Трехуровневая модель для описания эффекта Портевена-Ле Шателье Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1419-1422

ТРЕХУРОВНЕВАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЭФФЕКТА ПОРТЕВЕНА-ЛЕ ШАТЕЛЬЕ

© Е.А. Чечулина

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, e-mail: Zhenya-chechulina@yandex.ru

В работе предлагается трехуровневая математическая модель, предназначенная для описания эффекта Портевена-Ле Шателье в поликристаллических материалах при термомеханическом нагружении. Основным механизмом данного эффекта считается закрепление дислокаций атомами примесей при остановке на барьерах различной природы. При построении модели применяется многоуровневый подход, основанный на использовании в ее структуре внутренних переменных - параметров, характеризующих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры материала. В основе модели лежит описание основных механизмов пластического деформирования рассматриваемого класса материалов на мезоуровне. Представлена общая структура модели представительного объема поликристаллического материала.

Ключевые слова: эффект Портевена-Ле Шателье; прерывистая текучесть; конститутивная многоуровневая модель; внутренние переменные; динамическое деформационное старение.

Эффект Портевена-Ле Шателье (ПЛШ), как проявление на макроуровне неустойчивого пластического деформирования, наблюдается для широкого круга пластичных материалов в определенных температурно-скоростных диапазонах деформирования.

В экспериментах на одноосное нагружение прерывистая пластичность проявляется в следующем: при низких скоростях деформирования и повышенной температуре диаграмма напряжение - деформация приобретает зубчатую форму при «жестком» нагружении, при «мягком» нагружении диаграмма становится ступенчатой.

Начиная с середины XIX в. началось интенсивное экспериментальное и теоретическое исследование данного эффекта, которое не прекращается и по сей день. Установление критерия потери устойчивости пластического течения, как и определение области существования такой неустойчивости, является актуальной задачей и в настоящее время.

Деформирование в режиме прерывистой пластичности, особенно на заключительных стадиях технологических процессов обработки металлов давлением, ведет к существенному ухудшению качества поверхности (шероховатости), что приводит к снижению усталостной прочности, коррозионной стойкости и аэродинамических характеристик изделий.

Существующие модели для теоретического описания эффекта ПЛШ используют различные подходы и нацелены на воспроизведение наблюдаемого сложного поведения зубчатых деформационных кривых [1].

Результаты многочисленных экспериментальных исследований прерывистой пластичности позволяют сделать вывод, что источником прерывистого, нерегулярного отклика материала при монотонных воздействиях является наличие неоднородностей свойств материала и согласованного движения больших массивов дислокаций на различных масштабных уровнях, от

наноразмеров до величин, соизмеримых с размерами макрообразцов.

Большинство исследователей причину неустойчивости пластического деформирования связывают с процессами диффузии и взаимодействием дислокаций с примесными атомами. Свойства материала на макроуровне в значительной степени определяются его микроструктурой, очевидно, что для качественного воспроизведения пластической неустойчивости необходимо введение описания самоорганизации микроструктурных процессов, которые, в конечном счете, могут привести к спонтанному появлению локализации деформации.

Для описания процессов диффузии в работе предлагается использовать трехуровневую математическую модель, основанную на введении в структуру модели внутренних переменных, под которыми понимаются параметры, отражающие структуру и механизмы деформирования на мезо- и микроуровнях.

В рассмотрение вводятся следующие масштабные уровни: макроуровень - уровень представительного макрообъема, мезоуровень I - уровень отдельного кристаллита и мезоуровень II - уровень «субкристаллита» (субзерна, фрагмента).

Для связи различных уровней в структуру определяющих соотношений на каждом из масштабных уровней вводятся явные внутренние переменные, определяемые из замыкающих уравнений, описывающих процессы деформирования на более глубоких масштабных уровнях по отношению к рассматриваемому. Неявные внутренние переменные входят в эволюционные уравнения в качестве параметров [2].

Основная задача разбивается на три связанных между собой подзадачи: задачи определения напряженно-деформированного состояния (НДС), задачи теплопроводности, задачи диффузии.

Для определения НДС используется упруговязко-пластическая модель с модифицированными соотношениями для критических напряжений сдвига по системам скольжения. На всех уровнях используются несимметричная мера деформированного состояния и модифицированный закон Гука [3].

Общая структура конститутивной модели с внутренними переменными включает совокупность трех групп уравнений (определяющих, эволюционных и замыкающих):

где - мера напряженного состояния и ее объективная скорость изменения; р , ^, с - тензор-

значные функции или простые (например, дифференциальные) операторы над тензорзначными аргументами; Ра - параметры воздействия термомеханической и нетермомеханической природы; верхний индекс «г» обозначает производную, не зависящую от выбора

системы отсчета;

j :

явные внутренние переменные,

непосредственно входящие в структуру определяющих

соотношении,

J'„

неявные внутренние переменные,

характеризующие эволюцию структуры и относящиеся к более глубоким масштабным уровням [4].

Краевая задача для уравнения теплопроводности ставится и решается для элемента макроуровня. Запишем уравнение теплопроводности:

К©-У• (Л-У©) = У ,

К - теплоемкость; л - тензор теплопроводности; У -мощность внутреннего источника тепла. Граничные условия: © = ©г на Г0

N • (Л-У ©) = N • 0 = О на Га N - (Л-У ©) = N -0 = -А(©-© ) на Г/(Г0 иГ0 ) , начальные условия: ©(/ = о) = ©0,

где ©, ©, © - температура, ее значение в начальный

момент времени и на границе; N - вектор внешней нормали к поверхности; г - часть границы, на которой

задается температура, г - часть границы, на которой

задается проекция О вектора теплового потока 0 = Л-У© на внешнюю нормаль; г/(Г0иго) - часть

границы, на которой задается условие конвективного теплообмена с окружающей средой; Н - коэффициент теплообмена; © - температура окружающей среды.

Для решения задачи диффузии концентрация примесей с разделяется на две составляющие: концентрация «свободных» (т.е. способных к диффузии по обычному механизму) атомов су и концентрация «связанных» («захваченных» скоплениями дислокаций) атомов примеси с,:

с = Су+ с,.

Запишем уравнение, описывающее диффузию с учетом притяжения примесных атомов в область повышенной концентрации дислокаций. Обозначая мощ-

ность источника (стока) как 5, уравнение диффузии для «свободных» атомов примеси можно записать в виде:

dCf dt

= V

•(k-V^ )

+s =

где к - тензор коэффициентов диффузии. Функция 5 характеризует мощность поглощения (или испускания) «свободных» атомов примеси скоплениями дислокаций; для источников выбирается знак «+», для стоков (поглощения) - «-».

Интенсивность поглощения свободных атомов 5 зависит от (избыточной) плотности иммобильных дислокаций, от действующих напряжений, температуры и от общей концентрации атомов примеси с.

Выражение для интенсивности источников - стоков можно записать следующим образом:

s = CKP»

где

J = W-f

- индикаторная

функция, значение 3=1 соответствует излучению, 3 = -1 - поглощению примесных атомов скоплениями иммобильных дислокаций; Н - функция Хэвисайда; р. - плотность иммобильных дислокаций; р - средняя (по кристаллиту) плотность иммобильных дислокаций; / - предельная «поглотительная» (или абсорбционная) способность (иммобильных) дислокаций к «связыванию» свободных атомов (в расчете на единицу плотности дислокаций и единицу объема).

Основным механизмом неупругого деформирования считается движение краевых дислокаций, которые преодолевают различные препятствия: точечные (примесные атомы), линейные (барьеры Ломера-Коттрелла и др.) и объемные (выделения вторичных фаз и др.). В общем случае дислокации располагаются и движутся в разных плоскостях скольжения, в т. ч. и пересекающихся. Подвижность дислокаций в неидеальных кристаллах уменьшается за счет их взаимодействия друг с другом и с другими дефектами. Такое взаимодействие приводит к торможению движущихся дислокаций.

Подход к описанию дислокационной структуры основан на введении однородных плотностей дислокаций на каждой системе скольжения и получении эволюционных уравнений, описывающих механизмы их зарождения и взаимодействия.

Анализ работ ряда авторов позволяет выделить следующие типы взаимодействия дислокационных структур: образование (зарождение) дислокаций, аннигиляция, торможение мобильных дислокаций барьерами дислокационной (Ломера-Коттрелла) и недислокационной природы (границами зерен, дислокациями леса, примесными атомами), мобилизация иммобильных дислокации из-за приложенной нагрузки и/или тепловой активации. Указанные механизмы позволяют описать процессы деформирования, в которых велика роль диффузионных процессов, в частности эффект Портевена-Ле Шателье.

Общая плотность дислокаций на каждой к-й системе скольжения выражается в виде суммы плотностей мобильных и иммобильных дислокаций:

Г = F (P, J:); J = R, (P, J); J:; = (P, J),

7

p(k) = р(*) + p(k) г г m г im

Для учета аннигиляции дислокаций используются плотности положительных и отрицательных дислокаций на каждой системе скольжения: Р(к) =р(к) +р(к)

Эволюционные уравнения для плотностей мобильных и иммобильных дислокаций вводятся для мезо-уровня II:

4(k)

где индексы nuc, ann, imm и mob отвечают соответственно за образование (зарождение) дислокаций, аннигиляцию, остановку на препятствиях (границы зерен, дислокации леса, примесные атомы) и мобилизацию дислокаций.

Переход от микроскопического описания пластического течения к мезоскопическому осуществляется с помощью соотношения, полученного на основе уравнения Орована:

p(k) = P(k) m + P(k), rim 5

p mk) = p(k) у nuc +p Lib - p(k) г imm

p (k) • im = P(k) • imm P mob - p(k) • ann

, , т(1)

y(k) = У01 ^

,, , \ 1/m . .

кв )

H(| t(t^-tf ))sign(r )).

где г(к) и т(-к) - сдвиговые и критические напряжения

к-й СС; АО - энтальпия активации движения дислокации (свободная энергия Гиббса); к - константа Больц-мана; в - абсолютная температура; т - безразмерный параметр, Н - функция Хэвисайда.

Текущее состояние микроструктуры отслеживается через плотности дислокаций, которые служат внутренними переменными.

Понимание многоуровневого характера пластической деформации и ее неоднородности, которая может проявляться на различных масштабных уровнях, позволило построить трехуровневую модель для учета процессов диффузии и описать эволюцию плотности дислокаций на системах скольжения.

Преимущество метода декомпозиции общей задачи на связанные подзадачи заключается в том, что для отдельных подзадач можно сформулировать относительно независимые постановки, это позволяет построить хорошо структурированный эффективный алгоритм решения связанной задачи, ориентированный на применение параллельных вычислений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трусов П.В., Чечулина Е.А. Прерывистая текучесть: физические механизмы, экспериментальные данные, макрофеноменологиче-ские модели // Вестник ПНИПУ. Механика. 2014. № 3. С. 186232.

2. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2009. Т. 15. № 3. С. 327-344.

3. Трусов П.В., Нечаева Е.С., Швейкин А.И. Применение несимметричных мер напряженного и деформированного состояния при построении многоуровневых конститутивных моделей материалов // Физическая мезомеханика. Томск: ИФПМ СО РАН, 2013. Т. 16. № 2. С. 15-31.

4. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности. Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехи. ун-та, 2011. 419 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 16-31-00215 мол_а).

Поступила в редакцию 10 апреля 2016 г.

UDC 539.3

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-3-1419-1422

THREE LEVEL MODEL FOR DESCRIBING THE PORTEVIN-LE CHATELIER EFFECT

© E.A. Chechulina

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation, e-mail: Zhenya-chechulina@yandex. ru

A multilevel mathematical model is proposed to describe the Portevin-Le Chatelier effect in the polycrystal-line materials under thermomechanical loading. The occurrence of the Portevin -Le Chatelier effect is closely connected to the phenomenon of dynamic strain ageing, i.e. the additional pinning of mobile dislocations by foreign atoms diffusing into the dislocation core during their arrest at obstacles, e.g. forest dislocation. To construct the model applied the multilevel approach, based on using the internal variables - parameters, describing the evolution of meso and microstructure of the material. The main idea of the model is based on the principal of the plastic deformation polycrystalline materials. General structure of the model presents in the article.

Key words: effect Portevin-Le Chatelier; discontinuous yielding; constitutive multilevel model; internal variables; dynamic strain aging.

REFERENCES

1. Trusov P.V., Chechulina E.A. Preryvistaya tekuchest': fizicheskie mekhanizmy, eksperimental'nye dannye, makrofenomenologicheskie modeli. Vestnik Permskogo natsional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta. Mekhanika — PNRPUMechanics Bulletin, 2014, no. 3, pp. 186-232.

2. Trusov P.V., Ashikhmin V.N., Shveykin A.I. Dvukhurovnevaya model' uprugoplasticheskogo deformirovaniya polikristallicheskikh materialov. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsiy — Journal on Composite Mechanics and Design, 2009, vol. 15, no. 3, pp. 327-344.

3. Trusov P.V., Nechaeva E.S., Shveykin A.I. Primenenie nesimmetrichnykh mer napryazhennogo i deformirovannogo sostoyaniya pri postroenii mnogourovnevykh konstitutivnykh modeley materialov. Fizicheskaya mezomekhanika - Physical Mesomechanics, Tomsk, 2013, vol. 16, no. 2, pp. 15-31.

4. Trusov P.V., Shveykin A.I. Teoriyaplastichnosti. Perm, State National Research Polytechnical University of Perm Publ., 2011. 419 p.

GRATITUDE: The work is fulfilled under financial support of Russian Fund of Fundamental Research (grant no. 16-31-00215 MOJi_a).

Received 10 April 2016

Чечулина Евгения Александровна, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь, Российская Федерация, аспирант, кафедра математического моделирования систем и процессов, e-mail: Zhenya-chechulina@yandex.ru

Chechulina Evgeniya Aleksandrovna, Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation, Postgraduate Student, Mathematical Modeling of Systems and Processes Department, e-mail: Zhenya-chechulina@yandex.ru