Двухуровневые модели поликристаллов: приложение к анализу макроскопических эффектов сложного нагружения Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Серия: Физика Вып. 4 (22)

УДК 539.3

Двухуровневые модели поликристаллов: приложение к анализу макроскопических эффектов сложного нагружения

А. Ю. Янц, П. В. Трусов, П. С. Волегов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 614990, Пермь, Комсомольский пр-кт, 29

В работе рассматриваются вопросы, связанные с применимостью современных многоуровневых математических моделей неупругого деформирования моно- и поликристаллов, построенных на базе физических теорий пластичности, для описания экспериментально известных эффектов, возникающих при сложном нагружении. В частности, на примере двухуровневой модели неупругого деформирования поликристаллических металлов оцениваются эффекты запаздывания скалярных и векторных свойств при изломе траектории деформирования в пространстве Ильюшина, затрагивается вопрос о связи параметров законов упрочнения на мезоуровне и параметров «нырка» напряжений после излома траектории.

Ключевые слова: поликристалл, многоуровневые модели, упрочнение, образ процесса, сложное нагружение, память, запаздывание векторных свойств.

1. Введение

В современных технологиях переработки материалов процессы интенсивного пластического деформирования (ИПД) играют весьма важную роль, особенно при получении текстурированных, суб-микро- и нанокристаллических материалов, обладающих высокими рабочими характеристиками.

Разработка технологических режимов ИПД требует постановки и решения соответствующих краевых задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ). Важнейшим элементом постановки является формулировка (или выбор из имеющихся) определяющих соотношений (ОС). С позиций классической (макрофеноменологической) МДТТ используемые в процессах ИПД материалы относятся к средам с памятью [1], реакция которых на воздействия определяется предысторией нагружения, его сложностью. Для количественной оценки последней в теории пластичности широко применяются введенные А.А.Ильюшиным понятия (векторов напряжений и деформаций, траектории деформации, образа процесса нагружения) [2]. Однако ИПД относится к процессам с большими пластическими деформациями (точнее — с большими градиентами перемещений), что порождает существенные сложности построения образа процесса нагружения [3].

© Янц А. Ю., Трусов П. В., Волегов П. С., 2012

С другой стороны, в последние десятилетия чрезвычайно интенсивно развиваются подходы к построению моделей материала, создаваемые на «стыке» нелинейной МДТТ и физики твердого тела. Модели данного класса, часто называемые в отечественной литературе физическими теориями пластичности, основаны на понятии внутренних переменных — параметрах, описывающих эволюционирующую мезо- и микроструктуру поликри-сталлических материалов [4]. Как правило, модели рассматриваемого класса являются многоуровневыми; с обзором и классификацией современных многоуровневых моделей можно ознакомиться в [5]; обзор физических теорий пластичности (т. е. моделей, в основу определяющих соотношений которых положены физические механизмы неупругого деформирования на мезо- и микроуровнях) приведен в [4-6]. Общая структура и классификация соотношений конститутивных моделей с внутренними переменными приведена, например,

в [6].

Целью данной работы является исследование применимости двухуровневых моделей, основанных на физических теориях пластичности (ФТП), для описания известных из макроэкспериментов эффектов сложного нагружения и выявление физических механизмов (на мезоуровне), ответственных за эти эффекты. Для достижения поставлен-

ной цели, кроме создания двухуровневой модели, требуется решить отмеченную выше проблему построения образа процесса нагружения на макроуровне для случая больших градиентов перемещений.

2. Двухуровневая модель неупругого деформирования ГЦК-поликристаллов

Структура и алгоритмы реализации многоуровневых моделей для решения реальных краевых задач и возможности повышения эффективности вычислительных процедур подробно изложены, например, в [4], здесь остановимся только на ключевых моментах.

В данной статье используется модель, основанная на двухуровневом подходе к рассмотрению неупругого деформирования поликристаллических металлов [6,7]. В качестве верхнего уровня используется уровень представительного макрообъема материала, а под нижним подразумевается уровень отдельного кристаллита. Далее для упрощения верхний уровень (представительного макрообъема) будем называть макроуровнем, а нижний (отдельные монокристаллы с почти идеальной решеткой) - мезоуровнем. На макроуровне рассматривается представительный объем поликри-сталлического металла, состоящий из совокупности кристаллитов - элементов мезоуровня.

Конститутивная модель макроуровня представляется следующей совокупностью соотношений (здесь и далее параметры макроуровня обозначаются заглавными буквами, соответствующие параметры мезоуровня — аналогичными строчными):

(1.1)

Г = £ + ПТ ■ £ + £ ■ П = П :БЕ = П: (Б - Б111),

А = А(ю(0,П(0 , С(0 ), 1 = 1,..., N,

П = П(П(0 ,о(і) ), 1 = 1,..., N,

Бш = Бш (^, п(1) ,ю(1) ), 1 = 1,..., N,

где Е — тензор напряжений Коши; П — тензор модулей упругости; Б,Бе, Бш- тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющие, индекс «г» означает не зависящую от выбора системы отсчета производную; О — тензор, описывающий движение подвижной системы координат, относительно которой определяется собственно деформационное движение [3] на макроуровне; п(і}, о(0 ,, ю((}, о(і} — тензоры модулей упругости, напряжений, неупругой составляющей деформации скорости, спина и ориентации г-го кристаллита; N — число кристаллитов, образующих представительный макрообъем.

На мезоуровне (уровне кристаллита) в двухуровневой модели используется следующая система соотношений (номер кристаллита опущен):

сг = <5 - ю ■ с + с ■ ю = п :й° = п : (й - d,n),

У(0 = У о

Ш(Х )■■

(1.2)

H(т(,) -), і = 1,...,К■

тГ = / (У(7)л(7)), і, ] = 1,..., К,

соотношения для определения спина решетки ю, т

по которому из уравнения о ■ о = ю определяется тензор ориентации о,

VV = УУ,

где о — тензор напряжений Коши; П — тензор четвертого ранга упругих свойств кристаллита; d, de, d'и — тензор деформации скорости, его упругая и неупругая составляющие на мезоуровне;

накопленный сдвиг и критическое на-

пряжение сдвига по г-й системе скольжения; т

(і) (■У)

симметричная часть ориентационного тензора г-й системы скольжения; т(') = 1/2(Ь(І)П(І) + п(і)Ь(і));

(£) V /

Ь(і), п(0 — единичные векторы в направлении вектора Бюргерса и нормали к плоскости скольжения; у0, П — константы материала: характерная скорость сдвигов при равенстве касательных напряжений на СС критическом и константа скоростной

чувствительности материала; т^ — действующее в г-й системе скольжения касательное напряжение, т(') = Ь(')п(,) : о; н (•) — функция Хэвисайда; К —

число систем скольжения для рассматриваемого типа решетки; о — тензор текущей ориентации кристаллографической системы координат кристаллита относительно фиксированной лабораторной системы координат.

В статье [6] рассмотрена задача согласования определяющих соотношений различных масштабных уровней в двухуровневых моделях неупругого деформирования, одним из результатов решения которой явилось определение квазитвердого движения на макроуровне П и неупругой составляющей тензора скорости деформации на макроуровне Dш, обеспечивающих выполнение условий согласования:

П =< п >, £ =< о >, D = <а>. (1.3)

Показано, что для выполнения условий (1.3) в совокупности с системами уравнений (1.1), (1.2) тензоры спина Я и неупругой составляющей тензора деформации скорости Б” следует определить соотношениями:

(1.4)

D'" =< Г1 > + П-1: < п :$"' > - (1.5)

- П-1: ( < ш • с' > - < с' • ш' >),

(=1

(і)

т

(()

т

202

А. Ю. Яиц, П. В. Трусов, П. С. Волегов

где штрихами обозначены отклонения соответствующих величин от их средних значений по представительному макрообъему.

Проблема описания физических механизмов взаимодействия дефектов, приводящих к упрочнению, подробно рассматривается в работах [3—6], в рамках данной статьи приведено только краткое описание закона упрочнения.

При численной реализации математической модели (1.1) — (1.5) предлагается использовать схему Адамса-Моултона (схему «предиктор-корректор»), позволяющую значительно повысить точность вычислений без существенного увеличения вычислительного времени.

3. Образ процесса нагружения в пространстве деформаций

Ввиду того что процессы, связанные с обработкой материалов давлением, часто реализуются довольно сложной программой нагружения, для их описания весьма эффективным является геометрическое представление процессов нагружения в специальных пятимерных пространствах напряжений и деформаций Ильюшина [2]. Отметим, что все величины, используемые ниже, относятся к представительному макрообъему.

Применение в данном случае базиса актуальной лагранжевой системы координат также не представляется возможным (вследствие произвольного деформирования материальных волокон [3]), поэтому выбор такого базиса сопряжен с определенными сложностями. В настоящей работе вводится разложение движения на квазитвердое и деформационное, для чего используется жесткая подвижная система координат, в начальный момент времени совпадающая с декартовой ортогональной ЛСК. Базис подвижной системы в каждый момент деформирования вращается с мгновенной угловой скоростью, определяемой спином О (1.4); заметим, что поступательное движение подвижной системы не отражается на ориентации базиса. Движение материальных частиц относительно подвижной системы координат относится к собственно деформационному. В соответствии с введенным способом разложения движения скорости изменения мер деформированного и напряженного состояния определяются соответствующими коротационными производными:

Ег = Е + Е^П - П^Е = ^ Ег = Е + Е^П - П^Е;

определяющее соотношение макроуровня (закон Гука в скоростной релаксационной форме) (1.11) также сформулирован в терминах наблюдателя жесткой подвижной системы. Нетрудно видеть, что в качестве меры деформации в данном случае используется неголономная (т.е. не выражаемая явным образом через поле вектора перемещений)

мера деформации, определяемая коротационным интегрированием тензора деформации скорости.

4. Исследование эффектов сложного нагружения

В данном разделе приведем результаты некоторых численных экспериментов, проведенных с использованием двухуровневой модели (1.1) — (1.2) с целью выяснения физических причин, которые обусловливают известные макроскопические эффекты, возникающие при изломе траектории деформирования (нырок напряжений, запаздывание скалярных и векторных свойств).

В качестве эволюционного уравнения для критических напряжений в системах скольжения (1.24) т.н. закона упрочнения использовалось выражение вида [8]

с \у \

т(к) = Е

(к)

У

а)

24

ъ Г'

V 1-1

(0

у (*)

к = 1,24, ^ > 0, у() > 0, т(к) (0) = т(;

а(,) = 4, 4° = 4^, 1 * к, (4.1)

где а^к} — матрица безразмерных коэффициентов,

причем ее диагональные члены описывают деформационное (активное) упрочнение, а недиагональные — латентное; — параметр, равный отношению модуля деформационного упрочнения к модулю упругости, параметр в определяет различия в латентном и деформационном упрочнении. Соотношение (4.1) описывает изменение критических напряжений в СС независимо от направления деформирования (за счет образования пересечений дислокаций, жгутов, кос) при движении дислокаций в данной СС (деформационное) и при пересечении активными дислокациями лесовых дислокаций других систем скольжения (латентное упрочнение).

В качестве траектории с изломом использовалась следующая последовательность этапов нагружения:

Растяжениевдоль оси Э:, (4.2)

^ Сжатие вдоль оси Э3.

Ниже все образы процессов в численных экспериментах по умолчанию построены в ЛСК, т.к. при малых степенях деформаций (<10%) повороты кристаллитов малы, ввиду чего траектории деформаций незначительно различаются при разных способах построения. Однако, как будет показано ниже, при больших градиентах перемещений появляются существенные различия траекторий деформирования при различных способах построения образов процесса. Параметры были получены в ходе идентификации (сжатие) и верификации

г=1

(сдвиг) модели на натурных экспериментах для материала сталь 40. При этом известными считались упругие модули (компоненты тензора упругих свойств) данного материала.

Интенсивность деформаций, %

Рис.1. Диаграммы напряжение-деформация при различных значениях параметра упрочнения для траектории деформирования (4.2)

На рис. 1 изображены диаграммы напряжение-деформация при различных значениях параметра упрочнения, откуда видно, что относительная величина нырка интенсивности напряжений (отношение напряжений перед нырком к напряжениям в точке минимума) не зависит от параметра а, но от него зависит «продолжительность» нырка (т.е. длины отрезка траектории деформирования, в течение которого интенсивность напряжений восстанавливает значение, равное значению перед изломом траектории), откуда можно заключить, что запаздывание скалярных свойств напрямую зависит от интенсивности упрочнения.

Компонента Э1, %

Рис.2. Проекция образа процесса нагружения (4.2) (способ I), на котором представлены траектория деформирования, вектор напряжений и вектор скорости напряжений

На рис. 2 дана проекция образа процесса (4.2), на котором представлена эволюция вектора напряжений и скорости вектора напряжений. После излома траектории деформирования скольжение в представительном объеме начинает происходить так, что появляется вклад в упругие деформации, накопленные на предыдущем этапе, но с обратным знаком. При этом происходит уменьшение упругих деформаций, накопленных по предшествующей моде, и одновременное накопление по настоящей моде деформирования, что в конечном счете приводит к уменьшению угла в. Было выявлено, что при увеличении интенсивности упрочнения процессы накопления упругих деформаций по

новой моде начинают происходить быстрее, чем процессы их релаксации по предыдущей моде.

5. Заключение

В статье рассмотрено применение многоуровневых моделей, основанных на использовании физических теорий пластичности, при оценке эффектов сложного нагружения. Выявлены физические причины запаздывания векторных и скалярных свойств, заключающиеся в характере релаксации упругих деформаций после излома.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №12-08-01052-а, №12-01-31094 мол_а, №12-0833082 мол_а_вед), ФЦП "Научные и научнопедагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы" (мероприятие 1.2.2, Соглашение 14.B37.21.0382).

Список литературы

1. Трусдел К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / пер. с англ. М.: Мир, 1975 г. 592 с.

2. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: АН СССР, 1963 г. 271 с.

3. Поздеев А.А. и др. Большие упругопластические деформации. Теория, алгоритмы, приложения: Наука, 1986 г. 232 с.

4. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристалллических материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. М.: ИПМ РАН, 2009. Т.15, №3. С. 327—344.

5. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 2: Вязкопластические и упруговязкопластические модели// Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. Пермь: Изд-во ПГТУ, 2011. №2. С. 101—131.

6. Трусов П.В., Швейкин А.И., Нечаева Е.С., Волегов П.С. Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры // Физическая мезомеханика. Томск: ИФПМ СО РАН, 2012. Т. 15, №1. С. 33—56.

7. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Несимметричная физическая теория пластичности для описания эволюции микроструктуры поликристалла // Физическая мезомеханика. Томск, 2011. Т. 14, №1. С. 19—31.

8. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Описание

внутризеренного и зернограничного упрочнения моно- и поликристаллов// Науч.-техн. ведомости С.-Петерб. гос. политехн. ун-та. Физико-математические науки. 2010. №2. С.110—

119.

204

A. №. Hnu. n. B. Tpycoe, n. C. Bonesoe

Two-level models for polycrystals: application to the analysis of the macroscopic effects of complex loading

A. Yu. Yanz, P. V. Trusov, P. S. Volegov

Perm National Research Polytechnic University, Komsomolsky Pr., 29, 614990 Perm

The problems relating to the applicability of modern multi-level mathematical models of inelastic deformation of single crystals and polycrystals, constructed based on the crystal plasticity, to describe the experimentally known effects arising under complex loading. In particular, the example of the two-level model of inelastic deformation of polycrystalline metals are considered the retardation effects of scalar and vector properties at kink strain trajectory in space Ilyushin, the issue of the connection parameters of laws strengthening the meso level and parameters of "dive" after the stress kink path.

Keywords: polycrystal, multilevel models, strengthening, image process, complex loading, memory, retardation effects of vector properties.