволяющие получить серию послойных изображений реальных структур, достаточно сложны и дорогостоящи. Альтернативой является моделирование трехмерных структур, близких к реальным по геометрическим характеристикам.
В [10, 11] предложен метод генерации трехмерных структур, основанный на пошаговом заполнении дискретизированного объема структурными элементами в соответствии с определенными геометрическими законами. С помощью этого метода в работах [10-15] сгенерированы структуры различных материалов, включая поликристаллические металлы, двухфазные композиты с различной геометрией включений, пористые керамики, уголь, и проведены трехмерные расчеты поведения этих материалов в различных условиях нагружения.
В настоящей работе метод трехмерного моделирования с явным учетом внутренней структуры применен для исследования деформационных процессов на мезо-уровне в поликристаллических алюминиевых сплавах в условиях квазистатического растяжения. Модель упругопластического отклика зерен строится с учетом зернограничного и деформационного упрочнения. Методом численного эксперимента исследуются процессы
зарождения и развития пластических сдвигов на поверхности и в объеме поликристаллических образцов. Анализируется роль свободной поверхности и межзеренных границ в развитии деформационных процессов на мезо-уровне.
2. Генерация трехмерных поликристаллических структур
Трехмерные поликристаллические структуры сгенерированы методом пошагового заполнения, предложенным в [10], в соответствии со следующим алгоритмом. Прямоугольный объем дискретизировался регулярной расчетной сеткой с кубическими ячейками. В процессе процедуры заполнения каждой ячейке присваивается индекс, отражающий ее принадлежность к определенному зерну. В качестве начальных условий всем ячейкам присваивается нулевой индекс. Затем с помощью генератора случайных чисел выбираются Ng ячеек — центров зарождения зерен, для которых задаются ненулевые индивидуальные индексы от 1 до Ng. Такая процедура позволяет избежать формирования вытянутых кристаллитов в результате коалесценции нескольких зерен.
Предполагалось, что рост всех зерен подчиняется сферическому закону и происходит с одинаковой скоростью. На каждом и-м шаге генерации для всех зерен задавалось приращение радиуса Я" = Я"-1 + Агі, і = = 1,..., Ng. Затем путем последовательного перебора для всех ячеек с нулевым индексом проверялось условие
(Х} - Хі)2 + % - Yi)2 + - Zi)2 < Я2, (1)
где X^, Yj, Zj и Хг, — координаты j-й ячейки с
нулевым индексом и і-го зерна соответственно. В случае выполнения условия (1) j-я ячейка присоединяется к і-му зерну, то есть ее индекс становится равным индексу зерна. Критерием окончания процедуры заполнения является отсутствие в рассматриваемой области ячеек с нулевым индексом.
Поликристаллическая структура из 500 зерен, сгенерированная по изложенному алгоритму на сетке 150 х 100 х 150, приведена на рис. 1. Несмотря на то, что все зерна росли с одинаковой скоростью в соответствии со сферическим законом, форма и размеры отдельных кристаллитов отличаются между собой, что является результатом неоднородного распределения центров зарождения по объему.
Для четырех структур, сгенерированных при одинаковых начальных условиях (размер сетки — 150 х 100 х х 150, количество зерен — 500), был проведен статистический анализ. Частотное распределение зерен по размеру приведено на рис. 2. Зерна, выходящие на поверхность, из анализа исключались. Поскольку начальные условия генерации всех четырех структур были одинаковыми, количественная разница в распределениях в пределах 5-10 % обусловлена процедурой слу-
И
Рис. 1. Модель поликристалла, содержащего 500 зерен (а), и соответствующее частотное распределение зерен по размерам (б)
чайного разброса центров зарождения в объеме образца. Качественно все полученные кривые характеризуются несимметрией и соответствуют логарифмически нормальным распределениям. По данным экспериментальных и теоретических работ [16-18] подобное распределение характерно для многих поликристаллических материалов.
3. Математическое описание упругопластического поведения модельных поликристаллических образцов
Так как процесс пластической деформации предполагает сохранение сплошности среды на мезо- и макроуровнях, для описания упругопластического поведения сред со структурой применялся математический аппарат механики сплошных сред. Система уравнений, описывающая динамическое поведение среды в пространственном случае, включает уравнения движения, неразрывности и определяющие соотношения, задающие связь между напряжениями и деформациями. Математическая постановка трехмерной задачи приведена
в [12, 19]. Остановимся более подробно на описании упругопластического отклика поликристаллов, выбранных для исследования.
Тензор напряжений выражается в виде суммы шаровой и девиаторной части:
&ї =- Р8, + . (2)
Давление Р определялось по линейному закону:
Р = -к& к
(3)
а компоненты девиатора напряжений задавались соотношениями
Рис. 2. Частотное распределение зерен по размерам для четырех модельных структур из 500 зерен. Различными символами обозначены данные для разных структур
(4)
Здесь Еу — компоненты тензора полных деформаций; ц и К — модули сдвига и объемного сжатия; X = 0 для упругого материала и X > 0 при пластическом течении; 8у — символ Кронекера, точка над символом обозначает производную по времени.
Для исследования были выбраны материалы, существенно отличающиеся пластическими свойствами. Первый материал, по механическим характеристикам соответствующий мягкому алюминиевому сплаву А11100 [20], характеризовался низким пределом текучести (1-2 МПа) и ярко выраженным деформационным упрочнением (рис. 3, б). Упругие и пластические свойства второго материала соответствовали дисперсно-упрочненному сплаву А16061-Т3 [21], который демонстрирует упругое поведение до нагрузок порядка 100 МПа и умеренное деформационное упрочнение на стадии пластического течения (рис. 3, а). (Отметим, что эффекты прерывистой текучести, характерные для алюминиевых сплавов А16061 [21-23], в данном случае не учитывались.)
Зерна отличались друг от друга упругими и пластическими свойствами. Переход локальных объемов материала из упругого состояния в пластическое определялся критерием текучести Мизеса с учетом изотропного упрочнения:
сте, -~2л]БуБу = ст0>
(5)
где ст0 — макроскопический предел текучести.
Характеристики течения индивидуальных зерен определялись их размерами и накопленной пластической деформацией. Зависимость напряжений течения от размера зерна определялась в соответствии с известной зависимостью Холла-Петча:
ст0 - + ку
В1 ,
(6)
где ст., — предел текучести монокристалла алюминия; ку — коэффициент зеренного упрочнения; В1 — диаметр i-го зерна. В рамках численной реализации диаметр зерна рассчитывался как диаметр сферы такого же объема. Из уравнения объема сферы
V1 = ы^ь3 =П 6В )3 (7)
диаметр В может быть выражен как
В1 = 3вГ/п = h 3б ыЦп, (8)
где V1 — объем г-го зерна; Ыс — число расчетных ячеек, приходящихся на зерно; h — шаг расчетной сетки.
Поскольку алюминиевые сплавы, характеризующиеся ГЦК-решеткой, имеют 12 систем скольжения, напряжение пластического течения в зерне слабо зависит от его кристаллографической ориентации по отношению к приложенной нагрузке. Пределы текучести монокристаллов алюминия в зависимости от их ориентации отличаются в пределах 3 МПа, что является незначительным по сравнению с разницей в напряжениях течения, обусловленной размером кристаллитов. Поэтому фактор Шмида в моделях не учитывался, а величина пределов текучести различных зерен полностью определяется их размерами.
Деформационное упрочнение учитывалось через зависимости напряжений течения от накопленной пластической деформации, полученные аппроксимацией экспериментальных кривых нагружения сплавов А16061-Т3 [21] и А11100 [20]. Для г-го зерна А16061 эта зависимость имеет вид:
СТо = ст0 + 65(1 - ехр(-е£,/0.048)) [МПа], (9)
где ст0 — напряжение течения; ер, — интенсивность накопленной пластической деформации; стг0 — начальный предел текучести, полученный из соотношения (6).
Для сплава А11100 аналогичная зависимость для г-го зерна задавалась в виде:
( ( „р
То = 223.2ст0
1- 0.99ехр
0.03648
[МПа]. (10)
/у
Макроскопически поведение поликристаллических материалов достаточно хорошо описывается моделями изотропной упругости. Действительно, совокупность зерен, имеющих различную кристаллографическую ориентацию, при осреднении обеспечивает одинаковую упругую реакцию поликристалла во всех направлениях. Поэтому во многих работах, посвященных моделированию упругопластического поведения поликристалли-ческих металлов и сплавов, разница упругих модулей зерен не учитывалась. При описании отклика поликрис-таллических металлов на мезоуровне различие в упругих характеристиках зерен, различным образом ориентированных по отношению к нагрузке, также часто не учитывается, поскольку упругая деформация, как правило, незначительна по сравнению с возможной пластической деформацией. Между тем, различие упругих модулей контактирующих зерен может быть существенным фактором, влияющим на зарождение пластических сдвигов, поскольку это вызывает концентрацию напряжений вблизи границы раздела.
В настоящей работе различие упругих свойств поли-кристаллических материалов на мезоуровне учитывалось путем случайного разброса модулей упругости между зернами в пределах 5 % относительно среднего значения. Таким образом, внутри зерна упругие характеристики остаются постоянными, но меняются при переходе через межзеренную границу. В соответствии со шкалой оттенков, использованной для изображения по-ликристаллического конгломерата на рис. 1, чем темнее зерно, тем выше его упругие модули.
120
80
■ 40
[ | а
Относительный размер зерна = 2
280 зерен
" 500 зерен
Относительный размер зерна = 1
280 зерен
500 зерен
0.0
1.0 2.0 Удлинение, %
3.0
120
80
■ 40 ■
б
/ Относительный размер
зерна =2
280 зерен
/у 500 зерен
/уГ Относительный размер
Лг зерна = 1
280 зерен
0.0
1.0 2.0 Удлинение, %
3.0
Рис. 3. Кривые нагружения поликристаллических модельных структур А16061-Т3 (а) и А11100 (б) с различным количеством и размером зерен
Таблица 1
Механические свойства алюминиевых сплавов [20, 21]
Характеристика А16061-Т3 А11100
|Л, ГПа 27.7 27.7
К, ГПа 72.8 72.8
, МПа 5.0 0.1
ку, МПа - мкм1/2 875.0 10000
Механические свойства исследуемых материалов приведены в табл. 1.
Динамическая задача в трехмерной постановке решалась численно методом конечных разностей [19, 24]. Использованная конечно-разностная схема типа «крест» второго порядка точности для описания упругопластических течений в средах с внутренними границами подробно приводится и обсуждается в [19, 24]. Не останавливаясь на особенностях разностной аппроксимации, отметим только, что координаты и скорости вычислялись в узлах, а компоненты тензоров напряжений и деформаций, давление и плотности — в ячейках. Меж-зеренные границы проходят по узлам сетки, и между соседними зернами предполагается наличие идеального механического контакта.
4. Анализ результатов расчетов
Серия расчетов проводилась для поликристаллов, содержащих 500 и 280 зерен, в условиях активного растяжения (рис. 1 и 4). Общая для всех рассмотренных случаев схема нагружения приведена на рис. 1, а. На двух противоположных поверхностях задавались постоянные скорости смещений вдоль оси Х1, тогда как остальные четыре поверхности считались свободными от нагрузки.
Для тестирования модели, учитывающей влияние размера зерна на отклик материала, были проведены расчеты для структуры, содержащей 500 зерен
(рис. 1, а), на сетках с шагом 5 и 10 мкм. Таким образом, сравнивались поликристаллические структуры, одинаковые по форме и механическим свойствам, но отличающиеся по размерам. Можно предположить, что выбранная структура является представительной, поскольку распределение зерен по размерам (рис. 1, б) соответствует экспериментально наблюдаемым зависимостям. Осредненные кривые нагружения для А16061-Т3 и А11100 (рис. 3), полученные для структур с разным размером зерна, подтверждают это предположение. Макроскопический отклик поликристаллов с крупным и более мелким средним размером зерна соответствует зависимости Холла-Петча, заложенной в (6), (9), (10).
Численное решение трехмерных задач механики сред со структурой требует больших вычислительных ресурсов, включая расчетное время и требования к емкости оперативной памяти. По этой причине часть расчетов проводилась для поликристаллического образца, содержащего 280 зерен (рис. 4, а), на сетке 96х75х92. Структура, приведенная на рис. 4, а, «вырезалась» из представительного объема (рис. 1, а). С макроскопической точки зрения этот образец не является представительным — распределение зерен по размерам не соответствует логарифмически нормальному закону, характерному для экспериментальных материалов [16-18]. Осредненный отклик такого поликристалла демонстрирует заметное отклонение от макроскопической кривой нагружения поликристаллического агрегата из 500 зерен (рис. 3). Однако в рамках исследования процессов на мезоуровне выбранная структура позволяет получить информацию о локальных характеристиках напряженно-деформированного состояния.
Некоторые результаты расчетов для поликристаллов А16061-Т3 и А11100, содержащих 280 зерен, приведены на рис. 6-9. Для обоих сплавов кривые нагружения поликристаллов с более крупным размером зерна демонстрируют более низкий уровень напряжений в соответствии с используемыми моделями (рис. 3).
Рис. 4. Модель поликристалла, содержащего 280 зерен (а), и соответствующее частотное распределение зерен по размерам (б)
Рис. 5. Интенсивность пластических деформаций на поверхности поликристаллов А11100 (а) и А16061-Т3 (б) при растяжении до 0.5 %
Картины пластической деформации в поликристаллах А11100 и А16061-Т3 при одной и той же степени макроскопического удлинения существенно отличаются друг от друга (рис. 5). В мягком алюминии локализация пластической деформации и концентрация напряжений менее выражены, чем в А16061. Тем не менее, можно
отметить ряд общих тенденций, характерных для обоих материалов.
В соответствии с используемыми моделями на стадии упругой деформации сплавы демонстрируют одинаковое напряженное состояние на мезоуровне. Это означает, что первые пластические сдвиги возникнут в одних
Г
, А
Рис. 6. Интенсивности напряжений и пластических деформаций на поверхности (а) и в среднем сечении (б) поликристалла А11100
и тех же локальных областях, хотя и при разном уровне напряжений. Послойный анализ на упругой стадии нагружения показал, что заданное отличие упругих модулей отдельных кристаллитов в пределах 5 % вызывает незначительную концентрацию напряжений вблизи межзеренных границ по сравнению со средним уровнем напряжений. Однако даже небольшое повышение уровня локальных напряжений в приграничных областях является причиной зарождения здесь пластических сдвигов. Наиболее благоприятные условия для зарождения пластических сдвигов в объеме реализуются в окрестности тройных стыков зерен и вблизи границ, выходящих на поверхность. Концентрация напряжений в этих областях тем больше, чем больше разница упругих характеристик контактирующих кристаллитов.
На упругой стадии нагружения поверхностные и внутренние сечения образца не проявляют видимых
отличий в распределениях напряжений и деформаций. Все сечения демонстрируют одинаковый средний уровень напряжений, а отличия в локальных величинах напряжений и деформаций в различных сечениях обусловлены только величиной упругих модулей зерен, но не местоположением сечений в образце. Однако с началом пластического течения поверхность начинает играть специфическую роль. Расчеты показывают, что с появлением первых пластических сдвигов напряжения и деформации на поверхности начинают расти быстрее, чем в объеме. Причем это касается как среднего уровня напряжений и пластических деформаций, так и экстремальных локальных значений в областях локализации. На рис. 6 в качестве иллюстрации приведены картины интенсивностей напряжений и пластических деформаций на поверхности и в среднем сечении А11100. Напряженно-деформированные состояния в объеме и на по-
Рис. 7. Средние (а) и максимальные значения (б) интенсивности напряжений в сечениях (Х2Х3), перпендикулярных оси растяжения. Сечения, расположенные в пределах 50 мкм от поверхностей нагружения, исключены из анализа
(Бед). %
°ер
1.5-
1.0-
р
1.5
ртах 0/ ед і /о
1.0 -
<4>- %
4.0
3.5-
3.0
Удлинение образца 1 %
рр
р тах 0 Ьед , >
Рис. 8. Средние (а) и максимальные значения (б) интенсивности пластической деформации в сечениях (Х2Х3), перпендикулярных оси растяжения. Сечения, расположенные в пределах 50 мкм от поверхностей нагружения, исключены из анализа
верхности демонстрируют очевидную разницу в локальных величинах.
Приведем более общие оценки средних и максимальных значений напряжений и пластических деформаций по всему образцу, за исключением областей, расположенных в пределах 50 мкм от поверхностей нагружения. Вдоль каждой линии, параллельной оси растяжения и проходящей через точки с одинаковыми координатами Х2, Х3, найдем средние и максимальные значения интенсивностей напряжений и пластических деформаций и построим соответствующие поверхности (рис. 7, 8). Внешние контуры графиков на рис. 7, 8 соответствуют свободным поверхностям образца. Приведенные зависимости показывают, что ни в одной из внутренних областей образца локальные величины интенсивностей напряжений и деформаций не превышают соответствующих значений вблизи поверхностей.
На упругой стадии нагружения средние и максимальные значения интенсивности напряжений распределены квазиравномерно по всему образцу (рис. 7). На стадии пластического течения средние и максимальные значения интенсивности напряжений в приповерхностных областях (вдоль внешнего контура приведенных графиков) становятся выше соответствующих значений в объеме. Причем эта разница нелинейно увеличивается по мере развития пластического течения.
Аналогичный вывод можно сделать в отношении пластических деформаций (рис. 8). Хотя средний уровень интенсивности пластических деформаций на поверхности и в объеме практически одинаков, интенсив-
ность пластических деформаций в областях локализации на поверхности по мере развития пластического течения нелинейно растет по сравнению с локализованной деформацией в объеме. На начальной стадии пластического течения сдвиги, зародившиеся вблизи межзе-ренных границ в объеме образца, не распространяются в зерна, а начинают развиваться лишь на более поздней стадии нагружения, тогда как пластическое течение на поверхности нелинейно прогрессирует. Развитие локализованной пластической деформации на поверхности образца приводит к деформационному упрочнению, что, в свою очередь, ведет к повышению уровня напряжений.
Анализ тензоров напряжений и пластических деформаций показал, что основной вклад в напряженно-деформированное состояние и в объеме, и на поверхности образца вносят компоненты стп и ер1 вдоль оси растяжения. Средние значения остальных компонент тензоров напряжений и деформаций близки к нулю, что соответствует макроскопическим условиям одноосного растяжения. Однако в локальных областях все компоненты тензоров напряжений и деформаций принимают ненулевые значения, причем на поверхности эти значения больше, чем в объеме.
Более детально процессы зарождения и развития пластических сдвигов на начальной стадии пластического течения исследовались на примере конгломерата из десяти зерен А16061-Т3 на сетке 100х100х100 (рис. 9). Рассматриваемый объем не является представительным с макроскопической точки зрения, но позво-
0 X,
Рис. 9. Модельный поликристалл из 10 зерен
ляет исследовать процессы зарождения и развития пластических сдвигов с более высоким временным и пространственным разрешением по сравнению с приведенными выше примерами.
Для учета зарождения и распространения микро-пластических сдвигов в модельном поликристалле из 10 зерен использовался двупредельный критерий упругопластического перехода [25], основанный на экспериментальных данных о дислокационной природе микро-пластической деформации. В работах [26-29] было показано, что дислокации, изначально присутствующие в объеме материала, как правило, являются неподвижными. Для раскрепления существующих дислокаций или зарождения новых дефектов, способных обеспечить пластическое течение, необходим более высокий уровень напряжений, чем тот, при котором происходит последующее распространение дислокационных потоков. Здесь может быть проведена аналогия с процессами трения — для начала относительного движения тел в парах трения необходимо преодолеть силу трения покоя — разорвать связи сцепления поверхностей, приложив определенную силу, после чего относительное движение тел может происходить при существенно меньшем уровне нагрузки. Подобная модель поведения заложена в основу локального двупредельного критерия пластичности, предложенного в [25].
За основу был принят критерий текучести (5), согласно которому переход из упругого в пластическое состояние происходит при достижении вторым инвариантом тензора напряжений критического значения — предела текучести. В модели, предложенной в [25], вводятся два критических значения: более высокий предел ст( задается для инициирования пластического течения в упругодеформированном материале и более низкий ст'0 — для материала, вовлеченного в пластическую деформацию. Таким образом, двупредельный критерий пластичности может быть записан в виде:
°еЧ =■
при ерч = при ерч >
(11)
Согласно (11), как только локальная область материала переходит из упругого состояния в пластическое, в ней наблюдается скачкообразное падение напряжения течения и последующая пластическая деформация происходит при более низком уровне напряжений.
Механические константы зерен соответствуют цветовой шкале следующим образом (рис. 9): чем темнее зерно, тем ниже упругие модули и предел текучести. Функция, описывающая деформационное упрочнение, задавалась в виде (9).
На рис. 10-12 проиллюстрированы некоторые результаты расчетов. На упругой стадии нагружения неоднородное напряженно-деформированное состояние обусловлено различием упругих модулей контактирующих зерен. Межзеренные границы являются источниками концентрации напряжений, причем максимальный уровень напряжений возникает вблизи тройных стыков зерен с существенно различными упругими свойствами (рис. 10, б). Эти области являются источниками зарождения первых пластических сдвигов в объеме поликристалла (рис. 11). Еще одним источником концентрации напряжений и, как следствие, зарождения пластической деформации являются геометрические концентраторы более крупного масштаба — угловые точки и ребра образца (рис. 12).
Рис. 10. Внутреннее сечение, в котором зародились первые пластические сдвиги (а), и интенсивность напряжений в нем на упругой стадии нагружения (б)
Рис. 11. Локализация пластической деформации (а) и поля скоростей (б) во внутреннем сечении поликристалла из 10 зерен при разных степенях растяжения
Рассмотрим эволюцию пластического течения в объеме (рис. 11) и на поверхности поликристалла (рис. 12). По мере увеличения нагрузки пластические сдвиги, зародившиеся на границах, начинают распространяться
в объем зерен в виде локализованных полос. В упругоде-формированном материале перед пластическим фронтом возникает вихревое движение, необходимое для аккомодации упругопластической деформации сосед-
Рис. 12. Локализация пластической деформации (а) и поля скоростей (б) на поверхности поликристалла при разных степенях растяжения
них областей. Причем аккомодационные сдвиги и повороты проходят через межзеренные границы, захватывая целые фрагменты поликристалла. На последнем этапе растяжения в рассмотренном диапазоне (рис. 11, 12) формируется сетка полос локализованного сдвига по сопряженным направлениям, обеспечивающая дальнейшее деформирование. На этом основная аккомодация структуры заканчивается — зерна разбиваются на фрагменты, которые в процессе дальнейшего деформирования сдвигаются друг относительно друга как целое.
5. Заключение
В настоящей работе для описания механического поведения поликристаллических сплавов была построена многоуровневая модель, учитывающая механизмы деформации микроуровня через феноменологические зависимости, процессы мезоуровня путем явного введения зеренной структуры и макроскопическую реакцию материала через осреднение характеристик напряженно-деформированного состояния по образцу. Трехмерная постановка задачи позволила рассмотреть свободную поверхность образца в явном виде и исследовать эффекты пластического течения, связанные с влиянием поверхности.
Показано, что пластические сдвиги зарождаются на межзеренных границах, которые являются источниками концентрации напряжений на мезоуровне. Наибольший уровень напряжений наблюдается вблизи тройных стыков зерен с существенно различными механическими характеристиками и вблизи границ, выходящих на поверхность. Степень неоднородности (локализации) напряженно-деформированного состояния на свободных поверхностях образца проявляется существенно сильнее, чем в объеме, и эта разница увеличивается по мере развития пластического течения.
Полученные результаты расчетов согласуются с экспериментальными выводами о роли поверхности и меж-зеренных границ в процессах пластического течения [1, 2, 26-31]. Особая роль поверхности материала в процессе нагружения экспериментально исследовалась в работах [1, 2, 31]. В [2, 31] показано, что первичное пластическое течение развивается именно на поверхности нагруженного материала. Согласно данным микроскопических исследований [26-29] первоначально начинают работать источники дислокаций на границах зерен, выходящих на поверхность кристалла, а затем (по мере повышения приложенного напряжения) активируются источники на границах, все более удаленных от поверхности. Для поликристаллов установлено, что источниками дислокаций являются границы зерен: скольжение обычно зарождается в местах пересечения границ, на изгибах границ, уступах или ступеньках на большеугловых границах.
В рамках методологии физической мезомеханики [1, 2] поверхностные слои и внутренние границы раздела в твердом теле рассматриваются как самостоятельные подсистемы мезоуровня. В работах [1, 2] отмечается, что внутренние границы раздела являются специфическими структурными элементами мезоуровня и источниками концентрации напряжений и зарождения пластических сдвигов в объеме материала. Однако особая роль в развитии пластического течения все же принадлежит поверхности.
Работа выполнена в рамках государственной научной программы РАН, интеграционного проекта СО РАН № 90 и проекта РФФИ № 06-01-00592а.
Литература
1. Панин В.Е., Гриняев Ю.В. Физическая мезомеханика — новая парадигма на стыке физики и механики деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - С. 9-36.
2. Поверхностные слои и внутренние границы раздела в гетерогенных материалах / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006. - 520 с.
3. Садовский М.А., Голубева Т.В., Писаренко В.Ф., Шнирман М.Г. Характерные размеры горной породы и иерархические свойства сейсмичности // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1984. - № 2. -С. 3-15.
4. Яновский Ю.Г., Згаевский В.Э. Иерархическое моделирование механического поведения и свойств гетерогенных сред // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 3. - С. 63-72.
5. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и неко-
торые нелинейные проблемы пластичности и разрушения // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - С. 45-72.
6. Куропатенко В. Ф. Мезомеханика однокомпонентных и многоком-
понентных материалов // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 3. -С. 49-56.
7. Makarov P.V., Schmauder S., Cherepanov O.I. et al. Simulation of elastic-plastic deformation and fracture of materials at micro-, meso-and macrolevels // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2001. - V. 37. - No. 13. - P. 183-244.
8. Балохонов P.P., Романова В.А. Иерархическое моделирование деформации и разрушения композита Al/Al.203 // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2005. - Т. 11. - № 4. -С. 549-563.
9. Балохонов P.P., Романова В.А. Эффект сложной геометрии границы
раздела при иерархическом моделировании деформации и разрушения материалов с покрытиями // Деформация и разрушение материалов. - 2007. - № 5. - С. 12-19.
10. Romanova V, Balokhonov R., Makarov P., Schmauder S., Soppa E. Simulation of elasto-plastic behavior of an artificial 3D-structure under dynamic loading // Comp. Mater. Sci. - 2003. - V. 28. - P. 518528.
11. Pоманова В.А., Балохонов P.P., Карпенко Н.И. Моделирование механического поведения материалов с учетом трехмерной внутренней структуры // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - № 2. - С. 7179.
12. Pоманова В.А., Балохонов P.P. Исследование напряженно-деформированного состояния в мезообъеме Al/Al2O3 с учетом трехмерной внутренней структуры // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2005. - № 11. - C. 61-77.
13. Pоманова В.А. Исследование деформационных процессов на поверхности и в объеме материалов с внутренними границами раздела методами численного моделирования // Физ. мезомех. -2005. - Т. 8. - № 3. - C. 63-78.
14. Romanova V, Balokhonov R., Makarov P. Three-dimensional simulation of fracture behavior of elastic-brittle material with initial crack pattern // Int. J. Fract. - 2006. - V. 139. - No. 3-4. - P. 537-544.
15. Pоманова В.А., Балохонов P.P. 3D-анализ напряженного состояния пористой керамики на основе диоксида циркония на начальной стадии сжатия // Физ. мезомех. - 2007. - T. 10. - № 2. -P. 63-67.
16. Matsuura K., Itoh Y., Ohmi T, Ishii K. Evaluation of grain shape distribution in polycrystalline materials // Mater. Trans JIM. - 1994. -V. 35. - No. 4. - P. 247-253.
17. Krill III C.E., Chen L.-Q. Computer simulation of 3-D grain growth using a phase-field model // Acta Mater. - 2002. - V. 50. - No. 12. -P. 3059-3075.
18. Gross D., Li M. Constructing microstructures of poly- and nanocrystalline materials for numerical modeling and simulation // Appl. Phys. Letters. - 2002. - V. 80. - No. 5. - P. 746-748.
19. Wilkins M. Computer simulation of dynamic phenomena. - Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1999. - 265 p.
20. Франц P., Дафи Дж. Динамическая кривая напряжение-деформация при кручении для алюминия 1100-0 в случае резкого увеличения скорости деформации // Механика. - 1972. - № 4. - С. 140160.
21. Soppa E., Schmauder S., Fischer G. etal. Influence of the microstructure on the deformation behaviour of metal-matrix composites // Comput. Mater. Sci. - 1999. - V. 16. - No. 1-4. - P. 323-332.
22. Aluminum. Properties and physical metallurgy / Ed. by J.E. Hatch. -Metals Park, Ohio: ASM, 1984. - 424 p.
23. Дерюгин Е.Е., Панин В.Е., Шмаудер З., Стороженко И.В. Эффекты локализации деформации в композитах на основе Al с включениями А^03 // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 3. - С. 35^7.
24. Puхтмайер P., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. - М.: Мир, 1972. - 420 с.
25. Pоманова В.А., Балохонов P.P. Модель зарождения и развития макролокализации пластической деформации на основе двупредельного критерия пластичности // Деформация и разрушение материалов. - 2007. - № 12. - С. 2-12.
26. ДударевЕ.Ф. Микропластическая деформация и предел текучести поликристаллов. - Томск: Изд-во ТГУ, 1988. - 256 с.
27. Орлов Л.Г. О зарождении дислокаций на внешних и внутренних поверхностях кристаллов // ФТТ. - 1967. - Т. 9. - № 8. - C. 23452349.
28. Бенгус В.З. Скорость размножения и источники дислокаций // Динамика дислокаций. - Киев: Наукова думка, 1975. - C. 135-332.
29. Кайбыгшев О.А., Валиев P.3. Границы зерен и свойства металлов. -М.: Металлургия, 1987. - 214 с.
30. Zhang J., Jiang Y. Luders bands propagation of 1045 steel under multiaxial stress state // Int. J. Plasticity. - 2005. - V. 21. - No. 3. -P. 651-670.
31. Алехин В.П. Физика прочности и пластичности поверхностных слоев материалов. - М.: Наука, 1983. - 280 с.
Поступила в редакцию 28.07.2008 г., после переработки 16.02.2009 г.
Сведения об авторах
Романова Варвара Александровна, к.ф.-м.н., старший научный сотрудник ИФПМ СО РАН, [email protected] Балохонов Руслан Ревович, к.ф.-м.н., старший научный сотрудник ИФПМ СО РАН, [email protected]
