CC BY
17
Самаров Е. К. Samarov E. K.
кандидат технических наук,
декан факультета инфокоммуникационных систем и технологий, ГБОУ ВО Московской области «Технологический университет», г. Королев Московской области, Российская Федерация
DOI: 10.17122/1999-5458-2020-16-1-69-72
ДВУМЕРНОЕ ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАБОРА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ПОДАВЛЕНИЯ ШУМА В ЦИФРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЯХ
Программно-аппаратная обработка цифровых изображений — это сложный технологический процесс, состоящий из нескольких этапов. Одним из основных этапов является шумоподавление, причем оно необходимо не только в цифровой обработке изображений, но и во многих других важных разделах современной компьютерной науки. Шумоподавление позволяет улучшить качество визуальной информации, уменьшить влияние артефактов в цифровых изображениях, усилить возможности распознавания образов и интерпретации проведенных измерений, а также просто увеличить количество полезных свойств фотоснимков, полученных из регистрирующих устройств. Кроме перечисленных направлений модуляция шума в цифровых изображениях используется для сокращения объема цифровых изображений с целью обеспечения оптимизации их хранения и передачи по линиям связи, включая Интернет. При этом в прикладных задачах, как правило, допускается определенный уровень потери качества, который компенсируется выгодами от такой оптимизации, например, за счет возможности оперирования большими массивами цифровых изображений. Целый класс направлений современной компьютерной науки вообще не может рассматриваться в отрыве от такого подхода. В первую очередь - это работа с космическими снимками, медицинскими изображениями и практически любые задачи картографии. Все это обуславливает необходимость разработки и применения высокоэффективных алгоритмов подавления шума при обработке цифровых изображений.
Статья посвящена синтезу алгоритма подавления шума при обработке цифровых изображений, основанному на построении специального пространственного линейного фильтра. Предлагаемый в статье фильтр базируется на двумерном дискретном преобразовании Габора, которое применяется к числовым матрицам, моделирующим цифровые фотоснимки. Для полноты изложения статья включает описание двумерного непрерывного преобразования Габора, его двумерный дискретный вариант и общую схему шумоподавления, базирующуюся на нем.
Статья имеет практическую направленность. Приведенная в статье схема линейной фильтрации позволяет эффективно осуществлять шумоподавление в цифровых изображениях. Предложенный алгоритм не привязан к какому-либо конкретному стандарту цифровых изображений и может успешно применяться как для распространенного стандарта JPEG, к которому относится большинство снимков в Интернете, так и для более сложных и продвинутых форматов ICER и JPEG 2000, ориентированных в основном на космические изображения, медицинские изображения, а также на научно-технические и технологические фотоснимки большого объема.
Ключевые слова: непрерывное преобразование Габора, линейные отображения, двумерное преобразование Фурье, двумерное дискретное преобразование Габора, числовые матрицы, подавление шума, пространственный линейный фильтр, цифровые изображения, цифровая обработка изображений, цифровая фильтрация.
УДК 004.932
TWO-DIMENSIONAL DISCRETE GABOR TRANSFORMATION AND ITS APPLICATION TO NOISE SUPPRESSION IN DIGITAL IMAGES
Hardware and software processing of digital images is a complex technological process consisting of several stages. One of the main stages is noise suppression and this process is necessary not only in digital image processing but also in many other important fields of modern computer science. Noise suppression allows you to improve the quality of visual information, to reduce the influence of artifacts in digital images, to increase the possibilities of pattern recognition and interpretation of the measurements as well as simply to increase the number of useful properties of the images obtained from the registered devices. In addition to these areas noise modulation in digital images is used to reduce the volume of digital images in order to optimize their storage and transmission over communication lines including Internet. At the same time in applied problems as a rule a certain level of quality loss is allowed which is compensated by the benefits of such optimization for example due to the possibility of operating large arrays of digital images. A whole class of areas in modern computer science cannot be considered in isolation from such approach. First it is space image processing, medical image processing and almost any task of cartography. Thus that it is very important to develop and apply highly effective noise suppression algorithms for digital image processing.
The article is devoted to the synthesis of noise suppression algorithm in digital image processing based on the design of a special spatial linear filter. The filter is based on the two-dimensional discrete Gabor transformation which is applied to numerical matrices modeling digital photographs. For completeness the article includes the description of the two-dimensional continuous Gabor transformation, its two-dimensional discrete version and general noise reduction scheme based on it.
The article has a practical orientation. The scheme of linear filtering presented in the article allows to make effective noise suppression for digital images. The proposed algorithm is not tied to any specific standard of digital images and can be successfully applied both for the widespread JPEG standard, which includes most of the images in the Internet, and for more complex and advanced formats ICER and JPEG 2000 focused mainly on images for space, medical as well as scientific, technical and technological photographs of large volume.
Key words: continuous Gabor transformation, linear mappings, two-dimensional Fourier transformation, two-dimensional discrete Gabor transformation, numerical matrixes, noise suppression, spatial linear filter, digital images, digital image processing, digital filtration.
Двумерное непрерывное преобразование Габора
Введем следующие обозначения: а, Ь2 — вещественные числа, заключенные в пределах
0 < а < со, -00 <Ьг< +оо,
—00 < ь2 < +оо; х,ш,Ь — двумерные векторы
х = (х1,х2), (О = (й)1( (02),
Ь = (Ь!,Ь2); йх, с1й>, йЬ — дифференциалы
йх = йх1йх2, с1й> = с?о)1йа)2, йЪ = МгйЬ2; (ш ■ х) = а)!*! + а>2*2 — скалярное произведение в пространстве М2; _ 2
(х-ь) = (*! - Ъ{)2 + (х2 - Ъ2)2 — скалярный квадрат в П&2.
Двумерным непрерывным преобразованием Габора [1] называют линейное отображение пространства вещественных функций двух вещественных переменных Е,2(М2), которое ставит в соответствие каждой функции f(x) е И,2 (М2) функцию (саь/)(й)), зависящую от трех числовых параметров а, Ьъ Ъ2 и задаваемую формулой
1 Г V- (*-Ь)2
= 1Т-\ Пх)е~Ки>х)-^-(1х. (1)
Если формулу (1) переписать в виде (Са,Б/)(й) =
= [ те-1^да(х-Ь)с1х, (2)
где символом да(х) обозначена функция Гаусса в двумерном случае
ЗаМ =
4 па
е 4 а,
(3)
то из формул (2) и (3) будет следовать, что преобразование Габора (1) является оконным (взвешенным) двумерным преобразованием Фурье [2] с окном (весовой функцией) Гаусса.
Для преобразования Габора справедливы равенство Парсеваля [3]
/
■/ш
(/(*)) йх = и формула обращения
А*) = ¿/^Кь/)*
х(а>)е т^да{х - В) атъ.
Двумерное дискретное преобразование
Габора
Рассмотрим числовую матрицу йпт, имеющую строк и Х2 столбцов, элементы которой проиндексированы числами
П = О,1.....Х1-1,
т = О,1,...,Х2-1.
Будем считать, что эта матрица является моделью цифрового фотоснимка [4], и на её примере определим дискретное двумерное преобразование Габора. В отличие от непрерывного двумерного преобразования Габора, определяемого для функций из пространства ^2(^2) по формуле (1), двумерное дискретное преобразование Габора определяется для матриц, и в случае матрицы б.пт обозначается 0Г 5 и вычисляется по формуле
Хг-1 Х2-1
п = V V (( шп-т
/ _ / д "-71,771 "Г,5 '
(4)
71=0 771=0
где
2 и Ч2\
+ "
V Х7
Г = 0,1.....Х1-1, 5 = 0,1.....Х2-1.
Обратное дискретное двумерное преобразование Габора определяется по формуле
Х1-1Х2-1
(5)
г=0 5=0
где
Равенство Парсеваля [5] в дискретном двумерном случае имеет вид
Х1-1Х2-1
Х±-1 Х2-1
1(7) Г=0 5=0 71=0 771=0
Схема шумоподавления
Будем считать выполненными следующие положения:
— фотоснимок (1пт, исходное изображение спт и шум (помеха) ¿п,т моделируются числовыми матрицами типа (4), компоненты которых суть случайные величины;
— фотофиксация происходит в соответствии со структурной схемой
— компоненты матриц спт и ¿П7П являются некоррелированными случайными величинами;
— компоненты матрицы Ьп,т имеют нулевое среднее значение.
Шумоподавление будем осуществлять при помощи пространственного линейного фильтра [6], а именно, матрицы Мпдп, доставляющей минимум величины
Х1-1Х2-1
^ ^(ип,т-сп,т)2- (8)
71=0 771=0
Из равенства Парсеваля (7) вытекает, что двойная сумма (8) равна двойной сумме
Х1-1Х2-1
X £ " Сг,5)\ (9)
г=о Ж=0
где символами Игз и СГ5 обозначены дискретные двумерные преобразования Габора матриц и-пт и сп т соответственно. Если дискретное двумерное преобразование Габора матрицы обозначить /г,ж, то будет справедливо равенство
Яг,5 = Сг,5 + 1Г,5- (10)
Для того, чтобы найти минимум величины (9), совершим замену переменного
иг§ (11)
где ТГ !! - числовая матрица. Тогда, воспользовавшись формулой (10), из (11) получаем соотношение
и =т С +Т I
следствием которого является равенство
^Г^Г^' (12)
С помощью формулы (12) величина (9) преобразуется к виду Х1-1Х2-1
X X " ^+■ (13)
Г=0 5=0
В силу некоррелированности шума и исходного изображения формула (13) принимает вид Х1-1Х2-1
X X ((^ " ^Сг'5)2 + (ГгЛ,*)2).(14)
Г=0 Ж=0
откуда вытекает, что минимум величины (14) достигается на такой матрице ТГ5, каждая компонента которой реализует минимум величины
2
((Гг,5 - 1)СЛ5) + (ТГ,Л,5)2- (15)
Переписывая формулу (15) в виде квадратного трехчлена относительно ТГ5
^Г.Б^Г.Б 1г,з) ~ 2ТГ 5СГ 5 + СГ 5, (16)
получаем, что минимум величины (16) в зависимости от Тг в достигается при
С2
J, _ Lr,s
Cr с I /г ç
dn,r,
(17)
-r,s 1 *r,s
Из формулы (17) c помощью формул (5) и (6) получаем матрицу
Х1-1Х2-1 1 V1 X"1 Cr,sDr,s vn,m
i-m Х,Х2 L L c2s + Iis ^ '
r=0 s=0
которая и является искомым отфильтрованным цифровым изображением. Вывод
Приведена схема линейной фильтрации для эффективного осуществления шумоподавления в цифровых изображениях.
Список литературы
1. Чуи К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001. 412 с.
2. Привалов И.И. Ряды Фурье. М.: Еди-ториал УРСС, 2018. 168 с.
3. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. М.: Солон-пресс, 2010. 400 с.
4. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. М.: Техносфера, 2012. 1104 с.
5. Самаров Е.К. Исследование и разработка многоканального анализатора качества электроэнергии повышенной точности: дисс. ... канд.. канд. техн. наук. Черкизово МО: ГОУ ВПО «Московский государственный университет сервиса», 2006. 144 с.
6. Артюшенко В.М., Самаров Е.К. Применение алгоритма фильтрации Калмана-Бьюси в задачах анализа качества электроэнергии // Электротехнические и информационные комплексы и системы. 2006. Т. 2. № 1. С. 17-23.
References
1. Chui K. Vvedeniye v veyvlety [Introduction to Wavelets]. Moscow, Mir Publ., 2001. 412 p. [in Russian].
2. Privalov I.I. Ryady Fur'ye [Fourier Series]. Moscow, Editorial URSS Publ., 2018. 168 p. [in Russian].
3. D'yakonov V.P. Veyvlety. Ot teorii k praktike [Wavelets. From Theory to Practice]. Moscow, Solon-press Publ., 2010. 400 p. [in Russian].
4. Gonsales R., Vuds R. Tsifrovaya obra-botka izobrazheniy [Digital Image Processing]. Moscow, Tekhnosfera Publ., 2012. 1104 p. [in Russian].
5. Samarov Ye.K. Issledovaniye i razra-botka mnogokanal'nogo analizatora kachestva elektroenergiipovyshennoy tochnosti: diss. ... kand.. kand. tekhn. nauk [Research and Development for the Multichannel Analyzer of the Electric Power Quality with the Increased Accuracy. Cand. Engin. Sci. Diss.]. Cherkizovo MO, GOU VPO «Moskovskiy gosudarstvennyy universitet servisa», 2006. 144 p. [in Russian].
6. Artyushenko V.M., Samarov Ye.K. Pri-meneniye algoritma fil'tratsii Kalmana-B'yusi v zadachakh analiza kachestva elektroenergii [Application of Kalman-Bucy Filtration Algorithm in Problems of Power Quality Analysis]. Elektrotekhnicheskiye i informatsionnyye kom-pleksy i sistemy — Electrotechnical and Information Complexes and Systems, 2006, Vol. 2, No. 1, pp. 17-23. [in Russian].
