CC BY
51
УДК 681.51
А.Т. Когут, А.А. Лаврухин
Двухступенчатый алгоритм траекторного управления нелинейным многомерным объектом
Рассматриваются приближенные алгоритмы управления объектами, построенные на линейных моделях с учетом производных первого и второго порядков. Предлагается двухступенчатая процедура, когда основным является алгоритм первого порядка, а переход на второй - только в случае его эффективности. Получены аналитические выражения, оценивающие необходимость такого переключения. Путем имитационного моделирования доказана их достоверность и подтверждена работоспособность алгоритма. Ключевые слова: объект, система, алгоритм, производная, переключение.
Разработка вопросов проектирования и создания систем управления многомерными нелинейными динамическими объектами остается по-прежнему актуальной [1] и особенно - в траекторных задачах, когда требуется изменять состояние объекта в соответствии с желаемым законом или траекторией движения [2]. Сведение к методу обратных задач динамики требует существования и аналитического определения обратных функций [2, 3], поэтому предлагается применение приближенных алгоритмов функционирования многомерных регуляторов, основанных на линеаризации с учетом как первых [3, 4], так и вторых производных [4].
Пусть многомерный нелинейный объект описывается разностным уравнением
xk+1 = AXk + f(uk); X(0) = Xo, (1)
где x = {x(i)} e Rn - вектор переменных состояния; x0 - начальные значения координат объекта; u = {u(i)} e Rm - вектор управляющих воздействий; A = {a(y)} e Rnxn - системная матрица линейной части; f() - известная нелинейная n-мерная вектор-функция, для которой f(u) e С2, т.е. существуют ее первая и вторая частные производные по u.
В системах траекторного управления должно выполняться условие
x k+1 = g ^ (2)
где g = {g(i)} e Rn - вектор заданных значений координат объекта или желаемая траектория движения [2].
После подстановки требования (2) в модель объекта (1) получим выражение
g k+1 = AXk + f(uk), (3)
которое при наблюдаемом векторе xk и заданном gk+1 является нелинейным уравнением относительно uk.
Формулу для управляющего воздействия в k-й момент времени можно получить в явном виде, если применить методику линеаризации [3, 4]. Заменим f(uk) рядом Тейлора в окрестности точки u k-1 по степеням
5uk = uk - u ^ (4)
тогда вместо (3) запишем
gk+1 = Axk +fk-1 + f- buk +o(5uf). (5)
Здесь 5uk e Rm - вектор разности управлений, а 5u| = Suk ® Suk, где ® - символ кронекеров-
2 2
ского произведения матриц [1, 4, 5] и buk е Rm . Также использованы следующие обозначения:
fk-1 = f К—1) и f—1 = nu-J,
где f '(u k-1) e Rnxm - матрица Якоби вида
/'(Vi) =
dfj du1 д/J du2 ... д// Э
u„
dfn/dUi dfjd
u
д/J д
u
Допустим, что в уравнении (5) при 5ик ^ 0 можно пренебречь слагаемым о(5ик2), тогда из него следует, что
к = [f vj+ • [g k+1 - + f ki],
(6)
где [•]+ - операция псевдообращения матриц [3].
Алгоритм управления первого порядка, при использовании для вектора разности 5ик формулы (4), будет иметь вид
икт = и - + [/ '^Г • [я к+1 - АХк - V к1], и(0)(1) = ио. (7)
Синтез многомерных регуляторов, в которых рекуррентные процедуры формирования ик содержат частные производные второго порядка, можно осуществить с помощью методики полиномиальной аппроксимации [4]. Вместо выражения (3) записывается
g +1 = + f - + [f Vi + 0,5 f 'Vi (5^ ® Im)] Auk + o(Au/).
(8)
Здесь вектор разности управлений Auk е Rm определяется аналогично формуле (4) и Auk = Auk ® Auk, где Auf е Rm2. Под f "k-i понимается f "(uk-i), где f(uk-i) £ Rnxm2 - матрица вида
d2fjduidui ... d2fi/du2dui ... d2fi/dumdum
f "(uk-i) =
d2fJ duidui .■■ d"fJ dufdui . d2fJ dumdum
Полагая Аик ^ 0, из уравнения (8) можно получить формулу для разности управлений
Аи„ = [V \_1 + 0,5 V (8к ® 1т)]+ • [Я к+1 - А*к - V к-1] (9)
и алгоритм второго порядка
< = и к-1 + [/ + 0,5 V "к_х (5к ® !„)]+ • [Я к+1 - А^к - V к-1], и(0)<2) = и0. (10)
В выражениях (8)-(10) рекомендуется [4] вместо 5к б К использовать вектор 5ик, определяемый формулой (6), а для реализации на к-м шаге алгоритма (10) использовать двухступенчатую процедуру. На первой ступени вычисляются икт и 5ик, соответственно по формулам (7) и (6), а затем уточняется управляющее воздействие ик2) по алгоритму (10), которое и подается на вход объекта управления.
Проведенные экспериментальные исследования систем траекторного управления, в регуляторах которых были реализованы приближенные алгоритмы (7) и (10), показали [4], что в пределах областей устойчивости эффективность алгоритмов второго порядка сказывается в
(2) ,
(i)
основном на первых шагах переходных процессов, а в дальнейшем и
Основной задачей данной работы является получение приближенных выражений, позволяющих уже на первой ступени оценивать необходимость уточнения управляющего воздействия по формуле (10), а при ее отсутствии использовать ик = ик1). Введем вектор vk е Ят вида
(i) (2) vk = uk - uk
(ii)
и представим через разности управлений 5ик и Аик следующим образом:
Vk = 5ик - Аик. (12)
Здесь Аик определяется по формуле (9), а 5ик - по выражению (6). Из последнего следует,
что
fe+i-AXk - f k i] = f 'k-i u тогда для вектора Auk в соответствии с (9) справедливо:
Аик = [/ + 0,5 / (8ик ® /,)]+ / Ьпк. (13)
Полученная формула (13) показывает, что Аик является некоторой функцией от 5ик. Представим ее в виде степенного ряда:
Аик = Р5ик + Q5uk2 + о(5ик). (14)
Здесь матрицы Р е Ятхт и Q е Ятхт2 подлежат определению. Заметим, что выражения (14) и (13) получены для Аик, поэтому
РЪик + QЪu: + о(Ъик) = [/ + 0,5 / "к_1 (5ик ® /„,)]+ / 5и„ (15)
или
[/ + 0,5 /"-1 (5ик ® 1т)] • [Р5ик + Q8uk2 + о(5ик2)] = / (16)
Приравняем слагаемые при одинаковых степенях 5ик и запишем систему алгебраических уравнений:
\/_Р 5ик = /¡г_15ик;
[0,5/:_,{5ик ® 1т)Р5ик +/-1Q5и2 = 0, решением которой являются матрицы
Р = 1т и Q = -0,5[/'^Г /"к-1. После подстановки Р и Q в формулу (14) получим
Аик = 5ик - 0,5[/'^Г / 5ик2 + о(5ик). (17)
Тогда разность управлений vk определяется следующим выражением:
Vk = 0,5[/'^Г /5ик2 + о(5ик). (18)
При достаточно малых 5ик ^ 0 можно записать оценку
йк =0,5[ /;_1]+/к-15и2. (19)
Полученная формула (19) содержит матрицу / "к-1, элементы которой необходимо вычислять в методе второго порядка.
Оценку вектора ¿к, использующую только информацию на первой ступени, можно получить на основе аналитических выражений для точности процессов управления в системе с алгоритмом первого порядка. В этом случае ошибка определяется как разность [6]
е к+1 (1> = § к+1 - х к+1. (20)
Здесь хк+1 - наблюдаемая координата или выходной сигнал объекта (1) при вычислении управления ик = икт по формуле (7), поэтому для вектора хк+1 запишется
Хк+1 = А%к + / к-1 + / 5ик + 0,5 / "к_15и: + о(5иД (21)
где 5ик определяется выражением (6).
После подстановки в уравнение (21) вместо только 5ик соотношения (6) и ряда преобразований, получим
х к+1 = § к+1 + 0,5 / "-¿и: + о(5ик), (22)
тогда при 5ик ^ 0 ошибка е(к+1 имеет вид
С =_0,5/к_15и2. (23)
Сравнение формул (19) и (23) позволяет записать, что
¿к = 0,5[/к'_1]+С. (24)
Аналитическое выражение (24) для вектора разности управлений и^ и и{к) зависит только от информации, имеющейся у алгоритма первого порядка. Оценка йк получена на ос-
нове двух приближенных равенств, поэтому ее близость к истинному значению vk должна быть ниже, чем у соответствующей оценки ик, определяемой формулой (19).
Предлагаемый алгоритм на первой ступени вычисляет щ ), 5ик, и осуществляет переход к уточнению управляющего воздействия и(2), если для нормы вектора ик выполняется неравенство
1К11 > аII и-||, (25)
где а е Я - величина допустимой ошибки.
Проверка достоверности полученных аналитических выражений (19), (24) для оценок ик и Vk соответственно и работоспособность предлагаемого двухступенчатого алгоритма формирования управляющих воздействий ик рассматривались на примере объекта
х
к+1 = ахк + щрщК х(0) = х0. (26)
При моделировании выбирались в = 1 и х0 = 0, а значения параметров линейной части а и начальные условия для и0 в алгоритмах (7) и (10) изменялись. Отметим, что для объекта (26) существует аналитическое решение обратной задачи динамики:
ик = Р-1 агсЩ£ + - ах^ ит = (27)
Требуемая траектория задавалась в виде единичного скачка, т.е. g к+1 = 1. В линейных регуляторах были реализованы алгоритмы (7) и (10) первого и второго порядков соответственно, а также двухступенчатая процедура, использующая на каждом шаге проверку неравенства (25) и осуществляющая при необходимости переключение управления.
Достоверность аналитических выражений (19) и (24) для оценок ик и И>к проверялась при моделировании систем с алгоритмом второго порядка. Значения ошибок е{к+г, истинные значения vк и их оценки х)к и ьк при а = 1,2 и начальном отклонении управления и0 = -0,2 приведены в таблице 1. Как и следовало ожидать, точность вычислений по формуле (19) достаточно высока, и при к > 3 значения ьк практически совпадают с vk.
Таблица 1
Численные значения ошибки ек2+,, разности управлений Vк и ее оценок ьк и х}к
К е(2) к+1 vk vk Vк
1 0,336 0,246 0,306 0,350
2 0,0579 0,292 0,451 0,104
3 0,0450 0,074 0,085 0,048
4 9,4610-6 2,1710-4 2,1510-4 9,9610-6
5 5,8810-5 8,3110-4 8,44-10-4 6,2810-5
6 1,0110-12 4,2910-9 4,2910-9 1,0510-12
Оценки \)к не так близки к vk, но их можно использовать в выражении (25) при выборе алгоритма управления. Как видно из данных таблицы, во время переходного процесса, пока ошибки ек+\ большие, оценки х)к имеют тот же порядок, что и vk, поэтому необходимо правильно выбрать коэффициент а. Экспериментально установлено, что в двухступенчатом алгоритме при а = 0,01 переход к методу второго порядка осуществляется только в тех случаях, если ошибка ек+1 превышает 1%.
Примеры переходных процессов в системах, соответствующих разным алгоритмам управления, показаны на рисунке 1, где цифрами «1» и «2» над графиками указано, какой метод выбирается в двухступенчатом алгоритме на к-м шаге. Типичный для устойчивой системы управления объектом (26) случай приведен на рисунке 1 (а) при значении параметра а = 0,9. Когда система находится вблизи границы устойчивости (например, для а = 1,1), алгоритм первого порядка приводит к колебательным процессам, как это показано на рисунке 1 (б). Метод второго порядка исключает колебательность, но появляется перерегулирование,
и это также происходило в большинстве случаев. Результаты моделирования показали, что уточнение управляющего воздействия по формуле (10) требуется лишь на первых трех шагах.
Рис. 1. Переходные процессы для объектов с различными параметрами линейной части
Одним из основных показателей качества процессов управления в замкнутых системах является время регулирования tрег [6]. При аналитическом решении обратной задачи динамики (27) управление объектом (26) для любого и0, принадлежащего области существования функции агсШ(-), происходит за один шаг, но, как видно из рисунка 1, это нарушается, если в регуляторах реализуются приближенные методы.
Зависимости времени регулирования ^ег от начального значения управляющего воздействия и0 при постоянном коэффициенте линейной части а = 0,6 показаны на рисунке 2а, а от параметра а при и0 = -0,1 - на рисунке 2б (под ^ег понимается время вхождения выходной координаты объекта в 1%-ю трубку [6]).
' рег
а)
1 \
\......
ч . .1____
1
~ 1 ч ........:
....... 1 . _ . ' \ П ----
тг
-1,5 -1 -0,5 0 0,5
Щ) ■
Алгоритмы: -
1
1 1,5 -►
t 10 'рег |и
б)
!
■,
« 1
1 и 1 1
\ \ /
0,4
0,8
1,2 а -
1,6
- первого порядка; ...... второго порядка;
----двухступенчатый с переключениями
Рис. 2. Зависимости времени регулирования от параметров системы управления при реализации в ней
различных алгоритмов
Анализ экспериментальной информации показывает, что алгоритм второго порядка обеспечивает более широкую область устойчивости систем и позволяет осуществить регулирование за меньшее число шагов. Двухступенчатый алгоритм с переключениями управления
имеет такое же время регулирования, как и у метода второго порядка, но с меньшими вычислительными затратами.
Результаты проведенных исследований подтвердили работоспособность предлагаемого алгоритма формирования управляющих воздействий, когда на первой ступени при реализации приближенного метода первого порядка оценивается необходимость перехода к вычислению элементов матриц частных производных второго порядка и их псевдообращений. В противном случае на объект подается управление от регулятора первого порядка. Осуществлена проверка достоверности аналитических выражений, рекомендованных для использования при переключении алгоритмов управления.
Литература
1. Ловчаков В.И. Метод аналитического конструирования квазиоптимальных систем управления с полиномиальными нелинейностями // Автоматика и телемеханика. - 2007. -№6. - С. 51-66.
2. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб. : Наука, 2000.
3. Рубан А.И. Адаптивное управление с идентификацией. - Томск : Изд-во Томского университета, 1983. - 170 с.
4. Когут А.Т. Полиномиальная аппроксимация в некоторых задачах оптимизации и управления. - Омск : Омский гос. ун-т путей сообщения, 2003. - 243 с.
5. Аверина А.Д., Модяев А.Д. Исследование нелинейных систем управления на основе применения дискретных моделей / под ред. Ю.И. Топчеева. Дискретные нелинейные системы. - М. : Машиностроение, 1982. - С. 183-206.
6. Кориков А.М. Основы теории управления. - Томск : Изд-во НТЛ, 2002. - 392 с.
Когут Алексей Тарасович
Канд. техн. наук, доцент, зав. кафедрой «Радиотехнические и управляющие системы» Омского государственного университета путей сообщения Тел.: (3812) 30-38-25 (дом.); (3812) 31-16-72 (раб.)
Лаврухин Андрей Александрович
Канд. техн. наук, ст. преподаватель кафедры «Радиотехнические и управляющие системы» Омского государственного университета путей сообщения Тел.: 8 (903) 982-78-48 (сот.); (3812) 31-16-72 (раб.) E-mail: [email protected]
A.T. Kogut, A.A. Lavrukhin
Two-stage algorithm for path control of nonlinear multivariate object
The article is devoted to the approximate algorithms for control, which based on linear models of objects and considered its first and second derivatives. The two-stage procedure was proposed. In this procedure the first order algorithm is main, and the second order algorithm used if it increases the efficiency of the system. The analytic expressions for estimation of necessity such switching has been obtained. Simulation proved its reliability and verified capacity of algorithm. Keywords: object, system, algorithm, derivative, switching.
