CC BY
19
УДК 539.145
A.M. Ишханян1'2, В. П. Крайнее3
1Российско-Армянский университет, Ереван, Армения 2 Томский политехнический университет, Томск 3 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Двумерная и трехмерная упрощенная модель Изинга
Рассмотрены двумерная и трехмерная модель Изинга в предположении, что в кристаллической решетке имеется только один квадрат или соответственно только один куб. На концах этих структур добавлены надлежащие условия периодичности. Рассчитаны теплоемкость и намагниченность структуры. Показано, что даже при таком упрощении модели все результаты близки к тем, что получаются при компьютерных решениях систем из большого числа квадратов и кубов.
Ключевые слова: модель Изинга, теплоемкость, намагниченность, ферромагнетизм.
A.M. Ishkhanyan1'2, V. P. Krainoif3
1 Russian-Armenian University
2 Tomsk Polytechnic University 3Moscow Institute of Physics and Technology
Two- and three-dimensional simplified Ising model
We consider the two- and three-dimensional Ising model assuming that only one square or one cube is contained in the crystal lattice. The periodical conditions are added at the ends of these structures. The heat capacity and magnetization are derived. The conclusion is that the analytical results of this simplified model are similar to cumbersome computer solutions of systems consisting of a large number of squares and cubes.
Key words: Ising model, heat capacity, magnetization, ferromagnetism.
1. Введение
Модель Изинга fl] является попыткой отразить структуру реального ферромагнитного металла. Главное ее достоинство заключается в том, что двумерная модель Изинга является первой моделью, в которой фазовый переход был исследован аналитически точно. Это позволило сравнить данные эксперимента и результаты приближенных решений с точно полученными результатами. Рассматриваемая система представляет собой систему магнитных атомов, расположенных на кристаллической решетке, с учетом взаимодействия только ближайших соседей. Размерность пространства может быть различной: 1 (цепочки) [2], 2 или 3. Взаимодействие V(i,j) носит магнитный характер и упрощено до предела:
{ — J&i&j, если inj— ближайшие соседи, /.. ч
v (l,J) "I 0, если inj не являются ближайшими соседями. V )
Здесь aj - спиновая переменная. В простейшем случае = ±1. Это значит, что спин каждого атома в решетке равен 1/2. Из уравнения Дирака следует, что короткодействующая часть взаимодействия между спинами двух одинаковых ферми-частиц (электронов) представляет собой притяжение при одинаковом направлении спинов и отталкивание при
Ишханян А. М., Крайнов В. П., 2019
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2019
противоположном направлении спинов. Это означает, что амплитуда взаимодействия 3 положительна. Совокупность значений всех спинов решетки назовем конфигурацией или состоянием системы. Поскольку каждый спин может принимать только два значения (вверх или вниз), мы получаем 2м различных конфигураций для системы N частиц.
Такая модель Изинга описывает идеализированную физическую систему - ферромагнетик. Решетка модели соответствует кристаллической решетке магнетика, спины изображают магнитные моменты атомов кристалла. При нулевой температуре минимум энергии соответствует тому, что все спины направлены в одну сторону, что приводит к возникновению спонтанного ненулевого магнитного момента всего кристалла. При большой температуре магнитный момент исчезает из-за тепловых флуктуаций спинов. Вопрос теории состоит в том, убывает ли с ростом температуры магнитный момент до нуля плавно или же скачком при определенной температуре температуре фазового перехода. Используя математический аппарат статистической физики, можно найти связи между макроскопическими величинами, характеризующими систему, прежде всего зависимость теплоемкости от температуры. Если взять конечное значение числа частиц N ^ 1 в системе, никаких особенностей в модели Изинга не возникает, поскольку статистическая сумма является аналитической функцией температуры. Таким образом, никаких фазовых переходов при конечном числе частиц не происходит. Особенности могут появиться только при переходе к термодинамическому пределу бесконечного числа частиц. Спин-спиновая энергия системы N атомов в узлах решетки согласно (1) записывается в виде
Е = -3 ^^. (2)
Суммирование ведется по всем парам соседних узлов. Каждая связь при этом считается один раз.
2. Квадратная решетка
Рассмотрим в этом разделе модель Изинга на квадратной решетке. Статистическая сумма описывается общим выражением
2 = ^ ехр
М
х
^ аг(Гу +
%3
г,к
Ог<?к
(3)
где первая сумма в скобках берется по всем горизонтальным соседним связям (строкам) (г, ]), а вторая - по всем вертикальным соседним связям (столбцам) ( г ,к)~, внешнее суммирование выполняется по всем конфигурациям спинов. Обозначено х = 3/Т. Пусть п -число строк и столбцов в решетке. Мы рассматриваем простейший случай п = 2 (один квадрат с четырьмя атомами). Он изображен на рис. 1. Добавлены еще сверху и справа по два атома, чтобы обеспечить периодические граничные условия: тогда третий столбец совпадает с первым, а третья строка совпадает с первой. Согласно (3) для этого случая четырех атомов статистическая сумма имеет вид
2 = ^2 X] ехр [2х (<71<72 + 0103 + 020-4 + 0304)]
а"1=±1 а"2 = ±1 <Г3=±1 <Г4 = ±1
(4)
Показатель экспоненты содержит четыре слагаемых. Сумма вычисляется элементарно:
2 = 4ео8И(8х) + 12. (5)
Теплоемкость такой системы равна
^ (ТЫг) - 64х2 (1+ 3еовЬ(8х)) ¿Т2 ( П )= (еовИ (8х) + 3)2
^ = -Т^2 (Т 1п2) = ЛЛТ ДГ" . (6)
Рис. 1. Квадратная решетка из 4 атомов и добавленных на концах атомов
Зависимость этой теплоемкости от х = З/Т изображена иа рис. 2. Видно, что она обращается в нуль при низких и высоких температурах и имеет достаточно резкий максимум при определенной температуре. Из рис. 2 видно, что теплоемкость имеет максимум при значении х = 3/Т « 0.42, что довольно близко к известному точному критическому значению 0.4407, при котором теплоемкость логарифмически обращается в бесконечность [1].
Рис. 2. Зависимость теплоемкости системы, изображенной на рис. 1, от величины х = J/T согласно (6)
3. Трехмерная решетка Изинга
Теперь обратимся к аналогичному рассмотрению трехмерной решетки Изинга. Простейшая решетка из одного куба с добавленными граничными условиями для обеспечения периодичности показана на рис. 3. Согласно (3) статистическая сумма в этом случае имеет вид, показатель экспоненты которой содержит 12 слагаемых:
* = ££££££££ - m
ai =±1 О 2 =±1 =±1 = ±1 <3 5 =±1 <J<6 = ±1 <J7 = ±1 <J8 = ±1 X exp [2x (^1G2 + 0"1 (У3 + &2(У4 + (У3(У4)] .
Она элементарно вычисляется с помощью стандартной программы MAPLE:
Z = 4 {cosh (24х) + 8 cosh (12х) + 15 cosh (8х) + 24 cosh (4х) + 16} . (8)
Теплоемкость такой системы рассчитывается автоматически также с помощью MAPLE:
С
384ж2
(9)
cosh (24ж) + 8 cosh (12ж) + 15 cosh (8ж) + 24 cosh (4ж) + 16
х
х 40 cosh (8ж) + 87 + 48cosh(12^) + 16cosh(4^) + 24cosh(24^) + +75 cosh(8^) cosh(4^) + 80cosh(12^) cosh(4^) + 65cosh(12^) cosh(8^) + +37cosh(4^) cosh(24^) + 25cosh(8^) cosh(24^) - 12sinh(4^) sinh(24^) --15 sinh(8^) sinh(24^) - 60 sinh(8^) sinh(4^) - 12 sinh(12^) sinh(24^) --48 sinh(12^) sinh(4^) - 60 sinh(12^) sinh(8^) + 15 cosh(12^) cosh(24^)} .
Зависимость этой теплоемкости от ж = 3/Т изображена на рис. 4. Видно, что она обращается в нуль при низких и высоких температурах и имеет достаточно резкий максимум при определенной температуре. Из рис. 4 видно, что теплоемкость имеет максимум при значении 3/Т ж 0.28. При численном счете для большого числа кубических решеток получается значение [3] 3/Т ~ 0.221, которое не слишком сильно отличается от приведенного выше значения для одного куба.
4. Намагниченность в квадратной решетке Изинга
Рассмотрим модель Изинга на квадратной решетке. Рассмотрим снова простейший случай: один квадрат с четырьмя атомами. Он изображен на рис. 1. Добавлены еще сверху и справа по два атома, чтобы обеспечить периодические граничные условия: тогда третий столбец совпадает с первым, а третья строка совпадает с первой.
Для этого случая (всего 8 атомов) статистическая сумма в присутствии постоянного магнитного поля с напряженностью Н имеет вид (обобщение формулы (4)):
% = ^2 ^2 ^2 ехр [2х + оз + &204 + ^э) + Ь (ах + и^ + из + аэ)].
а\ =±1 42 =±1 <У3, =±1 44 =±1
Здесь введены безразмерные величины х = 3/Т] Ь = 2^Н/Т. Сумма (10) вычисляется
* 5
* 6
2
Рис. 3. Кубическая решетка из 8 атомов и добавленных на концах атомов
(10)
элементарно:
Z = 2 cosh(4L) exp(8^) + 8cosh(2L) + 2exp(-8^) + 4.
(И)
Свободная энергия равна
Р = -Т 1П {2cosh(4L) exp(8ж) + 8cosh(2L) + 2exp(-8ж) + 4} .
Намагниченность равна:
(12)
Рис. 4. Зависимость теплоемкости системы, изображенной на рис. 3, от величины х = 3/Т согласно (9)
М =
дР дН
~Т~дЬ'
Подставляя (12) в (13), находим
втЬ(4£) ехр(8ж) + 2 этИ^Ь)
М = 8^-
(13)
(14)
совИ(4Ь) ехр(8ж) + 4 созЬ(2£) + ехр(-8ж) + 2'
В слабом магнитном поле Ь ^ 1 из (14) получим линейную зависимость (т.е. постоянную магнитную восприимчивость):
М =
ехр(8ж)+ 1
ехр(8ж)+ 3
В частности, при х ^ 1 (высокие температуры) из (15) получим
М = 8^Ь.
В противоположном пределе х ^ 1 из (15) получим
М =
В сильном магнитном поле Ь ^ 1 из (14) получим для любого значения х:
М = 8^.
(15)
(16)
(17)
(18)
Этот результат соответствует выстраиванию всех восьми атомов на рис. 1 вдоль магнитного поля. На рис. 5 представлен график зависимости обезразмеренной намагниченности М/8^ как функции согласно (6) при высокой температуре, соответствующей малому значению х = 0.025.
Численное решение для квадратной решетки с большим числом квадратов дает зависимость, близкую к изображенной на рис. 5. На рис. 6 представлен график зависимости обезразмеренной намагниченности М/8^ как функции Ь согласно (14) при низкой температуре (соответствующей большому значению х = 2), значительно меньшей критической температуры, для которой хс = 3/Тс = 0.4407.
Рис. 5. Зависимость обезразмеренной намагниченности М/8^ как функции обезразмеренного магнитного поля Ь согласно (6) при высокой температуре (х = 0.025)
I—'—I—'—I—'--'—I—'—I—•—I
-3 -2-10. 12 3
Рис. 6. Зависимость обезразмеренной намагниченности М/8^ как функции обезразмеренного магнитного поля Ь согласно (14) при низкой температуре (х = 2)
Рис. 7. Зависимость (19) обезразмеренной намагниченности М/8^ как функции обезразмеренного магнитного поля Ь согласно Оисагеру при низкой температуре (х = 2)
В этом случае спонтанная обезразмеренная намагниченность Мс/8ц, согласно Онсагеру [4] равна (рис. 7)
Она выглядит практически как прямоугольная ступенька. Видно, что рисунки незначительно отличаются друг от друга.
5. Заключение
Полученные результаты для упрощенной модели Изинга, в которой рассматривается только один квадрат или куб и учитываются периодические граничные условия, показывают, что она хорошо описывает поведение теплоемкости и намагниченности в реалистической решетке с большим числом квадратов или кубов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Армянского государственного научного комитета (грант №18RF-139), Армянского национального фонда науки и образования (грант №PS-4986), Российско-Армянского университета на средства МОИ РФ, в рамках проекта «Ведущие российские исследовательские университеты» (грант № FTI-24-2016 Томского политехнического университета), Министерства образования и науки Российской Федерации (проект № 3.873.2017/4.6) и РФФИ (грант № 18-52-05006).
Литература
1. Михайлова Ю.В.,Крайнее В.П., Зайцев Р. О. Двумерная модель Изинга (точное решение): уч.-мет. пособие. Москва : МФТИ, 2015. 48 с.
2. Белоусов Ю.М., Бурмистров С.Н., Тернов А.И. Задачи по теоретической физике. Долгопрудный : Издательский дом Интеллект, 2013. 584 с.
3. Hasenbusch М. Hasenbusch \!.. Finite size scaling study of lattice models in the three-dimensional Ising universality class // Phvs. Rev. 2010. A. 82. P. 174433.
4. Onsager L. Critical Phenomena in Alloys, Magnets and Superconductors / eds. R.E. Mills. E. Ascher and R.I. Jaffee. New York : McGraw-Hill, 1971. P. 3-12.
References
1. Mikhailova Ju.V., Krainov V.P., Zaitsev R.O. Two-dimensional Ising model (exact solution). Moscow : MIPT, 2015. 48 p.
2. Belousov Ju.M., Burmistrov S.N., Ternov A.I. Problems in theoretical physics. Dolgoprudnvv : Intellect Publishing House, 2013. 584 p.
3. Hasenbusch M. Hasenbusch M., Finite size scaling study of lattice models in the three-dimensional Ising universality class. Phvs. Rev. 2010. A. 82. P. 174433.
4. Onsager L. Critical Phenomena in Alloys, Magnets and Superconductors / eds. R.E. Mills. E. Ascher and R.I. Jaffee. New York : McGraw-Hill, 1971. P. 3-12.
(19)
Поступим в редакцию 09.01.2019
