CC BY
16
УДК 539.3
Дислокационно-ориентированная трехуровневая модель
для описания деформирования поликристаллов: структура, алгоритм реализации, примеры применения для исследования сложного циклического нагружения
Д.С. Грибов, П.В. Трусов
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия
Рассмотрен вариант трехуровневой конститутивной модели для описания деформирования поликристаллических материалов, основанной на введении внутренних переменных и физической теории упруговязкопластичности. Приведены структура, математическая формулировка и алгоритм реализации модели. Элементом верхнего структурно-масштабного уровня является представительный макрообъем. В качестве идентичных по масштабам элементов мезоуровней 1 и 2 выступают кристаллиты (в зависимости от требуемой степени детализации — зерна, субзерна, фрагменты). Описание на мезо-уровне 1 ведется в терминах термомеханических переменных (напряжений, деформаций, их скоростей); рассмотрение поведения элементов нижнего мезоуровня 2 осуществляется в терминах плотностей и скоростей движения дислокаций. Особое внимание уделяется формированию барьеров при взаимодействиях расщепленных дислокаций. Приведены примеры применения модели для исследования простого и сложного циклического нагружения образцов с существенно отличающейся энергией дефекта упаковки. Показано, что материалы с низкой энергией дефекта упаковки склонны к более интенсивному образованию барьеров и вследствие этого — дополнительному циклическому упрочнению при сложном нагружении.
Ключевые слова: трехуровневая упруговязкопластическая модель, расщепленные дислокации, упрочнение, барьеры дислокационной природы, сложное циклическое нагружение
DOI 10.55652/1683-805X_2022_25_4_94
Three-level dislocation-based model for describing the deformation of polycrystals: Structure, implementation algorithm, examples for studying nonproportional cyclic loading
D.S. Gribov and P.V. Trusov
Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia
A three-level constitutive model is proposed for describing the deformation of polycrystalline materials, which is based on crystal elasto-viscoplasticity and the introduction of internal variables. The structure, mathematical formulation, and implementation algorithm of the model are given. The element of the upper structural-scale level is the representative macrovolume. The elements of mesolevels 1 and 2, which are identical in scale, are crystallites (grains, subgrains, fragments, depending on the required element size). The description on mesolevel 1 is performed in terms of thermomechanical variables (stresses, strains, strain rates). The behavior of elements of the lower mesolevel 2 is described in terms of dislocation densities and velocities. Particular attention is paid to the formation of barriers on split dislocations. As an example, the model is applied to study proportional and nonproportional cyclic loading of specimens with substantially different stacking fault energy. It is shown that barriers are more readily formed in materials with low stacking fault energy, leading to their additional cyclic hardening under nonproportional loading.
Keywords: multilevel model, split dislocations, hardening, dislocation barriers, nonproportional cyclic loading
© Грибов Д. С., Трусов П.В., 2022
1. Введение
Задачи управления свойствами материалов, возникающие при проектировании и определении технологий изготовления конструкций из металлов и сплавов, требуют разработки и постоянного совершенствования конститутивных моделей (определяющих соотношений) для описания эволюции физико-механических характеристик при термомеханических воздействиях в широких диапазонах изменения последних. Существующие модели, используемые для исследования поведения поликристаллических материалов, можно разделить на макрофеноменологические [1-9 и др.] и физически-ориентированные [10-21 и др.]. Мак-рофеноменологические модели формулируются обычно в виде сложных операторов над историей воздействий, при этом для определения входящих в операторы параметров требуется проведение трудоемких натурных испытаний (в том числе на сложное нагружение). В большинстве случаев при построении моделей данного класса физические процессы, протекающие на мезо- и микроуровнях, ведущие к существенному изменению структуры материалов, не рассматриваются (по крайней мере, в явном виде). Учитывая многообразие физических механизмов неупругого деформирования и их взаимодействий, сложность их описания в терминах континуальных механических параметров, макрофеноменологические определяющие соотношения позволяют с достаточной точностью анализировать отклик материала в довольно узких диапазонах параметров воздействия. В то же время следует отметить более высокую вычислительную эффективность использования данных определяющих соотношений при решении краевых технологических задач, что делает их привлекательными при разработке пакетов прикладных программ.
Механические свойства металлов и сплавов существенно зависят от мезо- и микроструктуры, по этой причине в настоящее время интенсивно развиваются физически-ориентированные многоуровневые модели [22-25 и др.], позволяющие в явной форме описывать эволюционирующую структуру материалов. В отличие от широкого класса макрофеноменологических моделей, ориентированных, как правило, на описание поведения конкретных материалов в узких диапазонах термомеханических воздействий, физически-ориентированные многоуровневые модели обладают значительной универсальностью. Следует отметить, что несмотря на огромное количество работ,
посвященных построению различных вариантов многоуровневых моделей, недостаточное внимание, по мнению авторов, уделяется исследованию процессов сложного нагружения, детальному анализу влияния на поведение сплавов некоторых особенностей дефектной структуры, в частности, наличия дефектов упаковки (расщепленности дислокаций). В настоящей работе используется подход с введением внутренних переменных [2631], характеризующих мезо- и микроструктуру материала, и входящих в структуру конститутивной модели эволюционных уравнений для описания их изменения. Разработанная модель относится к классу статистических трехуровневых. Рассмотрены структура, алгоритм реализации и некоторые результаты применения дислокационно-ориентированной модели. Численные эксперименты осуществлены на представительном макрообъеме поликристаллического материала, позволяющем осуществлять нагружения, реализуемые на макрообразцах в натурных экспериментах. Особое внимание в работе уделяется анализу влияния величины энергии дефекта упаковки на поведение поликристаллических образцов при сложном циклическом нагружении.
2. Концептуальная и математическая формулировки модели
Разработанная модель относится к классу статистических, включает подмодели для описания поведения поликристаллов на трех структурно-масштабных уровнях: макроуровне, на котором описывается отклик представительного макрообъема, мезоуровне 1, ориентированном на рассмотрение поведения кристаллитов (субзерен, фрагментов) в терминах механических переменных (напряжений, деформаций и т.п.), и мезо-уровне 2, на котором исследуется эволюция плотностей дефектов — дислокаций, дислокационных петель и барьеров, образующихся при взаимодействии расщепленных дислокаций. Как отмечено выше, модель основана на подходе с введением на каждом уровне явных и неявных внутренних переменных — тензорозначных (произвольного ранга) переменных, описывающих эволюционирующую мезо- и микроструктуру нижележащих уровней. Введение этих дополнительных переменных позволяет избежать необходимости использования в структуре конститутивных моделей сложных операторных (функциональных) соотношений, сохраняя при этом возможность учета памяти материала, носителями которой и явля-
ются внутренние переменные. Большинство соотношений конститутивной модели в этом случае представляют собой тензорно-алгебраические или обыкновенные дифференциальные уравнения. Принимается, что внутренние переменные однородны в пределах рассматриваемых элементов соответствующего уровня. Явные внутренние переменные входят напрямую в определяющие соотношения рассматриваемого уровня, они связаны кинетическими уравнениями с неявными переменными, описывающими структуру материала на более глубоких структурно-масштабных уровнях [30].
Представительный объем макроуровня включает в себя набор зерен. Каждое зерно включает в себя статистически значимый набор (десятки и сотни) кристаллитов (субзерен, фрагментов) — элементов мезоуровня 1, в отсчетной конфигурации имеющих незначительную разориентировку в пределах каждого из зерен (рис. 1). Элементы мезоуровня 1 масштабно идентичны элементам мезоуровня 2, однако описание поведения материалов на них ведется в терминах разных переменных. На макроуровне и на мезоуровне 1 описание ведется в терминах механических переменных (напряжений, деформаций и их скоростей), тогда как на мезоуровне 2 модель оперирует с плотностями различных дефектов на системах скольжения.
К явным внутренним переменным на уровне представительного макрообъема относятся тензоры неупругой составляющей скоростей деформаций, упругих характеристик, спина (переменные макроуровня). На мезоуровне 1 к явным внутренним переменным относятся тензоры упругих свойств кристаллита, неупругой составляющей скорости деформации и спина, к неявным относятся скорости сдвигов по системам скольжения, критические сдвиговые напряжения, плотности и скорости движения дислокаций на системах скольжения. Все внутренние переменные на мезо-уровне 2 (кроме температуры) определены на введенных системах скольжения: к явным внутренним переменным относятся критические напряжения на системах скольжения, средние скорости скольжения дислокаций и плотности дислокаций, к неявным — плотности барьеров и источников дислокаций на системах скольжения.
На мезоуровень 1 с макроуровня в рамках применяемой гипотезы Фойгта (о равенстве градиентов скоростей перемещений макро- и мезоуров-ня 1) в качестве воздействий передаются компоненты тензора градиента скорости перемещений,
Представительный объем
макроуровень Субзерно - мезо 1
Рис. 1. Схема, иллюстрирующая структурно-масштабные уровни модели: представительный макрообъем поликристаллического материала, зерно, субзерно
описание процесса деформирования производится в терминах механических переменных. На ме-зоуровень 2 с мезо 1 передаются текущие напряжения, по которым устанавливаются касательные напряжения на системах скольжения, используемые затем для вычисления скоростей движения дислокаций. На мезоуровне 2 описывается эволюция плотностей дефектов, определяются изменения критических напряжений и средние скорости скольжения краевых дислокаций, после чего с использованием уравнения Орована устанавливаются скорости сдвигов, которые передаются на ме-зоуровень 1. На мезоуровне 1 вычисляются неупругая составляющая скорости деформаций, поворот решетки и компоненты тензора напряжений. Для определения напряжений на макроуровне применяется осреднение по совокупности элементов мезоуровня 1, входящих в представительный макрообъем.
Модель ориентирована на описание отклика (тензора напряжений макроуровня) представительного макрообъема поликристаллического материала (однородно деформируемого макрообразца) на задаваемое кинематическое воздействие Z = V Vт (V — оператор градиента, определенный в актуальной конфигурации). Применяя гипотезу Фойгта, определяется мера скорости деформации на мезоуровне 1:
z (Г ) = Z(t), (1)
где z — градиент скорости перемещений на мезоуровне 1. Здесь и далее «родственные» механические характеристики макро- и мезоуровня 1 обозначаются одинаковыми буквами, прописными на макроуровне и строчными — на мезо 1.
В каждом элементе мезоуровня 1 по скоростям сдвигов на системах скольжения (определяемым на мезоуровне 2) вычисляется пластическая составляющая меры скорости деформации, после чего с использованием свойства аддитивности упругой и пластической составляющих меры скорости деформации находится скорость изменения О тензора напряжений Коши о:
г = г
Осг = О + О • ю - ю • О = п :(г - ю - г1"),
(2)
где г и г — упругая и неупругая составляющие меры скорости деформации мезоуровня 1; оСг — коротационная производная тензора напряжений Коши; п — 4-валентный тензор упругих характеристик кристаллита; ю — спин жесткой подвижной системы координат (мезо 1), связанной с решеткой [32]. Жесткая подвижная система координат вводится для разложения движения деформируемых тел на квазитвердое и деформационное [24]. Пластическая часть меры скорости деформации определяется с использованием уравнения Орована по определенным на мезоуровне 2 скоростям сдвигов у(к) (здесь и далее индекс к обозначает номер системы скольжения):
(3)
г1" = £у(к V к V к\ к=1
Соотношения для определения тензора спина жесткой подвижной системы координат приведены в [24, 32], тензор спина связан с ориентационным тензором о жесткой подвижной системы координат уравнением
ю = о от. (4)
Интегрированием соотношения (2)2 для каждого элемента мезо 1 (кристаллита) в каждый момент деформирования определяется тензор напряжений о мезоуровня 1 (индексы номеров кристаллитов опущены). По напряжениям о и единичным векторам нормали и направления скольжения определяются действующие в каждой к-й
(к)
системе скольжения касательные напряжения т мезоуровня 1:
Т(к) = Ь(к )„(к); О, (5)
где Ь(к) — единичный вектор в направлении вектора Бюргерса краевой дислокации; п(к) — единичная нормаль к плоскости к-й системы скольжения в актуальной конфигурации. В качестве отклика представительного макрообъема используется тензор напряжений Коши Е, определяемый в каждый момент деформирования осреднением
тензора напряжений о по совокупности кристаллитов, составляющих представительный объем макроуровня.
При построении модели в качестве наиболее значимых механизмов эволюции микроструктуры были выделены: скольжение краевых дислокаций, зарождение дислокаций за счет работы источников Франка-Рида, аннигиляция дислокаций разных знаков каждой системы скольжения, изменение плотности барьеров дислокационной природы на системах скольжения. На мезоуров-не 2 определяются средние скорости положительных и отрицательных дислокаций У±к\ завися-
(к)
щие от величины касательных напряжений т ,
температуры 0, плотности положительных и от-
(к) (к)
рицательных дислокаций р+ , р_ и плотности барьеров рк на системах скольжения. Применено аддитивное разложение скорости изменения
■(к)
критических напряжений сдвига тС на две составляющие, зависящие соответственно от изменения плотностей дислокаций по системам сколь-
жения т
(к)
(к) с&в
и изменения плотностей барьеров тСьш-. Система уравнений, описывающая изменение указанных переменных мезоуровня 2, в общем виде может быть записана следующим образом:
Vк) = ± Л(т( к), тСк±), е, р±1), рЬШ^п т( к),
ч(к) _
РГ= У2 (т( к), тС?, е, , о,1 = 1,12,
у(к) = (р(к V к)-р-к V- к)) |Ь|(к),
р(к1) = г (т(к) т(к) е р(к) р(к1)) рЬаг _ /3(Х , Хс± , р± , рЬаг ),
т(к) =т( к)
Лк) Лк1 )ч
(6)
(к) _ + (к)
Т к)
с Ьаг± *
При описании эволюции микроструктуры и определении скоростей сдвигов важнейшую роль играют средние скорости дислокаций к), V-к), при этом скорости движения дислокаций противоположных знаков одной и той же системы скольжения могут отличаться по величине. Была учтена возможность движения дислокаций обоих знаков по одной системе скольжения, в связи с чем было использовано уравнение Орована в скоростях [33], учитывающее движение дислокаций обоих знаков:
у(к) = (р(_кУ+(к)-р-кУ(к)) |Ь|(к), (7)
где |Ь|(к) — величина вектора Бюргерса.
Средние скорости движения дислокаций определяются следующими соотношениями [34]:
V+k? =l(k ?v
exp
х H(| т(k)|-xC^))sign т(k? V_(k) = -l(k )vexp
" kBe
Г ло* ^
(8)
кве
ло*± =-
х H(| т(k)
m
gi *
(k)
,-xC_))sign T(k) l(k) = a^=
i
PE Pblr
■8Z Pl
где l(k) — средняя длина свободного пробега дислокации k-й системы скольжения; v — дебаевская частота; ЛО*— энергия активации движения дислокаций (зависящая от текущего состояния микроструктуры и касательного напряжения на системах скольжения); AF* — энергия активации движения дислокаций; kB — константа Больцма-на; 9 — температура; Н — функция Хэвисайда.
В качестве внутризеренных источников дислокаций рассматриваются источники Франка-Рида, генерирующие замкнутые расширяющиеся петли дислокаций. В работе для описания генерации дислокаций вводятся источники Франка-Рида, изменение плотности которых pSk) следующим соотношением [25]:
Р SrÓ± = E ? j=1
описывается
l(j ?
(
v exp
ло*£
kBe
Л
H(|x
(j)
- j
(9)
P0src± =p0src,
где рк) — плотность барьеров на пересечении к и ] систем скольжения (на которых могут действовать стопоры для движения дислокаций и начаться образование дислокационных петель). Вклад источников, активируемых при превышении действующих касательных напряжений критических напряжений активации источника т5ГС, в увеличение плотностей дислокаций пропорционален текущей плотности источников Франка-Рида [35]:
'■т( к )| V
р Пис± = ravp(rc±V ( 1 ,
(10)
A\xb ~2kL
i L ln—
B
где гау — средний радиус петли; А, В, р — безразмерные параметры материала; ц — модуль сдвига; Ь — расстояние между препятствиями в ис-
точнике; г0 — минимальная длина закрепленного сегмента, способного генерировать дислокационные петли; Ь — величина вектора Бюргерса; оператор (•) — скобки Маколея «х) = х Н( х)).
Аннигиляция дислокаций возможна в случае, если две дислокации противоположных знаков оказались на малом расстоянии в параллельных системах скольжения. Аннигиляция дислокаций наиболее часто наблюдается в экспериментах на знакопеременное нагружение. Дислокации разных знаков, принадлежащие одной системе скольжения, притягиваются, при нахождении дислокаций на параллельных системах скольжения они могут переползать в направлении друг к другу, аннигилируя при сближении на расстояние, равное или меньшее некоторого критического кашш. Количество прореагировавших дислокаций в единицу времени пропорционально заметаемому объему (заметаемых движущимися краевыми дислокациями площадей, умноженных на Лашш). Для описания аннигиляции в работе применялось следующее соотношение [36]:
к)р(к) Ык) _рКк)| (и)
• (k )ann
р± =■
nP+ Р_
Зарождение и эволюция барьеров описываются с применением матрицы генерации барьеров ^ЬаГ, в которой единичные значения на пересечении строки к и столбца I означают номера систем скольжения, в которых залегают расщепленные дислокации, реагирующие при пересечении с образованием барьеров Ломера-Коттрелла или Хир-та, все остальные компоненты матрицы — нулевые. Скорость изменения плотности барьеров зависит от плотности дислокаций на реагирующих системах, действующих касательных напряжений и температуры [37]:
K -1
Рk? =axd E [СP±k?P±l?(V±(k? + V±(l?)], k
= 1, K,
l=k+1
Р bk?=P k?, l = k +1, K-1, k = 1, K,
(12)
b 2 О
Хл =-
SFE
8лу;
SFE
где К — число систем скольжения; а — безразмерный параметр; хй — средняя ширина расщепления дислокации; 83ре = Узре/(^Ь) — безразмерная величина энергии дефекта упаковки уЗРЕ. Матрица плотностей барьеров на системах скольжения содержит данные обо всех барьерах (для ГЦК — 24), которые могут образоваться на расщепленных дислокациях. Компоненты матрицы • (к1)
Рьаг описывают скорости изменения плотностей
барьеров на пересечениях систем скольжения с номерами k и l.
При формулировке закона упрочнения принята гипотеза об аддитивности критических напряжений систем скольжения и скоростей их изменения за счет вкладов от сопротивления решетки (величина, зависящая только от температуры) ^kt, полей напряжений дислокаций i^disi и образованных на расщепленных дислокациях барьеров i^bari (k — номер системы скольжения). Для оценки взаимодействия дислокаций использовано известное решение для одиночной дислокации в изотропной упругой среде [38]. Основываясь на данном решении, была построена матрица Mki, позволяющая оценить напряжения взаимодействия дислокаций k-й и 7-й систем скольжения, которые заносятся на пересечении k-й строки и 7-го столбца матрицы Mki. Введение барьера на расщепленных дислокациях как комплекса из двух частичных и сидячей дислокаций позволило оценить влияние барьера на упрочнение k-й системы скольжения за счет барьера на 7-й системе скольжения, для описания этого влияния используется матрица Вы. С использованием введенных матриц эволюционные соотношения для изменения критического напряжения сдвига и его составляющих можно записать в следующем виде [39]:
_(k) __(k) c0i — Lo lat'
+(k) _ Ik) , I(k)
ci cdisi cbar'
ikisi^bilk?i-M^pi7'), X , (13)
7_12V Pi') A I(k) _Rbl(k) i Bk' p (k7) V
Pcbar — P c0 X Г-р- Pbar , Л ,
'_l2V Pbar k\
где а, в — безразмерные параметры материала.
3. Алгоритм численной реализации модели
Алгоритм реализации описанной выше модели
для описания отклика представительного объема макроуровня (однородного в макросмысле образ-
ца) состоит в следующем. В силу существенной
нелинейности задачи (геометрической и физичес-
кой) для решения используется пошаговая про-
цедура нагружения: весь рассматриваемый вре-
менной интервал представляется совокупностью
шагов по времени, при этом значения величины
шагов устанавливаются из численных экспериментов по предписанному условию сходимости
результатов. Перед инициацией расчетов задаются необходимые начальные условия и материальные параметры для переменных всех уровней. Принимается, что в исходном состоянии материал находится в естественной конфигурации. На-гружение реализуется кинематически, считаются заданными градиент скорости перемещений макроуровня УУ(7) и температура как непрерывные соответственно тензор- и скалярнозначная функции времени 7. Отметим, что при использовании модели для анализа процессов деформирования конкретных изделий параметры воздействия в каждый момент времени устанавливаются из решения соответствующих краевых задач.
На каждом шаге по времени задаваемые на макроуровне кинематические и температурные воздействия передаются на мезоуровень 1. В результате решения задачи на мезоуровнях 1 и 2 определяются значения всех внутренних переменных, в том числе явных, т. е. входящих в определяющие соотношения рассматриваемого уровня; список и классификация внутренних переменных указанных уровней приведены в табл. 1. Заметим, что отклик представительного макрообъема материала (тензор макронапряжений Коши Е) определяется осреднением напряжений мезоуровня о, в связи с чем в определяющем соотношении макроуровня нет необходимости.
В качестве определяющих соотношений мезо-уровня 2 выступает соотношение для определения скоростей сдвига на системах скольжения по плотностям и скоростям движения дислокаций. Нагружение на уровнях макро и мезо 1 на каждом временном шаге задается градиентом вектора скорости перемещений; воздействиями на мезо-уровне 2 являются определенные на конец предыдущего шага напряжения в элементах мезоуровня 1. Алгоритм решения задачи на уровнях мезо 1 и мезо 2 для каждого временного шага состоит из трех этапов.
1. Решение в скоростях. Задаваемые на макроуровне температура и градиент скорости перемещений передаются на мезоуровень 1 (используется гипотеза Фойгта). По компонентам тензора напряжений, определенным на конец предыдущего временного шага, определяются касательные напряжения в каждом элементе мезоуровня 1 (соотношение (5)). Осуществляется определение скоростей изменения внутренних переменных элементов мезоуровня 2, в том числе плотностей и скоростей движения дислокаций, а по ним — скоростей сдвигов по системам скольжения и не-
Таблица 1. Список и классификация внутренних переменных мезоуровней 1 и 2
Уровень Тип внутренних переменных Обозначение Название Способ определения
Мезо 1 Явные Неупругая составляющая меры скорости деформации Составляющая воздействия на элементы мезоуровня 1
Мезо 1 Явные п Тензор упругих модулей (4-го ранга) Определяется свойствами монокристалла и ориентацией решетки О
Мезо 1 Явные ю Тензор спина (мезо 1) Определяется для каждого кристаллита на каждом шаге
Мезо 1 Неявные О Ориентационный тензор решетки Определяется интегрированием по ю
Мезо 1 Мезо 2 Неявные Явные у(к) Скорости сдвигов на к-й системе скольжения Определяется по скоростям движения и плотностям дислокаций на мезо 2
Мезо 1 Мезо 2 Неявные Явные т(к) Касательные напряжения на к-й системе скольжения Определяется по а, воздействие на мезо 2
Мезо 2 Явные У±(к) Средние скорости движения дислокаций на к-й системе скольжения Определяется по т(к), т^-1 и е
Мезо 2 Явные Р?), Р^) Плотности дислокаций (+ и -) на к-й системе скольжения Определяется из эволюционных уравнений
Мезо 2 Неявные р(к) РЪаг Плотности барьеров на к-й системе скольжения Определяется из эволюционных уравнений
Мезо 2 Неявные т( к) 1с± Величина критических напряжений на к-й системе скольжения Сумма Т« и тСкЪаг
Мезо 2 Неявные т(к) 1ссИв± Критические напряжения на к-й системе скольжения (от дислокаций) Определяется по р^), р^)
Мезо 2 Неявные _(к) сЪаг Критические напряжения на к-й системе скольжения (от барьеров) Определяется по рЪ^Г
Мезо 2 Неявные е Температура Воздействия
упругой составляющей меры скорости деформации. Последние передаются на мезоуровень 1, где определяются скорости изменения напряжений.
2. Интегрирование. Осуществляется определение всех переменных (включая внутренние переменные) на всех уровнях интегрированием их скоростей изменения на конец текущего - начало следующего шага по времени.
Следует отметить, что при вычислениях первого и второго этапа тензорные параметры мезо 1 и мезо 2 определены компонентами в базисах жестких подвижных систем координат этого уровня (напомним, что мезо 1 и мезо 2 относятся к одному масштабному уровню).
3. Переопределение внутренних переменных. По установленным на первом этапе спинам подвижных систем координат определяются изменения ориентаций элементов мезо 1 и мезо 2, переопределяются тензорные переменные данных уровней на конец рассматриваемого шага по времени («привязка» вычисленных компонент тензо-
ров к измененным базисным векторам кристаллитов). Вычисляются компоненты тензоров напряжений в базисе лабораторной системы координат, осреднением последних определяются компоненты тензора макронапряжений.
4. Результаты применения модели для описания простого и сложного циклического деформирования
Разработанная модель была применена для описания отклика поликристаллических макрообразцов с ГЦК-решеткой, подвергаемых простому и сложному циклическому нагружению. Представительный объем макроуровня (макрообразец) принимался состоящим из 343 кристаллитов с распределением их ориентаций в отсчетной конфигурации по равномерному закону. Численные эксперименты проводились на модельных представительных объемах латуни (60 % Си и 40 % 2п) и чистого алюминия, имеющих различные значе-
Рис. 2. Программы нагружения на простое растяжение-сжатие (а) и по ступенчатой траектории Л-Б-С-Б-Л-П-Е-П (две ступени) (б) в двумерном подпространстве пятимерного пространства деформаций Ильюшина
2"
1-
0-
-1-
-2-
-3' -3
|~а
Е,
-2
-1
Е,
2"
1-
0-
-1-
-2-
-3'
8 /
/ 4 \ [б
-3
-2
-1
Е,
Рис. 3. Программы нагружения по лучевым траекториям в двумерном подпространстве пятимерного пространства деформаций Ильюшина, 4 (а) и 8 лучей (б)
ния компонент тензора упругих свойств, начального сопротивления решетки, величины энергии дефекта упаковки (155 мДж/м2 для алюминия, 50 мДж/м2 для латуни), параметров закона упрочнения. Начальные плотности дислокаций полагаются одинаковыми и равными 109 см-2, начальные плотности барьеров равны нулю.
Нагружение в рассматриваемых численных опытах осуществлялось кинематически, исследовались эксперименты на простое и сложное циклическое нагружение, деформации ограничены максимальными амплитудными значениями по интенсивности деформаций. Основной целью исследования является анализ различия отклика материалов на отличающиеся по сложности нагру-жения, обнаруживаемые в натурных экспериментах [40-44]. При малых градиентах перемещений
можно пренебречь поворотами решеток кристаллитов и задавать нагружение в терминах малых деформаций и их скоростей. Кинематические воздействия заданы компонентами вектора в пятимерном векторном пространстве деформаций Ильюшина. Для описания простого нагружения задавалась одна компонента вектора, для описания программ сложного нагружения задавались зависимости двух компонент вектора деформаций от времени (рис. 2-4).
Результаты численных экспериментов на циклическое нагружение по лепестковой траектории макрообразцов из латуни и алюминия представлены на рис. 5.
Наибольший интерес представляет описание явления дополнительного упрочнения — повышения амплитуды интенсивности напряжений
Рис. 4. Программы нагружения по лепестковым траекториям в двумерном подпространстве пятимерного пространства деформаций Ильюшина, 4 (а) и 16 лепестков (б) (цветной в онлайн-версии)
при сложных нагружениях по сравнению с простыми циклическими нагружениями при одинаковых амплитудах по интенсивности деформаций. В ходе численных экспериментов с использованием заданных кинематических воздействий определялись максимальные интенсивности напряжений (после выхода на стационарные значения кривой «амплитудные напряжения - накоплен-
ные деформации»). Для определения величины дополнительного упрочнения из полученных максимальных интенсивностей напряжений вычитались максимальные интенсивности напряжений, полученные в экспериментах на простое циклическое нагружение (также при достижении стационарных значений), и относилось к последним, таким образом определяя величину дополнитель-
Рис. 5. Зависимость интенсивности напряжений в образцах из латуни (а) и алюминия (б) от накопленных деформаций по циклическим лепестковым траекториям в двумерном подпространстве пятимерного пространства Ильюшина, 4 лепестка (цветной в онлайн-версии)
Таблица 2. Дополнительное упрочнение поликристаллического образца из алюминия и латуни для различных программ нагружения
Тип нагружения Дополнительное упрочнение, % Амплитудные значения интенсивности напряжений при выходе на стационарный режим, МПа
Алюминий Латунь Алюминий Латунь
Растяжение-сжатие 0.0 0.0 207.1 312.3
Ступенчатое, 2 ступени 0.6 5.1 208.4 328.1
Ступенчатое, 4 ступени 0.8 5.3 208.8 329.0
Лучевые, 4 луча 1.0 4.9 209.1 327.5
Лучевые, 8 лучей 1.8 5.3 210.8 328.9
Лучевые, 16 лучей 2.0 5.6 211.2 329.7
Лепестковое, 4 лепестка 12.6 31.8 233.1 411.6
Лепестковое, 8 лепестков 14.5 35.9 237.2 424.4
Лепестковое, 16 лепестков 15.3 37.5 238.8 429.5
ного упрочнения в процентах к эталонному. Результаты зависимости величины дополнительного упрочнения от программы нагружения представлены в табл. 2.
Численные эксперименты показали, что дополнительное упрочнение более интенсивно происходит в материале с низкой энергией дефекта упаковки (латуни) при одинаковых по сложности программах нагружения. Кривая «амплитуда напряжения - накопленные деформации» выходит на стационарное значение в среднем при 45 % накопленных деформаций. Плотности дислокаций при этом увеличиваются на 4-5 порядков в зависимости от сложности нагружения. Для образца из латуни существенный вклад в повышение напряжения течения вносит упрочнение за счет образования барьеров на расщепленных дислокациях. Качественное соответствие результатов расчета экспериментальным данным, приведенным в работах [40, 41], позволяет констатировать принципиальную применимость разработанной модели для описания процессов циклического, в том числе сложного, нагружения материалов с различной величиной энергии дефекта упаковки.
5. Заключение
Рассмотрены структура и математическая формулировка трехуровневой дислокационно-ориентированной модели для описания деформирования поликристаллических образцов при произвольных по сложности программах кинематических нагружений. Особое внимание при разработ-
ке модели уделено описанию эволюции плотностей дефектов и образования барьеров на расщепленных дислокациях. Использование в модели явного описания поведения массивов полных и расщепленных дислокаций на системах скольжения позволяет детально описать механизмы деформирования и упрочнения материалов при деформировании по произвольным траекториям деформаций.
В качестве примеров рассмотрено применение модели для описания процессов простого и сложного циклического деформирования поликристаллических образцов с ГЦК-решеткой, имеющих существенно отличающиеся величины энергии дефекта упаковки. Показано, что материалы с низкой энергией дефекта упаковки при сложном циклическом нагружении демонстрируют более интенсивное дополнительное циклическое упрочнение по сравнению с материалами с относительно высокой энергией дефекта упаковки.
Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России (базовая часть государственного задания ПНИПУ, проект № Б8КМ-020-0027) и РФФИ (проект № 20-41-596002 р (НОЦ_ Пермский край)).
Литература
1. Ильюшин А. А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: АН СССР, 1963.
2. Соколовский В.В. Теория пластичности. - М.: Высшая школа, 1969.
3. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. - М.: Машиностроение, 1968.
4. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969.
5. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986.
6. Laird C., Charsley P., Mughrabi H. Low energy dislocation structures produced by cyclic deformation // Mater. Sci. Eng. - 1986. - V. 81. - P. 433-450.
7. Васин Р.А. Определяющие соотношения теории пластичности // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. ВИНИТИ. -1990. - Т. 21. - С. 3-75.
8. Doquet V. Twinning and multiaxial cyclic plasticity of a low stacking-fault-energy F.C.C. alloy // Acta Metall. Mater. - 1993. - V. 41. - P. 2451-2459.
9. Роговой А.А. Формализованный подход к построению моделей механики деформируемого твердого тела. Ч. 1. Основные соотношения механики сплошных сред. - М.: Институт компьютерных исследований, 2021.
10. Taylor G.I. Plastic strain in metals // J. Inst. Met. -1938. - V. 62. - P. 307-324.
11. Bishop J.F., Hill R. A theory of the plastic distortion of a polycrystalline aggregate under combined stresses // Philos. Mag. Ser. 7. - 1951. - V. 42. - No. 327. -P. 414-427. - https://doi.org/10.1080/1478644510856 1065
12. Bishop J.F.W., Hill R. A theoretical derivation of the plastic properties of a polycrystalline face-centered metal // Philos. Mag. Ser. 7. - 1951. - V. 42. -No. 334. - P. 1298-1307. - https://doi.org/10.1080/14 786444108561385
13. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995.
14. Кривцов А.М. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
15. Horstemeyer M.F. Multiscale Modeling: A Review // Practical Aspects of Computational Chemistry / Ed. by J. Leszczynski, M.K. Shukla. - Heidelberg: Springer, 2009. - Р. 87-135. - https://doi.org/10.1007/978-90-481-2687-3_4
16. Roters F. Advanced Material Models for the Crystal Plasticity Finite Element Method: Development of a General CPFEM Framework. - Aachen: RWTH Aachen, 2011.
17. Li P., Li S.X., Wang Z.G., Zhang Z.F., Fundamental factors on formation mechanism of dislocation arrangements in cyclically deformed FCC single crystals // Progr. Mater. Sci. - 2011. - V. 56. - P. 328-377. -https://doi.org/10.1016/J.PMATSCI.2010.12.001
18. Cho J., Molinari J.-F., Anciaux G. Mobility law of dislocations with several character angles and temperatures in FCC aluminum // Int. J. Plasticity. - 2017. -
V. 90. - P. 66-75. - https://doi.org/10.1016/j.ijplas. 2016.12.004
19. Романова В.А., Балохонов Р.Р., Батухтина Е.Е., Емельянова Е.С., Сергеев М.В. О решении квазистатических задач микро- и мезомеханики в динамической постановке // Физ. мезомех. - 2018. -Т. 21. - № 2. - С. 68-79. - https://doi.org/10.24411/ 168805X-2018-12007
20. Bisht A., Kumar L., Subburaj J., Jagadeesh G., Su-was S. Effect of stacking fault energy on the evolution of microstructure and texture during blast assisted deformation of FCC materials // J. Mater. Process. Tech-nol. - 2019. - V. 271. - P. 568-583. - https://doi.org/ 10.1016/j.jmatprotec.2019.04.029
21. Liang Q., Weng S., Fu T., Hu S., Peng X. Dislocation reaction-based formation mechanism of stacking fault tetrahedra in FCC high-entropy alloy // Mater. Chem. Phys. - 2022. - V. 282. - P. 125997. - https://doi.org/ 10.1016/j.matchemphys.2022.125997
22. McDowell D.L. A perspective on trends in multiscale plasticity // Int. J. Plasticity. - 2010. - V. 26. -P. 1280-1309. - https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2010. 02.008
23. Beyerlein I., Knezevic M. Review of microstructure and micromechanism-based constitutive modeling of polycrystals with a low-symmetry crystal structure // J. Mater. Res. - 2018. - V. 33. - P. 3711-3738. -https://doi.org/10.1557/jmr.2018.333
24. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые модели моно- и поликристаллических материалов: теория, алгоритмы, примеры применения. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2019. - https://doi.org/10. 15372/MULTILEVEL2019TPV
25. Trusov P.V., Gribov D.S. The three-level elastovisco-plastic model and its application to describing complex cyclic loading of materials with different stacking fault energies // Materials. - 2022. - V. 15(3). -https://doi.org/10.3390/ma15030760
26. Coleman B.D., Gurtin M.E. Thermodynamics with internal state variables // J. Chem. Phys. - 1967. -V. 47. - P. 597-613. - https://doi.org/10.1063/L1711 937
27. Rice J.R. Inelastic constitutive relations for solids: An internal-variable theory and its application to metal plasticity // J. Mech. Phys. Solids. - 1971. - V. 19. -P. 433-455. - https://doi.org/10.1016/0022-5096(71) 90010-X
28. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. - М.: Мир, 1991.
29. Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Трусов П.В. Конститутивные соотношения с внутренними переменными: общая структура и приложение к текстурооб-разованию в поликристаллах // Вестник ПГТУ. Мат. моделирование систем и процессов. - 2006. -№ 14. - С. 11-26.
30. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности. -Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2011.
31. Maugin G.A. The saga of internal variables of state in continuum thermo-mechanics (1893-2013) // Mech. Res. Commun. - 2015. - V. 69. - P. 79-86. - https:// doi.org/10.1016/j.mechrescom.2015.06.00
32. Трусов П.В., Швейкин А.И. О разложении движения и определяющих соотношениях в геометрически нелинейной упруговязкопластичности кристаллитов // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 3. - С. 2538. - https://doi.org/10.24411/1683-805X-2016-00061
33. Orowan E. Problems of plastic gliding // Proc. Phys. Soc. - 1940. - V. 52. - P. 1926-1948. - https://doi. org/10.1088/0959-5309/52/1/303
34. Kocks U.F. Constitutive Behavior Based on Crystal Plasticity / Unified Constitutive Equations for Creep and Plasticity / Ed. by A.K. Miller. - Dordrecht: Springer, 1987. - P. 1-88. - https://doi.org/10.1007/ 978-94-009-3439-9_1
35. Орлов А.Н. Введение в теорию дефектов в кристаллах. - М.: Высшая школа, 1983.
36. Arsenlis A., Parks D.M. Modeling the evolution of crystallographic dislocation density in crystal plasticity // J. Mech. Phys. Solids. - 2002. - V. 50. -P. 1979-2009. - https://doi.org/10.1016/S0022-5096 (01)00134-X
37. Штремель М.А. Прочность сплавов. Ч. I. Дефекты решетки. - М.: МИСИС, 1999.
38. Коттрелл А.Х. Дислокации и пластическое течение в кристаллах. - М.: МЕТАЛЛУРГИЗДАТ, 1958.
39. Franciosi P. The concepts of latent hardening and strain hardening in metallic single crystals // Acta Metall. - 1985. - V. 33. - P. 1601-1612. - https://doi. org/10.1016/0001-6160(85)90154-3
40. Benallal A., Marquis D. Effects of non-proportional loadings in cyclic elasto-viscoplasticity: Experimental, theoretical and numerical aspects // Eng. Comput. -1988. - V. 5. - P. 241-247. - https://doi.org/10.1108/ eb023742
41. Benallal A., Le Gallo P., Marquis D. An experimental investigation of cyclic hardening of 316 stainless steel and of 2024 aluminium alloy under multiaxial loadings // Nucl. Eng. Design. - 1989. - V. 114. - P. 345353. - https://doi.org/10.1016/0029-5493(89)90112-x
42. Xia Z., Ellyin F. Nonproportional multiaxial cyclic loading: Experiments and constitute modeling // J. Appl. Mech. - 1991. - V. 58. - P. 317-325. -https://doi.org/10.1115/L2897188
43. Aubin V., Quaegebeur P., Degallaix S. Cyclic behaviour of a duplex stainless steel under multiaxial loading: Experiments and modelling // Eur. Struct. Integr. Soc. - 2003. - V. 31. - P. 401-422. - https://doi.org/ 10.1016/S1566-1369(03)80022-5
44. Zhang J., Jiang Y. An experimental investigation on cyclic plastic deformation and substructures of poly-crystalline copper // IJOP. - 2005. - V. 21. - P. 21912211. - https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2005.02.004
Поступила в редакцию 28.04.2022 г., после доработки 20.05.2022 г., принята к публикации 22.05.2022 г.
Сведения об авторах
Грибов Дмитрий Сергеевич, мнс ПНИПУ, gribovds@pstu.ru
Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru, tpv@pstu.ru
