CC BY
15
27. Маркин А.А. Вариант определяющих соотношений и постановка граничных задач при конечных упругопластических деформациях / Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М., 1988. 38 с.
28. Шоркин В.С. Особенности упругости поверхностных слоев твердых тел / Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Тула: ТулГУ, 2000. 41 с.
29. Соколова М.Ю. Термомеханические модели процессов конечного деформирования анизотропных тел / Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Тула, Изд-во ТулГУ, 2003. 32 с.
30. Христич Д.В. Идентификация анизотропных материалов и моделирование процессов конечного деформирования гипоупругих тел / Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Тула: ТулГУ, 2015. 31 с.
31. Маркин.А.А. Нелинейная теория упругости. Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. 72с.
32. Тутышкин Н.Д. и др. Комплексные задачи теории пластичности. Тула: Изд-во ТулГУ, 2001. 377 с.
33. Матченко Н.М., Трещев А.А. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов: тонкие пластины и оболочки. М., Тула: РААСН, ТулГУ, 2005. 186 с.
34. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханика упругопластического деформирования. М.: Физматлит, 2013. 319 с.
35. Бровко Г.Л. Об инерциальных системах отсчета для подсистем деформируемых тел // Вестник МГУ. Математика. Механика. 2019. № 6. С. 44-50.
36. Арнольд В.И. Математические методы в классической механике. М.: УРСС, 2003.
Бровко Георгий Леонидович, д-р физ.-мат. наук, профессор, glb@mech.math.msu.su, Россия, Москва, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет
INERTIAL FRAME SYSTEMS IN THE RATIONAL THEORY OF CLASSICAL NEWTONIAN MECHANICS
G.L. Brovko
The basic concepts and laws of classical Newtonian mechanics are presented within the framework of a rational approach. With the introduction of the concepts of a large system of bodies and the corresponding inertial reference frame, two laws of inertia are formulated and classical laws of motion are derived. The application of these laws to the mechanics of deformable bodies makes it possible to establish the necessary and sufficient conditions for the existence of an inertial reference frame for a subsystem of bodies considered as an independent large system.
Key words: continuum mechanics, rational theory, axiomatic construction, basic concepts and laws (axioms), large system of bodies, inertial reference system, subsystems of bodies.
Brovko George Leonidovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, glb@mech.math.msu.su, Russia, Moscow, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics
УДК 539.5
Б01: 10.24412/2071-6168-2023-7-15-16
ДВУХУРОВНЕВАЯ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОЛИКРИСТАЛЛА: ПРИЛОЖЕНИЕ К ОПИСАНИЮ ПРОЦЕССОВ СЛОЖНОГО НАГРУЖЕНИЯ
И.Ю. Митрополит, П.В. Трусов
В связи с реализацией в реальных процесса ОМД деформирования по произвольным траекториям деформации, исследования процессов сложного нагружения (СН) остаются весьма актуальной проблемой. Приведена краткая справка моделей, используемых для рассмотрения подобных процессов. Отмечаются преимущества многоуровневых конститутивных моделей, в частности - их универсальность. Рассмотрен вариант 2-хуровневой конститутивной модели для описания СН поликристаллических материалов. Приведены структура, математическая формулировка и алгоритм реализации модели. Приведены примеры применения модели для описания СН поликристаллического образца из стали 12ХН3А по плоским 2-хзвенным и 3-хзвенным ломаным. Для 3-хзвенных траекторий проверен постулат изотропии (в частной форме) А.А. Ильюшина.
Ключевые слова: физические теории пластичности, упруговязкопластическая модель, неупругое деформирование, сложное нагружение.
1. Введение. Для разработки технологических процессов обработки металлов и сплавов методами неупругого деформирования начиная со второй половины XX века широко используется аппарат математического моделирования. С появлением быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) для моделирования применяются теории, разрабатываемые в рамках механики деформируемого твердого тела (МДТТ), в первую очередь - теория пластичности. Для описания процессов неупругого деформирования, в том числе процессов сложного нагружения, чаще всего используются макрофеноменологические модели, в рамках которых определяющие соотношения (ОС) строятся на установлении зависимостей между параметрами макроуровня без углубления в аспекты изменения внутренней структуры материала, что приводит к необходимости проведения сложных экспериментов для каждого материала, подвергаемого обработке. В последние десятилетия многие исследователи для описания поведения сложных физико-механических объектов используют подход к построению многоуровневых
конститутивных моделей, основанный на физических теориях пластичности (ФТП). Данный подход основывается на введении внутренних переменных (ВП), которые описывают изменение структуры материала на том или ином масштабном уровне [1-3].
В настоящее время в промышленности с целью улучшения эксплуатационных свойств изделий из металлов и сплавов широко используются процессы, которые реализуют интенсивные пластические деформации (ИПД). Большинство данных процессов реализуется нагружениями по траекториям, имеющим сложную геометрию в пространстве деформаций (траектории средней и большой кривизны, траектории с изломами (двухзвенные, многозвенные) и др.) [4]. Исследование того, к каким изменениями мезо- и микроструктуры (а следовательно - физико-механических свойств металлов и сплавов и эксплуатационных характеристик изделий из них) ведет тот или иной вид траектории деформации, является на данный момент актуальной задачей, поскольку режимы сложного нагруже-ния весьма существенно влияют на физико-механические свойства материалов и рабочие характеристики изделий из них [5-10]. В промышленности на данный момент существует множество способов обработки металлов давлением: прокатка, ковка, прессование, волочение, вытяжка, многие из процессов формовки листового металла осуществляются деформированием по сложным и априори неизвестным траекториям деформации. Например, в процессе глубокой листовой вытяжки, когда материал течет из зоны фланца в полость штампа, вид деформированного состояния постепенно меняется от чистого сдвига к двухосному растяжению [11].
Существует ряд работ, в которых рассматриваются изменения структуры и свойств материалов при деформировании по траекториям со сложной внутренней геометрией. В работе [12] исследовалась взаимосвязь между упрочнением, плотностью дислокаций и зеренной структурой стали в окрестности точки излома траектории деформирования. Ряд эффектов при сложном нагружении мягких и высокопрочных сталей описали авторы работы [13]. К ним относится разупрочнение материала при реверсивном нагружении, заметно влияющее на изменение интенсивности напряжений, требуемых для деформирования заготовок из мягкой стали (для высокопрочной стали данного эффекта обнаружено не было). Двухэтапные одноосные испытания, наряду с одноосными циклическими испытаниями и двухосными испытаниями были проведены для оценки деформационного поведения сверхнизкоуглеродистого высокопрочного стального сплава в работе [14]. Экспериментальные результаты показали затухание упрочнения, эффект перекрестного упрочнения и разное сопротивление деформации при растяжении и сжатии, наблюдался эффект Баушингера. Для образцов из мягкой стали обнаружено, что при изломе траектории деформации интенсивность напряжения сначала превышает значения на кривой а-е, полученные при простом нагружении, а затем падает и приближается к исходной монотонной кривой снизу [15]. Причина такого поведения объясняется авторами образованием дислокационных скоплений, которые необходимо преодолевать на втором этапе деформирования. Исследованию поведения листовых образцов из различных сталей в условиях сложного нагружения посвящены работы [16, 17]. Работы [18, 7] посвящены изучению деформационного и латентного упрочнения поликристаллов с гранецентриро-ванной кубической (ГЦК) решеткой при деформировании по сложным траекториям нагружения при комнатной температуре. В них были предложены оценка влияния различных типов взаимодействия между 12 СС на упрочнение и новый вид коэффициентов матрицы упрочнения для ГЦК-материалов. Большой вклад в исследование процессов сложного нагружения внесли многие отечественные исследователи: Б.Д. Аннин, В.М. Жигалкин [19] В.Г. Зубчани-нов [20, 21], Р.А. Васин [22, 23].
Несмотря на большое количество работ, посвященных исследованию скалярных и векторных свойств в окрестностях точек излома траекторий деформации, физическое объяснение многих из указанных выше и некоторых других специфических эффектов, возникающих в этих окрестностях, отсутствует. К таким эффектам, относится так называемый «нырок» интенсивности напряжений (падение интенсивности напряжений в окрестности точки излома траектории деформации). Помимо «нырка» также стоит выделить эффект запаздывания векторных свойств (постепенное приближение вектора напряжений к касательной к резко изменившейся (после излома) траектории деформирования).
Создание математических моделей для описания поведения материалов в условиях неупругого деформирования различной сложности началось еще в первые десятилетия XX века. Известными исследователями в данной области были Г. Генки, Р. Мизес, Т.Г. Линь, Д. Тейлор, А. Надаи и другие. Их авторству принадлежит ряд работ [2428], в которых предложены нелинейные определяющие соотношения, связывающие девиаторы напряжений и деформаций и их производные. Модификации теории пластического течения, включающие в рассмотрение остаточные микронапряжения, которые характеризуют движения центра поверхности текучести, разрабатывались А.Ю. Ишлин-ским [29], Г. Циглером [30], Ю.Н. Работновым [31], Г. Бакхаузом [32], В.В. Новожиловым и Ю.И. Кадашевичем [33]. З. Мрузом в работе [34] была предложена многоповерхностная теория пластичности. Значительный вклад в развитие теории МДТТ и механики сплошной среды (МСС) своими работами внес Л.А. Толоконников [35]. Основными направлениями его исследований были проблемы устойчивости вязкоупругих тел, вопросы классической механики, построение ОС материалов и использование их при расчетах конструкций. Во второй половине XX века среди отечественных исследователей стала широко применяться упомянутая выше теория упругопластических процессов А.А.Ильюшина и ее модификации для траекторий различной кривизны, например, теория малых упругопластиче-ских деформаций (для простых нагружений), определяющие соотношения для траекторий в виде двухзвенных ломаных, для траекторий малой и средней кривизны.
К основным недостаткам макрофеноменологических теорий можно отнести ориентирование на установление связей между параметрами макроуровня без учета эволюции микроструктуры. Стоит отметить и то, что большинство макрофеноменологических теорий основано на экспериментах по простому (одноосному) нагружению при умеренных деформациях, тогда как теория пластичности требуется для разработчиков технологий обработки давлением, в которых деформации достигают сотен и тысяч процентов. Важной проблемой при работе со сложным нагружением является то, что в настоящий момент эксперименты на сложное нагружение ограничены трехмерными опытами (в пространствах напряжений или деформаций): нагружением продольным усилием Р, внутренним давлением р и крутящим моментом М, в так называемых Р-р-М опытах. Помимо прочего, практически отсутствуют опыты на сложное нагружение трубчатых образцов при больших деформациях - это связано с проблемой устойчивости
тонкостенных образцов, а появление неоднородости напряженно-деформированного состояния (НДС) из-за неустойчивости делает невозможным расчет напряжений и деформаций по измеряемым усилиям и геометрическим параметрам [36].
В последние десятилетия для описания процессов неупругого деформирования широко используются многоуровневые модели, основанные на физических теориях пластичности. Физические теории пластичности (ФТП) - это широкий класс теорий пластичности, в основе формулировок, определяющих соотношений (ОС), гипотез и основных положений которых лежит рассмотрение механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах, то есть масштабных уровнях, меньших уровня представительного макрообъема (ПО). Для исследования изменения состояния моно- и поликристалов вводятся внутренние переменные (ВП), описывающие состояние внутренней структуры, для которых строятся эволюционные уравнения, связывающие изменения ВП с характеристиками воздействия и физико-механическими свойствами [37]. Данной тематике посвящен широкий ряд работ как зарубежных, так и отечественных ученых [38-43, 3]. Весьма важным преимуществом моделей ФТП является то, что явное описание физических процессов, протекающих в деформируемом материале, существенно повышает универсальность данного вида моделей в сравнении с макрофеноменологическими, поскольку механизмы деформирования одинаковы для целых классов материалов. При этом модели ФТП не «привязаны» к конкретным условиям деформирования на макроуровне. Указанные обстоятельства и обусловливают выбор в рамках настоящего исследования двухуровневой упруговязкопластической модели в качестве инструмента для описания неупругого деформирования представительного объема (аналога макрообразца) металлов и сплавов.
2. Концептуальная и математическая формулировки модели. Разработанная упруговязкопластическая модель [3], которая используется для исследования эффектов сложного нагружения в настоящей работе, относится к классу статистических и включает подмодели для описания поведения материала на двух масштабных уровнях: макроуровне, на котором описывается отклик представительного макрообъема, и мезоуровне, ориентированном на рассмотрение поведения кристаллитов (зерен) в терминах переменных мезоуровня (ориентаций кристаллитов, касательных напряжений и скоростей сдвигов по системам скольжения). Модель основана на упомянутом выше подходе с введением на каждом уровне явных и неявных ВП - тензорозначных (произвольного ранга) переменных, которые описывают эволюционирующую структуру материала. Большинство соотношений конститутивной модели представляют собой тензорно-алгебраические или обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ). Принимается, что внутренние переменные однородны в пределах рассматриваемых элементов соответствующего уровня. Явные ВП входят напрямую в ОС рассматриваемого уровня, они связаны кинетическими уравнениями с неявными внутренними переменными, которые описывают структуру материала на нижележащих масштабных уровнях [36].
Представительный объем макроуровня полагается состоящим из набора зерен. К явным ВП макроуровня относятся тензоры неупругой составляющей скоростей деформаций, упругих характеристик, спина квазитвердого движения [44]. На мезоуровне явными ВП являются тензоры упругих свойств кристаллита, неупругой составляющей скорости деформации и спина кристаллита, неявными - скорости сдвигов по системам скольжения (СС), критические и действующие сдвиговые напряжения на СС.
В рамках принятой гипотезы Фойгта (о равенстве градиентов скоростей перемещений макро- и мезоуров-ня) на мезоуровень с макроуровня в качестве воздействий передаются компоненты тензора градиента скорости перемещений. Определение напряжений на макроуровне происходит осреднением по совокупности элементов мезо-уровня. Модель ориентирована на описание отклика (тензора напряжений макроуровня) ПО поликристаллического материала (аналога однородно деформируемого макрообразца) на задаваемое кинематическое воздействие л т л
L = VV , где V - оператор градиента, определенный в актуальной конфигурации, V - скорость движения материальных частиц. С учетом принятой гипотезы Фойгта мера скорости деформации на мезоуровне:
1(0 = L(t), (1)
где ВД - градиент скорости перемещений на мезоуровне. Отметим, что для обозначения «родственных» переменных на макроуровне используются прописные символы, на мезоуровне - аналогичные строчные.
В каждом элементе мезоуровня по скоростям сдвигов вычисляется неупругая составляющая меры скорости деформации 1т, после чего с использованием свойства аддитивности упругой и пластической составляющих меры скорости деформации (1 = 1е + 11П) находится скорость изменения с тензора напряжений Коши с:
сСГ ■ с + с• ю -ю• с = п (1 - 11П), (2)
где 1е и 11П - упругая и неупругая составляющие меры скорости деформации мезоуровня; сСГ - коротационная производная тензора напряжений Коши; п - 4-валентный тензор упругих характеристик кристаллита; ю - спин жесткой подвижной системы координат мезоуровня, связанной с кристаллической решеткой [44]. Жесткая подвижная (движущаяся относительно лабораторной системы координат (ЛСК)) система координат (ПСК) вводится для разложения движения деформируемых тел на квазитвердое и деформационное. Основным механизмом неупругого деформирования полагается движение краевых дислокаций. Неупругая часть меры скорости деформаций определяется по скоростям сдвигов у(к) по СС следующим соотношением (здесь и далее индексом к обозначается номер СС):
11п = £ у(кУк)П(к), (3)
к=1
где Ь(к) - единичный вектор направления скольжения (в направлении вектора Бюргерса), П(к) - нормаль к плоскости скольжения. Скорости сдвигов определяются по соотношению Хатчинсона [45]:
• (к) • Г - У 0
т(к )
(к)
тН(т(к) - тСк)). (4)
В соотношении (4) т^к) - критические напряжения сдвига на к-ой СС, по достижении которого касательными напряжениями т(к) реализуется неупругое деформирование, Н - функция Хэвисайда, у о - скорость сдвига
при равенстве касательного напряжения критическому, т - параметр скоростной чувствительности. Интегрированием соотношения (2) определяется тензор напряжения Коши мезоуровня а в каждый момент деформирования, после чего определяются касательные напряжения, действующие в каждой СС:
т - Ь(к)п(к): а. (5)
В качестве отклика представительного макрообъема выступает тензор напряжений Коши 2, определяемый в каждый момент деформирования осреднением тензора напряжений а по совокупности кристаллитов, составляющих представительный объем макроуровня.
Для описания ротации элементов мезоуровня используется модель Тейлора. Данная модель базируется на представлении спина квазитвердого вращения как разности антисимметричных частей (тензоров вихря) тензоров
полных w и пластических деформаций мезоуровня:
ш - w - wln - 2(1 - 1Т - (п(к)Ь(к) - Ь(к)п(к))). (6)
Изменение критических напряжений на СС определяется с использованием широко применяемого закона [46, 47], в котором эволюционные соотношения для изменения критических напряжений формулируются в виде функций текущих скоростей сдвигов и критических напряжений на СС [3]:
т ск) -^к(к1 )у(/),
I=1
^ - [^Ы+О - <Ы5(к/)^(/), (7)
к(1) - Ао|1- тск) / т8а^
где §(к1) - дельта Кронекера; ^о , т8а^ , а - параметры модели, параметр латентного упрочнения ^^ принимает
значение 1 для компланарных СС и 1,4 для некомпланарных.
3. Алгоритм численной реализации модели. Рассмотрим алгоритм реализации модели для расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) и изменения параметров мезоструктуры представительного макро-
л Т
объема по предписанному закону нагружения, который задается тензором L - VV как непрерывной тензорзнач-ной функции времени.
Поскольку рассматриваемые задачи являются существенно нелинейными, для их решения используется пошаговая процедура нагружения; временные интервалы определяются совокупностью моментов («срезов») времени, на каждом из которых решается задача в терминах скоростей изменения искомых параметров. Численное решение с использованием тензорных величин выше нулевого порядка возможно только в компонентах в некоторой СК.
Введем следующие обозначения: А.. - значения компонент произвольного тензора второго ранга А в базисе ЛСК,
Ч
А ■. - в базисе ПСК.
Принимается, что в исходном состоянии материал находится в естественной конфигурации. Деформации, в том числе сдвиги по системам скольжения, отсчитываются от начальной конфигурации. На начальном этапе нагружения задается ряд параметров: начальные ориентации элементов мезоуровня, кинематические воздействия в
л т
виде тензора L - VV , а также значения параметров макроуровня и мезоуровня. Ниже представлен алгоритм численной реализации нагружения. Верхним индексом обозначен номер шага по времени, размер шага интегрирования обозначим как Д1 Стоит отметить, что при решении данного рода задач возникает проблема, связанная с первым (упругим) шагом интегрирования, на котором отсутствует релаксация напряжений за счет неупругой составляющей градиента скорости перемещений, в силу чего напряжения на конец этого шага могут получиться чрезвычайно большими. Для решения данной проблемы первый шаг принят значительно меньшим по сравнению с последующими.
На первом этапе алгоритма осуществляется решение в скоростях, при этом компоненты всех тензоров определяются в базисе ПСК. На начало данного этапа считаются известными компоненты градиента скорости перемещений 1(1) (1), тензора напряжений а(п 1) (здесь и далее верхним индексом обозначается номер шага по времени), накопленные сдвиги у, критические сдвиговые напряжения т^И-1), тензора ориентации, связывающий ЛСК и
ПСК о(п 1), определенные на конец предыдущего (и-1)-го шага. В цикле по элементам определяются компоненты градиента скорости перемещений в терминах ПСК, после чего - также в цикле по элементам - вычисляются отклик
элементов мезоуровня: касательные напряжения на СС (5) по напряжениям а(п 1), скорости сдвигов у(и) (4) и
а
компоненты тензора скоростей изменения неупругих деформаций 11П (3), скорости изменения критических напряжений сдвига Т СП (7), компоненты тензора скорости изменения напряжений <г(п) (2), тензора мгновенной угловой
скорости вращения ш(п) (6). Второй этап алгоритма включает интегрирование скоростей изменения искомых параметров, определенных в терминах ПСК. В цикле по элементам мезоуровня происходит: вычисление значений внутренних переменных для элементов мезоуровня на конец шага: сдвигов, критических сдвиговых напряжений и компонент тензора напряжений:
Т(п) = тГ 1 + Т Сп)А1,
у(И ) = У(п" "1) + у(п )А1,
~( п) 5 V = ° V "1) + 5 (п)А1. и
На третьем этапе реализации алгоритма происходит переопределение ориентаций и тензоров мезоуровня по компонентам, полагаемым «вмороженными» в базисе ПСК и определенным новым ориентациям последних. Далее осуществляется определение компонент всех тензоров в базисе ЛСК, осреднение параметров мезоуровня и определение соответствующих параметров макроуровня.
4. Результаты применения модели для описания простого и сложного нагружения поликристалла. Разработанная модель была применена для описания отклика поликристаллических макрообразцов с ГЦК-решеткой, подвергаемых простому и сложному нагружению. ПО макроуровня принимался состоящим из 343 кристаллитов (зерен), ориентированных в начальный момент времени хаотично (по равномерному закону). Численные эксперименты проводились на модельных представительных объемах конструкционной легированной хромоникелевой стали 12ХН3А. Параметры модели и материала представлены в таблице.
Параметры материала и модели
Параметр Определение Значение
п1111 п1122 п1212 Независимые компоненты тензора упругих свойств 250 ГПа 140 Гпа 83 Гпа
У 0 т Параметры соотношения Хатчинсона (4) 0,003 с-1 1,33
Тс0 Начальное значения критического напряжения на СС 76 МПа
Напряжение насыщения 150 Мпа
а И0 Параметры закона упрочнения (7) 2 800 МПа
В первом численном эксперименте рассматривалось нагружение по траектории, представляющей из себя двухзвенную ломаную в двумерном подпространстве Э2 пятимерного пространства деформаций Ильюшина Э5 (рис. 1). Нагружение производилось растяжением вдоль оси Ох1 до 2% накопленной деформации, после чего происходил излом траектории нагружения на 90° и нагружение продолжалось растяжением вдоль оси Ох2 до 8%. Целью эксперимента было подтверждение способности разработанной модели описывать «нырок» интенсивности напряжений, наблюдаемый в натурных экспериментах [19, 20, 23].
Э-, %
Э',%
0 1 2 3 4 5 6 7 Рис. 1. Программа нагружения по двухзвенной ломаной в двумерном подпространстве пятимерного
пространства деформаций Ильюшина
111гтеЕ1сивностъ накопленных леформашш. %
Рис. 2. Зависимость интенсивности напряжений в образцах из стали 12ХНЗА от интенсивности накопленных деформаций при нагружении по двухзвенной траектории
Можно видеть, что модель с приемлемой точностью описывает процесс деформирования макрообразца по двухзвенной ломаной. После достижения 2% накопленных деформаций растяжения на первой стадии деформирования происходил излом траектории деформации, при котором наблюдается «нырок» интенсивности напряжений. «Нырки» можно назвать геометрическим отражением действующих процессов сложной разгрузки [21], то есть имеет место уменьшение искажений кристаллической решетки перед ее деформированием по другой моде, соответствующей следующему участку нагружения. При этом после изменения направления деформирования, кристаллическая решетка не сразу перестраивается в нужном направлении и не сразу активируются другие СС, что объясняет эффект запаздывания векторных свойств.
Приведенные выше результаты свидетельствуют об адекватности предлагаемой модели, что позволяет использовать ее для исследования более сложных процессов. Была реализована серия численных экспериментов, ориентированная на проверку постулата изотропии (в частной форме), выдвинутого А.А. Ильюшиным для начально изотропных материалов. Постулат утверждает, что в каждой точке траектории нагружения вектор напряжений функционально и непрерывно зависит только от геометрических и кинетических характеристик предшествующей траектории деформации. Следствием из этого постулата, которое имеет широкое практическое применение, является инвариантность образа процесса нагружения (ОПН) (траектории деформации и определенных в каждой ее точке векторов напряжений в совмещенном пространств деформаций и напряжений) относительно произвольных ортогональный преобразований в совмещенном пятимерном пространстве. Иначе говоря, образы процессов нагружения для процессов деформирования по траекториям деформации, имеющим одинаковую внутреннюю геометрию, совпадают при наложении. Под траекториями с одинаковой внутренней геометрией понимаются траектории, совмещаемые в каждой точке путем вращения и/или отражения в пространстве деформаций.
Для проверки данного постулата была выбрана плоская трехзвенная траектория (последовательность сдвигов в двух перпендикулярных направлениях) с углами излома 153,5° и 116,5°. На рис. 3 представлены 4 траектории нагружения в плоскости Э4Э5, полученные друг из друга вращением в данной плоскости.
Э!, %
Рис. 3. Трехзвенные траектории нагружения с одинаковой внутренней геометрией в двумерном подпространстве пятимерного пространства деформаций Ильюшина
На рис. 4. представлены зависимости интенсивностей напряжения от интенсивностей накопленных деформаций для четырех траекторий с одинаковой внутренней геометрией. Все четыре кривые подобны друг другу, максимальное отклонение составляет не более 30 Мпа, что говорит о близости откликов материала при деформировании по данным траекториям. Для каждой траектории наблюдается два «нырка» интенсивности напряжений в окрестности точек излома (2% и 6,5%); средняя глубина нырка для излома на 153,5° составила 231 Мпа, тогда как
для излома на 116,5° эта характеристика составила 128 Мпа, то есть в 1,8 раз меньше. Вероятнее всего, меньшая величина «нырка» на втором этапе объясняется большей затрудненностью разгрузки на этой стадии. Для второго «нырка» характерно и то, что, несмотря на разницу значений интенсивности напряжений между процессами 1 и 2 непосредственно перед нырком в 30 МПа, значения интенсивностей напряжений для тех же процессов в нижней точке «нырка» примерно равны (различаются на 2 Мпа).
Интенсивность накопленных деформаций, %
Рис. 4. Зависимости интенсивностей напряжений от интенсивностей накопленных деформаций для четырех траекторий с одинаковой внутренней геометрией
На рис. 5. представлены зависимости угла и между вектором напряжений и касательной к траектории деформации, полученные в результате численного моделирования нагружения по траекториям, изображенным на рис. 3.
Интенсивность накопленных деформаций, %
Рис. 5. Зависимости угла V между вектором напряжения и касательной к траектории для траекторий
с одинаковой внутренней геометрией
Как видно на рис. 5 значения углов между вектором напряжений и касательной к траектории деформации, соответствующие 2% и 6,5%, для всех четырех траекторий характеризуются резким возрастанием. В таком поведении проявляется вышеупомянутый эффект запаздывания векторных свойств (эффект «памяти»). После резкого изменения направления деформирования вектор напряжений не сразу «ложится» на траекторию, и в этот момент значение угла и резко увеличивается, после чего плавно идет уменьшается, что соответствует ниспадающим частям кривых, то есть материал постепенно «забывает» воздействие, вплоть до практически полного забывания по прошествии определенного конечного отрезка деформации после излома. Длина данного отрезка называется «следом запаздывания» [4].
Результаты, представленные на рис. 5, показывают удовлетворительное соответствие кривых между собой, то есть поведение угла и для траекторий, полученных друг из друга вращением в плоскости Э4Э5, практически идентично, что говорит о выполнении постулата изотропии (в частной форме) для процесса деформирования макрообразца из стали 12ХН3А по плоским трехзвенным ломаным.
21
5. Заключение. Приведен краткий обзор экспериментальных работ по сложному нагружению, описаны основные подходы к моделированию процессов неупругого деформирования металлов и сплавов. Рассмотрены структура и математическая формулировка двухуровневой упруговязкопластической модели для описания неупругого деформирования поликристаллического макрообразца по траекториям произвольной сложности.
В качестве примеров применения разработанной модели рассмотрено процессы сложного нагружения по двух- и трехзвенным ломаным траекториям. Результаты численного эксперимента на нагружение по двухзвенной ломаной поликристаллического образца из стали 12ХН3А показали хорошее соответствие данным натурного эксперимента. Описан «нырок» интенсивности напряжений, с удовлетворительной степенью точности описано упрочнение. Численные эксперименты на нагружение по трехзвенным ломаным были направлены на проверку постулата изотропии (в частной форме). Результаты данной серии численных экспериментов показали выполнение постулата для выбранного материала.
Благодарности. Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках реализации национального проекта «Наука и университеты» (в рамках выполнения государственного задания в лаборатории многоуровневого моделирования конструкционных и функциональных материалов, проект № FSNM-2021-0012).
Список литературы
1. Rice J.R. Inelastic constitutive relations for solids: an internal-variable theory and its application to metal plasticity // J. Mech. Phys. Solids. 1971. Vol.19. P.433 - 455. DOI: 10.1016/0022-5096(71)90010-X
2. Maugin G.A. The saga of internal variables of state in continuum thermo-mechanics (1893-2013) // Mechanics Research Communications. 2015. Vol.69. P.79 - 86. DOI: 10.1016/j.mechrescom.2015.06.00
3. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые модели моно- и поликристаллических материалов: теория, алгоритмы, примеры применения. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2019. 605 с. DOI: 10.15372/MULTILEVEL2019TPV
4. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд. АН СССР, 1963. 272 с.
5. Kuwabara T., Kuroda M., Tvergaard V., Nomura K. Use of abrupt strain path change for determining subsequent yield surface: experimental study with metal sheets //Acta materialia. 2000. V. 48. P. 2071 - 2079. https://doi.org/10.1016/S1359-6454(00)00048-3
6. Khan A.S., Kazmi R., Pandey A., Stoughton T. Evolution of subsequent yield surfaces and elastic constants with finite plastic deformation. Part-I: A very low work hardening aluminum alloy (Al6061-T6511) // International Journal of Plasticity. 2009. V. 25. P. 1611 - 1625. https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2008.07.003
7. Gerard C., Cailletaud G., Bacroix B. Modeling of latent hardening produced by complex loading paths in FCC alloys // International Journal of Plasticity. 2013. V. 42. P. 194 - 212. https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2012.10.010
8. Barlat F., Vincze G., Gracio J.J., Lee M.-G., Rauch E.F., Tome C.N. Enhancements of homogenous anisotropic hardening model and application to mild and dualphase steels // International Journal of Plasticity. 2014. V. 58. P. 201 - 218. https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2013.11.002
9. Iftikhar A., Khan A.S. The evolution of yield loci with finite plastic deformation along proportional and nonproportional loading paths in an annealed extruded AZ31 magnesium alloy // International Journal of Plasticity. 2021. V. 143. P. 103007. https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2021.103007
10. Raj A., Verma R.K., Singh P.K., Shamshoddin S., Biswas P., Narasimhan, K. Experimental and numerical investigation of differential hardening of cold rolled steel sheet under non-proportional loading using biaxial tensile test // International Journal of Plasticity. 2022. V. 154. P. 103297. https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2022.103297
11. Esche S.K., Ahmetoglu M.A., Kinzel G.L., Altan T. Numerical and experimental investigation of redrawing of sheet metals //Journal of Materials Processing Technology. 2000. V. 98. P. 17 - 24. https://doi.org/10.1016/S0924-0136(99)00301-5
12. Erinosho T.O., Cocks A.C.F., Dunne F.P.E. Coupled effects of texture, hardening and non-proportionality of strain on ductility in ferritic steel // Computational materials science. 2013. V. 80. P. 113 - 122. https://doi.org/10.1016/jxommatsci.2013.03.002
13. Yoshida F., Uemori T., Fujiwara K. Elastic-plastic behavior of steel sheets under in-plane cyclic tensioncompression at large strain //International journal of plasticity. 2002. V. 18. P. 633 - 659. https://doi.org/10.1016/S0749-6419(01)00049-3
14. Verma R.K., Kuwabara T., Chung K., Haldar A. Experimental evaluation and constitutive modeling of nonproportional deformation for asymmetric steels //International Journal of Plasticity. 2011. V. 27. P. 82 - 101. https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2010.04.002
15. Van Riel M., van den Boogaard A.H. Stress-strain responses for continuous orthogonal strain path changes with increasing sharpness // Scripta materialia. 2007. V. 57. P. 381 - 384. https://doi.org/10.1016/j.scriptamat.2007.05.005
16. Kim H., Barlat F., Lee Y., Zaman S.B., Lee C.S., Jeong Y. A crystal plasticity model for describing the aniso-tropic hardening behavior of steel sheets during strain-path changes // International journal of plasticity. 2018. V. 111. P. 85 -106. https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2018.07.010
17. Lee S.Y., Kim J.M., Kim J.H., Barlat F. Validation of homogeneous anisotropic hardening model using nonlinear strain path experiments // International Journal of Mechanical Sciences. 2020. V. 183. P. 105769. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2020.105769
18. Gerard C., Bacroix B., Bornert M., Cailletaud G., Crepin J., Leclercq S. Hardening description for FCC materials under complex loading paths // Computational Materials Science. 2009. V. 45. P. 751 - 755. https://doi.org/10.1016/jxommatsci.2008.08.027
19. Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. 342с.
20. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности: Учебн. для машиностроит. спец. вузов. М.: Высш. шк., 1990. 368 с.
21. Зубчанинов В. Г. Механика процессов пластических сред. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. 352с
22. Васин Р.А. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении // Упругость и неупругость. 1974. Вып. 1. С. 59 - 126.
23. Васин Р.А. Свойства функционалов пластичности у металлов, определяемые в экспериментах на дву-звенных траекториях деформации // В сб.: Упругость и неупругость. М.: МГУ. 1987. С.115 - 127
24. Taylor G.I., Elam C.F. The plastic extension and fracture of aluminum crystals // Proc. Roy. Soc. (London). 1925. Ser. A 108. P. 28 - 51.
25. Handelman G., Lin C.C. and Prager W. On the mechanical behavior of metals in the strain-hardening range // Quart. Appl. Math. 1947. P. 397 - 407.
26. Генки Г. К теории пластических деформаций и вызываемых ими в материале остаточных напряжений. // Теория пластичности. Сборник статей. М.: ИЛ. 1948. С. 117 - 135.
27. Мизес Р. Механика твердых тел в пластически деформированном состоянии // Теория пластичности. Сборник статей. М.: ИЛ. 1948. С. 57 - 69.
28. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: ИЛ, 1954. 648 с.
29. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Украинский математический журнал. 1954. Т. 6. С. 430 - 441.
30. Циглер Г. Видоизменение закона упрочнения, предложенного Прагером // Механика: сб. переводов. 1960. № 3. С. 35 - 95.
31. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.
32. Бакхауз Г. Анизотропия упрочнения. Теория в сопоставлении с экспериментом // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1976. №6. С. 120 - 129.
33. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. Л.: Машиностроение, 1990. 223 с.
34. Mroz Z. On the description of anisotropic work - hardening // J. Mech. Phys. Solids. 1967. V. 15, N. 3. P.
163 - 175.
35. Толоконников Л. А. Механика деформируемого твердого тела: учеб. пособие для втузов / Толоконни-ков Л. А. М.: Высш. шк., 1979. 318с.
36. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности: учебное пособие. Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехи. ун-та, 2011. 418с.36.
37. Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. 244 с.37.
38. Taylor G.I. Plastic strain in metals // J. Inst. Metals. 1938. V. 62. P. 307 - 324.
39. Bishop J.F., Hill R. A theoretical derivation of the plastic properties of a polycrystalline face-centered metal // Phil. Mag. Ser.7. 1951a. V. 42, N. 334. P. 1298 - 1307.
40. Bishop J.F., Hill R. A theory of the plastic distortion of a polycristalline aggregate under combined stresses // Phil. Mag. Ser.7. 1951b. V. 42, N. 327. P. 414 - 427.
41. Lin T.H. Analysis of elastic and plastic strains of a face-centered cubic crystal // J. Mech. Phys. Solids. 1957. V. 5, N. 1. P.143 - 149. https://doi.org/10.1016/0022-5096(57)90058-3
42. Peirce D., Asaro R.J., Needleman A. Material rate dependence and localized deformation in crystalline solids. // Acta Metallurgica. 1983. V. 31, N. 12. P. 1951 - 1976. https://doi.org/10.1016/0001-6160(83)90014-7
43. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Анализ деформирования ГЦК-металлов с использованием физической теории упругопластичности // Физическая мезомеханика. 2010. Т. 13, № 3. С. 21 - 30.
44. Трусов П.В., Швейкин А.И. О разложении движения и определяющих соотношениях в геометрически нелинейной упруговязкопластичности кристаллитов // Физическая мезомеханика. 2016. Т.19, №3. С.25-38. https://doi.org/10.24411/1683-805X-2016-00061
45. Hutchinson J. W. Bounds and self-consistent estimates for creep of polycrystalline materials // Proc.R. Soc. Lond. 1976. V. 384 (A). P. 101 - 127.
46. Bronkhorst C. A., Kalidindi S. R., Anand L. Polycrystalline plasticity and the evolution of crystallographic texture in FCC metals // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1992. V. 341. P. 443 - 477. https://doi.org/10.1098/rsta.1992.0111
47. Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Comput. Methods Appl. Mech. Energ. 2004. V. 193, N. 48. - 51. P. 5359 - 5383. https://doi.org/10.1016/jxma.2003.12.068
Митрополит Иван Юрьевич, студент магистратуры, младший научный сотрудник лаборатории многоуровневого моделирования конструкционных и функциональных материалов, mitropolit.i@yandex.ru, Россия, Пермь, Пермский национальный исследовательский политехнический университет,
Трусов Петр Валентинович, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой, tpv@matmod.pstu.ac.ru, Россия, Пермь, Пермский национальный исследовательский политехнический университет
TWO-LEVEL ELASTIC-VISCO-PLASTIC MODEL OF A POLYCRYSTAL: APPLICATION TO THE DESCRIPTION OF
COMPLEX LOADING PROCESSES
I.I. Mitripolit, P. V. Trusov
In connection with the implementation of deformation along arbitrary deformation trajectories in real forming processes, the study of complex loading (CL) processes remains a very urgent problem. A brief summary of the models used
23
to consider such processes is given. The advantages of multilevel constitutive models are noted, in particular, their universality. A variant of a 2-level constitutive model for describing the CL of polycrystalline materials is considered. The structure, mathematical formulation and algorithm for implementing the model are given. Examples are given of applying the model to describe the CL of a polycrystalline sample made of 12CN3A steel along flat 2-link and 3-link broken lines. For 3-link trajectories, the postulate of isotropy (in a particular form) by A.A. Ilyushin.
Key words: crystal plasticity, elastoviscoplastic model, inelastic deformation, complex loading
Mitropolit Ivan Iurevich, master's student, junior researcher at the Laboratory of Multilevel Modeling of Structural and Functional Materials, mitropolit.i@yandex.ru, Russia, Perm, Perm national research polytechnic university,
Trusov Peter Valentinovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of chair, tpv@matmod.pstu.ac.ru, Russia, Perm, Perm national research polytechnic university
УДК 539.3
DOI: 10.24412/2071-6168-2023-7-24-25
ВЛИЯНИЕ МИКРОПЛАСТИЧНОСТИ НА ВЕЛИЧИНУ РАЗРУШАЮЩЕГО НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНЕ С МНОЖЕСТВЕННЫМИ ОДНОНАПРАВЛЕННЫМИ ТРЕЩИНАМИ
И.К. Архипов, В.И. Абрамова
В работе рассматривается вариант модели метода самосогласования при расчете разрушающих напряжений в композите с однонаправленными трещинами. Получены зависимости для концентрации микропластических зон и разрушающих напряжений в пластине.
Ключевые слова: микропластичность, эффективная диаграмма нагружения, концентрация трещин, метод самосогласования.
В работах Л.А. Толоконникова по теории пластичности и прочности в механике деформируемого твердого тела особое место занимают проблемы механики композиционных материалов. В работах [6], [7] внимание уделено развитию статистических моделей микропластичности и прочности дисперсно-упрочненных и армированных сред со случайными механическими свойствами.
В данной работе рассматривается вариант применения метода самосогласования для определения разрушающего напряжения в пластине с множественными однонаправленными трещинами случайной длины. Распределение длин трещин принимается по показательному закону. Учитывается наличие зон микропластичности, возникающих у концов трещин из-за концентрации напряжений. Для учета влияния микропластичности однородная пластина заменяется композитом, состоящим из двух фаз: однородной упругой матрицы и пластических слоев случайной длины, примыкающих к трещинам. Взаимодействие полей напряжений между фазами учитывается с помощью метода самосогласования, применявшегося ранее в теории упругости микронеоднородных сред. В этом методе одна из фаз (пластичное включение) окружена матрицей с эффективными свойствами. В результате расчета эффективная диаграмма нагружения будет нелинейной по отношению к средним деформациям. Это позволяет учитывать влияние микропластичности на величину разрушающего напряжения в пластине в зависимости от вида нагружения и концентрации начальных трещин в материале.
1. Определение концентрации микропластических зон в пластине с множественными однонаправленными трещинами
При одностороннем растяжении тонкой пластины с множественными однонаправленными трещинами в вершинах трещин возникают пластические деформации, вызванные концентрацией напряжений. Эти деформации сосредоточены на продолжении трещин вдоль узкого слоя нулевой толщины [1], [2]. На пластической линии напряжения будут равны [1]
= °у =а5,Тху =°.
Длина пластической линии d определяется соотношением [1], [2]:
(1)
где = ол/й7 - коэффициент концентрации напряжений в вершине трещины, а - внешнее напряжение (нагрузка) в пластине, I - длина трещины, а3 - предел текучести материала пластины.
Так как длина трещины I - случайная величина, то и коэффициент К1 в (1), и длина пластической линии d - случайные величины. Принимаем распределение длин по показательному закону с плотностью распределения [3] в виде:
/(() = Ле~м, (2)
где Л= — и (I) - средняя длина начальных трещин.
Тогда из (1) и (2) получим, что среднее значение длины пластической зоны равно:
(¿) = ^Ш<11=^(1) (3)
При интегрировании в (3) учтено, что 1« X, где X - длина пластины.
В [1] и [2] указано, что отношение — <1, что подтверждено экспериментально для тонких пластин. В
этом случае ^ «0,2, где к - толщина пластины. В дальнейшем принимаем, что
(I) = 0,2к (4)
24
